浙江中考數(shù)學二輪復習題型專練：胡不歸（解析版）

題型十三胡不歸

【要點提煉】

一、【模型故事】

從前，有一個小伙子在外地學徒，當他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路.由于

思鄉(xiāng)心切，他只考慮了“兩點之間線段最短”的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A-B

（如圖），而忽視了走折線路徑A-D-B雖路程多但速度快的實際情況，當他氣喘吁吁地趕到家

時，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭.鄰居勸慰小伙子時告訴他，老人彌留之際不斷念叨著”胡不

歸?胡不歸？

在該故事中，我們的幾何圖形不再是簡單的線和點，而是賦予了實際的意義，AB所經(jīng)過的砂礫之

路肯定會比AD所在的大路要速度慢一些，因此考慮最短時間時要去考慮一下速度的問題

二、【模型破解術】

①模型特點：胡不歸在中考中常以求PA+k?PB最小值的形式而出現(xiàn)

②例題：如圖，已知D為射線AB上依動點，ZBAC=30°,AC=2V3,AD=時，CD+加取最

要想求出CD+^AD的最小值，則需在圖中先體現(xiàn)出為D和CD+?\D,然后再研究最值

而胡不歸問題中構造決D的方法是利用三角函數(shù)，例如如果我們以AD為斜邊構造一個

30°角的直角三角形，那么依據(jù)30。的正弦則可得出30。角的對邊就是AD的一半，下面我們

來實操一下

首先我們以AD為斜邊，以A為頂點，往AD的下面做一個30。角

然后我們過D作輔助線的垂線DE

AB

E

由30。的正弦可得，DE^AD,則該題求的就是CD+DE的最小值

最終最小值為過C作輔助線的垂線段CF的長度

【專題訓練】

選擇題（共1小題）

1.如圖，△A2C在直角坐標系中，AB=AC,A（0,2魚），C（1,0）,。為射線上一點，一

動點尸從A出發(fā)，運動路徑為A-O-C,點P在AO上的運動速度是在CD上的3倍，要使整個

運動時間最少，則點。的坐標應為（）

【答案】D

【解析】解：假設尸在的速度為3,在CZ）的速度為1,

設D坐標為（0,y）,則AD=2五-y,CD=y/y2+I2=yjy2+1,

設t=2］」+Jy2+1,

等式變形為：什%-竽=尸百，貝心的最小值時考慮y的取值即可,

,於+（|y-挈）什（三一孥）2=y2+i>

,%（延&-+警…°,

9，93,3

△=（*一|力2-4x|（-/+竽什1）>0,

??，的最小值為百，

.V2

??尸彳'

一V2

???點。的坐標為（0,1）,

4

故選。.

解法二：假設尸在AO的速度為3V,在CO的速度為1匕

總時間U冬+竿=:（-7+CO）,要使/最小，就要行+c。最小，

4c

因為AB=AC=3過點3作BH±AC交AC于點H,交。4于D,易證△AO”S/\ACO,所以一=

f0C

ADADAD

-=3,所以==OH,因為△ABC是等腰三角形，所以5。=。。，所以要二+。最小，就是

DH33

AO0C242

要0H+3O最小，就要3、D、”三點共線就行了.因為△AOCS/XBO。，所以一=—,即一=

OB0D1

a，所以0。=條

一V2

所以點。的坐標應為（0,一）.

4

二.填空題（共2小題）

2.如圖，拋物線y=7-2x-3與x軸交于48兩點，過B的直線交拋物線于E,且tan/EA4=全

有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點。處，再以1.25單位/s的速度沿

一64

著。E爬到￡點處覓食，則螞蟻從A到后的最短時間是一s.

-9-

【解析】解：過點￡作x軸的平行線，再過。點作y軸的平行線，兩線相交于點”，如圖,

.EH//AB,

：.ZHEB=/ABE,

D4

E--

tanZHED—tanZEBA=3

設?！?4m,EH=3m,貝ljDE=5根，

qy

/.螞蟻從D爬到E點的時間=蓬=4(s)

若設螞蟻從。爬到H點的速度為1單位/s,則螞蟻從。爬到H點的時間=半=4(s),

螞蟻從D爬到E點所用的時間等于從D爬到H點所用的時間相等，

螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點。處，再以1.25單位/s的速度沿著

DE爬到E點所用時間等于它從A以1單位/s的速度爬到八點，再從。點以1單位/s速度爬到H

點的時間，

作AGLEH于G,則AD+DH^AH^AG,

：.AD+DH的最小值為AG的長，

當y=0時，x2-2x-3=0,解得xi=-1,%2=3,則A(T,0)，B(3,0)，

直線BE父〉軸于C點，如圖，

rn4

-

在RtAOBC中，'：tanZCBO==3

OC=4,則C(0,4),

設直線BE的解析式為y=kx+b,

4

解---

把5(3,0),C(0,4)代入得=°wi3

-4

，直線BE的解析式為y=-3+4,

解方程組”多+4得U品或廣則E點坐標為(―(—),

6439

g

：.AG=掌64

64

???螞蟻從A爬到G點的時間=卞=詈(s)

64

即螞蟻從A到E的最短時間為初

64

故答案為百

jj

3.如圖，I3A8CQ中，ZDAB=3Q°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點，則2PB+P。的最小

值等于6.

DPC

/、/

AB

【答案】6

【解析】解：如圖，過點尸作的垂線，交延長線于點E,

E.-

\Pc

B

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AB//CD,

：.ZEDP=ZDAB=30°,

1

：.EP=^DP,gpDP=2EP,

：.2PB+PD=2(PB+PE),

當點B、P、E三點共線時，P8+E尸有最小值，最小值等于BE的長,此時2PB+PD的最小值等

于2BE的長，

;此時在Rtz\A8E中，ZEAB=30°，AB=6,

1

：.BE=抻=3,

：.2PB+PD的最小值等于6.

故答案為：6.

三.解答題(共4小題)

4.如圖，矩形A8CD的對角線AC,相交于點。，△a?￡＞關于的對稱圖形為△CED

(1)求證：四邊形OCED是菱形；

(2)連接AE,若AB=9,BC=4.

①求smZEAD的值；

②若點尸為線段AE上一動點(不與點A重合)，連接。尸，一動點。從點。出發(fā)，以Isi/s的

速度沿線段。產(chǎn)勻速運動到點P，再以'jcm/s的速度沿線段以勻速運動到點A,到達點A后停止

運動，當點。沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時，求點。走完全程所需的時間.

【解析】(1)證明：二?四邊形ABCD是矩形,

：.AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：.OD=OC,

■:XCOD關于CD的對稱圖形為△CED,

：.DE=EC=OD=OC,

四邊形OOEC是菱形.

(2)①如圖1中，連接EO交CD于點作E/LLA。交AO的延長線于H.

圖1

..?四邊形EDOC是菱形,

9

：,OELCD,EM=OM,DM=CM=\，

,：OA=OC,

1

：.OM=EM=^AD=2,

■:NH=NHDM=NEMD=90°,

???四邊形是矩形，

：.EH=*,DH=EM=2,AH=AO+0H=6,

._________1q

:.AE=NAH?+EH2=券

FH3

sinZEAD=—寧

②如圖2中，連接。P,作尸H_LAQ于H,0M_L4。于M

"：OD=OA,OM±AD,

：.DM=MA,

：.OM=^AB=I，

在RtZ\APH中，PH=B4*sinZPAH=,

DA2

:點Q的運動時間t=OP+^-=OP+^PA,

3

：.t=OP+PH,

根據(jù)垂線段最短可知，當點O,P,?共線且與重合時，f有最小值，f的最小值為的值,

9

...點Q的運動是最短時間/為5s.

5.如圖，直線y=1x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C,拋物線產(chǎn)a(x-1)2-2過點A.

(1)求出拋物線解析式的一般式；

(2)拋物線上的動點。在一次函數(shù)的圖象下方，求△AC。面積的最大值，并求出此時點。的坐

標；

(3)若點P為了軸上任意一點，在(2)的結論下，求PD+亮用的最小值.

V

11

【解析】解：(1)令/+5=o，

2乙

解得x=-1,

貝IJA(-1,0),

拋物線y=a(x-1)2-2過點A,

：.aX(-1-1)2-2=0,

解得a=

故拋物線解析式的一般式為y=^(x-1)2-2,即產(chǎn)|x2--x-|；

(2)如圖，過點。作。M〃y軸交AC于

12311

設。(tn,—m-m—TT)，貝IA/(m,一償+方)，

2222

〔〔1a1a

貝!JDM=與m+□—(-m2-m—□)=—與根2+-^+2,

ZZ2乙ZL

11

所以①當-1〈機WO時，SAACD=S/\AMD+S/\CMD=訝DM(m+1-m)=

11

②當0VmV4時,SAACD=S/\AMD-SACMD=?DM(m+1-m)=^DM；

貝USz\AC￡)=^-/?z+2)=-^Cm—^-)

0253iq

則當用=齊寸，△ACO面積有最大值，最大值是云，此時點。的坐標為(5，-g)；

(3)如備用圖，作點。關于x軸的對稱點尸，連接。尸交x軸于點G,過點尸作尸HLAO于點”,

交x軸于點尸，

315

VD(-,一號),04=1,

28

3515

.,.AG=1+|=|,DG=皆,

備用圖

6.已知拋物線(a=0)過點A(1,0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C,0c=3.

(1)求拋物線的解析式及頂點。的坐標；

(2)點尸為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當△PBC面積最大時，求點尸的坐標；

(3)若點Q為線段0C上的一動點，問：AQ+稱QC是否存在最小值？若存在，求出這個最小值;

若不存在，請說明理由.

【解析】解：(1)函數(shù)的表達式為：y=a(x-1)(x-3)=a(/-4x+3),

即：3a=3,解得：a=\,

故拋物線的表達式為：y=/-4x+3,

則頂點。(2,-1).

(2)將點8、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：”并解得:

直線BC的表達式為：y=-x+3,

過點尸作y軸的平行線交BC于點H,

設點P(x,/-4x+3),則點H(x,-x+3),

貝I]SAPBC=?PHXOB=|(-x+3-/+4尤-3)=|(-/+3x),

V-|<0,故SMBC有最大值，此時％=本

32

故點P(二，—~7).

24

(3)存在，理由:

如上圖，過點C作與y軸夾角為30°的直線CG,作QG_LCG于點G,

貝ijGQ=CQ,

直線GC所在表達式中的％值為g,直線GC的表達式為：y=Bx+3…①,

則直線AG所在表達式中的/值為-字，

則直線AG的表達式為：產(chǎn)-*+s,將點A的坐標代入尸-最+s并解得：s=苧,

則直線AG的表達式為：>=一爭+與…②，

聯(lián)立①②并解得：x=上奢，

故點G（上量，過遺），而點A（1,0）,

44

則A