中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練：二次根式（分層訓(xùn)練）解析版

專題04二次根式（分層訓(xùn)練）

分層訓(xùn)練

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2223上?巴中?期末）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.V24B.V15C.D.V（L9

【答案】B

【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可.

【詳解】解：A、岳=2傷，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；

B、質(zhì)是最簡二次根式，符合題意；

C、2=與，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；

D、歷=（1=甯，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；

71010

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式

的二次根式，叫做最簡二次根式.

2.（22-23下?永川?期末）若％=Jy-3-J6-2y+2,則|x—y|的值是（）

A.5B.1C.-1D.2

【答案】B

【分析】利用二次根式被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可得y的值，代入x=2可得尤的值，從而

得解.

【詳解】解：依題意得：

（y-3>0

（6-2y20'

解得：y=3,

將y=3代入％=Jy-3-J6-2y+2得x=2,

0|x—y|=|2-3|=1,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值，掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)

是解題的關(guān)鍵.

3.（2223上?南陽?期末）下列二次根式中，能與或合并的是（）

A.V12B.C.V20D.V9

【答案】B

【分析】先化簡二次根式，根據(jù)同類二次根式的定義即可得出答案.

【詳解】解：A.712=273,不能與迎合并，故該選項(xiàng)不符合題意；

B.￡=爭能與迎合并，故該選項(xiàng)符合題意；

C.V20=2y/5,不能與迎合并，故該選項(xiàng)不符合題意；

D.V9=3,不能與迎合并，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式，二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次

根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式是解題的關(guān)鍵.

4.（22-23上?新鄉(xiāng)?期中）若式子7^二三在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X的取值范圍是（）

A.x42B.%>2C.x<2D.%-2

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性解題即可.

【詳解】解：回心工

02-%>0,解得：x<2

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的非負(fù)性，能夠熟練根據(jù)性質(zhì)列不等式計(jì)算是解題關(guān)鍵.

5.（22-23上?長春?期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.V20B.V6C.V24D.V02

【答案】B

【分析】根據(jù)最簡二次根式需要滿足的條件逐一判斷即可，最簡二次根式必須滿足兩個(gè)條件：被開方數(shù)不

含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

【詳解】A、V20=2V5,被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、連符合最簡二次根式的定義，是最簡二次根式，故本選項(xiàng)正確；

C、V24-2V6,被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、V02=區(qū)=噌=等=哼，該二次根式的被開方數(shù)是小數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

710V10105

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查最簡二次根式的定義，熟練掌握最簡二次根式必須滿足的條件是解題的關(guān)鍵.

6.（22-23.全國.假期作業(yè)）計(jì)算（1一專一專一專）x（專+9+5+專）-（一專―?！猘一京）x（專+專

+專）的結(jié)果等于（）

A.iB.漁C.且D.在

2532

【答案】B

【分析】設(shè)。=a+3+專，原式變形后計(jì)算即可求出值.

【詳解】解：設(shè)a與+拚占

原式=（1-a）（a+*）~（1-a-xa

1nClnCl

『《「a西-"小忑

=V5

-5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的乘除法、分母有理化，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

7.（22-23下?南通?階段練習(xí)）滿足不等式魚。-1）>V52-可的最小整數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先求出不等式的解集為無>同-2,然后估算出同-2的取值范圍即可得到答案.

【詳解】解：072（%-1）>V52-V18,

0%—1>V26—3,

團(tuán)工>y[26—2,

[21V25<V26<V36>

團(tuán)5<V26<6,

團(tuán)2<V26-3<3,

團(tuán)滿足不等式魚。-1）>V52-g的最小整數(shù)是3,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一元一次不等式的整數(shù)解，無理數(shù)的估算，二次根式的混合運(yùn)算，正確求出不

等式的解集是解題的關(guān)鍵.

8.(22-23上?長沙?階段練習(xí))當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式右二W在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義()

A.%<5B.%>5C.%>5D.%<5

【答案】A

【分析】二次根式歷有意義的條件是a>0,據(jù)此解題.

【詳解】二次根式后三在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是5-x>0

???%<5

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

9.(22-23?浙江?自主招生)己知m=1+V2,n=1-V2,(m2-2m+a)(n2-2n-7)=12,則a的值為()

A.-5B.5C.-3D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得出爪2-2皿=1,1一2幾=1,代入等式，解關(guān)于a的一元一次方程即可求解.

【詳解】解：由n=1+&,幾=1一夜

0(m-I)2=2,(n-I)2=2,

0m2—2m=1,n2—2n=1,

又(巾2—2m+a)(n2—2n-7)=12

0(1+a)(l-7)=12

解得：a=—3,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，得出巾2—2巾=1,n2-2n=1是解題的關(guān)鍵.

10.(2223下?武漢?期中)已知尤=2+百，y=2-V3,則代數(shù)式'+'的值為()

xy

A.7B.14C.8V3D.4A/3

【答案】B

【分析】根據(jù)題意將x、y的值分別代入，求出x+y和久y的值，最后計(jì)算可得答案.

【詳解】解：當(dāng)支=2+百，y=2一百時(shí)，x+y=4,xy=(2+73)(2+V3)=1

VX

---1---

xy

（x+y）2c

------------z

xy

=16-2

=14

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握整體代入.

11.（2223上?太原?階段練習(xí)）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.V0?5B.—C.V8D.V3

【答案】D

【分析】利用最簡二次根式的定義對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論，二次根式滿足被開方數(shù)不含分

母，被開方數(shù)不含開得盡方的因數(shù)或因式，叫做最簡二次根式.

【詳解】解：A、鷹=卡,被開方數(shù)含有分母，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、后，被開方數(shù)含有分母，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、我=后"，被開方數(shù)中含有能開方的因數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、班是最簡二次根式，故本選項(xiàng)符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，熟練掌握二次根式滿足被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含

開得盡方的因數(shù)或因式，叫做最簡二次根式，是解答本題的關(guān)鍵.

12.（2324上?晉中?期中）已知a,b均為有理數(shù)，若（百—1）=a+bV3,則a—6的算術(shù)平方根是（）

A.V3B.2C.V5D.V6

【答案】D

【分析】由（百一=a+bB,可得3-2舊+1=4-2V5=a+bB,由a,b均為有理數(shù)，可得a=

4,b——2,a—b—6,然后求a-b的算術(shù)平方根5/a-6即可.

【詳解】解：ffl（V3-l）Z=a+hV3,

03—2A/3+1=4—2V3=a+bV3,

回a,b均為有理數(shù)，

團(tuán)a=4,b=—2,a—b=6,

0a-b的算術(shù)平方根為歷，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法，完全平方公式，算術(shù)平方根.解題的關(guān)鍵在于確定a、b的值.

13.（2223下?沙坪壩?期末）估計(jì)（何+VI耳）X1的值應(yīng)在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.7和8之間

【答案】C

【分析】先化簡計(jì)算，再估算判斷即可.

【詳解】團(tuán)（何+底）x*=后+碧=3+時(shí)，2<V5<3,

05<3+V5<6,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算思想，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算的法，正確

估算是解題的關(guān)鍵.

14.（2223上?南陽?階段練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.3V2—V2=3

C.V6+2=V3D.J（—4）X（—2）-V8=2V2

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可得到答案.

【詳解】解：A、V2+V3=V2+V3,計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、3V2-V2=2V2,計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、旄+2=手，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、V（-4）X（-2）=2V2,計(jì)算正確，符合題意，選項(xiàng)正確，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加、減、乘、除、四則運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

15.（22-23下,濱州?階段練習(xí)）下列各式計(jì)算正確的是（）

A.V6^（V3+V2）=^+^=V2+V3

22

B.（4-2V3）=16-（2V3）=4

C.V2+V3-?(V2+V3)=1

D.尸，=(遍+.(f-何=星—五

V5+V2V5+V2

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論.

【詳解】解：A.&++/)=,m=3/-2百,故A選項(xiàng)不正確，不符合題意；

''(V3+V2八V3-V2J

22

B.(4-2V3)=16-16V3+(2V3)=16-16百+12=28-16次，故B選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.V2+V3(V2+V3)V2+,V2+3-V6,故C選項(xiàng)不正確，不符合題意；

^V3+V2)[y3—\/2)

D.建行=*嚼浮■耳=型守=西—/，故D選項(xiàng)正確，符合題意；

V5+V2(V5+V2J(V5-V2J3

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則及分母有理化是解題的關(guān)鍵.

16.(22-23上?鶴壁?階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，則化簡|a—1|一2j(a-2尸的

結(jié)果是()

a

--1-------1~>

012

A.3—aB.la—5C.3i2+3D.3a—5

【答案】D

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)。在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)位置，得到1<a<2,再利用二次根式性質(zhì)將代數(shù)式化簡為|a-1|-

2|a-2|,由a的范圍得到a—l>0,a—2<0,利用絕對值的代數(shù)意義直接化簡即可.

【詳解】解：如圖所示，可知l<a<2,

CL-1>0,CL—2V0,

\CL-11-2-2)2

=\CL—11-21a—21

=CL-1+2(a—2)

=a-1+2a—4

=3CL5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查整式加減化簡代數(shù)式，涉及到數(shù)軸的定義、絕對值的代數(shù)意義和二次根式性質(zhì)等知識點(diǎn),

熟練掌握二次根式的性質(zhì)化簡，并利用絕對值的代數(shù)意義去絕對值是解決問題的關(guān)鍵.

17.（2223上?來賓，期末）計(jì)算（遍-2『°22x（W+2『°22的結(jié)果為（）.

A.1B.-1C.0D.±1

【答案】A

【分析】利用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)論.

［詳解］解：（百—2）2°22*（百+2『°22

=［（V3-2）X（V3+2）］2°22

=［3-4］2022

=1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算、平方差公式以及積的乘方，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則，并能結(jié)

合乘法公式進(jìn)行簡便運(yùn)算是解答此題的關(guān)鍵.

18.（22-23下?東營?期末）下列等式一定正確的是（）

A.V81=±9B.-，（一3尸=3C.D.V-33=-3

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可判斷A、B、C,根據(jù)立方根的性質(zhì)即可判斷D

【詳解】解：A.781=9,故本選項(xiàng)不符合題意；

B.-《3）2=-3,故本選項(xiàng)不符合題意；

C.當(dāng)a<0時(shí)，Va--a,故本選項(xiàng)不符合題意；

D.V-33=-3,故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了立方根的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)與化簡，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注

意:當(dāng)位0時(shí)，Va7-a,當(dāng)a<0時(shí)，Va7--a.

19.（2223下德宏?期末）下列各式中，計(jì)算正確的是（）

A.4（-2）2=-2B.2+V2=2A/2C.V2+V3=V5D.V2XV3=V6

【答案】D

【分析】利用二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則，逐一選項(xiàng)計(jì)算即可.

【詳解】解：A.，口*=2,故計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B.2與魚不是同類二次根式，不能合并，故計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C.或與百不是同類二次根式，不能合并，故計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D.V2XV3=V6,計(jì)算正確，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算和性質(zhì)，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.（22?23下?浙江?階段練習(xí)）已知x=/一=&+次，則代數(shù)式Jx?+2xy+y?+x-y-4的值

為（）

_V3_3_KYrVS—1

A-TB-;c-8TD--r

【答案】c

【分析】根據(jù)已知，得到刀+丫=魚一75+/+乃=2/,％-丫=近一71-四一百=一2百，整體思

想帶入求值即可.

【詳解】解：fflx=V2-V3,y=V2+V3,

團(tuán)%+y=V2—V3+V2+V3—2魚,x—y=V2—V3—V2—V3=-2V3,

S-7%2+2xy+y2+x—y—4=^/（x+y）2+（%—y）—4

=J（2&）2-2V3-4

=J8-2V3-4

=-2V3

=J（A/3）2-2A/3+1

=J（V3-1/

=V3—1.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡求值.熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則，利用整體思想進(jìn)行求解，是解題

的關(guān)鍵.

二、填空題

21.（2223上?渭南?期中）若最簡二次根式行方與有能合并，則￡1=

【答案】3

【分析】能合并就是同類二次根式，都化成最簡二次根式后被開方數(shù)相同，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：回最簡二次根式后方與向能合并

0a+2=5

解得：a=3

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式，掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

22.（22-23下,三門峽?階段練習(xí)）若g不I與京二I的被開方數(shù)相同，貝卜=.

【答案】2

【分析】根據(jù)被開方數(shù)相同列出方程求解即可.

【詳解】解：由題意得，2a+1=4a-3,

解得a=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式

稱為同類二次根式，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

23.（22-23下?宿遷?期末）計(jì)算4-國的結(jié)果為.

【答案】_炳

【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再合并，即可求解.

【詳解】解：1一V20=V5-2V5=—V5.

故答案為：-瓜

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，熟練掌握二次根式的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

24.（2223下?陽江?一模）若=T+|6+2|=0,則（a+人產(chǎn)必=.

【答案】一1

【分析】根據(jù)二次根式及絕對值的非負(fù)性得到a、b的值，再利用乘方的運(yùn)算法則即可解答.

【詳解】解：+2|=0,

團(tuán)a—1=0,Z?+2=0,

M=1,b=-2,

0（a+b）2°23=（1-2）2023=（—1）2023=一1,

故答案為-1；

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的非負(fù)性，絕對值的非負(fù)性，乘方的運(yùn)算法則，掌握二次根式及絕對值的非

負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

25.(22-23下?天津?期中)計(jì)算J(—0.3)2的結(jié)果是.

【答案】0.3.

【分析】根據(jù)后=同得到J(-03)2=I-0.3|,脫去絕對值即可求解.

【詳解】解：原式=|-0.3|=0.3.

故答案為：0.3

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式性質(zhì)后的化簡，熟知而=|可是解題關(guān)鍵.

26.(2223下?浙江?專題練習(xí))下列二次根式化為最簡二次根式：

(1)V45=；

(3)V0?5=

(4)jl|=——.

【答案】3函與乎學(xué)

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可.

【詳解】解：(1)V45=V9x5=3V5,

故答案為：3遍；

(2)曰=降=更,

故答案為：圣

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡，熟知二次根式的化簡方法是解題的關(guān)鍵.

27.(22-23下?駐馬店?階段練習(xí))符號"*"表示一種新的運(yùn)算,規(guī)定a*%=6?VF-篇，則4*2的值為

【答案】V2

【分析】根據(jù)題干信息列式計(jì)算即可.

【詳解】解：4*2=V4xV2-^

-V8-V2

-2V2-V2

=V2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算.

【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長，再把半和1都進(jìn)行平方，進(jìn)行比較大小.

根據(jù)題意得EL4B=V22+22=2A/2,

/<1,

9

碎<1,

3

故答案為：V.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，二次根式的大小比較，根據(jù)勾股定理得到A5的長是解題的關(guān)鍵.

29.（22-23上,雞西,期末）函數(shù)y=痣中，自變量x的取值范圍是—.

【答案】x<3且久H2

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分式分母不為0列出不等式，解不等式得到答案.

【詳解】由丫=空可得：

'x-2

（3-x>0

1%-2W0，

解得：x<3且％W0.

【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分式分母不為0是

解題的關(guān)鍵.

30.（22-23上?內(nèi)江?階段練習(xí)）若3<尤<5,則依一6%+9+V25+x2-10%=；

【答案】2

【分析】根據(jù)因式分解分別將根號內(nèi)的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)龍的取值范圍，化簡二次根式即可.

【詳解】解：E3<%<5,

ElVx2—6%+9+A/25+x2—10%=yj（x-3）2+J（x—5/=（刀—3）+（5—%）=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，二次根式的化簡，能夠熟練掌握因式分解是解決本題的關(guān)鍵.

31.（2223上?巴中?階段練習(xí)）如果代數(shù)式4y2—2y+5的值為7,那么，J2y2+11—y的值是.

【答案】2V3

【分析】根據(jù)題意先求出2y2—y的值，再整體代入所求的式子當(dāng)中即可.

【詳解】由題意得4y2-2y+5=7,

4y2—2y—2,

???2y2—y=1,

AJ2y2+11_y=V1+11=V12=2V3

故答案為：2次

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整體代入法求代數(shù)式的值，解題時(shí)要多注意觀察，切記不要直接去解一元二次方

程求出y的值，這是解題的關(guān)鍵.

32.（22?23上■長沙■階段練習(xí)）已知無=?^絲，y=巨婪，則4x?-3孫+4y2=____.

V17—35—V17

【答案】6

【分析】先把X和y的值分母有理化得到x=宇，丫=宇，貝卜一y=—%xy=l,再利用完全平方公

式變形原式得到4（久-y）2+5%y,然后利用整體代入的方法計(jì)算.

5-V17V17-3

【詳解】解：?.x=-f=—,y---

V17-3y5-V17

_（5-V17）（V17+3）_V17_1_（V17-3）（5+V17）_V17+1

"X=（V17-3）（Vr7+3）=~T~'y=（5-V17）（5+Vi7）=~1~，

x—y=-1%y=?1,

?,?原式=4（x—y）2+5xy

1°

=4x（--）2+5x1

=6.

故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值；二次根式運(yùn)

算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾.

33.（22-23下?無錫?階段練習(xí)）等式戶=已成立的條件是______.

-u1-xvl-x

【答案】0Wx<l

【分析】由二次根式有意義的條件、分式有意義的條件列不等式組求解即可.

【詳解】接：回戶=言

y1-Xy/1-X

f—>0

1—x

“1-x>0，解得°<x<1.

、%>0

故答案為。<X<1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式和分式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是二次根式的被開方數(shù)

為非負(fù)實(shí)數(shù)，分式有意義的條件是分式的分母不為零.

34.（22-23上?全國?單元測試）（1-2b）（1+2百）一（2百-1產(chǎn)的計(jì)算結(jié)果是（用最簡二次根式表

示）

【答案】-24+4V3

【分析】先根據(jù)平方差公式和完全平方公式計(jì)算，再合并同類項(xiàng)或同類二次根式化簡.

【詳解】（1—273）（1+2V3）-（2V3-I）2

=1-12-（12-4V3+1）

=1-12-12+473-1

=-24+473.

故答案為-24+4V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵，整式的乘法

公式對二次根式的運(yùn)算同樣適應(yīng).

35.(22-23?北京?專題練習(xí))已知<+2|+|1—幻=9一J(y—5尸一J(1+y)2,貝卜+y的最小值為

【答案】-3.

【分析】先對|%+2|+\l-x\=9——5尸—+丫尸變形,根據(jù)絕對值的意義得到+2|+|x—1|和

|y+1|+|y-5|為最小值時(shí)x、y的取值，進(jìn)而得到x+y的最小值.

【詳解】解：?；|x+2|+|1-x|=9-J(y-5尸一J(l+y)2,

|x+2|+|x-1|+|y+1|+|y-5|=9,

???|x+2|+|x-1|可理解為在數(shù)軸上，數(shù)x的對應(yīng)的點(diǎn)到—2和1兩點(diǎn)的距離之和；|y+1|+|y—5|可理解為

在數(shù)軸上，數(shù)y的對應(yīng)的點(diǎn)到-1和5兩點(diǎn)的距離之和，

二當(dāng)一|x+2|+|x-1|的最小值為3；

當(dāng)一l4y45時(shí),|y+1|+|y—5］的最小值為6,

???x的范圍為-2<x<1,y的范圍為-1<y<5,

當(dāng)x=-2,y=-l時(shí)，x+y的值最小，最小值為一3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡，絕對值的意義，能根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，并根據(jù)絕對值的

意義確定無、y的取值是解題關(guān)鍵.

三、解答題

36.(22-23下?武漢,期末)計(jì)算：

(1)V12-V18+V8(2)(2V3-2)(73+1)

【答案】⑴2V3-V2；(2)4

【分析】(1)先分別化簡各項(xiàng)，再作加減法；

(2)先將括號展開，再化簡各項(xiàng)，最后計(jì)算加減法.

【詳解】解：(1)V12-V18+V8

=2百-3夜+2夜

=2V3-V2

(2)(2V3-2)(V3+1)

=2WxV3+2V3-2V3-2

=6-2

=4

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則.

37.（2223上?長春?期末）已知x,y為實(shí)數(shù)，且y=-9+A/9—%+4,求?+后的值.

【答案】5

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出K、y,根據(jù)算術(shù)平方根的概念計(jì)算即可.

【詳解】解：回y=V7+5V+4,

0%—9>0,9—%>0,

=9,

團(tuán)y=4,

回?+y[y—V9+V5=3+2=5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

38.（2223上?資陽?階段練習(xí)）（1）口

⑵（2V2+V6）（2V2-V6）-（V3-2）2+V48x|x

【答案】（1）3Vab-^a；（2）5A/3-5

【分析】（1）先計(jì)算二次根式的除法，再算加減，即可解答；

（2）先計(jì)算二次根式的乘除法，再算加減，即可解答.

【詳解】解：（1）三代廬+（—白麻）+工R

b3,2\a

1—21—yTab

=37ab+Vah）+——

32a

.—2,—2a

=3y/ab+（--Tab）--j=

=3y[ab--a；

3

（2）（2V2+A/6）（2V2-V6）-（V3-2）2+V48x|x

ll15

=8-6-（7—4V3）+4V3X-X-

54

=2-7+4V3+V3

=5V3-5.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

39.（22?23下?全國?專題練習(xí)）已知：a=?+2,b=近一2,求：

(1)〃的值;

(2)a2+b2—3ab的值；

⑶若能為a整數(shù)部分，〃為6小數(shù)部分，求工的值.

m+n

【答案】⑴3

⑵13

⑶等

【分析】(1)代入求值即可；

(2)代入求值，可將(1)的結(jié)果代入；

(3)根據(jù)題意估算出相、"的值，代入分式，化簡計(jì)算.

【詳解】(1)解：0a=V7+2,b=V7-2,

Elab=(V7+2)(V7-2)

=7-4

=3;

(2)解：???a—V7+2,b—V7—2,ab—3,

a2+b2-3ab

=a2+b2-2ab—ab

=(a-b)2—ab

=[(V7+2)-(V7-2)]2-3

=(夕+2-夕+2)2—3

=42-3

=16-3

=13

(3)解：回機(jī)為〃整數(shù)部分，孔為。小數(shù)部分，a=V7+2,b=小一2,

0m=4,n=y/7—2

回二一=一J

m+n4+V7-2

1

-2+^7

_V7-2

—,

3

國上的值”.

m+n3

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化.

40.（22-23上?巴中,階段練習(xí)）已知a+工=3,求a2+2+VH+%的值.

【答案】7+V5

2

【分析】利用完全平方公式可得（。+￡）=小+2+*=9進(jìn)而可以求出小+[=7,同理可得

（VH+；）=a+2+-=5,求出五+%=函即可得到答案.

【詳解】解：回。+工=3,

a

團(tuán)（a+1）=4+2+二=32=9,a>0,

\aJaz

回—-=7,

az

團(tuán)（VHd—尸=a+2H—=3+2=5,

\ya/a

HVtt+-^=V5,

7a

團(tuán)--+-\/HH—F=7+A/^.

azVa

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，正確根據(jù)題意得到（a+￡）=小+2+*,

=a+2+[是解題的關(guān)鍵.

\yjaja

41.（22?23下?賀州■期中）已知久=2+V7,y=2-夜'，求代數(shù)式*一久2y2的值.

【答案】13

【分析】將無、y的值代入代數(shù)式求值即可.

【詳解】解：依題意，可得

x2+y2-x2y2=（2+V7）2+（2-V7）2—（2+V7）2x（2-V7）2

=4+4V7+7+4-4V7+7-[22-（⑺

=4+7+4+7-（—3）2

=13.

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的求值計(jì)算，涉及根式的混合運(yùn)算，運(yùn)用完全平方公式和平方差公式簡化運(yùn)算

是解題的關(guān)鍵.

42.（22-23上?資陽?期中）化簡求值：[（%-2y）2-（2%+y）（久一4y）-（-%+3y）（%+3y）]+其中

Vx—4+V4—x_

V=2------2-

【答案】一梟+|y,-21

【分析】先通過乘法公式和整式的混合運(yùn)算法則，化簡，再根據(jù)二次根式的非負(fù)性，求出x,y的值，代入

求解即可.

【詳解】原式二—4xy+4y2—（2x2—8xy+xy—4y2）—（9y2—%2）]+

=[x2—4xy+4y2-2x2+8xy-xy+4y2-9y2+x2]+（一|y）

=[3xy-y2]+（一|y）

=——9x+,-3y,

22,

0Vx-4+V4-xr

0y=2—2,

0x-4>O,4-x>O,BP：x=4,

團(tuán)y=-2,

團(tuán)原式二一~x+—y=——x4+—x（—2）=—18+（—3）=-21

【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的化簡求值以及二次根式的非負(fù)性，熟練掌握完全平方公式和整式的混合運(yùn)算

法則，是解題的關(guān)鍵.

43.（22-23?杭州?）仔細(xì)閱讀以下內(nèi)容解決問題：第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，設(shè)兩條直角邊的邊長為a,

b,則面積為[ab,四個(gè)直角三角形面積和小于正方形的面積得：a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號.在

a2+b2>2ab中，若a>0,b>0,用府、VF代替a,b得,a+b>2y[ab,即與士>4ab（*）,我們把（*）

式稱為基本不等式.利用基本不等式我們可以求函數(shù)的最大最小值.我們以“已知X6R,求丫=筌的最小

Vx2+1

值”為例給同學(xué)們介紹.

解：由題知y=粵二=A/^TI+sVx^Tl>0,74=>0，

vx2+lvx2+lVx2+1

2

[Uy=Vx+1+-?==>2/A//+i?::=28,當(dāng)且僅當(dāng)J/+1=J=時(shí)取等號,即當(dāng)％=±四時(shí),

JVx2+17Vx2+1Vx2+1

函數(shù)的最小值為2，5.

總結(jié)：利用基本不等式等之技(。>0/>0)求最值，若仍為定值，則Q+b有最小值.

請同學(xué)們根據(jù)以上所學(xué)的知識求下列函數(shù)的最值，并求出取得最值時(shí)相應(yīng)久的取值.

(1)若%>0,求函數(shù)y=2%+1的最小值；

(2)若久>2,求y=%+27；的最小值；

(3)若久>0,求函數(shù)y=*+第;*的最小值.

【答案】(1)x=1,ymin=4；(2)%=3,ymin=4；(3)x=1,ymin=6

【分析】(1)仿照上面的例子變形得到y(tǒng)=2無+：=2x+/,求出最小值即可；

(2)仿照上面的例子變形得到y(tǒng)=x+±=x—2+￡+2,求出最小值即可；

(3)仿照上面的例子變形得到y(tǒng)=/歲==百+2+言？求出最小值即可.

【詳解】解：⑴由題知y=2x+：=2x+親

0%>0,

國2x>0

Sy=2x+^>2〔2%.[=4,當(dāng)且僅當(dāng)2%=/時(shí)取等號，

即當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)的最小值為4；

(2)由題知y=%+二=%—2+白+2,

0x>2,

團(tuán)％—2〉0

團(tuán)y=%—24------F2之2/（X—2）------F2=2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)久—2=—時(shí)取等號，

'x-27'x-2x-2

即當(dāng)％=3時(shí)，函數(shù)的最小值為4；

（3）由題知y=學(xué)出=%+4\+4+9=專四=?+2+/,

V^+2yJX+2.yjX+lyJX+2

Hx>0,

^\[x+222

0y==Vx+2+>2/（Vx+2）=6,當(dāng)且僅當(dāng)y+2=時(shí)取等號，

JVx+27''VX+2Vx+2

即當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)的最小值為6.

【點(diǎn)睛】本題是對二次根式和不等式的綜合考查，讀懂題意，準(zhǔn)確變形是解決本題的關(guān)鍵.

44.（22-23下?東莞?階段練習(xí)）計(jì)算：（/-3）2+（國+2遙）七百

【答案】11-V2

【分析】利用完全平方公式和二次根式除法計(jì)算，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算即可.

【詳解】解：（/-3）?+（回+2乃）+百

lV542V6

=2—6v2+9-1——4——

V3V3

=2-6V2+9+3V2+2V2

=11-72

【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

45.（2324上?漢中?階段練習(xí)）計(jì)算：V24-V6+V8.

【答案】4

【分析】根據(jù)二次根式的除法，立方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：V24-V6+V8

=2\/64-V6+2

=2+2

=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的除法，立方根，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

46.（22-23下?臨沂?期中）計(jì)算：

⑴JI+遮一居

(2)V3-2V2-|V2-V3|

【答案】⑴:

(2)-V2

【分析】(1)運(yùn)用二次根式的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值即可；

(2)利用二次根式的運(yùn)算法則和絕對值的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；

【詳解】(1)原式W+2—9

5

———?

4’

(2)原式=百一2近一rV3-V2；

=舊-2V2-V3+V2

=-V2.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的加減運(yùn)算和去絕對值的技巧.熟練掌握二次根式的運(yùn)算技巧是解決本題的關(guān)

鍵.

47.(22-23下?昆明?期末)閱讀下列計(jì)算過程：

11X(V2-1)「

-ZZ-----=-^-=------、,L-----T=V2—1

V2+1(V2+1)(72-1)

1義(1&)7T

V3+V2(V3+V2)(V3-V2)

」-=1(")=近一2

V5+2(V5+2)(V5-2)

(1)根據(jù)上面運(yùn)算方法，直接寫出修丁=；

Vn+1+Vn---------------------------

(2)利用上面的解法，請化簡：

1111

―;==-----+—-------------+—-------------+-I-------------------

V2021+V202042020+V2019V2019+V2018V2+1

(3)根據(jù)上面的知識化簡小〒

Vn+l+Vn

【答案】(1)-n+1—匹;(2)V2021—1；(3)7n+1-瓜

【分析】(1)觀察上面的所給實(shí)例，直接寫出結(jié)果即可；

(2)對每個(gè)式子進(jìn)行化簡，然后合并即可；

(3)觀察實(shí)例，對式子化簡即可.

【詳解】解：(1)觀察實(shí)例可以得到-L=一匹

vn+l+vn

(2)/——一~/+廣…一一~/+/----------~……--+…+-p—

V2021+V2020V2020+V2019V2019+V2018<2+1

=(V2021+V2020)+(V2020-V2019)+(V2019-72018)+...+(迎-1)

=72021-1

(3)1__+1-訴

Vn+l+Vn(Vn+1+Vn)(y/n+1-Vn)

Vn+1—Vn

(n+1—n)

=Vn+1—y/n

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的分母有理化，觀察例題掌握有理化的方法是解題的關(guān)鍵.

48.(2223上?成都?階段練習(xí))計(jì)算：

(1)7184-V3xV2

(2)V27-+V12

⑶G)+x(_^3)-|2-V6|

【答案］⑴2次

''3

(3)4-3V6

【分析】(1)運(yùn)用二次根式的性質(zhì)公式及乘除法運(yùn)算法則處理；

(2)運(yùn)用二次根式的性質(zhì)公式及加減法法則處理；

(3)運(yùn)用負(fù)整數(shù)指數(shù)累運(yùn)算法則、絕對值性質(zhì)公式、二次根式乘法法則及實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則處理.

【詳解】(1)原式=V6xV2

=2V3；

(2)原式=

=-14-V-3-

3，

(3)原式=2—遮x遙―(迎一夜)

=2-2V6-V6+2

=4-376.

【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算以及二次根式的化簡、絕對值的化簡、負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉；熟練掌握運(yùn)

算法則是解本題的關(guān)鍵.

49.(22-23下?武漢?階段練習(xí))閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個(gè)

式子的平方，如3+2夜=(1+或)，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a+&b=(m+&n)(其中°、

b、m、九均為正整數(shù))，則有a+/力=巾2+2/+二a=zu?+2聲，b=2mn.這樣小明就找到

了一種把部分a+的式子化為平方式的方法.請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

2

⑴當(dāng)〃、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+y/6b=(m+V6n),用含m、n的式子分別表示〃、b,得：a=,

b=；

(2)若a+4v=(m+百切,且“、相、”均為正整數(shù)，求a的值；

⑶化簡：V21+V80.

【答案】⑴小2+6n2；2mn

(2)a=13或7；

(3)275+1

【分析】(1)利用完全平方公式展開得到(m+n九)2=病+6/+2n小幾，從而可用m、n表示a、b；

(2)直接利用完全平方公式，變形得出答案；

(3)直接利用完全平方公式，變形化簡即可.

【詳解】(1)解：??,(TH+yj6n)=m2+6n2+2V6mn,a+y/6b=(m+V6n),

???a=m2+6n2,b=2mn.

故答案為：m2+6n2；2mn.

22

(2)解：v(m+V3n)=m2+3n2+2y/3mn,a+4A/3=(m4-V3n),

a=m24-3n2,mn=2,

vm>九均為正整數(shù)，

m=1>n=2或7n=2,n=1,

a=13或7；

(3)解：V21+V80=720+4V5+1=J(2V5+if=2^5+1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，完全平方公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記完全平方公式.

50.(22-23下?六安?階段練習(xí))觀察下列運(yùn)算：

①由(a+1)(/一1)=1,得六=四一1;

由(舊+魚)(百一/)=1,得病匕=,一夜；

由(〃+百)(>/%-V5)=1,得=四一百；

⑴由上述規(guī)律，直接化簡：金=_;

(2)通過觀察你得出什么規(guī)律？用含〃(n20且為整數(shù))的式子表示出來：焉+二=_；

⑶利用⑵中你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：京+高+春+春?

【答案】⑴4一2

(2)Vn+1—Vn

(3)6-2A/5

【分析】(1)根據(jù)題目中給出的式子，可以直接寫出所求式子的結(jié)果；

(2)根據(jù)題目中的例子，利用平方差公式，可以寫出所求式子的結(jié)果；

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)果和所求式子的特點(diǎn)，可以計(jì)算出所求式子的值

【詳解】(1)解：由題意可得，

金=*-2，

(2)解：號訴

Vn+1—Vn

(yjn+1+Vn)(Vn+1—Vn)

=Vn+1—Vn,

(3)解：V6+V5+V7+V6+2V2+V7+V9+2V2

=2(V6-V5+V7-V6+V8-V7+V9-V8)

=2(V9-V5)

=6—2^5.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算、平方差公式、分母有理化，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

【能力提升】

51（2223下?福州?期中）閱讀下面的材料，解答后面給出的問題：

兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，

例如迎與迎，a+1與&-1.這樣，化簡一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí)，采用分子、分母同乘以分母

的有理化因式的方法就可以了，例如：

V2_V2XV3_V62_2（3+V3）_2（3+B）_2（3+何_3+^3

V3-V3XV3-3'3-V3-（3-V3）（3+V3）-9-3-6-3

⑴請你寫出3+夕的有理化因式：；

（2）請仿照上面給出的方法簡化號（根豐1）；

⑶已知Q=求刊引+3+2的值.

【答案】⑴3-夕

（2）1—y/m

（3）275

【分析】（］）根據(jù)有理化因式的定義即可解答；

（2）根據(jù)一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí)，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法進(jìn)行化簡；

（3）通過分母有理化可化簡a、b,從而求出a+b、ab,根據(jù)Va?+板+2=+。產(chǎn)-2ab+2,將a+b,

ab的值代入即可求解.

【詳解】（1）解：???（3+V7）（3-夕）=9一7=2,

.??3-夕是3+夕的有理化因式，

故答案為：3—V7；

⑵解:磊

（1—m）（l—4m）

（1+—Vni）

（1—m）（l—y/m）

1—m

=1—Vm；

（3）解：???a=J2=V5+2,b==V5—2,

???a+b=V5+2+V5—2=2星,ab=(V5+2)(V5—2)=1,

???yja2+b2+2

=J(a+b)2-2ab+2

=J(2⑹2-2x1+2

=V20