線性規(guī)劃與不等式應(yīng)用-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題7-2線性規(guī)劃與不等式應(yīng)用

目錄

【題型一】畫圖求面積..................................................................2

【題型二】畫圖：含參..................................................................2

【題型三】線性：z=ax+by..............................................................................................................................3

【題型四】距離型......................................................................4

【題型五】斜率型......................................................................5

【題型六】不等式組含參型..............................................................6

【題型七】線性目標(biāo)含參................................................................7

【題型八】最優(yōu)解無數(shù)個(gè)型..............................................................8

【題型九】含絕對(duì)值型..................................................................9

【題型十】均值型......................................................................9

【題型十一】向量型...................................................................10

【題型十二】與函數(shù)結(jié)合型.............................................................11

【題型十三】與概率命題等結(jié)合綜合應(yīng)用.................................................11

【題型十四】雙最值求參型.............................................................12

真題再現(xiàn)..............................................................................13

模擬檢測(cè)..............................................................................15

綜述：

線性規(guī)劃在新課標(biāo)老高考中，最近幾年以容易題形式出現(xiàn)?？疾炀€性z=ax+by形式較多。屬于基礎(chǔ)題。所

以要把z=ax+by中a、b分別為正負(fù)的基礎(chǔ)形式練習(xí)好。

線性規(guī)劃綜合問題中，幾種常見形式有：

①截距型：z=ax+by,將問題轉(zhuǎn)化為°z在＞軸截距的問題；

V=——x+—

bb

②斜率型：z=三，將問題轉(zhuǎn)化為(x,y)與(a,6)連線斜率的問題；

③兩點(diǎn)間距離型：z=(x-a)?+(y-bp,將問題轉(zhuǎn)化為(x,耳與伍力)兩點(diǎn)間距離的平方的問題；

④點(diǎn)到直線距離型：Z=IAx+為+。，將問題轉(zhuǎn)化為(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離的4TF倍的問

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】畫圖求面積

【典例分析】

2x+y-2<0

(2022?浙江浙江?高三階段練習(xí))若x,y滿足約束條件，x-y-120，則點(diǎn)尸(x,2y)所在區(qū)域的面積S=()

y+l>0

【提分秘籍】

基本規(guī)律

畫圖時(shí)，要注意所求約束條件的點(diǎn)的坐標(biāo)形式。如(x,y)與(a+b,a-b)的轉(zhuǎn)化

【變式演練】

x-y+l>Q

1.(2022?安徽?定遠(yuǎn)縣民族中學(xué)高三階段練習(xí))不等式組<xV4所表示的平面區(qū)域的面積為()

A.1B.2C.3D.4

2.(2021?江西?蘆溪中學(xué)高二開學(xué)考試(理))已知集合A=,，刈-

B={(x,y)|(x-l)2+(y-l)2<l},則AQB所表示平面圖形的面積為()

3.(2018?全國?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不等式組

【題型二】畫圖：含參

【典例分析】

x+y<4

（2022.河南?模擬預(yù)測(cè)（文））已知不等式組表示的平面區(qū)域不包含點(diǎn)（3,1）則實(shí)數(shù)。的取值范

x+ay>2

圍是（）

A.（-oo,-l）B.（』2]C.[2,+oo）D.（-l,+oo）

【提分秘籍】

基本規(guī)律

含參討論，注意參數(shù)所在位置，對(duì)不等式區(qū)域的影響。

一般情況下，不等式組中，參數(shù)在X系數(shù)位置，y系數(shù)位置，和常數(shù)系數(shù)位置，可以借助代特殊值法

來研究?？梢员苊夥爆嵉姆诸愑懻?。

【變式演練】

X—ay>0

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））已知丫=以+3與函數(shù)/（x）=21nx+5相切，則不等式組

x+(〃+l)y20

確定的平面區(qū)域在V+丁=24內(nèi)的面積為（）

A.12TIB.6兀C.3兀D.2兀

x<0

2.（2019?浙江?高三專題練習(xí)）若關(guān)于x,y的不等式組<x+y?0，表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形

kx-y+l>0

區(qū)域，則其表示的區(qū)域面積為（）

A.1或工B.—BK—C.1或工D.—gg-

424228

x>0

3.（2017?福建?閩侯縣第二中學(xué)高二期中（理））已知”0,不等式組卜4。表示的平面區(qū)域面積為2,

y>a（x-2）

則。的值為

A.-B.!C.1D.2

42

【題型三】線性：z=ax+by

【典例分析】

2x+y-5>0

（2022.四川省成都市第八中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件IV。，則

x+2y-7<0

z=-3%+y的最大值為（）.

A.3B.0C.—5D.—7

【提分秘籍】

基本規(guī)律

形如z=^+勿，將問題轉(zhuǎn)化為在y軸截距的問題。要注意斜率正負(fù)，截距與z的正反比

bb

例關(guān)系。

【變式演練】

x+y—2”0

L（2021?陜西?安康市教學(xué)研究室高一期末）已知工，》滿足約束條件卜-為。，貝！Jz=2尤+y的最大值

x..O

為（）

A.0B.2C.3D.4

x+2y>l

2..已知變量x,y滿足約束條件，尤-y41,貝ljz=x-3y的最小值為（）

y-l<0

A.2B.-4C.-3D.-2

x+y>2

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,y滿足y?2,貝”=2y（）

0<y<3

A.最小值為-7,最大值為2B.最小值為-2,最大值為7

C.最小值為-7,無最大值D.最大值為2,無最小值

【題型四】距離型

【典例分析】

2x—y+220

（2022.全國?高三專題練習(xí)）如果點(diǎn)P（x,y）在平面區(qū)域x-2y+"0上，則Y+丁+2丁的最小值是（）

x+y-2<0

49

A.-B.-C.1D.2

55

【提分秘籍】

基本規(guī)律

形如：z=（尤-a），（y-b）2,可以將問題轉(zhuǎn)化為（“可與（”/）兩點(diǎn)間距離的平方的問題。需要注意的

是，如果配方后有常數(shù)，則需要多走一步。如z=+（y-Z>y+t=d2+t,d=-J（x-a）2+（j-Z?）2。

距離型也可以轉(zhuǎn)化為“動(dòng)圓”型來解釋。

距離型還要注意，最值處是“到點(diǎn)的距離”，還是“到線的距離”

【變式演練】

x<2

1.（2022.全國?高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件b-1<0,貝Uz=尤?+丁的最小值為（）

x+2y—220

A?乎B.-C.好D.-

555

y41

2.（2022?浙江省江山中學(xué)高三期中）若實(shí)數(shù)羽〉滿足約束條件<x-yW。，貝：z=J（無一+/的最小值

2x+y+l>0

為（）

A.1B.立C.叵D.&

23

2y—x—2<0

3.（2022?云南師大附中高三階段練習(xí)（理））設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件卜x+3y-12W0,則目標(biāo)函數(shù)

x+2y+2>0

z=（x-4）2+（y-2）2的最小值為（）

A.40B.2C.4D.6

【題型五】斜率型

【典例分析】

x+y<4

（2022.甘肅.瓜州一中高三期中（文））已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（W）在不等式組卜-V2。表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其

y>0

〃一

邊界上運(yùn)動(dòng)，貝Uz=y3的最小值（）

m—5

A.4B.-C.-D.3

33

【提分秘籍】

基本規(guī)律

_y—b

形如z——,將問題轉(zhuǎn)化為（％y）與S力）連線斜率的問題。要注意以下幾點(diǎn)

bb

1.如果分子分母X,y有系數(shù)，提出來再用斜率型。如2=苴心=2二二=2k。k=一2

%—a%一口%—Q

2.注意斜率的范圍，與傾斜角的關(guān)系。簡單稱之為“直線旋轉(zhuǎn)”時(shí)斜率的范圍。

【變式演練】

x+l>0

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x,y滿足的約束條件x+y+12。，貝”=二的取值范圍是（）

X

x-j-2<0

A.[-3,1）B.S,-3]U（…）

C.[-3,3]D.（-8,-3]U[3,+8）

x-y+l>0

2.(2022.全國?高三專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)無，y滿足x+y-12。，則目標(biāo)函數(shù)z=3上的取值范圍為()

3x-,-3<02XT

A.(-oo,-l]UR+co)B.(-oo,-3]u[l,+oo)

C.[-1,3]D.[-3,1]

3x+j-3>0

3.（2021?貴州?貴陽一中高三階段練習(xí)（理））已知實(shí)數(shù)x,>滿足2x+3y-9V0,則z=f.2）的

x-2y-l<0X~

取值范圍是()

A.S，0]5L3]B.[0,l)U(l,3]

C.(^?,0]U[3,+°o)D.[0,l)u[3,^)

【題型六】不等式組含參型

【典例分析】

2x-y>Q

（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)x,y滿足，，且z=3x+y的最大值為8,則實(shí)數(shù)機(jī)的

y<-x+2m

值為（）

A.0B.1C.2D.3

【提分秘籍】

基本規(guī)律

不等式組含參，是“旋轉(zhuǎn)型”還是“平移型”，與參數(shù)位置有關(guān)。要隨時(shí)根據(jù)參數(shù)范圍確定不等式所

對(duì)應(yīng)的范圍區(qū)域。

【變式演練】

X>1

1.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)（x,y）是不等式組x+y<4表示的平面區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且目

ax+by+c>Q

標(biāo)函數(shù)z=2無+y的最大值為7,最小值為1,則把空的值為（）

a

A.2B.；C.-2D.-1

x-y-3<0,

2.（2021?河南開封?高三階段練習(xí)（文））曲線y=2"上存在點(diǎn)（羽y）滿足約束條件卜+>-320,則加的最小

y<m,

值為（）

A.1B.2C.3D.4

x>2

3.（2021.河南省杞縣高中高二階段練習(xí)（理））已知實(shí)數(shù)x,y滿足條件卜+J<4若目標(biāo)函數(shù)z=3x+y

-2x+y+c>0

的最小值為5,則c的值為（）

A.5B.10C.15D.20

【題型七】線性目標(biāo)含參

【典例分析】

（2022.安徽?壽縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若動(dòng)直線以->+。=0與區(qū)域<2x->20有交點(diǎn)，則。的

x-l<0

最大值為（）

A.-1B.-2C.1D.2

【變式演練】

1.（2022?浙江省義烏中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知X，N滿足不等式組一，,°,若依+y中有最大值，則實(shí)

[y<2

數(shù)。的取值范圍是（）

A.B.0<a<lC.a<-lD.a>l

x-2y<2,

<2x-y>2,

2.（2021?河南洛陽.高二階段練習(xí)（文））設(shè)羽y滿足約束條件,若2=%一效取得最大值的最優(yōu)

解不唯一，則a的值為（）

15

A.-1B.-1或2C.2D.一大或1

2

X>1

3.（2022.浙江.高三開學(xué)考試）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件x+yV2,若2x+y<〃2恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的

x-2y<4

取值范圍為（）

141411

A.m>一B.m<一C.m>—D.m<—

3322

【題型八】最優(yōu)解無數(shù)個(gè)型

【典例分析】

x-2y<2,

（2021?河南洛陽?高二階段練習(xí)（文））設(shè)x,y滿足約束條件，2x-yN2,,若2=彳一沖取得最大值的最優(yōu)

x+y<4,

解不唯一，則a的值為（）

A.-1B.-1或2C.2D.一,或1

2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

最優(yōu)解無數(shù)，則線性目標(biāo)函數(shù)，與約束條件區(qū)域的某一條邊所在直線平行。

【變式演練】

x+4y-1340

1.（2020?甘肅.永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高二期中（理））已知變量尤,y滿足約束條件<2y-x+l>o,且有無窮

x+y-4>0

多個(gè)點(diǎn)（龍,力使目標(biāo)函數(shù)z=x+切取得最小值，則機(jī)=（）

A.-2B.-1C.1D.4

y>-l

2.（2021?云南?麗江第一高級(jí)中學(xué)高二期中（文））變量x，y滿足約束條件，,若使z=ox+y取得

3x+y<14

最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè)，則實(shí)數(shù)。的取值集合是的（）

A.{-3,1}B.{3,-1}C.{0,1}D.{-3,0,1}

2x-y>0

3.（2022.全國?高三專題練習(xí)）實(shí)數(shù)不、>滿足不等式組x+y-220,且z=5+y（G>0）取最小值的最優(yōu)

6x+3y<18

解有無窮多個(gè)，則函數(shù)/⑺=sin[of+"的最小正周期為（）

A.2兀B.71C.—D.—

23

【題型九】含絕對(duì)值型

【典例分析】

X>1

（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知x,y滿足不等式組，x-y-l<0,關(guān)于目標(biāo)函數(shù)z=|元-y|+1x-2y-2|最

2x+y-5<0

值的說法正確的是（）

A.最小值2,最大值9B.最小值0,最大值9

C.最小值3,最大值10D.最小值2,最大值10

【提分秘籍】

基本規(guī)律

注意絕對(duì)值所在的位置，采取不同的策略：

z

1.目標(biāo)函數(shù)整體位置.如z=|ax+by|,BPz=|z0Ho=ax+by

2.單個(gè)變量位置，可以數(shù)形結(jié)合，或者分類討論

3.雙絕對(duì)值位置，較少，開分類討論。

【變式演練】

1.（2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組卜4彳+2所表示的平面區(qū)域的面

%<1

積為（）

3

A.—B.3C.1D.2

2

3x+y-6>0

2.（2022?江西.模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足，x-y+120,貝。z=|2x+”的最小值為（）

x-2y-2<0

23

A.4B.0C.—D.2

4

3.（2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知圓的方程為/+/=4,尸是圓。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若OP的

垂直平分線總是被平面區(qū)域+覆蓋，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.<7>1B.<7<1C.0<rz<lD.a<0

【題型十】均值型

【典例分析】

f1<x+y<3

（2022.河南洛陽.高二階段練習(xí)（理））已知不等式組~二1表示的平面區(qū)域的面積為S,正實(shí)數(shù)ab

<1

滿足〃+b=S,則工的最小值為（）

ab

9

A.9B.5C.-D.4

2

【變式演練】

x+y<6

1.（2022.云南普洱.高三期末（理））已知變量尤，y滿足約束條件，3y-xZ2,若目標(biāo)函數(shù)

x>l

z=ar+by（a>0,b>0）的最小值為2,則工+。的最小值為（）

ab

HQ

A.9B.—C.5D.-

22

x-y>0

r\1

2..已知實(shí)數(shù)x,丁滿足約束條件x+y<2,若2=依+外（Z,〉?！怠＃┑淖畲笾禐?,則，■二的最

ab

y>Q

小值為一.

【題型十一】向量型

【典例分析】

（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知e/,C2為平面上的單位向量，/與C2的起點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)。，切與e2夾

2+〃W1

7T

角為，.平面區(qū)域D由所有滿足0「=雞+〃/的點(diǎn)P組成，其中0?丸,那么平面區(qū)域D的面積為

A.gB.V3C.@D.在

224

【提分秘籍】

基本規(guī)律

化歸為主，把向量數(shù)量積轉(zhuǎn)為線性規(guī)劃基本型即可。特殊情況下，可以數(shù)形結(jié)合。

【變式演練】

x-y>0

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，P（〃，1）,若點(diǎn)M（x,y）為平面區(qū)域r+y?2上的

y>0

動(dòng)點(diǎn)，若麗?麗的最大值為4,則a的值為（）

A.2B.3C.2或3D.不存在

2.（2022.河南?溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4（-3,1）,若點(diǎn)M（蒼y）為平

x+y>2,

面區(qū)域，xVl,上的動(dòng)點(diǎn)，則市.兩■的取值范圍為()

A.[—1,2]B.[-2,-1]C.[1,2]D.[—2,2]

3.(2022?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí))已知AABC是邊長為3的等邊三角形，點(diǎn)。在邊上，且滿足

|而|=2|而|,點(diǎn)P在AABC邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則而.左的最大值為()

【題型十二】與函數(shù)結(jié)合型

【典例分析】

(2021?四川省綿陽南山中學(xué)高二開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=G2+bx-l(a,beR且。＞0)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中

一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則的取值范圍是()

A.—1)B.(―1,+co)C.(-1.1)D.(-2,+co)

【變式演練】

1.(2022?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù)/(x)+g辦2+26尤+c的極大值點(diǎn)占e(o,i),極小值點(diǎn)^￡(1,2),

則二的取值范圍是()

A.(—j,0)(0,—)B.-3)U(2,+oo)

C.(-3,2)D.(一吳)

32

2.(2022?北京?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=九且/(9―2y)+/(九2)40,則當(dāng)時(shí)，5的

最大值為()'—

34

A.—B.1C.—D.2

43

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知實(shí)系數(shù)一元二次方程好+(1+。M+。+匕+1=0的兩個(gè)實(shí)根為七、x2,并

b

且。＜占＜2,甚＞2,則一；的取值范圍是()

a-1

A.(-1,--)B.(-3,--]C.(-3,—1)D.^-3,--.

【題型十三】與概率命題等結(jié)合綜合應(yīng)用

【典例分析】

x-y>0

（2022?廣西河池?模擬預(yù)測(cè)（理））在區(qū)域Q：x+yW3內(nèi)任取一點(diǎn)尸（羽y）,則滿足x+yN2的概率為（）

y>0

5「4-1c2

A.-B.-C.一D.-

9933

【變式演練】

2x-y>0

1.（2022?四川?石室中學(xué)二模（理））已知不等式組x+y-”0,構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)镈命題p：對(duì)V（x,y）￡。，

x>0

都有3%-y>0；命題q：使得2x-y>0.下列命題中，為真命題的是（）

A.（「p）八（r）B.p^q

C.D.7?A（-1^）

x+y-4>0,

2.（2022.浙江湖州.高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組卜->+2〉0,,表示的平面區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)

x-4<0

是（）

A.16B.14C.12D.10

【題型十四】雙最值求參型

【典例分析】

x-y+6>0

（2020?全國?高三專題練習(xí)（理））已知實(shí)數(shù)X、>滿足<x+”0,若z=G：+y的最大值為3。+9,最

x<3

小值為3〃-3,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（-00,2]B.（-oo,4]C.[-1,1]D.[-l,+oo）

【變式演練】

2x-y+6>0,

1.（2020?江西?南昌市八一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)元，y滿足卜+〉之0,若目標(biāo)函數(shù)z=一冽x+y的

x<2,

最大值為-2加+10,最小值為-2加-2,則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.[-2,1]B.[0,2]C.（^?,-l]u[0,2]D.[-1,2]

x>l

2.（2020?四川?南充啟睿實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）已知元，>滿足卜+”4,目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最

x+Z?y+c<0

大值為7,最小值為1,則b，。的值分別為（）

A.-1,4B.-1,-3C.-2,-1D.-1,-2

真題再現(xiàn)

x+y>2,

1.（2022?全國?高考真題（文））若x,y滿足約束條件r+2y<4,則z=2x-y的最大值是（）

y>0,

A.-2B.4C.8D.12

x-2>0,

2.（2022?浙江?高考真題）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件<2x+y-7W0,則z=3x+4y的最大值是（

x-y-2<0,

A.20B.18C.13D.6

3.（2020?山東?高考真題）已知變量x,V滿足某約束條件，其可行域（陰影部分）如圖所示，則目標(biāo)函數(shù)

z=2x+3y的取值范圍是（）

C.[4,10]D.[6,10]

x+l>0

5.（2021?浙江.高考真題）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件，,則z=x-gy的最小值是（）

2x+3j-l<0一

6.（2019?全國?高考真題（文））記不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槊}pH（x,y）eD,2x+y..9；

[2x-y20

命題q:V（x,y）eE>,2x+M，12.給出了四個(gè)命題：①pvq；②③P八F；@~PH,這四個(gè)命題

中，所有真命題的編號(hào)是

A.①③B.①②C.②③D.③④

7.（2019?北京?高考真題（理））若x,y滿足且龍-1,則3x+y的最大值為

A.-7B.1C.5D.7

富,一謝系一詈三跑

篝三--承鑄雪出蒯

8.（安徽?高考真題（理））滿足約束條件,若二=〕一.取得最大值的最優(yōu)解不唯一,

則實(shí)數(shù)。的值為

A*1B.明

C.2或1D.2或-1

x+y-3<0

9.（?福建?高考真題（文））若直線y=2x上存在點(diǎn)（x,y）滿足約束條件2y-3<0,則實(shí)數(shù)m的最大

x>m

值為

3

A.-1B.1C.-D.2

2

x-2y+4>0,

10.（江蘇?高考真題）己知實(shí)數(shù)x，y滿足｛2x+y-2Z0,則f+y2的取值范圍是.

3x—）—3W0,

x+y-2>0

11.（?安徽?高考真題（文））不等式組｛x+2y-4W0表示的平面區(qū)域的面積為.

x+3y-2>0

12.（2021?湖南.高考真題）某學(xué)校租用A,B兩種型號(hào)的客車安排900名學(xué)生外出研學(xué).A,B兩種車輛的載

客量與租金如下表所示：

車輛型號(hào)載客量（人/輛）租金（元/輛）

A603600

B362400

學(xué)校要求租車總數(shù)不超過23輛，且A型車不多于B型車7輛.該學(xué)校如何規(guī)劃租車，才能使租金最少？并

求出租金的最小值.

正模擬檢測(cè)

2x+y-6<0,

1.（2022.全國?高三專題練習(xí)）不等式組卜+y-320,表示的平面區(qū)域的面積為（

”2,

A.1B.《C.2D.-

22

x-y>0

2x+y<2

2..（2022?全國?高三專題練習(xí)）若不等式組、;，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則。的取值范圍是