中考數(shù)學(xué)必刷題考點分類專練：動點綜合問題（解析版）

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點分類專練（全國通用）

專題29動點綜合問題

一、單選題

1.（2022?山東濰坊?中考真題）如圖，在口/5CZ）中，44=60。，AB=2,40=1,點、E,尸在％BCD的邊上，

從點/同時出發(fā)，分別沿NtBtC和/-DfC的方向以每秒1個單位長度的速度運動，到達點C時停止,

線段防掃過區(qū)域的面積記為了，運動時間記為x,能大致反映〉與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

分0W爛1,l<x<2,29W3三種情況討論，利用三角形面積公式求解即可.

【詳解】

:乙4=60°,AE=AF=x,

-'■AG=^x,

由勾股定理得尸G呼x,

.啟然沏當(dāng)2,圖象是一段開口向上的拋物線;

24

當(dāng)l<x<2時，過點D作DHLAB于點H,

■■■/JDAH=60°,AE=x,AD=1,DF=x-l,

.必儲,

由勾股定理得?！?空，

??.TDF+AE)XDH專笠,圖象是一條線段;

當(dāng)2<x<3時，過點E作EILCD于點/,

?."=9/2=60°,CE=CF=3-x,

同理求得EI卷G-x),

-.y=ABxDH上萬*￡/=百率(3b)2=孚2+塔學(xué)，圖象是一段開口向下的拋物線；

觀察四個選項，只有選項A符合題意，

故選：A.

【點睛】

本題考查了利用分類討論的思想求動點問題的函數(shù)圖象；也考查了平行四邊形的性質(zhì)，含30度的直角三角

形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式以及一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象.

2.(2022?湖北鄂州?中考真題)如圖，定直線A/MP。，點8、C分別為兒W、P。上的動點，且3C=⑵BC

在兩直線間運動過程中始終有N2CQ=60。.點/是“N上方一定點，點。是尸。下方一定點，且/EILBCII

DF,AE=4,DF=8,40=24b，當(dāng)線段2C在平移過程中，4B+CD的最小值為()

A.24V13B.24V15C.12V13D.12V15

【答案】C

【解析】

【分析】

如圖所示，過點尸作F”IICD交BC于H,連接EH,可證明四邊形CDFH是平行四邊形，得至UCH=DF=3,

CD=FH,則AH=4,從而可證四邊形是平行四邊形，得至【J即可推出當(dāng)￡、尸、H三點共線時，

EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF,延長AE交PQ于G,過點E作ETLPQ于T,過點A作AL1PQ

于3過點。作。K1P0于K,證明四邊形8EGC是平行四邊形，乙EGT=LBCQ=60。,得到EG=3C=12,然

后通過勾股定理和解直角三角形求出￡7和7F的長即可得到答案.

【詳解】

解：如圖所示，過點尸作FHIICD交BC于，，連接￡〃，

■.-BCWDF,FHWCD,

???四邊形CDW是平行四邊形，

:.CH=DF=8,CD=FH,

；.BH=4,

.■.BH=AE=4,

^?■AEWBC,

四邊形/汨是平行四邊形，

■■.AB=HE,

■-EH+FH>EF,

???當(dāng)從F、〃三點共線時，EW+HF有最小值環(huán)即/B+CZ）有最小值斯，

延長4E交尸。于G,過點E作ET1尸。于T,過點/作尸。于￡,過點。作。K1尸。于K,

?：MN\\PQ,BC\\AEf

???四邊形BEGC是平行四邊形,Z-EGT=Z.BCQ=6Q0,

：.EG=BC=12,

；.GT=GE-cosZ.EGT=6,ET=GE?sinZ-EGT=6V3?

同理可求得G￡=8,AL=8V3，KF=4,DK=4g,

??.TL=2,

-AL1.PQ,DKA.PQ,

.'.ALWDK,

?,3LOFDKO,

:.——AL=——AO=2r,

DKDO

：.A0=^AD=16V3,DO=^AD=8后

■■OL=y/AO2—AL2=24,OK=VDO2—DK2=12,

：.TF=TL+OL+OK+KF=42,

■■EF=7ET2+TF2=12V13-

故選C.

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正確作

出輔助線推出當(dāng)E、F、//三點共線時，瓦什/小有最小值E尸即4B+CD有最小值即是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?四川樂山?中考真題）如圖，等腰A43C的面積為2g，AB=AC,BC=2.作4E||2C且4E冬C.點

P是線段上一動點，連接PE,過點E作PE的垂線交2C的延長線于點尸，M是線段E尸的中點.那么,

當(dāng)點尸從/點運動到2點時，點M的運動路徑長為()

A.V3B.3C.2V3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

當(dāng)尸與/重合時，點F與C重合，此時點”在N處，當(dāng)點尸與2重合時，如圖，點”的運動軌跡是線段

MN.求出庭的長即可解決問題.

【詳解】

解：過點/作NO18C于點。，連接CE,

?:AB=AC,

1

:.BD=DC與C=\,

■：AE=^BC,

：.AE=DC=1,

"AEWBC,

???四邊形/ECD是矩形，

.?.SA/18C=18Cx/Z)=|x2xAD=2g,

：.AD=2^,則CE=/D=2后

當(dāng)尸與4重合時，點尸與C重合，此時點M在CE的中點N處，

當(dāng)點尸與2重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段MV.

■：BC=2,CE=2后

由勾股定理得3E=4,

cosZ￡5C=g=g,即；羨

:.BF=3,

；.CF=BF-BC=6,

???點N是CE的中點，點〃是斯的中點，

1

.-.MN=jCF=3,

???點河的運動路徑長為3,

故選：B.

【點睛】

本題考查點的軌跡、矩形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點M的

運動軌跡，學(xué)會利用起始位置和終止位置尋找軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題.

4.（2022?湖北恩施?中考真題）如圖，在四邊形/5CD中，^=乙8=90。，4D=10cm,BC=8cm,點尸從點。

出發(fā)，以lcm/s的速度向點/運動，點M從點8同時出發(fā)，以相同的速度向點C運動，當(dāng)其中一個動點到

達端點時，兩個動點同時停止運動.設(shè)點P的運動時間為/（單位：s）,下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)t=4s時，四邊形48Mp為矩形

B.當(dāng)t=5s時，四邊形CDPM為平行四邊形

C.當(dāng)CD=PM時，t=4s

D.當(dāng)CD=PM時，t=4s或6s

【答案】D

【解析】

【分析】

計算/P和的長，得到4P矩跖判斷選項A；計算產(chǎn)。和CM的長，得到尸々CM,判斷選項B；按

PM=CD,且尸河與CD不平行，或尸A/=CD,且PMICD分類討論判斷選項C和D.

【詳解】

解：由題意得尸。=3AP=AD-PD=10-t,BM=t,CM=S-t,乙4=必=90。，

/、當(dāng)t=4s時，4P=10-片6cm,W=4cm,AP^BM,則四邊形/BMP不是矩形，該選項不符合題意；

B、當(dāng)t=5s時，PD=5cm,CM=S-5=3cm,PD豐CM,則四邊形不是平行四邊形，該選項不符合題意

作CE1AD于點E,貝ljNCE/="=N3=90。，

???四邊形N2CE是矩形，

；.BC=AE=8cm,

???DE=2cm,

PM=CD,且尸。與CD不平行，作MRL4。于點尸，CEL4D于點E,

???四邊形CEFM是矩形，

??.FM=CE：

-.RtAPFM=RtADEC(HL),

；.PF=DE=2,EF=CM=8-t,

???4P=10-4-(8-￡)=10-￡,

解得t=6s；

PM=CD,且PM|C￡),

???四邊形CDPM是平行四邊形,

■■.DP=CM,

解得t=4s；

綜上，當(dāng)尸M=CD時，/=4s或6s；選項C不符合題意；選項D符合題意；

故選：D.

【點睛】

此題重點考查矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助

線，應(yīng)注意分類討論，求出所有符合條件的/的值.

5.（2022?黑龍江?中考真題）如圖，正方形4BCD的對角線/C,2。相交于點O,點尸是CD上一點，OE1

OF交BC于點、E,連接BF交于點、P,連接OP.則下列結(jié)論①4E1BF；@^OPA=45°；@AP-BP

=V2OP：④若BE:CE=2:3,貝UtanNC4E=，⑤四邊形OEC尸的面積是正方形/BCD面積的;.其中正確

的結(jié)論是（）

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤

【答案】B

【解析】

【分析】

分別對每個選項進行證明后進行判斷：

①通過證明△DOF經(jīng)△C0EQ4S2)得至I]EC=FD,再證明△瓦4c三△FBD(SAS)得至！JNE4C=NF5D,從而證明

^BPQ=ZAOQ=90°,即2E1BF；

②通過等弦對等角可證明NOP力=N0B4=45°；

③通過正切定義得tanNB4E=啜=空，利用合比性質(zhì)變形得到力P—BP=駕，再通過證明

-ADArDC,

4EC得到以=誓，代入前式得4P—位=嘯總最后根據(jù)三角形面積公式得到力E-BP=48?BE,整

AOAOBE

體代入即可證得結(jié)論正確；

④作EG1/C于點G可得￡G|山O,根據(jù)tanNC4E=^=。^；,設(shè)正方形邊長為5a,分別求出EG、AC,

A(JAC-C(j

CG的長，可求出tanzC71E=m，結(jié)論錯誤；

⑤將四邊形OECF的面積分割成兩個三角形面積，利用△DOF=△COEQASA),可證明S四邊形

即可證明結(jié)論正確.

OECF=SACOE+SACOF=SADOF+SACOF=SACOD

【詳解】

①???四邊形488是正方形，。是對角線NC、AD的交點，

：.OC=OD,OCLOD,AODF=AOCE=45°

,-'OE1OF

工乙DOF+dOC=dOC+乙EOC=90。

???乙DOF=^EOC

在尸與△口?￡*中

(Z.ODF=Z-OCE

OC=OD

("OF=(EOC

??.△DOF=△COE(ZSZ)

：,EC=FD

(EC=FD

???在與AFBD中|Z-ECA=乙FDB=45°

IAC=BD

???△EAC^△FBD(SAS)

：^EAC=LFBD

又???ABQP=UQO

；/BPQ=UOQ=9Q°

.-.AELBF

所以①正確;

@-：/-A0B=/-APB=9Q°

:點尸、。在以N8為直徑的圓上

以。是該圓的弦

：./.OPA=乙OBA=45°

所以②正確;

③?而4四=喋=黑

ABAP

AB-BEAP-BP

BEBP

AP-BP_CE

BP~~BE

4r*nr?CE-BP

.??AP—BP=F

^^EAC=^OAPf^OPA=/-ACE=45°

.'.AAOP-AAEC

OP_AO

~CE~~AE

OPAE

1?CE=———

AO

4cncOPAEBP

MP-BP=s

AO-BE

■.^AE-BP^IAB-BE^SAABE

ME-BP=AB-BE

MP—BP=喘冷抑P=?OP

所以③正確;

④作EGL4C于點G,則￡G|山O,

tEG_CE_CG

"~OB~~BC~~OC

設(shè)正方形邊長為5a,則8c=5a,OB=OC=^a,

若BE:CE=2:3,則需=|，

CE3

.BE+CE_2+3

CE

,CE_3

"BC"5

■■.EG=—?OB=|x也a=迪a

BC522

-EGVAC,4C5=45。，

.?ZGEC=45。

：.CG=EG=^-a

2

4口EGEG乎a3

-'-tanZ-CAE=—="方=—廠2萬=-

AGAC-CGS\[2a—7

所以④錯誤；

⑤???△DOF=△COE{ASA),S四邊形OECF=S《OE+S^COF

四邊形

???SOECF=SADOF+SACOF=SACOD

,：SACOD=^正方形ZBCD

???S四邊形OECF=^正方形ABCD

所以⑤正確；

綜上，①②③⑤正確，④錯誤，

故選B

【點睛】

本題綜合考查了三角形、正方形、圓和三角函數(shù)，熟練運用全等三角形、相似三角形、等弦對等角和三角

函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?廣西玉林?中考真題）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形48CDEF

的頂點/處.兩枚跳棋跳動規(guī)則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘

跳1個頂點，兩枚跳棋同時跳動，經(jīng)過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是（）

A.4B.2V3C.2D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意可分別求出經(jīng)過2022秒后，紅黑兩枚跳棋的位置，然后根據(jù)正多邊形的性質(zhì)及含30度直角三角形

的性質(zhì)可進行求解.

【詳解】

解：???2022+3=674,2022-1=2022,

???6744-6=112??…2,2022+6=337,

??.經(jīng)過2022秒后，紅跳棋落在點/處，黑跳棋落在點E處，

連接過點尸作尸GL4E于點G,如圖所示：

在正六邊形4BCDEF中，AF^EF^2,^AFE=120°,

：.AG=^AE,/.FAE=/.FEA=30°,

,-.FG=^AF=1,

■■AG=7AF2一FG2=V3>

■-AE=2痘,

故選B.

【點睛】

本題主要考查圖形規(guī)律問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握圖形規(guī)律

問題、勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)及正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?廣西?中考真題）如圖，在△ABC中，CA=CB=4,ABAC=a,將△4BC繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)2a,

得到△AB'C',連接B'C并延長交于點。，當(dāng)8'DIAB時，麗7的長是（）

B'

A.馬B.烏C.嗎D.』

3399

【答案】B

【解析】

【分析】

先證NB'AD=60。，再求出N8的長，最后根據(jù)弧長公式求得而7.

【詳解】

解：■：CA=CB,B'DVAB,

.-.AD=DB=\AB,

???△AB'C'是△4BC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)2a得到，

：.AB=AB',AD=^AB',

在RtAAB'D中，cos^.B'AD=空=”,

AB2

???乙B'AD=60°,

???Z-CAB=a/B'AB=2a,

；.MAB=^B'AB=1x60°=30°,

???aC=BC=4,

???AD=XC-cos30°=4x苧=2通,

AB=2AD=4V3，

,麗7的長式鬻=竽兀，

lot)3

故選：B.

【點睛】

本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，弧長公式，正確運算三角函數(shù)定義求線

段的長度是解本題的關(guān)鍵.

8.(2022?江蘇蘇州?中考真題)如圖，點/的坐標(biāo)為(0,2),點3是x軸正半軸上的一點，將線段N2繞點/

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段/C.若點C的坐標(biāo)為(犯3),則加的值為()

A型B2星c旭D4伍

-3-333

【答案】c

【解析】

【分析】

過C作CD1X軸于。，CEQ軸于E,根據(jù)將線段AB繞點/按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段NC,可得AA2C

是等邊三角形，又A(0,2),C(w,3),即得力C=用小2+1=BO=4B,可得8。=限匚標(biāo)=

Vm2—8?OB=AB2—OA2=Vm2—3,從而/??!？—3+Vm2—8=M，即可解得m

【詳解】

解：過。作CQlx軸于，CEQ軸于￡,如圖所示:

CDLx軸，CELy軸，

:.乙CDO=^CEO=3OE=90°,

???四邊形EODC是矩形，

???將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段AC,

-'-AB=AC,乙&4C=60°,

??.A4BC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,

-A(0,2),C(m,3),

:.CE=m=OD,CD=3,OA=2,

：,AE=OE-OA=CD-OA=1,

'?AC—7AE?+CE2—Vzn2+1—BC—AB,

在RtA5CZ)中，BD=yjBC2-CD2=Vm2-8^

在RtA4O3中，OB='AB?_0.2=而2_3,

??,OB~\~BD=OD=m,

?'?Vm2—3+Vm2—8=n

化簡變形得：3加4-22加2—25=0,

解得：6=竽或爪=—竽(舍去)，

.vm=苧，故C正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理，用含“的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長

度.

9.（2022?遼寧?中考真題）如圖，在中，乙48C=90。/8=28C=4,動點尸從點/出發(fā)，以每秒

1個單位長度的速度沿線段4B勻速運動，當(dāng)點尸運動到點3時，停止運動，過點P作PQ14B交AC于點

將△4PQ沿直線PQ折疊得到△A,PQ,設(shè)動點P的運動時間為/秒，△4PQ與△4BC重疊部分的面積為S,

則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意易得4P=t,tanz/l=p則有PQ=#,進而可分當(dāng)點P在48中點的左側(cè)時和在42中點的右側(cè)時,

然后分類求解即可.

【詳解】

解：vzXBC=90°,AB=2BC=4,

???tan乙4=

由題意知：AP=t,

.?.PQ=AP-tanzX=1t,

由折疊的性質(zhì)可得：A,P=AP,^APQ=N4PQ=90°,

當(dāng)點尸與中點重合時，則有t=2,

當(dāng)點尸在N8中點的左側(cè)時，即0Wt<2,

△4PQ與△4BC重疊部分的面積為SMPQ=%P.PQ=#*=#2；

當(dāng)點尸在中點的右側(cè)時，即2W1W4,如圖所示：

由折疊性質(zhì)可得：A'P=AP=t,/.APQ=Z-A'PQ=90°,tanzX=tanzX'=p

??.BP=4—t,

??A'B—2t—4-）

；.BD=A'B?tan4T=t—2,

△4PQ與△ABC重疊部分的面積為S梯形PBDQ=|（BO+PQ）-PS=+t-2）-（4-t）--|t2+4t-4；

綜上所述：能反映△4PQ與△ABC重疊部分的面積S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象只有D選項；

故選D.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的圖象及三角函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?貴州遵義?中考真題）遵義市某天的氣溫yi（單位：℃）隨時間t（單位：h）的變化如圖所示，

設(shè)及表示0時到t時氣溫的值的極差（即0時到t時范圍氣溫的最大值與最小值的差），則及與t的函數(shù)圖象大

致是（)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)為圖象逐段分析，進而即可求解.

【詳解】

解：???根據(jù)函數(shù)外圖象可知，從0時至5時，及先變大，從5到10時，外的值不發(fā)生變化

大概12時后變大，從14到24時，丫2不變，

???乃的變化規(guī)律是，先變大，然后一段時間不變又變大，最后不發(fā)生變化,

反映到函數(shù)圖象上是先升，然后一段平行于久的線段，再升，最后不變

故選A

【點睛】

本題考查了函數(shù)圖象，極差，理解題意是解題的關(guān)鍵.

11.（2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖①所示（圖中各角均為直角），動點P從點/出發(fā),以每秒1個

單位長度的速度沿/-5—。一。一￡路線勻速運動，AAFP的面積/隨點P運動的時間x（秒）之間的函數(shù)

關(guān)系圖象如圖②所示，下列說法正確的是()

?A

圖①

A.AF=5B.AB=4C.DE=3D.EF=8

【答案】B

【解析】

【分析】

路線為-C-DfE,將每段路線在坐標(biāo)系中對應(yīng)清楚即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：坐標(biāo)系中(4,12)對應(yīng)點運動到2點

A\-------y\B

/C-------------\D

AB=v-t=lx4=4

B選項正確

1

^AABF=2AB'AF

即：12=；X4-AF

解得：AF=6

A選項錯誤

12-16s對應(yīng)的DE段

=v-△t=1x(16-12)=4

C選項錯誤

6~12s對應(yīng)的CD段

CD=v-△t=1X(12-6)=6

EF=AB+CD=4+6=10

D選項錯誤

故選：B.

【點睛】

本題考查動點問題和坐標(biāo)系，將坐標(biāo)系中的圖象與點的運動過程對應(yīng)是本題的解題關(guān)鍵.

12.（2022?湖北武漢?中考真題）如圖，邊長分別為1和2的兩個正方形，其中有一條邊在同一水平線上，

小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形，設(shè)穿過的時間為大正方形的面積為Si，小正方形與大

正方形重疊部分的面積為S2,若5=51—S2,則S隨/變化的函數(shù)圖象大致為（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，設(shè)小正方形運動的速度為匕分三個階段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形

穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分別求出S,可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)小正方形運動的速度為V,由于V分三個階段；

①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2x2-vfxl=4-vf（v/<l）；

②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2x2-lxl=3；

③小正方形穿出大正方形，S=2*2-（lxl-叱）=3+vt

分析選項可得，A符合，C中面積減少太多，不符合.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決此類問題，注意將過程分成幾個階段，依次分析各個階段得變

化情況，進而綜合可得整體得變化情況.

13.（2022?甘肅武威?中考真題）如圖1,在菱形4BCD中，乙4=60。，動點P從點4出發(fā)，沿折線AD-OCfCB

方向勻速運動，運動到點B停止.設(shè)點P的運動路程為x,△APB的面積為y,y與x的函數(shù)圖象如圖2所示,

則的長為（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)圖1和圖2判定三角形為等邊三角形，它的面積為3舊解答即可.

【詳解】

解：在菱形48c。中，乙4=60。，

圖1

???△ABD為等邊三角形,

設(shè)48=。，由圖2可知，A4AD的面積為3舊，

：./\ABD的面積=^-a2-3V3

解得：。=28

故選B

【點睛】

本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)菱形的性質(zhì)和函數(shù)圖象，能根據(jù)圖形得出正確信息是解此題的關(guān)

鍵.

第II卷（非選擇題）

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二、填空題

14.（2022?山東煙臺?中考真題）如圖1,A48C中，zA8C=60。，。是3c邊上的一個動點（不與點3,C

重合），DEWAB,交4c于點、E,EF\\BC,交48于點尸.設(shè)AD的長為x,四邊形3。斯的面積為丹y與x

的函數(shù)圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點尸的坐標(biāo)為（2,3）,則的長為.

【答案】2V3

【解析】

【分析】

根據(jù)拋物線的對稱性知，BC=4,作FH1BC于H,當(dāng)2。=2時，口8DE尸的面積為3,則此時8尸=仃，

AB=2BF,即可解決問題.

【詳解】

解：,?,拋物線的頂點為（2,3）,過點（0,0）,

■,■x=4時，y=0,

??.8C=4,

作下7715。于77,當(dāng)2。=2時，口2。斯的面積為3,

圖1

?：3=2FH,

:?FH=；3

■：^ABC=60°,

???5尸=二—=同

sin60°

"DEWAB,

:.AB=2BF=25

故答案為：2b.

【點睛】

本題主要考查了動點的函數(shù)圖象問題，拋物線的對稱性，平行四邊形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識,

求出3c=4是解題的關(guān)鍵.

15.（2022?湖北黃岡?中考真題）如圖1,在418c中，￡B=36°,動點尸從點/出發(fā)，沿折線N—B—C勻

速運動至點C停止.若點尸的運動速度為lcm/s,設(shè)點P的運動時間為/（s）,N尸的長度為y（cm）,y與/

的函數(shù)圖象如圖2所示.當(dāng)4P恰好平分乙B/C時，f的值為

【答案】2V5+2##2+2V5

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)圖像可得48=4=3C,作乙B/C的平分線40,乙8=36?？傻靡?c=36。，進而得到

BAC,由相似求出8。的長即可.

【詳解】

根據(jù)函數(shù)圖像可得43=4,AB+BC=S,

；.BC=AB=4,

???Z5=36O,

.?2Ba4=NB4C=72。，

作乙B/C的平分線AD.

"BAD=3AC=36°=N8,

：.AD=BD,NBG4=NZMC=72。,

：.AD=BD=CD,

設(shè)4D=BD=CD=x,

?."/C=乙8=36°,

AADC-ABAC,

tAC_DC

??麗一就'

“4-x

■,,4=-T）

解得：M=-2+2-\/5^<*2=-2-2-\/5（舍去），

,-.AD=BD=CD=2y/5-2,

此時t=誓￡=2而+2⑸，

故答案為：2席+2.

【點睛】

此題考查了圖形與函數(shù)圖象間關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程，關(guān)鍵是證明△ADC-A

BAC.

16.（2022?廣西?中考真題）如圖，在正方形/BCD中，AB=4四,對角線相交于點。點￡是對角

線/C上一點，連接BE,過點E作EF1BE,分別交CD,BD于點尸、G,連接2R交AC于點、H,將△EF”

沿￡尸翻折，點〃的對應(yīng)點H'恰好落在上，得到△EFH'若點尸為CD的中點，則△EGH'的周長是

AD

【答案】5+V5##V5+5

【解析】

【分析】

過點E作PQHAD交AB于點P,交DC于點。，得到BP=CQ,從而證得△BPE三△EQF,得到BE=EF,

再利用BC=4VL尸為中點，求得BF=7BC2+CF2=2國,從而得到BE=EF=智=2而，再求出E。=

7BE2—BO2=2,再利用AB〃尸C,求出△aBHsaCFH,得到平求得4H=|x8=?,CH=

2V2O!■33

|x8=|,從而得到￡//=4/-/￡=丹一2=多再求得△EOBs^GOE得到黑=字=3=，求得反?=遮，

33332V5z4Z

OG=1,過點/作FA/UC于點M,作FN1OD于點N,求得FA7=2,MH=^,FN=2,證得Rf△FH'N三Rt△

FMH得到9N=M”=I，從而得到ON=2,NG=1,G//,=|+1=|,從而得到答案.

【詳解】

解：過點E作尸。///。交4B于點P交。。于點°,

-AD//PQ,

：.AP=D。,乙BPQ=/LCQE,

：.BP=CQ,

???乙4CD=45°,

:?BP=CQ=EQ,

-EFLBE,

；/PEB+4FEQ=90°

,?ZPBE+乙PEB=90°

；/PBE=Z-FEQ,

在△"￡*與△EQF中

ZBPQ=Z-FQE

PB=EQ

Z-PBE=乙FEQ

??.△BPE=△EQF,

；.BE=EF,

又:BC=AB=4a,方為中點,

??.CF=2立，

-BF=yjBC2+CF2=2V10，

.■.BE=EF=智=2信

,'?E0—7BE2—BO2=2,

；.AE=AO-EO=4-2=2,

?:AB“FC,

AABHFCFH,

tAB_AH

''~CF~~CH'

.4V2_AH_2

?塞一下一『

Vi4C=y[2AB—8,

.-.AH=|x8=y,

CH=|x8=|,

：.EH=AH-AE=^-2=y,

,:乙BEO+Z-FEO=90°,

乙BEO+(EBO=90°,

??/FEO=Z.EBO,

又???4EOB=4EOG=90。,

??.△EOBGOE

EG_OG_OE

~BE~~OE~~OB9

EGOG21

2V5

??.EG=GOG=1,

過點尸作91/C于點必

:.FM=MC=/^=2,

V2

：.MH=CH-MC^-2=|,

作FN1OD于點N,

DF

FN=L"

在Rt△FHW與Rt△FMH中

(FHr=FH

iFN=FM

.-.Rt△FH'NzRt△FHM

2

；HN=MH=§

：.ON=2,NG=3

2S

■"■GH'——+1——,

△EGH,=EH，+EG+GH'=EH+EG+GH=三+V^+|'=5+V^,

故答案為：5+V5.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)應(yīng)用，重點是與三角形相似和三角形全等的結(jié)合，熟練掌握做輔助線是解題的關(guān)

鍵.

17.（2022?四川廣元?中考真題）如圖，直尺48垂直豎立在水平面上，將一個含45。角的直角三角板CDE

的斜邊0E靠在直尺的一邊48上，使點E與點/重合，DE=12cm.當(dāng)點。沿ZX4方向滑動時，點E同時

從點/出發(fā)沿射線/尸方向滑動.當(dāng)點?；瑒拥近c/時，點C運動的路徑長為cm.

【答案】（24-12立）

【解析】

【分析】

由題意易得CD=CE=^E=6?cm,則當(dāng)點。沿方向下滑時，得到△ZTCE,過點C作CW1HB于點

N,作。Ml4產(chǎn)于點然后可得△〃（?可三△￡￡，〃，進而可知點。沿ZU方向下滑時，點。在射線/C

上運動，最后問題可求解.

【詳解】

解：由題意得：乙DEC=45。，DE=12cm,

■.CD=CE=字）E=6V2cm,

如圖，當(dāng)點。沿N方向下滑時，得到△D￡E,過點C作。NL4B于點N,作（7M1AF于點跖

■：^DAM=9Q°,

???四邊形AMMO是矩形，

；/NCM=9Q°,

■■.AD'C'N+乙NCE'=ANC'E'+^E'C'M=90°,

■■■/.D'C'N=/.E'C'M,

■■■D'C=E'C'Q'NC=Z-E'MC=90°,

；?AD'CNmAE'CM,

；.C'N=CM,

■■■C'N1AB,CMLAF,

???40平分

即點。沿以方向下滑時，點C，在射線/C上運動，

二當(dāng)。。14B時，此時四邊形（7。71斤是正方形，CC的值最大，最大值為AD—AC=（12—6金）51,

???當(dāng)點D滑動到點A時，點C運動的路徑長為2x（12-6立）=（24-12V2）cm；

故答案為（24-12五）.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的判定定理，

熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的判定定理是解題

的關(guān)鍵.

18.（2022?湖北隨州?中考真題）如圖1,在矩形月BCD中,AB=8,AD=6,E,尸分別為48,4D的中點,

連接斯.如圖2,將A4E廠繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)角0（0＜。＜90。），使EF14D,連接3E并延長交。尸于點

H,則A8HD的度數(shù)為，D”的長為

圖1圖2

【答案】90。##90度喑##|西

【解析】

【分析】

設(shè)￡/交/。于點M,BH交AD于點、N,先證明ZV1DFSA48￡,可得乙4DF=UBE,可得

乙BHD=&BAD=9Q°；然后過點￡作EG1N8于點G,可得四邊形NMEG是矩形，從而得到￡G=/M,

AG=ME,乙ABE=LMEN,然后求出EG=4M=答，再利用銳角三角函數(shù)可得tan/ZEF=弟=今從而得到

AM

AG=ME=ACI7=進而得到BG=4B—AG=8—￥=W，可得到tanNMEN=tanN4BE=M=:從

tanz.AEF555BG2

而得到MN=￡,進而得到DN=2,即可求解.

【詳解】

解：如圖，設(shè)EF交AD于點、M,BH交AD于點、N,

根據(jù)題意得：ABAE=^DAF,^EAF=90°,AF==3,AE=^AB=4,

,AE_3

^~AF~4

在矩形48c〃中，AB=8,AD=6,ABAD=90°,

,AD_3

??布-7：

；&DF?AABE,

工乙ADF=cABE,

?“NB=3NH,

工乙BHD=(BAD=900；

如圖，過點￡作近51/5于點G,

-.^AGE=/-AME=/LBAD=90°,

???四邊形/MEG是矩形，

??.EG=AM,AG=ME,ME\\AB,

：./-ABE=/.MEN,

在中，EF=y/AE2+AF2=5,

.??tanZi4EF=鋁='，

AE4

■■SAAEF=\AM-EF=\AE-AF,

???EG=AM若12，

ACA"AM16

?-AG=ME=----=—,

tanz.AEF5

??.BG=AB-4G=8-16藍=24年，

EG1

??.tan^MEN=tan^ABE=會=，

BG2

MN1?,-8

??.就，，Rn即MrN=『

：.DN=AD-AM-MN=2f

■.Z.ADF=Z.ABE,

1

.?.tanzXDF=tanZ-ABE-

即DH=2HN,

)

-：DH2+HN2=DH2+@DH2=DN2=4,

解得：警或—警（舍去）.

故答案為：90。，竽

【點睛】

本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直

角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.（2022?江蘇蘇州?中考真題）如圖，在矩形/BCD中槳='.動點M從點/出發(fā)，沿邊4D向點。勻速

運動，動點N從點3出發(fā)，沿邊5c向點C勻速運動，連接兒W.動點N同時出發(fā)，點M運動的速度

為巧，點N運動的速度為"2，且巧＜"2.當(dāng)點N到達點C時，M,N兩點同時停止運動.在運動過程中，

將四邊形M43N沿翻折，得到四邊形M4BW.若在某一時刻，點2的對應(yīng)點所恰好在CD的中點重合,

則：的值為

------

【答案】I

【解析】

【分析】

在矩形/BCD中黑=3設(shè)48=2a,BC=3a,運動時間為t,得到CD=AB=2a/D=BC=3a,BN=以1/時

=Vit,利用翻折及中點性質(zhì)，在Rt△/CN中利用勾股定理得到叩=,a=BN,然后利用AEDq?△9CN得

到DE=,a=4E,在根據(jù)判定的A4EM得至（JAM==a,從而代值求解即可.

【詳解】

解：如圖所示:

在矩形/5CD中蕓=：設(shè)力B=2a,BC=3a,運動時間為t,

DCD

CD=AB—2a,AD=BC=3a,BN=V2t,AM=v1t,

在運動過程中，將四邊形M45N沿翻折，得到四邊形M4夕N,

f

??.BN=BN=v2t,A'M=AM—

若在某一時刻，點B的對應(yīng)點夕恰好在CD的中點重合，

???DBr—B'C=a,

r

在Rt△夕CN中，Z-C=90°,B/C=a,BN=v2t,CN=3a—v2t9則u2t==BN,

vZ-A'B'N=Z-B=90°,

???/-A'B'D+乙CB，N=90°,

v^CNB'+(CBN=90°,

???乙ABD=Z.CNBr,

??.AEDB'?XBtN,

.DE__空____3

??DB'~~CN~BC-BN-3a-ia-4f

DB，=BrC—a,

2

???DE=.DB，=則B,E=J(DBy+DE2=Ja2+ga)=^a,

coo

???A'E=A'B'—B'E=2a--a=-a,即DE=-a=A'E,

444

在A4EM和ADE夕中，

"=4=90。

A'E=DE

^A'EM=乙DEB，

/HA'EMBADE9(AS/),

?,.A'M—BrD—a,即ZM=v^t—a,

.Zi_￡i￡_^￡_-_2

??v2~v2t~~BN~g，

故答案為：

【點睛】

本題屬于矩形背景下的動點問題，涉及到矩形的性質(zhì)、對稱性質(zhì)、中點性質(zhì)、兩個三角形相似的判定與性

質(zhì)、勾股定理及兩個三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定，求出相應(yīng)線段長是解

決問題的關(guān)鍵.

20.(2022?四川自貢?中考真題)如圖，矩形/BCD中，ZB=4,BC=2,G是40的中點，線段EF在邊上

左右滑動；若EF=1,貝！JGE+CF的最小值為.

【答案】3V2

【解析】

【分析】

如圖，作G關(guān)于N8的對稱點G，，在CD上截取C〃=l,然后連接"G交N5于￡,在￡3上截取EP=1,此

時GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF,再由勾股定理求

出77G的長，即可求解.

【詳解】

解:如圖，作G關(guān)于48的對稱點G）在CD上截取C〃=l,然后連接“G交48于E,在班上截取￡尸=1,

此時GE+CF的值最小，

：.G'E=GE,AG=AG',

,??四邊形N8CD是矩形，

：.AB\iCD,AD=BC=2

.-.CH\\EF,

■：CH=EF=\,

???四邊形EFCH是平行四邊形，

：.EH=CF,

：.G'H=EG'+EH=EG^CF,

■.■AB=4,BC=AD=2,G為邊N。的中點,

■■.AG=AG'=1

：.DG'=AD+AG'=2+1=3,DH=4-1=3,

■■HG'=yjDH2+DG'2=A/32+32=3五,

即GE+CF的最小值為32.

故答案為：3魚

【點睛】

此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，確定GE+C尸最小時E,F位

置是解題關(guān)鍵.

21.（2022?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，。。是△A8C的外接圓，AC為直徑，若4B=2g，8c=3,點P

從8點出發(fā)，在△ABC內(nèi)運動且始終保持NC8P=NB4P,當(dāng)C,P兩點距離最小時，動點P的運動路徑長為

【答案】爭.

【解析】

【分析】

根據(jù)題中的條件可先確定點P的運動軌跡，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定CP的長最小時點尸的位置，進

而求出點P的運動路徑長.

【詳解】

解：???4C為。。的直徑，

???^ABC=90°.

???AABP+乙PBC=90°.

???/-PAB—Z.PBC,

：.APAB+"BP=90°.

NAPB=90°.

.?.點尸在以N3為直徑的圓上運動，且在△48C的內(nèi)部，

如圖，記以48為直徑的圓的圓心為內(nèi),連接。iC交OOi于點P,連接。iP,CP.

A

O

???CPNOiC—OiP,

???當(dāng)點。1，P,C三點共線時，即點尸在點P處時，CP有最小值，

■：AB=2V3

；.O1B=V3

Be3_

在7?必8。。1中，tanzBOiC=y—z=—=V3.

V3

???48。1。=60°.

???CP兩點距離最小時，點P的運動路徑長為爭.

【點睛】

本題主要考查了直徑所對圓周角是直角，弧