中考數(shù)學難點突破與訓練：相似三角形中的旋轉(zhuǎn)型相似模型（含答案及解析）

專題12相似三角形中的旋轉(zhuǎn)型相似模型

【模型展示】

-4

特點

如圖，若△A5CS/\AOE,則△A30s△ACE.

結(jié)論若4ABC^AADE,則△ABDsAACE.

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，正方形ABCD中，點廠是BC邊上一點，連接AF,以AF為對角線作正方形AEFG,邊尸G與正方

形ABC。的對角線AC相交于點//,連接。G.以下四個結(jié)論：①NEAB=NGAD；②瓜Cst^GD；③

2AE2=AHAC；@DGLAC.其中正確的個數(shù)為（

C.3個D.4個

2.如圖，在矩形A8CD中,E是邊的中點,BELAC于點尸,連接。R給出下列四個結(jié)論:①

@CF^2AF；③DF=DC；@SAABF：S四邊形CDEP=2：5,其中正確的結(jié)論有（）

C.3個D.4個

二、填空題

3.已知正方形。EFG的頂點F在正方形ABC。的一邊AO的延長線上，連結(jié)AG,CE交于點H,若AB=3,

DE=拒,則CH的長為.

E

4.如圖，正方形ABCD的邊長為8,線段CE繞著點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)，且CE=3,連接BE,以BE為邊

作正方形BEFG,M為AB邊的中點，當線段FM的長最小時，tanNECB=.

5.如圖，在矩形ABC。中，￡是AD邊的中點，于點F,連接DF,分析下列結(jié)論：①）XXEF”匕

②CT=2AP；③DF=DC；④S剪形CDEF=^SAABF,其中正確的結(jié)論有（填正確的序號）

6.如圖，正方形ABCD中，點P是BC邊上一點，連接AF,以AF為對角線作正方形AEFG,邊尸G與AC

相交于點X,連接。G.以下四個結(jié)論：

①/EAB=ZBFE=ZDAG；

②△ACCSAOG；

③AH.AC=&AE2;

@DG±AC.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

2

7.如圖，在一個12x13的網(wǎng)格中，點。,42都在格點上，OA=AB=8,點尸是線段AB上的一個動點，

連接。P,將線段OA沿直線。尸進行翻折，點A落在點C處，連接BC,以8C為斜邊在直線8C的左側(cè)（或

下方）構(gòu)造等腰直角三角形BDC,則點尸從A運動到B的過程中，線段BC的長的最小值為,

線段所掃過的區(qū)域內(nèi)的格點的個數(shù)為（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的點）.

三、解答題

8.【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,在MAABC中，ZBAC=90°,AB^AC,。為斜邊上一點（不與點3,C重合），

將線段A。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接EC,則線段3。與CE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是

【探究證明】如圖2,在RdABC和放△AZJE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,將AAOE繞

點A旋轉(zhuǎn)，當點C,D,E在同一條直線上時，2。與“具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；

【拓展延伸】如圖3,在Rd8。中，ZBCD=90°,BC=2CD=4,過點C作CA_LBO于A.將△AC。繞

點A順時針旋轉(zhuǎn)，點C的對應點為點尺設(shè)旋轉(zhuǎn)角NCAE為a（0°<?<360°）,當C,D,E在同一條直線

上時，畫出圖形，并求出線段3E的長度.

3

A

圖2

點P在對角線8。上,直線A尸交CD于E,PF_LAE交BC于點F,連接AF

交3。于A/.

(1)判斷AAPF的形狀，并說明理由;

(2)連接ER求EFPM的值.

10.某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題:

圖1

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,AASC中，=90°,AB^AC.點尸是底邊BC上一點，連接AP,以AP為腰

作等腰Rt^APQ,且NPAQ=90。，連接CQ、則和CQ的數(shù)量關(guān)系是

(2)變式探究：如圖2,AABC中，ZBAC=90°,AB=AC.點尸是腰4B上一點，連接CP,以CP為底邊

作等腰Rt^CPQ,連接AQ,判斷和A。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)問題解決：如圖3,在正方形ABC。中，點P是邊BC上一點，以。P為邊作正方形QPEF,點。是正方

形DPEF兩條對角線的交點，連接CQ.若正方形。尸EF的邊長為瓦，C2=V2,求正方形ABC。的邊長.

11.［問題發(fā)現(xiàn)］

4

(1)如圖1,在RM48c中，AB=AC,/BAC=90。，點。為3C的中點，以8為一邊作正方形8所,

點E與點A重合，已知AACRSABCE.請直接寫出線段8E與AF的數(shù)量關(guān)系；

［實驗研究］

(2)在(1)的條件下，將正方形CD防繞點C旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，連接班，CE,AF.請猜想線段BE

和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

［結(jié)論運用］

⑶在(1)(2)的條件下，若AABC的面積為8,當正方形C/)跳'旋轉(zhuǎn)到3,E,尸三點共線時，請求出線

段AF的長.

12.如圖1,已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GEA.BC,垂足為點E,GF±CD,垂足為點尸.

(1)證明：四邊形CEGF是正方形；

(2)探究與證明：將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)a角((T<a<45。)，如圖2所示，試探究線段

AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)拓展與運用：正方形CEGB繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)a角(0。<01<45。)，如圖3所示，當B,E,F三

點在一條直線上時，延長CG交于點X,若AG=9,G8=30,求的長.

圖1圖2圖3

13.如圖，AABC和VADE是有公共頂點直角三角形，N54C=m歸=90。，點尸為射線BD,CE的交點.

(1)如圖1,若AABC和VADE是等腰直角三角形，求證：CP1BD；

5

（2）如圖2,若NADE=NABC=30。，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由.

（3）在（1）的條件下，AB=4,AD=3,若把VADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當/E4c=90。時，請直接寫出PB的

長度

14.一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點E、A、D在同一條直線上），發(fā)

現(xiàn)=且3E2DG.

小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：

（1）將正方形A￡FG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1）,還能得到3E=DG嗎？若能，請給出證明，請說

明理由；

（2）把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD,將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2）,

試問當/￡AG與的大小滿足怎樣的關(guān)系時，BE=DG；

ApAfi9

（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形A￡FG和矩形ABCD,AE=2a,AB=2b（如圖

AGAD3

3),連接DE,BG.試求。必2+BG?的值（用a,6表示）.

圖3

15.在△ABC中，AB^AC,ZBAC^a,點尸是AA8C外一點,連接2尸，將線段8尸繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)a

得到線段PD連接8。，CD,AP.

觀察猜想:

圖1圖2圖3

CD-

(1)如圖1,當a=6。。時,”的值為,直線。與AP所成的較小角的度數(shù)為

類比探究:

CD

(2)如圖2,當『9。。時，求出至的值及直線。與AP所成的較小角的度數(shù);

拓展應用:

(3)如圖3,當a=90。時，點E,尸分別為AB,AC的中點，點尸在線段小的延長線上，點A,D,尸三

6

點在一條直線上，3。交P尸于點G,CD交AB于點H.若CD=2+0,求BD的長.

16.如圖，正方形ABCZ),對角線AC,30相交于。，。為線段。2上的一點，NMQN=90。,點、M、N分

別在直線8C、OC上.

圖1圖2

(1)如圖1,當。為線段。。的中點時，求證：DN+；BM=：BC；

(2)如圖2,當Q為線段02的中點，點N在CD的延長線上時,則線段?？?、3加、2。的數(shù)量關(guān)系為

(3)在(2)的條件下，連接MN,交A。、BD于點、E、F,若MB:MC=3:1,NQ=945,求EF的長.

17.如圖，以AABC的兩邊AB、AC分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE,BE與CD交于點P,已知抬=3,

尸8=4,PC=5.

(1)求證：AADC^AABE；

(2)求NDP3的度數(shù)及班的長；

(3)若點Q、R分別是等邊△ABD和等邊"CE的重心(三邊中線的交點)，連接A。、AR、QR,作出

圖象，求。R的長.

18.在矩形ABCD中，AB:3c=1:2,點〃為AO的中點，點尸為對角線8。的中點，點E、尸分別在邊AB、

AD1.,且尸E_L尸尸.

B

7

(1)求F的值.

(2)求證：BE^-AB+2MF.

2

(3)作射線E尸與射線3。交于點Q,若班:/3=3:4,EF=曬,求。。的長.

19.如圖，四邊形A8CD和四邊形AE/G都是正方形，C,F,G三點在一直線上，連接AE并延長交邊C。

于點

(1)求證：△MFCs△MCA；

(2)求證△ACps△ABE；

(3)若DM=1,CM=2,求正方形AEFG的邊長.

20.已知，△ABC中，AB=AC,/BAC=2a。，點D為BC邊中點，連接AD,點E為線段AD上一動點，

把線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)2a。得到線段EF,連接FG,FD.

BF

(1)如圖1,當NBAC=60。時，請直接寫出大的值；

(2)如圖2,當/BAC=90。時，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出正

確的結(jié)論，并說明理由；

DF

(3)如圖3,當點E在AD上移動時，請直接寫出點E運動到什么位置時券的值最小.最小值是多少？

(用含a的三角函數(shù)表示)

21.如圖，四邊形ABCQ和四邊形AEFG都是正方形,連接AF并延長交邊CD

于點M.

8

(1)求證：△MFCs△MCA；

(2)求二二的值,

(3)若。M=l,CM=2,求正方形AEFG的邊長.

D,M_______C

22.如圖，在AA8C中，4B=AC,點。是BC邊上的中點，點尸是AC邊上的一個動點，延長。P到點E,

使NCAE=/CDE,作NOCG=NACE,其中G點在OE上.

D

圖3

(1)如圖1,若/8=45。，則一=____；

DG

tri,§

(2)如圖2,若N￡>CG=30。，—求：譚空=；

DG4S^BC----------

(3)如圖3,若/ABC=60。，延長CG至點/，使得MG=GC,連接AM,BM.在點P運動的過程中，探

CP

究：當三的值為多少時，線段AM與。M的長度之和取得最小值？

9

專題12相似三角形中的旋轉(zhuǎn)型相似模型

【模型展示】

.4

特點

如圖，ABC^/^ADE,則

結(jié)論若AABC^△AOE,則△ABDsAACE.

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，正方形ABCD中，點廠是邊上一點，連接AF,以AF為對角線作正方形AEFG,

邊FG與正方形ABCD的對角線AC相交于點連接DG.以下四個結(jié)論：①

NEAB=NGAD；@AAFC^AAGD；③2AE?=AN-AC；?DG±AC.其中正確的個數(shù)為

【答案】D

【分析】①四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，NEAB、NGAD與/BAG的和均

ATAp

為90°,即可證明NEAB與NGAD相等;②由題意易得AD二DC,AG=FG,進而可得=，

ADAG

NDAG=NCAF,然后問題可證；③由四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，可求證

AFAC

△HAF-AFAC,則有F=然后根據(jù)等量關(guān)系可求解；④由②及題意知

AHAF

ZADG=ZACF=45°,則問題可求證.

【詳解】解：①:四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形

ZEAG=ZBAD=90°

XVZEAB=90°-ZBAG,ZGAD=90°-ZBAG

NEAB二NGAD

???①正確

②：四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形

???AD=DC,AG=FG

10

/.AC=V2AD,AF=V2AG

:￥=6,竺=也

ADAG

即生=竺

ADAG

又：ZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC

ZDAG=ZCAF

/.AAFC^AAGD

，②正確

③；四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AF、AC為對角線

ZAFH=ZACF=45°

又：NFAH=/CAF

.'.△HAF^AFAC

.AFAC

AHAF

即AF-=ACAH

又：AF=0AE

2AE2=AHAC

，③正確

④由②知AAFCsAAGD

又?.?四邊形ABCD為正方形，AC為對角線

，ZADG=ZACF=45°

ADG在正方形另外一條對角線上

.\DG±AC

④正確

故選：D.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)綜合運用，同時利用到正方形相關(guān)性質(zhì)，解

題關(guān)鍵在于找到需要的相似三角形進而證明.

2.如圖，在矩形4BC。中，E是邊的中點，BKLAC于點F,連接。尸，給出下列四個

結(jié)論：@AAEF^ACAB；?CF=2AF；?DF=DC；@SAABF,S四邊形CDEb=2：5,其中

正確的結(jié)論有（）

2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】①根據(jù)四邊形ABCD是矩形,BE_LAC,可得/ABC=NAFB=90。,又/BAF=/CAB,

于是AAEFs^CAB,故①正確；

②根據(jù)點E是AD邊的中點，以及AD〃:BC,得出AAEFs^CBF,根據(jù)相似三角形對應邊

成比例，可得CF=2AF,故②正確；

③過口作DM〃:BE交AC于N,得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=

|BC,得到CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；

④根據(jù)△AEFsaCBF得到EF與BF的比值，以及AF與AC的比值，據(jù)此求出SAAEF=3

SAABF,SAABF=-S矩形ABCD,可得s四邊形CDEF=S△ACD-S△AEF=二S矩形ABCD,即可得到s四邊形

612

CDEF=1-SAABF,故④正確.

2

【詳解】如圖，過。作。交AC于N,

???四邊形ABC。是矩形，

：.AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

???5E_LAC于點R

???NEAC=AACB,ZABC=ZAFE=90°,

：.AAEF^ACAB,故①正確；

,:AD〃BC,

AFAT

：.AAEF^ACBF,——=——,

BCCF

"：AE=^AD=^BC,

AF1

=y,：.CF=2AF,故②正確，

CF2

*：DE//BM,BE//DM,

...四邊形BMDE是平行四邊形，

：.BM=DE=^BC,：,BM=CM,

：.CN=NF,

?.,8E_LAC于點尸，DM//BE,

：.DN±CF,：.DF=DC,故③正確；

AAEFsACBF,

.EF_AE_}

??BF—菽—2，

12

，SAAEF=:SAABF,SAABF=-S矩形ABC。，

26

**?SAAEF=S矩形ABCD,

又,?*S四邊形CDEF=SAACD~SAAEF=；S矩形ABC?！猄矩形A8C7)=—S矩形ABCD,

21212

：.SAABF：S四邊形CDEF=2：5,故④正確；

故選D.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計算，正確的作出

輔助線是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

3.已知正方形。EPG的頂點/在正方形ABC。的一邊AD的延長線上，連結(jié)AG,CE交于

點H,若AB=3,DE=A/2,則C8的長為.

【答案】嚕

【分析】連接EG,與DF交于N,設(shè)CD和AH交于M,證明△ANG<-ADM，得到==大，

NGAN

從而求出DM的長，再通過勾股定理算出AM的長，通過證明^ADG^ACDE得到

4DAM

NDAG=NDCE,從而說明△ADMs^CHM,得到有二^，最后算出CH的長.

CHCM

【詳解】解：連接EG,與DF交于N,設(shè)CD和AH交于M,

AZGNA=90°,DN=FN=EN二GN,

VZMAD=ZGAN,ZMDA=ZGNA=90°,

???△ANGSADM,

,DMAD

**-/VG-A2V?

;DE=4i，

ADF=EG=2,

ADN=NG=1,

丁AD=AB=3,

13

.DM3

??一，

13+1

3

解得：DM二一，

4

MC=-，AM=AD2+DM2=3^^,

44

,:ZADM+ZMDG=ZEDG+ZCDG,

.\ZADG=ZEDC,

在^ADG和^CDE中，

AD=CD

<ZADG=/CDE,

DG=DE

AAADG^ACDE(SAS),

AZDAG=ZDCE,

VZAMD=ZCMH,

???ZADM=ZCHM=90°,

.,.△ADM^ACHM,

BC

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì),

勾股定理，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過其性質(zhì)計

算出CH的長.

4.如圖，正方形ABCD的邊長為8,線段CE繞著點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)，且CE=3,連接BE,

以BE為邊作正方形3EFG,M為AB邊的中點，當線段FM的長最小時，tanNECB=.

14

AD

【答案】|

【分析】連接BD,BF,FD,證明AEBCSAFBD,根據(jù)題意，知道M,F,D三點一線時,

FM最小，然后過點M作MG_LBD,垂足為G,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理分

別求出MG和DG的長，再根據(jù)正切的定義計算即可.

【詳解】解：連接BD,BF,FD,如圖,

??s

.BDBC

BFBE

VZFBD+ZDBE=45°,NEBC+NDBE=45°,

，NFBD=/EBC,

.'.△EBC^AFBD,

DF

NFDB=NECB,

CE

由題意知：FM、DF、DM三條線段滿足FM+DFNMD,其中DM、DF的值一定,

.?.當M,F,D三點一線時，F(xiàn)M最小,

過點M作MNLBD,垂足為G,

：NMBN=45。，BM=：AB=4,

；.MN=BN=20,

VMD=y/AM2+AD2="+8?=4G，

DG=^MD--MG1=J(4?)2-(2④A=6丘，

15

tanZECB=tanZFDG=—=

DG6&3

故答案為：j.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，手拉手相似模型，銳角三角函數(shù)，勾股定理，三角形面

積，線段最值模型，熟練構(gòu)造相似模型，準確確定線段最小值的條件是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在矩形中，E是邊的中點，8ELAC于點居連接。R分析下列結(jié)論：

①AAEFsACAB；?CF=2AF；?DF=DC；④S般形CDEF=QSAABF,其中正確的結(jié)論

有（填正確的序號）

【答案】①②③④

【分析】根據(jù)四邊形ABCD是矩形，麻，4。，可得/鉆。=//陞=90。，又/石4。=4408,

于是AAEFSAGR,故①符合題意；根據(jù)點E是AD邊的中點，以及AO/ABC,得出

^AEFsACBF,根據(jù)相似三角形對應邊成比例，可得CF=2AF,故②符合題意；過。作

DMUBE交AC于N,得到四邊形3MDE是平行四邊形，求出BM=OE=；8C,得到

CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③符合題意；根據(jù)AAEFSACBF得到

F矩形

政與郎的比值，以及■與AC的比值，據(jù)此求出5AAs=：S可

2o

得S四邊形=5AAe0-%所=為S矩形ABCZ），即可得到$四邊形CDEF=/$.跖，故④符合題意?

【詳解】解：如圖，過D作曲交AC于N,交BC于

???四邊形ABCD是矩形，

?.AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

:.ZEAC=ZACB,

?.?BELAC于點尸，

ZABC=ZAFE^90°,

:.AAEF^ACAB,故①符合題意；

16

AD//BC,AD=BC,

MEF^ACBF,而E是A。的中點,

AE_AF_1

BC-FC-2?

AF_1

~CF~2"

CF=2AF,故②符合題意；

DE//BM,DM//BE,

四邊形物〃汨是平行四邊形，

BM=DE=-BC

2f

:.BM=CM,CN=NF,

???BE1AC于點、F,DM〃BE,

:.DN1CF,

二.ON垂直平分b,

:.DF=DC,故③符合題意;

?.?AAEFSACB廠,

AFEFAE1

FC-BC-2

^AAEF=T^AABF'^NABF=KVBFC=Z$vABC=TS矩形ABCD，

223。

…S^EF=五5矩形ABCD，

又S四邊形CDEV=SAACD-S^AEF=]S矩形四⑦一五^HeJ^ABCD=丘'^^ABCD，

*，*S四邊形8七/=—^AABF?故④符合題意;

故答案①②③④.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形

面積的計算的綜合應用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.解題時注意，相似三角形的對應邊

成比例.

6.如圖，正方形4BCZ）中，點P是2C邊上一點，連接AR以AF為對角線作正方形AEFG,

邊FG與AC相交于點H,連接。G.以下四個結(jié)論：

①/EAB=NBFE=ZDAG；

②△ACFSA4￡）G；

③AH?AC=&E。;

?DG±AC.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

17

【答案】①②④

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知N3=/E=90。，有對頂角相等，可證尸E,由

NE4G=NB4D=90?？勺CNE45=NZMG,可判斷結(jié)論①正確；由——=——=叵,

ADAG

ZFAC=ZGAD,兩邊對應成比例且夾角相等即可得△ACK-△A￡)G,可判斷結(jié)論②正確；

由結(jié)論②可知NACV=NADG=45。，可得DG平分NADC,由正方形可知AACD是等腰直

角三角形，可推出DGLAC,結(jié)論④正確；利用兩組角對應相等的兩個三角形相似可得

AHAF

AACF^AAFH,根據(jù)相似的性質(zhì)可得f=貝又有4尸2=24石2,則

AFAC

結(jié)論③錯誤.

【詳解】解：設(shè)與所相交于點。如圖所示，

,/四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，

/.ZB=ZE=90°,ZEAG=ZBAD=90°.

又：ZAOE=ZBOF,

：.ZEAB=ZBFE.

ZEAG-/BAG=ABAD-ZBAG,

ZEAB=ZDAG,

/.NEAB=NBFE=NDAG,

故結(jié)論①正確；

VAC>AF是正方形ABCD和正方形AEFG的對角線,

AC=42AD，AF=6AG，

18

.ACD霽=日

又,/ZFAG=ZCAD=45°,

/.ZFAG-ZGAH^ZCAD-ZGAH,

即44C=NG4D.

AACF^AADG.

故結(jié)論②正確;

由△ACF^AADG可知ZADG=ZACF=45°,

平分/ADC.

???△ACD是等腰直角三角形,

：.DG±AC.

故結(jié)論④正確;

,/ZFAC=NHAF,ZACF=ZAFH=45°,

/\ACF^/\AFH,

.AHAF

AFAC

AHAC=AF2.

在等腰直角4AEF中，AF2=2AE2，

AHAC=2AE2,

故結(jié)論③錯誤,

正確的結(jié)論是①②④,

故答案為：①②④.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性

質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定定理證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在一個12x13的網(wǎng)格中，點都在格點上，CH=AB=8,點尸是線段A8

上的一個動點，連接OP,將線段0A沿直線。尸進行翻折，點A落在點C處，連接BC,以

為斜邊在直線3c的左側(cè)（或下方）構(gòu)造等腰直角三角形即C,則點尸從A運動到2的

過程中，線段8C的長的最小值為,線段2。所掃過的區(qū)域內(nèi)的格點的個數(shù)為

（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的點）

19

【答案】8&-84

【分析】根據(jù)O3-OC43C僅當C在。3上時等號成立，由折疊性質(zhì)可知04=0C,從而求

出8c的最小值；再證明△OCB?△ADB,而且相似比為0：1,從而得出點。在以專04

為半徑的圓弧4R上運動，由此畫出圖形即可得出格點的個數(shù).

【詳解】解：如圖，連接08,AD.

VOA=AB=8,ZOAB=9Q°

OB=yJo^+AB2=872>

又：03—OCW3c僅當C在上時等號成立,

.?.8C的最小值=03—OC,

又：OC=(M=8,

8c的最小值=OB-0C=8A/2-8，

,/和ABDC均為等腰直角三角形，

20

QDDZ'1

；.NOBA=NCBD=45°,——=——=V2,

ABBD

又：ZOBA=ZABC+Z.OBC,ZDBC=ZABC+ZABD,

：.ZOBC=ZABD,

：.AOCB-AADB,

：.^=—=y/2,gpAD=—OC=A42,

ADBD2

如圖：點。在以YZoa為半徑的圓弧上運動，當點P與點A重合時，點o在A處，

2

當點P與點2重合時，點。在口處，

二線段8。所掃過的區(qū)域內(nèi)的格點的個數(shù)為（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的點）4個.

故答案為：80-8，4.

【點睛】本題主要考查了對稱變換和旋轉(zhuǎn)相似，解題關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)相似證明

AD=與0C=4形,從而得出點。在以當0A為半徑的圓弧42上運動，再根據(jù)畫圖得

出結(jié)論.

三、解答題

8.【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,在即AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,。為斜邊8c上一點（不

與點B,C重合），將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接EC,則線段8。與CE

的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是;

【探究證明】如圖2,Rt^ABC7?ZAADE+-NBAC=NZME=90。，AB^AC,4。=

AE,將AAOE繞點A旋轉(zhuǎn)，當點C,D,￡在同一條直線上時，BD與CE具有怎樣的位置

關(guān)系，說明理由；

【拓展延伸】如圖3,在RdBCD中，ZBCD=90°,BC=2CD=4,過點C作CA_LB。于

A.將4ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn),點C的對應點為點E.設(shè)旋轉(zhuǎn)角/CAE為a（0°<?<360。），

當C,D,E在同一條直線上時，畫出圖形，并求出線段BE的長度.

【答案】BD=CE,BDLCE-,BD1CE,理由見解析；圖見解析，y

【分析】（1）證明ABADgaCAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；

（2）連接BD,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及垂直的定義即可得到結(jié)論;

21

(3)如圖3,過A作AFLEC,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(1)BD=CE,BDLCE-,

(2)BDYCE.理由如下：在RdABC和Rd中，AB=AC,AD=AE,ZA￡C=45°,

,：ZCAB=ZDAE=90°,：.ZBAD=ZCAE,：./\CEA^/\BDA,

：.ZBDA=ZAEC=45°,：.ZBDE=ZBDA+ZADE=9Q°,：.BD±CE.

(3)如圖所示，過點A作APLCE,垂足為點?

根據(jù)題意可知，RtXABCsRtxAED,ZBAC=ZEAD,

.ABAC?ABAE

,*AE-AD'"'~AC~~AD'

ZBAC=ZEAD=90°,：.ZBAE=ZCAD,：./\BAE^^CAD,

：.ZBEA=ZCDA,ZBEC+ZDEA=ZDEA+900,

：.ZBEC^90°,：.BE±CE.

在旋轉(zhuǎn)前，在BCD中，ZBCD=90°,BC=2CD=4,

■■BD=ylBe+CD2=2行，VAC±BD,

ii4

：.S=-BDAC=-BDAC,：.AC=-.

.BRCcDn22近r

/.AD=CD2-AC2,

在放△AC。中，CD邊上的高力二AC%?AD=：4，旋轉(zhuǎn)后，得人方=九二］4，

C-=26一石=3

22

c

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵是添加恰當輔助線.

9.如圖，在正方形ABC。中，點尸在對角線8D上，直線4尸交于E,PF_LAE交BC

于點R連接AF交2。于跖

(1)判斷△APE的形狀，并說明理由；

⑵連接EF,求E尸尸M的值.

【答案】(1讓APF是等腰直角三角形，理由見解析

(2)EF：PM=2：也.

【分析】⑴過點尸作PGL8C于點G,交A￡＞于點"，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△之△MG,

即可得結(jié)論；

(2)將AADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABN,利用全等三角形的性質(zhì)證明

然后證明△可得所：PM=AP：AF,根據(jù)△APP是等腰直角三角形，進而可

以解決問題.

(1)

解：△APF是等腰直角三角形，理由如下：

如圖，過點P作尸GLBC于點G,交A。于點H,

GH=CD,

23

???四邊形A5CO是正方形，

AZADB=45°,AD=CD,

,//PHD=9。。,

：./HPD=45。,

：.HD=HP,

：.AH=GP,

PFLAE,

：.NAP尸=90。，

NAPH+/FPG=90。,

VZB4H+ZAPH=90°,

：.ZPAH=ZFPGf

在△人尸”和4尸尸G中，

'/PAH=ZFPG

<AH=PG,

ZAHP=ZPGF=90°

：.AAPH^/XPFG(ASA),

：.AP=FP,

???AAPF是等腰直角三角形；

⑵

解：如圖，將△?1!)￡繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△A5N,

???ZADE=ZABN=90°,ZABC=90°,

24

/.ZABC+ZABN=180°,

：.C,B,N共線，

ZEAF=45°,

：.ZNAF=ZFAB+ZBAN=ZFAB+ZDAE=45°,

：.ZFAE=ZFAN,

在八物N和ARIE中，

'AF=AF

<ZFAN=NFAE,

AN=AE

：./\FAN^/\FAE(SAS),

ZAFN=ZAFE,

VZFMB=ZAMP,ZMBF=ZFAM=45°,

：.NBFM=/APM,

：.ZAPM=ZAFE,

：.AAPM^AAFE,

：.EF-.PM=AP-.AF,

由(1)知：△APb是等腰直角三角形，

AAF："=2：后，

：.EF-PM=2-72.

【點睛】本題屬于幾何綜合題，考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形

的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線,

構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考題的壓軸題.

10.某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：

圖1

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,AABC中，ZSAC=90°,AB=AC.點P是底邊8c上一點，連接

AP,以AP為腰作等腰R￡AP。，且/24。=90。，連接CQ、則和CQ的數(shù)量關(guān)系是

(2)變式探究：如圖2,AABC中，4c=90。，AB=AC.點P是腰AB上一點，連接”,

以CP為底邊作等腰RtACP。，連接A0,判斷BP和A。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)問題解決：如圖3,在正方形A8CD中，點P是邊8C上一點，以O(shè)P為邊作正方形DPEF,

點。是正方形。尸跖兩條對角線的交點，連接CQ.若正方形DPE尸的邊長為,CQ=41,

25

求正方形ABC。的邊長.

【答案】(1)3P=C。

(2)BP=y[2AQ

(3)3

【分析】(1)根據(jù)已知條件利用邊角邊證明AABP=AACQ,再利用全等三角形的性質(zhì)即可

得到和C。的數(shù)量關(guān)系；

(2)根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長比例且夾角相等

的判定定理證明ACBPMCAQ,之后再由相似三角形對應邊成比例即可得到8P和AQ的

數(shù)量關(guān)系；

(3)連接如圖(見詳解)，先由正方形的性質(zhì)判斷出△BCD和△尸。。都是等腰直角

三角形，再利用與第二問同樣的方法證出△8。尸由對應邊成比例，依據(jù)相似比

求出線段BP的長,接著設(shè)正方形ABCD的邊長為x,運用勾股定理列出方程即可求得答案.

(1)解：：44尸。是等腰直角三角形，NH4Q=90。，在44BC中，ABAC=90°,AB=AC,

：.AP=AQ,ZBAP+APAC=ZCAQ+APAC,：,ZBAP=ZCAQ.在尸和AACQ中，

AB=AC

"ZBAP=ZCAQ,；.父△ACQ(SAS),BP=CQ；

AP=AQ

(2)解：判斷=理由如下：；ACR2是等腰直角三角形，AABC中，ZBAC^90°,

AB^AC,.?.耍=任=變，ZACB=ZQCP=45°.:

PCBC2"

N3CP+ZACP=ZACQ+ZACP=45°,ZBCP=ZACQ,:.ACBPsACAQ,：.

"=生=2=叵...BP=6AQ；

PCBCBP2'

(3)解:連接8D,如圖所示,四邊形ABCD與四邊形DPEF

是正方形,。E與尸產(chǎn)交于點。，...八BCD和&QD都是等腰直角三角形，，到=里=1,

PDBD2

ZBDC=ZPDQ=45°.9：ZBDP+ZPDC=ZCDQ+ZPDC=45°,ZBDP=ZCDQ,

△BDPsMDQ,：.吧=汨=2=顯.,:CQ=y/2,：.BP=0CQ=2.在RtAPCD中，

PDBDBP2~

CD2+CP2=DP2，設(shè)CD=x，則CP=x-2，又：正方形DPEF的邊長為回，；.DP=M,

26

X2+(x-2)2=(710)2,解得再=-1(舍去)，X?=3.，正方形ABCO的邊長為3.

【點睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方

形和等腰三角形的性質(zhì)，正確識圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進行證明是解

題的關(guān)鍵.

11.［問題發(fā)現(xiàn)］

(D如圖1,在RMA8C中，AB=AC,/54C=90。，點。為BC的中點，以CD為一邊作正

方形CD叱，點E與點A重合，已知AACFsABCE.請直接寫出線段延與.的數(shù)量關(guān)系；

［實驗研究］

⑵在(1)的條件下，將正方形CDE尸繞點C旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，連接BE,CE,AF.i#

猜想線段BE和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

［結(jié)論運用］

⑶在(1)(2)的條件下，若AABC的面積為8,當正方形8所旋轉(zhuǎn)到8,E,尸三點共

線時，請求出線段AF的長.

【答案】(1)BE=0AP

(2)BE=J2AF,證明見解析

⑶線段AF的長為2百-2或2不+2

【分析】(1)先判斷出△A3。為等腰直角三角形，進而求出43=夜4。，即可得出結(jié)論；

(2)先利用三角函數(shù)得出某證明夾角相等即可得出△ACPSZXBCE,進而求出結(jié)論;

nC

(3)分兩種情況計算，當點E在線段