中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)項(xiàng)突破：特殊角問(wèn)題（含答案及解析）

特殊角問(wèn)題

一、知識(shí)導(dǎo)航

一、什么是特殊角？

說(shuō)到特殊角我們很快就能想到比如30。、45。、60。、90。等，事實(shí)上，之所以以上角能稱(chēng)為特殊角，關(guān)鍵在于

這些角的三角函數(shù)值特殊，比如同為整十，為什么我們會(huì)將60。稱(chēng)為特殊角，而50。便不是，原因很簡(jiǎn)單，

cos60°=-,而我們并不知道50°的任一三角函數(shù)值.

2

因此角度特殊不在于這個(gè)角是多少度，而在于其三角函數(shù)值是否有特殊值，所以除了常見(jiàn)的30。、45。、60°,

我們可以擴(kuò)充一下特殊角的范圍.

11

以及從最后一張圖中可得二倍角或者半角的三角函數(shù)構(gòu)造:

比如求tanl5°:

tan22.5°:

一般半角三角函數(shù)值求法:

一般二倍角函數(shù)值求法:

勾股定理可求二倍角三角函數(shù)值

2

二、特殊角在坐標(biāo)系中的意義

當(dāng)我們初次接觸到平面直角坐標(biāo)系時(shí)，我們就認(rèn)識(shí)了一、三象限角平分線(xiàn)及二、四象限角平分線(xiàn)，即直線(xiàn)

y=x和直線(xiàn)尸-x,在一次函數(shù)中我們知道，若兩直線(xiàn)平行，則左相等.

綜合以上兩點(diǎn)，可得：對(duì)于直線(xiàn)或直線(xiàn)尸-x+m,與x軸夾角為45°.

并且我們還可通過(guò)畫(huà)圖與計(jì)算得知:

即“廣入+6的修與“直線(xiàn)和x軸的夾角”存在某種固定的聯(lián)系.

關(guān)系就是：悶=tana（a是直線(xiàn)與1軸的夾角）.

不裝了，我攤牌了~

PM丁1->2

tana=-----=

工戶(hù)2QM項(xiàng)-%2

Htana

乃-乃PM月-》2

tana=-----=--------

%尸2QMXj-%2

k=-tana

3

三、坐標(biāo)系中特殊角的處理

在坐標(biāo)系中構(gòu)造定角，從其三角函數(shù)值著手：

思路1:構(gòu)造三垂直相似（或全等）；

思路2:通過(guò)三角函數(shù)值化"角度條件”為"直線(xiàn)

二、典例精析

引例1:如圖，在平面直線(xiàn)坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB解析式為y=點(diǎn)M（2,1）是直線(xiàn)上一點(diǎn)，將直線(xiàn)

AB繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到直線(xiàn)CD,求CD解析式.

【分析】

思路1:構(gòu)造三垂直相似（全等）

在坐標(biāo)系中存在45。角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，構(gòu)造三垂直全等確定圖形.

在直線(xiàn)AB上取一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)。作0PL42交于尸點(diǎn)，分別過(guò)M、尸向x軸作垂線(xiàn)，垂足為E、F點(diǎn).

易證△OEM0APFO,

故PF=0E=2,OF=ME=1,故尸點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,2）,

結(jié)合尸、M坐標(biāo)可解直線(xiàn)CD解析式：y=--x+-.

■33

構(gòu)造等腰直角的方式也不止這一種，也可過(guò)點(diǎn)O作CD的垂線(xiàn),

但直角頂點(diǎn)未知的情況計(jì)算略難于直角頂點(diǎn)已知的情況，故雖可以做但并不推薦.

思路2:利用特殊角的三角函數(shù)值.

4

過(guò)M點(diǎn)作MN//x軸,則tanZOMN=tana=一,tmZCMN=~,

3

考慮到直線(xiàn)CD的增減性為y隨著x的增大而減小，故4。＜。，

所以直線(xiàn)CD:y=-g(x-2)+l,

化簡(jiǎn)得：y=--x+-.

33

5

引例2:如圖，在平面直線(xiàn)坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB解析式為y=點(diǎn)M(2,1)是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，將直線(xiàn)

3

A3繞點(diǎn)〃順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到直線(xiàn)CD,且tana=—,求直線(xiàn)。。解析式.

2

【分析】

在直線(xiàn)上再選取點(diǎn)。構(gòu)造三垂直相似，如下圖所示,

PO3

易證△PR?S/\QEM且相似比----=tanZPMO=—,

OM2

333

即OF=—ME=—,PF=-OE=3,

222

故尸點(diǎn)坐標(biāo)為3),

415

結(jié)合尸、M點(diǎn)坐標(biāo)可解直線(xiàn)CD解析式：y=—-x+—.

-77

本題并不容易從三角函數(shù)值本身下手，原因在于角度并不屬于我們所討論的特殊角范圍之內(nèi)，簡(jiǎn)便的做法

只存在于特殊的角中.

認(rèn)識(shí)特殊角，了解特殊角，運(yùn)用特殊角，就能在復(fù)雜問(wèn)題中找到簡(jiǎn)便的求法.

三、中考真題演練

6

1.（2023?四川攀枝花?中考真題）如圖，拋物線(xiàn)＞=內(nèi)2+/+以。片0）經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，且頂點(diǎn)為A（2,T）.

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)與x軸正半軸的交點(diǎn)為8,點(diǎn)尸位于拋物線(xiàn)上且在x軸下方，連接。4、PB,若

ZAOB+ZPBO=90°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.（2023?湖北黃石?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)＞=0?+云+。與％軸交于兩點(diǎn)

A（-3,0）,3（4,0）,與y軸交于點(diǎn)。（0,4）.

（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；

（2）已知拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)^（不，九），其中為＜。，^ZCAO+ZABP=90°,求％的值;

3.（2023?黑龍江大慶?中考真題）如圖，二次函數(shù)y="2+6x+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，且自變量x的

部分取值與對(duì)應(yīng)函數(shù)值》如下表：

7

備用圖

⑴求二次函數(shù)y=加+bx+c的表達(dá)式；

（2）若將線(xiàn)段向下平移，得到的線(xiàn)段與二次函數(shù)y=aY+bx+c的圖象交于尸，。兩點(diǎn)（尸在。左邊），R

為二次函數(shù)y=62+bx+c的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為機(jī)，點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為〃7+后時(shí)，求tan/RPQ

的值；

4.（2023?山東泰安?中考真題）如圖1,二次函數(shù)/=亦2+施+4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（y0）,2（-l,0）.

圖1圖2

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（3）小明認(rèn)為，在第三象限拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)D,使ND4B+NACB=90。；請(qǐng)判斷小明的說(shuō)法是否正確，如果

正確，請(qǐng)求出。的坐標(biāo)；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.（2023?遼寧營(yíng)口?中考真題）如圖，拋物線(xiàn)丫=加+樂(lè)-1（。工0）與x軸交于點(diǎn)A。,。）和點(diǎn)2,與＞軸交于

點(diǎn)C,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)0（3,0）,過(guò)點(diǎn)3作直線(xiàn)龍軸，過(guò)點(diǎn)。作DE1CD,交直線(xiàn)/于點(diǎn)E.

8

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;

⑵如圖，點(diǎn)尸為第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，連接CE和3尸交于點(diǎn)Q,當(dāng)需=:時(shí).求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

6.(2023?遼寧營(yíng)口?中考真題)如圖，拋物線(xiàn)、=加+桁-1("0)與無(wú)軸交于點(diǎn)4(1,0)和點(diǎn)8,與V軸交于

點(diǎn)C,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)0(3,0),過(guò)點(diǎn)8作直線(xiàn)軸，過(guò)點(diǎn)。作DE2CD,交直線(xiàn)/于點(diǎn)E.

⑴求拋物線(xiàn)的解析式;

⑶在(2)的條件下，連接AC,在直線(xiàn)BP上是否存在點(diǎn)尸，彳更得NDEP=ZACD+NBED?若存在，請(qǐng)直

接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Q

7.(2023吶蒙古通遼?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)＞=加+^+。(g0)與遁由交于點(diǎn)4(1,0)

和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C(0,T).

9

（1）求這條拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；

（2*是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B,C重合），作尸軸，垂足為D,連接尸C.

①如圖，若點(diǎn)尸在第三象限，且tan/CPD=2,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

8.（2023?湖北?中考真題）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線(xiàn)y=以?+法一6（。W0）與x軸交于

點(diǎn)4（-2,0）,3（6,0）,與》軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,連接BC.

圖1圖2

（1）拋物線(xiàn)的解析式為；（直接寫(xiě)出結(jié)果）

（2）在圖1中，連接AC并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)￡,求NCE8的度數(shù)；

9.（2023?四川?中考真題）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)丫="2+法+4的圖象與％軸交于點(diǎn)

4（-2,0）,5（4,0）,與＞軸交于點(diǎn)C.

10

圖I

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;

(2)已知E為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，尸為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸/上一點(diǎn)，以B,E,尸為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,

且/班E=90。，求出點(diǎn)歹的坐標(biāo);

10.(2023?四川?中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)，=亦2+a+4的圖象與尤軸交于

點(diǎn)4(一2,0),5(4,0),與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線(xiàn)的解析式;

(3)如圖2,尸為第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接AP交＞軸于點(diǎn)連接3P并延長(zhǎng)交＞軸于點(diǎn)N,在點(diǎn)P運(yùn)

動(dòng)過(guò)程中，OM+；ON是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.(2023?湖南郴州?中考真題)已知拋物線(xiàn)＞=加+法+4與x軸相交于點(diǎn)AQ0),3(4,0),與＞軸相交于

點(diǎn)C.

11

(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

(3)如圖2,取線(xiàn)段0C的中點(diǎn)。，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q,使tan=g?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.(2023?湖南?中考真題)如圖，已知拋物線(xiàn)丁=辦2-2辦+3與x軸交于點(diǎn)A(T,0)和點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)

(3)拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)尸，使NPBC+/ACO=45。，若存在，請(qǐng)求出直線(xiàn)3P的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

13.(2023?湖南懷化?中考真題)如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)》="2+灰-8與x軸交于

4-4,0)、8(2,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

12

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸為第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，作直線(xiàn)AC,連接巳4、PC,求△JR4C面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；

3537

⑶設(shè)直線(xiàn)小,=依+%-5交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M、N,求證：無(wú)論人為何值，平行于x軸的直線(xiàn)4：，=-工上總

存在一點(diǎn)E,使得NMEN為直角.

4

14.(2023?四川自貢?中考真題)如圖，拋物線(xiàn)＞=-1尤2+灰+4與了軸交于4-3,0),8兩點(diǎn)，與了軸交于點(diǎn)

(1)求拋物線(xiàn)解析式及8,C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)E,使得N4CE=45。，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13

特殊角問(wèn)題

一、知識(shí)導(dǎo)航

一、什么是特殊角？

說(shuō)到特殊角我們很快就能想到比如30。、45。、60。、90。等，事實(shí)上，之所以以上角能稱(chēng)為特殊角，關(guān)鍵在于

這些角的三角函數(shù)值特殊，比如同為整十，為什么我們會(huì)將60。稱(chēng)為特殊角，而50。便不是，原因很簡(jiǎn)單，

cos60°=-,而我們并不知道50°的任一三角函數(shù)值.

2

因此角度特殊不在于這個(gè)角是多少度，而在于其三角函數(shù)值是否有特殊值，所以除了常見(jiàn)的30。、45。、60°,

我們可以擴(kuò)充一下特殊角的范圍.

11

14

以及從最后一張圖中可得二倍角或者半角的三角函數(shù)構(gòu)造:

比如求tanl5°:

tan22.5°:

一般半角三角函數(shù)值求法:

一般二倍角函數(shù)值求法:

勾股定理可求二倍角三角函數(shù)值

15

二、特殊角在坐標(biāo)系中的意義

當(dāng)我們初次接觸到平面直角坐標(biāo)系時(shí)，我們就認(rèn)識(shí)了一、三象限角平分線(xiàn)及二、四象限角平分線(xiàn)，即直線(xiàn)

y=x和直線(xiàn)尸-x,在一次函數(shù)中我們知道，若兩直線(xiàn)平行，則左相等.

綜合以上兩點(diǎn)，可得：對(duì)于直線(xiàn)或直線(xiàn)尸-x+m,與x軸夾角為45°.

并且我們還可通過(guò)畫(huà)圖與計(jì)算得知:

即“廣入+6的修與“直線(xiàn)和x軸的夾角”存在某種固定的聯(lián)系.

關(guān)系就是：悶=tana（a是直線(xiàn)與1軸的夾角）.

不裝了，我攤牌了~

PM丁1->2

tana=-----=

工戶(hù)2QM項(xiàng)-%2

Htana

乃-乃PM月-》2

tana=-----=--------

%尸2QMXj-%2

k=-tana

16

三、坐標(biāo)系中特殊角的處理

在坐標(biāo)系中構(gòu)造定角，從其三角函數(shù)值著手：

思路1:構(gòu)造三垂直相似（或全等）；

思路2:通過(guò)三角函數(shù)值化"角度條件”為"直線(xiàn)

二、典例精析

引例1:如圖，在平面直線(xiàn)坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB解析式為y=點(diǎn)M（2,1）是直線(xiàn)上一點(diǎn)，將直線(xiàn)

AB繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到直線(xiàn)CD,求CD解析式.

【分析】

思路1:構(gòu)造三垂直相似（全等）

在坐標(biāo)系中存在45。角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，構(gòu)造三垂直全等確定圖形.

在直線(xiàn)AB上取一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)。作0PL42交于尸點(diǎn)，分別過(guò)M、尸向x軸作垂線(xiàn)，垂足為E、F點(diǎn).

易證△OEM0APFO,

故PF=0E=2,OF=ME=1,故尸點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,2）,

結(jié)合尸、M坐標(biāo)可解直線(xiàn)CD解析式：y=--x+-.

■33

構(gòu)造等腰直角的方式也不止這一種，也可過(guò)點(diǎn)O作CD的垂線(xiàn),

但直角頂點(diǎn)未知的情況計(jì)算略難于直角頂點(diǎn)已知的情況，故雖可以做但并不推薦.

思路2:利用特殊角的三角函數(shù)值.

17

過(guò)M點(diǎn)作MN//x軸,則tanZOMN=tana=一,tmZCMN=~,

3

考慮到直線(xiàn)CD的增減性為y隨著x的增大而減小，故4。＜。，

所以直線(xiàn)CD:y=-g(x-2)+l,

化簡(jiǎn)得：y=--x+-.

-33

18

引例2:如圖，在平面直線(xiàn)坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB解析式為y=點(diǎn)M(2,1)是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，將直線(xiàn)

3

A3繞點(diǎn)〃順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到直線(xiàn)CD,且tana=—,求直線(xiàn)。。解析式.

2

【分析】

在直線(xiàn)上再選取點(diǎn)。構(gòu)造三垂直相似，如下圖所示,

PO3

易證△PR?S/\QEM且相似比----=tanZPMO=—,

OM2

333

即OF=—ME=—,PF=-OE=3,

222

故尸點(diǎn)坐標(biāo)為3),

415

結(jié)合尸、M點(diǎn)坐標(biāo)可解直線(xiàn)CD解析式：y=—-x+—.

-77

本題并不容易從三角函數(shù)值本身下手，原因在于角度并不屬于我們所討論的特殊角范圍之內(nèi)，簡(jiǎn)便的做法

只存在于特殊的角中.

認(rèn)識(shí)特殊角，了解特殊角，運(yùn)用特殊角，就能在復(fù)雜問(wèn)題中找到簡(jiǎn)便的求法.

三、中考真題演練

19

1.(2023?四川攀枝花?中考真題)如圖，拋物線(xiàn)>=內(nèi)2+/+以。片0)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，且頂點(diǎn)為A(2,T).

(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線(xiàn)與x軸正半軸的交點(diǎn)為8,點(diǎn)尸位于拋物線(xiàn)上且在x軸下方，連接。4、PB,若

ZAOB+ZPBO=90°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(l)y=/—4x

⑵P(；,

【分析】(1)設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=-2)2-4,將0(0,0)代入可得y=Y一4x；

(2)過(guò)A作AT_Ly軸于T,過(guò)尸作PK_Lx軸于K,設(shè)求出8(4,0)；根據(jù)ZAO8+ZAOT=90。，

24

ZAOB+ZPBO=90°,得ZAOT=ZPBO,故△AOTS^PBK,從而一、~—=-——，即可解得答案.

-m+4m4-m

【詳解】(1)解：設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=2)2-4,

將0(0,0)代入得：4a—4=0,

解得a=1,

...y=(x—2)2—4=%2_4九；

(2)過(guò)A作AT，y軸于T,過(guò)尸作PK_Lx軸于K,如圖：

設(shè)P(m,m2-4m),

20

在尸犬-以中，令y=°得％=0或%=4,

，5(4,0)；

ZAOB+ZAOT=^°,ZAOB^-ZPBO=90°f

:.ZAOT=ZPBO,

ZATO=90°=ZPKB,

..AAOT^APBK,

.ATOT

一~PK~~BK"

A(2,T),

24

/.—z----=-----,

-m+4m4-m

解得m=g或機(jī)=4(此時(shí)尸與B重合，舍去),

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明

△AOTS^PBK,用對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出加的值.

2.（2023?湖北黃石?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)>=62+廄+（?與x軸交于兩點(diǎn)

A（-3,0）,B（4,0）,與y軸交于點(diǎn)。（0,4）.

（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；

（2）已知拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)戶(hù)（4,九），其中為<。，若NC4O+/ABP=90。，求為的值；

【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；

CO433

（2）在Rt_AOC中，tanZ.CAO=,則tanNA5尸=:，得到直線(xiàn)3尸的表達(dá)式為：丁=:（％-4）,進(jìn)

AO344

而求解；

【詳解】（1）解：設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y—+3）（x—4）=a{x2—x—12）,

21

即一12々=4,貝!]〃=一；,

故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=T，+%+4①；

CO4

（2）解：在RtAOC中，tanZ.CAO=---=—,

AO3

ZC4O+ZABP=90°,

3

貝!|tanNA5P=—,

4

3

故設(shè)直線(xiàn)BP的表達(dá)式為：y=]（x-4）②，

4

113

聯(lián)立①②得：―--^2+—^+4=—（%—4）,

21

解得：x=--=x0（不合題意的值已舍去）；

3.（2023?黑龍江大慶?中考真題）如圖，二次函數(shù)y=o?+"+。的圖象與九軸交于A,3兩點(diǎn)，且自變量九的

部分取值與對(duì)應(yīng)函數(shù)值,如下表：

備用圖

⑴求二次函數(shù)y=加+bx+c的表達(dá)式；

（2）若將線(xiàn)段AB向下平移，得到的線(xiàn)段與二次函數(shù)y=aY+bx+c的圖象交于「，。兩點(diǎn)（尸在。左邊），R

為二次函數(shù)y=a/+bx+c的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為機(jī)，點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為〃+Z后時(shí)，求tan/RPQ

的值；

【詳解】（1）解：由表格可知，二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,0）,（0,-3）,（1,M）,代入

y=ax2+bx+c得至!J

22

a-b+c=Q

<c=-3,

a+b+c=-4

a=l

解得6=-2,

c=-3

???二次函數(shù)y=ax?+法+。的表達(dá)式為y=x2_2X-3；

(2)如圖，連接網(wǎng)，QR,過(guò)點(diǎn)R作RM，。。交PQ的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M,

:.Q（m,m2—2m—3）,

*.*y=x2—2x—3=（x—l）2—4,

???拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)1=1,

???點(diǎn)尸與點(diǎn)。關(guān)于直線(xiàn)X=1對(duì)稱(chēng)，

設(shè)點(diǎn)尸（〃,加之一2m—3）,

則m-l=l-n,解得〃=2—機(jī)，

工點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2-八/-2帆-3）,

當(dāng)尤=根+0時(shí),y=%2—2x—3=（m+0『一2（機(jī)+&）—3=加2+（20—2）m—1—2后,

艮|3尺（根+0,m2+Q點(diǎn)一2）加一1—20）,

則M（m+母，病-2m-3^,

RM[—_2）m_1_2^/^*__211Tl_3）-2y[^jn+2_,

PM=m+\/2—（2—m）=2m+^—2,

23

tanZ^g=也=2圓+產(chǎn)=弟+尸2)=近

PM2m+V2-22m+v2-2

即tanNRP。的值為行;

4.(2023?山東泰安?中考真題)如圖1,二次函數(shù)y=af+6x+4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(7,0),2(-1,0).

圖1圖2

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(3)小明認(rèn)為，在第三象限拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)。，使ND40+NACB=9O。；請(qǐng)判斷小明的說(shuō)法是否正確，如果

正確，請(qǐng)求出。的坐標(biāo)；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【詳解】(1)解：將4-4,0),8(-1,0)代入>=江+"+4得：

16tz-4Z?+4=0Q=1

解得:

a-b+4=0b=5

二拋物線(xiàn)解析式為：y=x2+5x+4；

(820、

(3)解：正確，￡>l--,-yI,理由如下:

如圖所示，連接AC,BC,設(shè)AC與對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)為K,對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為“，連接BK,延長(zhǎng)AD與對(duì)稱(chēng)

軸交于點(diǎn)

由(1)、(2)可得CM=OC=4,ZAOC=9G°,

：.ZCAO=45°,AC=40,

24

根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，AK=BK,

：.ZKAB=ZKBA=45°,ZAKB=90°,

AB=3,

?AJ^-RK_3?

??AA—DJX.=----,

2

：-CK=AC-AK=^

2

CK5

Rt..CKB中，tanNCBK=----=—

BK3

9：ZCBK+ZACB=90°且/DAB+ZACB=90°,

：.ZDAB=ZCBKf

tan/DAB=tanZCBK=—,

3

即：在RtAHM中，?=-,

AH3

設(shè)直線(xiàn)AM解析式為：y=sx+t,

s——5

將A(TO)、代入解得：,；(

t------

13

520

...直線(xiàn)AM解析式為：y=-jx-y,

[8

ry=x2+5x+4往一

聯(lián)立520,解得：二或八(不合題，舍去)

[33c=一瓦

Co20、

...小明說(shuō)法正確，D的坐標(biāo)為。卜1-勺1

5.(2023?遼寧營(yíng)口?中考真題)如圖,拋物線(xiàn)y=加+bx-l(aW0)與無(wú)軸交于點(diǎn)A(1,O)和點(diǎn)8,與y軸交于

點(diǎn)C,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)0(3,0),過(guò)點(diǎn)8作直線(xiàn)龍軸，過(guò)點(diǎn)。作DE1CD,交直線(xiàn)/于點(diǎn)E.

25

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)如圖，點(diǎn)尸為第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，連接CE和3尸交于點(diǎn)Q,當(dāng)需=:時(shí).求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

【詳解】(1)解：???拋物線(xiàn)產(chǎn)加+法-1("0)與無(wú)軸交于點(diǎn)A(LO),拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交了軸于點(diǎn)。(3,0),

則對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=3,

a+b-l=0

???拋物線(xiàn)解析式為丁=-(/+!》-1;

(2)解：由y=_(x2+《x_i,當(dāng)y=0時(shí)，—"八%］：。,

解得：玉=L%=5,

???5(5,0),

當(dāng)％=0時(shí)，p=一1,則

VDE1CD,ZCOD=ZEBD=ZCDE=90°

???/CDO=90。—ZEDB=/DEB,

tanZCDO=tan/DEB,

OCDB

即Rn——=——，

ODBE

.i_2_

??馬一BE，

：.BE=6,則E(5,—6),

設(shè)直線(xiàn)EC的解析式為'=履-1,則-6=5左-1,解得：k=-l,

直線(xiàn)EC的解析式為y=-x-1,

26

如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作PT，尤軸，交EC于點(diǎn)T,

:BE//PT,

PTQsBEQ

..BQ=L

,PQ7

BEBQ5,42

:?而=而=十則尸丁=7

設(shè)丁（，,一，一1）,貝!IjBP

將點(diǎn)尸1%,T—代入y=—（丁+1%—i

解得：，=-3或，=14（舍去）

4732

當(dāng)/=-3時(shí)，-t-=y

,，?”-引；

6.（2023?遼寧營(yíng)口?中考真題）如圖，拋物線(xiàn)丫=加+法-1（。工0）與無(wú)軸交于點(diǎn)A（l,0）和點(diǎn)8,與了軸交于

點(diǎn)C,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)0（3,0）,過(guò)點(diǎn)8作直線(xiàn)/上無(wú)軸，過(guò)點(diǎn)。作DE1CD,交直線(xiàn)/于點(diǎn)E.

⑴求拋物線(xiàn)的解析式;

⑶在（2）的條件下，連接AC,在直線(xiàn)BP上是否存在點(diǎn)尸，彳吏得NDEF=ZACD+ZBED?若存在，請(qǐng)直

接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

27

【分析】(1)根據(jù)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(LO),對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=3,待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(3)根據(jù)題意可得ZDEF=45。，以DE為對(duì)角線(xiàn)作正方形DMEN,則ADEM=ADEN=45°,進(jìn)而求得N

的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求得劭的解析式，聯(lián)立解析式，即可求解.

【詳解】(1)解：???拋物線(xiàn)廣加+及-1("0)與x軸交于點(diǎn)A。,。)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)0(3,0),

則對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=3,

a+b-l=0

.'Jbo,

、la

\1

a=——

解得：/

b=§

[5

2

拋物線(xiàn)解析式為y=-1x+|x-i;

(3)VA(1,O),C(O,-1),

則。4=OC=1,AOC是等腰直角三角形，

=45°,由(2)可得N3EE)=ZAZ)C,

■:ZDEF=ZACD+ZBED

：.ZDEF=ZACD+AADC=ZOAC=45°,

由⑵可得尸‘3,—

設(shè)直線(xiàn)的的解析式為丁=勿+/,則

5e+f=0

<32

-3e+f=~—

'_4

解得：,5

「4

4

???直線(xiàn)的的解析式為y=y-4

如圖所示，以DE為對(duì)角線(xiàn)作正方形DMEN,則NDEM=NDEN=45。,

28

VDB=2,BE=6,則￡)石=2加，則DM=goE=2百，￡(5,-6),

(m-3)2+n2=(2^/5)2

設(shè)M（〃z,〃），貝卜

(m_5『+(w+6)2=(2⑸2

m=7

解得:

n=-2

則N（7,—2）,

設(shè)直線(xiàn)EM的解析式為y=sx+t,直線(xiàn)EN的解析式為y=sxx+tx

5s+%=—65邑+:=—6

則

s+t=-47S]+Zj=—2

1

S=--（個(gè)

95=2

解得:7'U-16）

t=——【

I2

17

設(shè)直線(xiàn)EM的解析式為y=~2x~i,直線(xiàn)EN的解析式為y=2x-16,

’175

X=一

y=-5"—5,則尸信常

???<J解得：v13

48

y=-x-4

[5

y=2x-16r=w

4，解得：），則尸（10,4）,

y=y-4[y=4

綜上所述，唱,-總或網(wǎng)10,4）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

Q

7.（2023?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y=ax2+-x+c（a^0）與x軸交于點(diǎn)A（l,0）

和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C（0,T）.

29

(1)求這條拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式;

(2*是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B,C重合)，作尸軸，垂足為D,連接尸C.

①如圖，若點(diǎn)尸在第三象限，且tan/CPD=2,求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

Q

【詳解】(1)???拋物線(xiàn)y=“^+j尤+c(awO)與x軸交于點(diǎn)A(1,O),與y軸交于點(diǎn)C(O,T),

Q

???把A(1,O),C(0,—4)代入y=加+§%+c(Qwo)得,

tZH----FC=0

\3

_4

解得，,3,

c=-4

42

???拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=+?_4；

(2)①設(shè)尸卜,gx2+gx-4；過(guò)點(diǎn)C作CELPD于點(diǎn)E,如圖,

,/C(OT),

OC=4,

'：P￡>_Lx軸,

30

/PDO=90。,

又NDOC=90。，

???四邊形OOCE是矩形，

??.DE=OC=4,DO=CE=-x,

：.PE=PD-DE=-[-x2+-x-4\-4=--x2--x,

(33J33

CE

VtanZCPD=——=2,

PE

13

???%=-不，％2=°（不合題意，舍去）

O

.428477

3316

??.I"士8,-衛(wèi)161；,

8.（2023?湖北?中考真題）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOv中，已知拋物線(xiàn)丫=加+及-6（"0）與無(wú)軸交于

點(diǎn)A（-2,0）,3（6,0）,與，軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，連接BC.

圖1圖2

（1）拋物線(xiàn)的解析式為；（直接寫(xiě)出結(jié)果）

（2）在圖1中，連接AC并延長(zhǎng)交5。的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,求NCEB的度數(shù)；

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（2）待定系數(shù)法求得直線(xiàn)直線(xiàn)AC的解析式為：%C=-3X-6,直線(xiàn)D8的解析式為：yDB=2x-12.聯(lián)立

兩直線(xiàn)解析式，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為［:，-mJ方法1：由題意可得：OA=2,OB=OC=6,AB=8.過(guò)點(diǎn)E

31

作E/Lx軸于點(diǎn)尸.計(jì)算得出七=大，又ZBAC=/EAB,可得一ABCs,4￡氏根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

得出NCEB=45。；方法2：如圖2,延長(zhǎng)8E與V軸交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作CHLBE于點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)E作EFJ_x

軸于點(diǎn)尸.等面積法求得S二述，解Rt^CEH即可求解.方法3：如圖2,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)根

5

據(jù)sin/C3H=sin/AC0=叵，得出NCBH=NACO,進(jìn)而得出NCEB=NOCB=45。；

10

【詳解】（1）解：???拋物線(xiàn),=加+云-6（"0）與x軸交于點(diǎn)A（—2,0）,8（6,0）,

.J4。-20-6=0

??136a+60-6=0'

'_j_

解得：＜2,

b=-2

；?拋物線(xiàn)解析式為y=^x2-2x-6；

（2）?.?點(diǎn)A（-2,0）,點(diǎn)C（0,-6）,

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y=kxx+h.

-O

直線(xiàn)AC的解析式為：yAC=-3x-6.

同上，由點(diǎn)。（2,-8）,3（6,0）,可得直線(xiàn)。3的解析式為：yDB=2x-12.

令-3x-6-2x-12,得尤=g.

點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

方法1：由題意可得：OA=2,O8=OC=6,AB=8.

?**AC=y/o^+OC2=722+62=2回■

如圖1,過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)H

AE=VAF2+EF2=

ACy/10AB8A/10

AB―4'AE~16V10—4.

5

32

.ACAB

**AB-AE*

又ZBAC=/EAB,

：.ABCs,AEB.

：.ZABC=ZAEB.

?.,OB-COB=90。,

：.NABC=45。.

???NA￡B=45。，

BP/CEB=45。.

圖1

方法2：如圖2,延長(zhǎng)篦與y軸交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)。作CH,帥于點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)￡作石軸于點(diǎn)尸.

?*VDB=2%—12,

???G（0,-12）.

???BG=[O廿+OG=招+122=6石.

SZ.ADBCCCTC=-2CGOB=2-BGCH.

|X6X6=1X6A/5CH.

???加近

5

:AC=7OA2+OC2=722+62=2回）

AE=VAF2+EF2=

.S噌一2匹等

33

/?sinZCEH=—=—

CE2

方法3：如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CH_L8E于點(diǎn)a.

sinNCBH=sinZACO=—.

10

ZCBH=ZACO.

:ZACB=ZCBH+NCEB,ZACB=ZACO+NOCB,

NCEB=NOCB=45°.

：.NCEB=45。.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的平移，熟練掌

握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.(2023?四川?中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)丁=辦2+法+4的圖象與x軸交于點(diǎn)

A(-2,0),3(4,0),與>軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)已知E為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，尸為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸/上一點(diǎn)，以8,E,歹為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,

且/班E=90。，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

34

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；

（2）先求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=l,設(shè)/與x交于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)D,

證明DFGWGBF,設(shè)b則。k=1+優(yōu)，DG=DF+FG=GB+FG=3+m,進(jìn)而得出E點(diǎn)的坐標(biāo),

代入拋物線(xiàn)解析式，求得加的值即可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)F在無(wú)軸上方，且點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，利用等

腰直角三角形的性質(zhì)求出PG=：A2=3,即可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；同理可求得當(dāng)點(diǎn)尸在x軸下方時(shí)的坐標(biāo)；

當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，求得另一個(gè)解，進(jìn)而即可求解；

4。—2。+4=0

【詳解】（1）解：將點(diǎn)A（-2,0）,3（4,0）,代入、=辦2+陵+4中得

16。+4/?+4=0

解得：＜2,

Z?=1

拋物線(xiàn)解析式為y=-^x2+x+4；

(2)解：?.?點(diǎn)A(-2,0),5(4,0),

???拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)/：x=滯心=1,

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上方時(shí)，設(shè)/與x交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)。,

???以8,E,尸為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且/班E=90。,

/.EF=BF,

'：ZDFE=90°-ZBFG=NGBF,

:.DFE\GBF(S，

：.GF=DE,GB=FD,

設(shè)貝=DG=DF+FG=GB+FG=3+m

E(l+m,3+m),

E點(diǎn)在拋物線(xiàn)＞=-gf+x+4上

35

12

3+m=——(1+m)+(l+m)+4

解得：m=-3(舍去)或%=1,

—1,1);

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)尸在無(wú)軸上方時(shí)，且點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，與x軸交于G,

,/ABFE是等腰直角三角形，且ZBFE=90°,

FG=AG=BG=1AB=1[4-(-2)]=3,

尸。,3)；

36

??,以3,E,尸為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且N3EE=90。,

，EF=BF,

?IZDFE=90°-ZBFG=Z.GBF,

:.DFEWGBF,

:.GF=DE,GB=FD,