微專題 利用“垂線段最短”求最值

數(shù)學(xué)

貴州專版2025第七章圖形與變換微專題利用“垂線段最短”求最值(2020·9)第七章圖形與變換欄目導(dǎo)航“一動(dòng)一定”型類型一“兩動(dòng)一定”型類型二“一動(dòng)兩定”型(“胡不歸”問題)類型三常見設(shè)問：如圖，已知直線外一定點(diǎn)A，直線上一動(dòng)點(diǎn)B，求AB之間距離的最小值.解題思路：利用“垂線段最短“解決問題，過點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B，此時(shí)AB的長(zhǎng)即為所求.“一動(dòng)一定”型類型一方法指導(dǎo)

對(duì)應(yīng)練習(xí)C2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，且BD＝10，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，則DE的最小值為______.63.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF，則線段EF的最小值是____.

常見設(shè)問：在∠AOB的內(nèi)部或邊上有一定點(diǎn)P，OA上有一動(dòng)點(diǎn)M，OB上有一動(dòng)點(diǎn)N，求PN＋MN的最小值.解題思路：作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P'，過點(diǎn)P'作OA的垂線，MP'的長(zhǎng)即為PN＋MN的最小值.“兩動(dòng)一定”型類型二方法指導(dǎo)

對(duì)應(yīng)練習(xí)A

C6.如圖，在鈍角三角形ABD中，AB＝AD＝3，∠DAB＝135°，點(diǎn)A，C關(guān)于BD軸對(duì)稱，連接CD，BC，P，Q分別是邊BC，BD上的動(dòng)點(diǎn)，CQ＋PQ的最小值為________.

常見設(shè)問：A為直線l上一定點(diǎn)，B為直線l外一定點(diǎn)，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，求kAP＋BP(0＜k＜1)的最小值.解題思路：(1)找到帶系數(shù)k的線段AP；(2)構(gòu)造以線段AP為斜邊的直角三角形：①以定點(diǎn)A為頂點(diǎn)作∠NAP，使sin∠NAP＝k；②過點(diǎn)P作AN的垂線，構(gòu)造Rt△APE，此時(shí)kAP＝APsin∠NAP＝PE；(3)此時(shí)，kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂線段最短“將其轉(zhuǎn)化為求BF的長(zhǎng).“一動(dòng)兩定”型(“胡不歸”問題)類型三方法指導(dǎo)對(duì)應(yīng)練習(xí)

C8.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則2