圓錐曲線軌跡全歸納-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單（解析版）

專題22圓錐曲線軌跡全歸納

更盤點(diǎn)?置擊看老

M目錄

題型一：定義法：圓型............................................................................1

題型二：橢圓定義型..............................................................................3

題型三：雙曲線定義型............................................................................6

題型四：拋物線定義型...........................................................................9

題型五：直接設(shè)點(diǎn)型.............................................................................13

題型六：相關(guān)點(diǎn)代入法...........................................................................16

題型七：交軌法.................................................................................18

題型八：參數(shù)消參法............................................................................21

題型九：空間型：坐標(biāo)法.........................................................................24

題型十：空間型：截面型曲線軌跡.................................................................29

題型十一：空間型：雙球圓錐型...................................................................33

題型十二：立體幾何定角型.......................................................................37

題型十三：復(fù)數(shù)中的軌跡........................................................................41

更突圍?錯(cuò);住握分

題型一：定義法：圓型

指I點(diǎn)I迷I津

如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的定義，可直接寫出所

求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法.

平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑.

(1)若直線含參，參數(shù)在x系數(shù)出，則不包含豎直，如y=k(x-1)+1,不含想x=1

(2)若直線含參，參數(shù)在y的系數(shù)出，則不含水平，如x+m(y-1)+2=0,不含y=1

(3)若直線參數(shù)在常數(shù)位置，則為一系列平行線，如x+y+c=0與y=-x平行

1.(22-23高三?四川綿陽,階段練習(xí))已知加eR,若過定點(diǎn)A的動(dòng)直線4：+機(jī)-2=。和過定點(diǎn)8的動(dòng)

直線小丁-4=-加尤+2)交于點(diǎn)?(尸與A,B不重合)，則錯(cuò)誤的是()

A.A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)B.點(diǎn)尸的軌跡方程Y+y2-5y=0

C.R42+PB2=25D.2B4+P3的最大值為5班

【答案】B

【分析】求出直線恒過的定點(diǎn)可判斷A,由已知可得兩條直線互相垂直，由此可驗(yàn)證B、C,由已知可得m，PB,

設(shè)=進(jìn)而求出2R4+P8的最大值，即可判斷D.

【詳解】由動(dòng)直線4：x-，〃y+〃L2=。，得％-2+機(jī)(1一))=0,所以定點(diǎn)4(2,1),故A正確；

由動(dòng)直線4：y-4=Tw(x+2),可得5(-2,4),

由:x-wy+/W-2=0和4："zx+y-4+2機(jī)=0,滿足lx機(jī)+(-〃j)xl=0

所以ZjL/z，可得R4_LPB,

22

所以+|PB|=|AB|=(2+2)2+(1-4)2=25,故c正確；

設(shè)尸(x,y),則(x-2y+(y-l)2+(x+2)2+(y-4)2=25,

即點(diǎn)尸的軌跡方程為Y+y2-5y=0,而尸與A,8不重合，貝ljxw：±2,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)樵O(shè)=。為銳角，則|B4|=5cos。，|PB|=5sin。，

所以2|R4|+|P同=5(2cose+sin6)=5gsin(e+。),

所以當(dāng)sin(O+0)=l時(shí)，2|上4|+|正外取最大值5石，故D正確.

故選:B.

2.(2022高三?全國?專題練習(xí))設(shè)機(jī)?R,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+沖+機(jī)=0和過定點(diǎn)8的動(dòng)直線5-y-m+2=0

交于點(diǎn)尸@y),則I正如+1尸例的取值范圍是()_

A.[V5,2A/5]B.[A/10,275]C.[而4的D.[2下,4布]

【答案】B

【分析】先由兩直線方程求出48的坐標(biāo)，由于兩直線垂直，所以|叢|2+|四|2=|48|2=10,若設(shè)/45「=6,

則1PAi=Msin。，|PB|=710cos然后表示出I尸A|+1P81變形后，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得其范圍.

【詳解】解：由題意可知，動(dòng)直線x+my+m=。經(jīng)過定點(diǎn)A(0,-l),

動(dòng)直線M-y-相+2=0,即加(x-l)-y+2=0,經(jīng)過點(diǎn)定點(diǎn)8(1,2),

...動(dòng)直線x+沖+機(jī)=。和動(dòng)直線-丫-相+2=0的斜率之積為一1,始終垂直，

尸又是兩條直線的交點(diǎn)，E4J_PB,」如F+1尸8/=|AB/=10.設(shè)ZABP=0,貝！]|PA|=癡sin。，|P81=VHicos。，

由|PA|..O且|尸8|..0,可得6e[0,―]:\PA\+\PB\=^(sin9+cos6>)=275sin(6>+-),0e[0,—],

242

.?.8+feC，^],Sin(0+-)e[^,1],2氐in(。+f)e,26],故選：B.

444424

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線過定點(diǎn)問題，考查兩直線的位置關(guān)系，考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的

關(guān)鍵是由已知得到\PA^+\PB|2=|AB|2=10,通過三角換元轉(zhuǎn)化為利用三角函數(shù)的性質(zhì)求IPA\+\PB\的取值

范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

3.(24-25高三?福建廈門?階段練習(xí))已知。(0,0),。]。,當(dāng))直線4：依-y+2左+3=0,直線

l2:x+ky+3k+2=0,若尸為44的交點(diǎn)，則31Poi+2|PQ|的最小值為()

A.3y/3B.6—3A/2C.9-3,\/2D.3+*\/6

【答案】A

【分析】利用直線過定點(diǎn)及兩直線位置關(guān)系先確定P的軌跡，取點(diǎn)構(gòu)造相似結(jié)合三角形三邊關(guān)系計(jì)算即可.

【詳角單】因?yàn)橹本€4：質(zhì)一y+2%+3=0,直線4:x+外+3上+2=。，易知/1J.4，

且44分別過定點(diǎn)4(一2,3),3(—2,-3),取其中點(diǎn)C(—2,0),易知APL5尸,

則尸點(diǎn)在以C為圓心，3為半徑的圓上，取點(diǎn)連接PE,QE,QP,

不難發(fā)現(xiàn)p注c=CWO=2]，貝【「△月。。?△ECP,所以P胃O=12

則3|尸。|+2\PQ\=2(|PE|+|Pe|)>2\QE\=2^QO2+OE2=36,

當(dāng)且僅當(dāng)P、。、E三點(diǎn)共線，且P與線段和圓C的交點(diǎn)重合時(shí)取得等號.

故選：A.

4.（22-23高三?福建莆田?階段練習(xí)）已知機(jī)eR,若過定點(diǎn)A的動(dòng)直線乙：x-邛y+根-2=。和過定點(diǎn)3的動(dòng)

直線4：y-4=-根（X+2）交于點(diǎn)尸（P與4,8不重合），則下列結(jié)論中正確的是（）

A.A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,1）B.點(diǎn)尸的軌跡方程/+y2-5y=0

C.PA2+PB2=25D.2R4+PB的最大值為56

【答案】ACD

【分析】根據(jù)定點(diǎn)判斷方法、直線垂直關(guān)系、勾股定理、三角函數(shù)輔助角求最值即可得解.

【詳解】對于選項(xiàng)A：

I1:兀_沖+根—2=0可以轉(zhuǎn)化為機(jī)（l_y）+%_2=0,

故直線恒過定點(diǎn)A（2,1）,故該選項(xiàng)正確；

對于選項(xiàng)C：4：y_4=T〃（x+2）恒過定點(diǎn)8（-2,4）,由/,:x-my+m-2=0和l2:twc+y-4+2m=0,

足lx"z+（—m）xl=0,所以可得PA±PB,所以砰=（2+2）2+（1—4）2=25,故

C正確；

對于選項(xiàng)B：設(shè)P（x,y）,則（x-2）2+（y-l）2+（x+2）2+（y-4）2=25,

即點(diǎn)P的軌跡方程為f+丁_5y=0,而P與A,B不重合，則挖去A,B兩點(diǎn)故B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D：

因?yàn)镻A±PB,設(shè)NPAB=e,e為銳角,則|M=5cosa網(wǎng)=5sin6,

所以2|到+|尸目=5（2cos6+sine）=58in（6+°）,所以當(dāng)sin（。+同=1時(shí)，2\PA\+\PB\取最大值5百,

故D正確.

故選：ACD.

5.（22-23高三?新疆烏魯木齊?階段練習(xí)）設(shè)加eR,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+畋+1=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線

m-丫-2%+3=。交于點(diǎn)尸（x,y）,則尸點(diǎn)的軌跡方程是

【分析】根據(jù)兩直線的方程可求得定點(diǎn)A、3的坐標(biāo)，以及兩直線垂直，進(jìn)而可得尸點(diǎn)的軌跡是以AB為直

徑的圓，即得.

【詳解】由x+股+1=0可知=所以該直線過定點(diǎn)4（一1,0）,

由〃zx-y-2機(jī)+3=0可得加（％-2）=,一3,所以該直線過定點(diǎn)3（2,3）,因?yàn)?XM7—M7X1=O,

所以直線x+叼+1=0與力叱->-2m+3=0垂直，所以24_1_尸3,即尸點(diǎn)的軌跡是以A3為直徑的圓,

所以尸點(diǎn)的軌跡方程是口-二1-1j=㈠一?”,即

題型二：橢圓定義型

；指I點(diǎn)I迷I津：

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓：

；的點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距

二石6五一缸而近語:麗5而百~~^POQ=60°~尊研碗7鬲運(yùn)轉(zhuǎn)%-2'?有"謝不誦:萬名'VABC鬲’

重心，B,C分別在射線。尸，。。上運(yùn)動(dòng)，記/的軌跡為C1,G的軌跡為G,則（）

A.G為部分圓，a為部分橢圓B.G為部分圓，G為線段

c.G為部分橢圓，C?為線段D.G為部分橢圓，c2也為部分橢圓

【答案】c

【分析】建系如圖，由兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)M的軌跡方程，由此得G為部分橢圓；過

點(diǎn)A作與y軸垂直的直線分別交0尸于點(diǎn)E,交OQ于點(diǎn)尸，得等邊"EF,由平面幾何可得G是等邊AOEF

的外心，由此可得點(diǎn)G的軌跡G為y軸在曲線內(nèi)的一段線段.

【詳解】以。為原點(diǎn)，以NPOQ的角平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.

依題意得直線OQ的方程為y=^3x,直線。尸的方程為y=-瓜.

設(shè)點(diǎn)8伍,一回)，C(c,V3c),由因=2得僅一c)z+3僅+4=4(*),

x=b+c=2x

設(shè)點(diǎn)M(x,y)，因?yàn)镸是8c的中點(diǎn)，所以＜

y=

4J\

將其代入(*)得；/+12無2=4,即可+了一1,故M的軌跡C］為橢圓在4POQ內(nèi)部的部分.

3

過點(diǎn)A作與y軸垂直的直線分別交O尸于點(diǎn)E,交0Q于點(diǎn)F,貝心OEF顯然也是等邊三角形.

下面證明等邊VABC的重心G即等邊AOEF的外心.

設(shè)/OCB=e,貝IjNOBC=120。一6=ZAC尸，又N3OC=NCE4=60°,且BC=AC,所以尸G4,

因此OC=AF.

在AOGC和△/G4中，ZOCG=0+30°=ZFAG,又G4=GC,所以AOGC=G4,則OG=fU,同理可

證OG=EG,即點(diǎn)G是等邊AOEF的外心，所以，點(diǎn)G在》軸上移動(dòng)，故點(diǎn)G的軌跡g為y軸在曲線C1內(nèi)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解決本題的關(guān)鍵.

,rr,irr

2.(2024?浙江紹興?模擬預(yù)測)單位向量力向量分滿足k+6卜1夕6+2,若存在兩個(gè)均滿足此條件的向量

irirzirrx

瓦,￡,使得優(yōu)+%=X他+a),設(shè)￡,瓦,￡在起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，終點(diǎn)分別為4穌當(dāng).則S△四當(dāng)?shù)淖畲笾?)

A.2上B.6C.4D.2

【答案】B

22

【分析】設(shè)商=(1,。)，方=(x,y),整理得?+］=i,可知點(diǎn)用,當(dāng)在橢圓上，設(shè)層關(guān)于點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為名，

分析可知A,Bt,B3三點(diǎn)共線，結(jié)合橢圓性質(zhì)分析求解.

【詳解】由題意不妨設(shè)萬=(1,0),b=(x,y),貝U?+B=(x+l,y),

因?yàn)殁?W=］萬,6+2,則+1)~+y2=—x+2,整理得+=1,

可知向量B的終點(diǎn)B的軌跡為橢圓，且4（1,0）為橢圓的右焦點(diǎn)，

可知點(diǎn)耳㈤在橢圓上，設(shè)與關(guān)于點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為名，因?yàn)橥?￡=彳（￡+可，則瓦=（彳-1）￡+熱，

yjk

——廠'^

可得。4=（1—4）083+23，由（1一九）+2=1可知A為鳥三點(diǎn)共線，一~9多Z}勺

x

設(shè)耳G，X）,因?yàn)椤榫€段當(dāng)員的中點(diǎn)，則山鄉(xiāng)q=2%期=2x；|o4聞=回區(qū)右，

當(dāng)且僅當(dāng)月為短軸頂點(diǎn)時(shí)，等號成立，所以S△叫&的最大值為6?故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩點(diǎn)：

L設(shè)@=（1,0）,石=（x,y）,求得向量B的終點(diǎn)B的軌跡為橢圓；

2設(shè).B2關(guān)于點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為鳥，可知A綜鳥三點(diǎn)共線.

3.（23-24高三上?上海?模擬）設(shè)圓。]和圓。2是兩個(gè)定圓，動(dòng)圓P與這兩個(gè)定圓都相切，則動(dòng)圓尸的圓心的

軌跡不可能是（）

00（OC

【答案】A

【分析】按動(dòng)圓P與圓。I、圓。2內(nèi)切、外切情況分類，結(jié)合橢圓、雙曲線定義確定軌跡的可能情況即得.

【詳解】設(shè)動(dòng)圓尸的半徑為「，圓。1和圓。2的半徑分別是小4，

①當(dāng)4=馬，且兩圓外離時(shí)，|。。2>4+4，

r+r=O,P\r—ry=O,P

若圓尸與圓。1、圓。2都外切或都內(nèi)切，則有或_JD，

r+^2—Cz2r丫2—'*

于是11=1O2P\,此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是線段。。2的中垂線；

r-r,=0,P[r+r,=0,P

若圓尸與圓。|、圓。2一個(gè)外切一個(gè)內(nèi)切，則有八。或JD

r+r2=O2Pr-r,=O2P

于是11。佇-|。2Pll=：i+4,此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，

因此此時(shí)點(diǎn)尸的軌跡是一條直線和一個(gè)雙曲線，B可能；

②當(dāng)4片4，且兩圓內(nèi)含時(shí)（不妨設(shè)。馬），1OXO2\<rx-r2<rx+r2,

若圓尸與圓。1、圓。2都內(nèi)切，貝第'L即有|qp|+|QH=L0此時(shí)尸點(diǎn)軌跡為橢圓；

T—丫2=。2門

r,-r=0,P\1111

若圓尸與圓。I內(nèi)切、與圓。2外切時(shí)，貝I有_'即有|0/|+|。2尸|=

r.+r2,此時(shí)尸點(diǎn)軌跡為橢圓;

r+R—

因此尸點(diǎn)軌跡為兩個(gè)橢圓，C可能；

③當(dāng)兩圓々片弓且兩圓外離時(shí)（不妨設(shè)石>4）,1。。2\>rx+r2>rx-r2,

r+r,-O,P\fr-r=0,P\

若圓P與圓。1、圓o?都外切或都內(nèi)切，則有或1_'L

廠+乃二02門|r一2二02門

有I?PI—iaHI=La，尸點(diǎn)軌跡為雙曲線；

r-n=O,P\fr+r=0P\

若圓尸與圓。1、圓。2一個(gè)外切一個(gè)內(nèi)切，則有或}

有|qr—14尸|=卷+々,尸點(diǎn)軌跡為雙曲線,

因此尸點(diǎn)軌跡為兩個(gè)雙曲線，D可能；

而兩個(gè)圓相交或相外切時(shí)，P點(diǎn)軌跡是被直線。。2分成的不連續(xù)的兩段圖形，軌跡不可能是完整的橢圓

兩圓內(nèi)切時(shí)，P點(diǎn)軌跡是直線。。2被其中較大的圓分成的在該圓外部的兩條射線(不含端點(diǎn))，A不可能.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及軌跡形狀的判斷問題，利用基本軌跡定理、橢圓、雙曲線及拋物線定義是求解問

題的關(guān)鍵.

4.(23-24高三?陜西榆林?模擬)已知點(diǎn)N(2,0),動(dòng)點(diǎn)A在圓跖(尤+2丫+/=64上運(yùn)動(dòng)，線段AN的垂直

平分線交AM于尸點(diǎn)，則尸的軌跡方程為；若動(dòng)點(diǎn)0在圓(x+iy+y2=1上運(yùn)動(dòng),則|尸0的最大值為.

22

【答案】—r+^v=16

1612

【分析】由題意得出R4=PN,得到點(diǎn)P滿足|PM|+|PN|=8>4,根據(jù)橢圓的定義，求得點(diǎn)P表示MN為

焦點(diǎn)的橢圓，即可求解.

將求盧。|最大值的問題，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)尸到圓心C(-LO)距離最大值的問題，結(jié)合點(diǎn)P滿足橢圓方程，轉(zhuǎn)化為

二次函數(shù)求給定區(qū)間的最大值即可.

【詳解】由題意，圓(x+2)2+V=64的圓心為M(-2,0),點(diǎn)N(2,0),線段AN的垂直平分線交AM于點(diǎn)尸，

所以尸是⑷V的垂直平分線上的一點(diǎn)，所以|即=|PN|,又由|AM|=8,所以點(diǎn)P滿足1PMi+|尸兇=8>4,

根據(jù)橢圓的定義，可得點(diǎn)尸表示為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a=8,2c=4,

22

可得a=4,c=2,所以=7=12,所以橢圓的方程為—+匕=1.

1612

22?

,?,圓C的方程為(x+iy+y2=i,.?.圓心c(-l,o),半徑廠=1,設(shè)尸(x,y),則友+氣=1,j?二口一廣，

P到圓心C的距離1Pq=J(x+l)2+y2=^(X+1)2+12-|X2=￡(x+4)2+9,

又無目T,4].?.當(dāng)x=4時(shí)，|PC|取得最大值5,尸。的最大值為：1Pqim+廠=5+1=6,

22

故答案為：上+二=1,

1612

題型三：雙曲線定義型

指I點(diǎn)I迷I津

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定

點(diǎn)做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

1.(22-23高三?江西?階段練習(xí))已知點(diǎn)電,2后)，8(2夜,0),點(diǎn)尸為圓X2+/-5A/2X+V2j+12=0上一

點(diǎn)，則|叫T冏的最小值為()

A.2B.4C.逑D.盛

55

【答案】D

【分析】A,8為兩個(gè)定點(diǎn)，問題可轉(zhuǎn)化為以A,8為焦點(diǎn)的雙曲線與圓有交點(diǎn)，由此求|網(wǎng)-|尸目的最小值.

【詳解】圓C：X2+/-5A/2X+圓心

(5^2㈤

c

2'2

I乙乙)

由％AB=%BC=-1,所以A,B,C二點(diǎn)共線,

問題可以轉(zhuǎn)化為：已知點(diǎn)4(-2,0),8(2,0),點(diǎn)尸為圓C:(x-3)2+y2=l上一點(diǎn)，求121H冏的最小值,

設(shè)4Hp3|=2a(a>0),則點(diǎn)尸軌跡為以A,8為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

22

雙曲線方程為二-一二=1,由點(diǎn)尸在圓C:(X-3)2+/=1上，所以雙曲線與圓有交點(diǎn),

a4—a

尤2/

=1

由-a14-a2,消去y,得4——6a2工+々4+4/=0,

。-3)“2=1

42

224=20fl-64a>0,解得心拽,

A=(-6fl)-16(fl+4?,2

5

則|PA|-|尸8|=2a2竽，所以附-阿的最小值竽.

故選：D

【點(diǎn)睛】1.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)

準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系，求出a,6的值.

2.解答曲線與曲線相交的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助

根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，要強(qiáng)化聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能

力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.

2.(21-22高三?江蘇南通?階段練習(xí))在矩形WA中，AA=8,AB=6,把邊AB分成w等份，在83的

延長線上，以B'B的“分之一為單位長度連續(xù)取點(diǎn).過邊上各分點(diǎn)和點(diǎn)A作直線，過*8延長線上的對應(yīng)

分點(diǎn)和點(diǎn)A作直線，這兩條直線的交點(diǎn)為P,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P滿足的方程可能是()

22

D.---^=l(x>8,y>0)

6436、'

【答案】C

【分析】設(shè)尸(1,%),結(jié)合題意找出/與%的關(guān)系式，即可求解.

【詳解】設(shè)%),貝斯“，為N。，根據(jù)題意，易得直線lA.P:y=(x+4),直線:y=七(x-4).

由心：y=U、(x+4),令無=4,得>=&、，因此邊A2上各分點(diǎn)坐標(biāo)為

尤o+4%+4(xo+4)

由L：y=(x-4),令y=6,得元=研“。-4)+4,因此臺為延長線上的對應(yīng)分點(diǎn)坐標(biāo)為|鮑二夕+4,6

%-4%I%

65-4)8%72

結(jié)合題意，可知y0%+4，化簡得無-九=1.

——=-^—169

86

22

因此點(diǎn)P滿足的方程為：—-^=l(x>4,y>0).

169v7

故選：C.

3.(2018高三上?全國?專題練習(xí))已知定點(diǎn)耳(-2,0),月(2,0),N是圓0：//1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)^關(guān)

于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M,線段片加的中垂線與直線7yl相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是

A.直線B.圓

C.橢圓D.雙曲線

【答案】D

【分析】由N是圓。:/+產(chǎn)=1上任意一點(diǎn)，可得ON=1,結(jié)合已知，由垂直平分線的性質(zhì)可得PM=P￡,

從而可得|沙-P耳|=|時(shí)-"用=崢=2ON=2為定值，由雙曲線的定義可得點(diǎn)尸的軌跡是以用，工為焦點(diǎn)

的雙曲線.

【詳解】/Jd因?yàn)镹為居M中點(diǎn)，。為用工中點(diǎn)，所以|&M|=2|ON|=2,

因?yàn)镻在線段邛0的中垂線上，所以|P￡I=|PM|,因此歸KH尸周=￡M=2|ON|=2,即點(diǎn)P的軌跡是雙曲

線，故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查定義法求軌跡方程、雙曲線定義的應(yīng)用，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接

法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y),根據(jù)題意列出關(guān)于羽y的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的

定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把x，y分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將

代入/■(%,%)=。.

4.(20-21高三?湖北武漢,模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)片卜石,0)和鳥(石連線

的斜率之積等于;，記點(diǎn)尸的軌跡為曲線E,直線/：丫=左(》一2)與￡交于人，8兩點(diǎn)，貝IJ()

A.E的方程為‘-丁之B.E的離心率為6

C.E的漸近線與圓(x-2『+y2=l相切D.滿足|AB|=2g的直線/有2條

【答案】CD

yy1x21—

【解析】由已知結(jié)合斜率的兩點(diǎn)式有二方?甘方="即可得E的方程為9=門3士石，進(jìn)而可求E

的離心率，利用圓心到E的漸近線距離判斷圓與E的漸近線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線/與曲線E,結(jié)合

|筋|=71二記|占-尤21求％值的個(gè)數(shù)，由此即可判斷各選項(xiàng)的正誤.

yV12I—

【詳解】令玖尤,了），由題意得：太后,廣百=§,即得,r一/=1/*±百，

EIA錯(cuò)誤，又a=0,c=2,即e=^g,故B錯(cuò)誤，

3

由E的漸近線為y=±*x,而（x-2『+丁=1圓心為（2,0）,半徑為1,

_2坦

回(2,0)至ljy=是巨離為d=/3=1,故E的漸近線與圓（x-2『+y2=l相切，故C正確,

3月

聯(lián)立曲線E與直線/的方程,整理得：（1-3獷）/+12/無一3（4/+1）=0,A=l+F>0,

2

El&+/=］,尤述2=；），ffi!|AB|=yjl+k|-x21=2^,

代入整理：|叫=2*］：）=26即有左2=1或公=0（由y=0與y2=i,x*±6無交點(diǎn)，舍去），故

k=+l,E1D正確.故選：CD

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：

（1）兩點(diǎn)式表示斜率時(shí)要保證分母不為0,從而確定曲線E的軌跡要去掉xw±g.

（2）由|=J1+/|-々1=2有求得k值要考慮曲線E的軌跡不包含x手七耳的情況舍掉增根.

5.（24-25高三?全國?模擬）過曲線C上一點(diǎn)P作圓d+y2=i的兩條切線，切點(diǎn)分別為若kpA?PB=2,

則曲線C的方程為.

【答案】2x2-y2=l且xri）

【分析】設(shè)尸及切線方程，由直線與圓相切得出關(guān)于斜率左的方程，由判別式得出片+$>1,再由斜率關(guān)

系計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)POo，%），則過點(diǎn)P的切線方程為丁一%=左（3-%），即依-y+%-心=。,

所以［甫=1,得（片-1）二一2%%左+上一1=0,

則如，如是此方程的兩根，A=4x：y；-4（x：-I）（y：-l）>0,即君+尤>1,

7

故kpA，kpB=2,得2片一%二1而要滿足題意需P在圓外，則%>§，

7

即曲線C的方程為2--/=1（f>:且Vwl）.

故答案為：2尤2-〉2=1（/>］且燈21）

題型四：拋物線定義型

指I點(diǎn)I迷I津：

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線1（1不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線：

的焦點(diǎn)，直線I叫做拋物線的準(zhǔn)線.

1?'（2i-27高三示.薪江薪酶芍廠巨而簫F（b7i）7直磅7；J二二i'~p旃而言奇高-a萬在首第

垂線，垂足為。，且詼?/=喬,河，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為C,已知圓M過定點(diǎn)。（0,2）,圓心M在軌跡C

上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A、2兩點(diǎn)，設(shè)|。4|=乙，|。為=/2,則%+乎的最大值為（）

12,1

A.2B.3C.272D.372

【答案】C

【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程，設(shè)M4，￡進(jìn)而得至岷M的方程為：

22

-4+（—）7+/2）2，可得A32,0）,如-2,。），利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得,

*+}=與詈=*16，再利用基本不等式即可得出.

，2v（2+64

【詳解】設(shè)尸（X,y）,則Q（x,-1）,

0QP-QF=FPFQ,0(0,y+l),(—x,2)=(x,y~l)'(x,—2),02(y+l)=x2—2(^—1),Elr2=4y.

團(tuán)動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡C為：Jc2=4y.設(shè)（oGIR）.則IW的方程為：（x-a）?+（y/+（?-2>.

2

22

化為X2-lax+y--^-y=4-a.令y=0,貝!JN—2qx+〃2=4,解得X=〃+2,或〃-2.

取A(〃+2,0),B(a~2,0).回|D4|=//=J(a+2)2+4,|Q8|=〃=J(a-2)2+4.當(dāng)〃工0時(shí),

116

4J_2〃+162(4+8)2_?]?16a221+-----

丁廠優(yōu)二而+64=">+64-V\+646420，當(dāng)且僅當(dāng)

a2H—Q

a

”=±2近時(shí)取等號.當(dāng)。=0時(shí)，7t+j=2.綜上可得：:’的最大值為20.故選：C.

’2’121

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知尸是直線/：x-y-2=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作拋物線C:y=d的兩條

切線R4,PB,切點(diǎn)分別為A,B,則AAPB的重心G的軌跡方程為（）

142412

A.y=—x2——%+一B.y=-x2——%+一

333333

214421

C.y=—x2——x+—D.y=—x2——x+—

333333

【答案】B

【分析】設(shè)a01，%）,B（x2.y2）-的重心為G（x,y）,由定理1.1知P（E券,萬62），再由重心公式得

至1］與=無，力=4尤2-3y,代入直線/方程整理即可.

【詳解】設(shè)4（久】,月），BO2,%），△上鉆的重心為G（x,y）.

由定理1.1知P（詈,萬62），則由三角形的重心坐標(biāo)公式，

可得x=%+1+Xp=辱,

_M+>2+力_X；+￥+%尤2_（玉+*2）—XiX2_421

y=-3-=-3-=3,一廠

2

于是，xp=x,yp=4xp-3y=4x-3yf

由點(diǎn)尸在直線/：元_y_2=0上得x_（4*_3y）_2=0,即y=+

其中定理1.1及證明：如圖，拋物線f=2py（p>0）上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為4（xi，y）8（孫均），

以A,8為切點(diǎn)的切線以，尸3相交于點(diǎn)尸，我們稱弦42為阿基米德△上鉆的底邊.

所以過點(diǎn)A的切線方程為y-4=土"-％）,過點(diǎn)B的切線方程為y-4=邃5-%）,聯(lián)立這兩個(gè)方程

,消去可得了=丑/，再將x=q追代入點(diǎn)A處的切線方程，

22

可得>=￥+土（上產(chǎn)-%]=畢.這表明，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（三三，竽].故選：B.

3.（20-21高三?廣西南寧?模擬）拋物線：y2=4x的過焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為（）

A.y2=x-1B.y~=x-/C.y~=2（x-1）D.y~=2x—1

【答案】C

【解析】設(shè)出過焦點(diǎn)的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出兩根之和，可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，消去參數(shù)可得中點(diǎn)

的軌跡方程.

【詳解】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)尸（1,0）,可得過焦點(diǎn)的直線的斜率不為0,

設(shè)直線方程為：X=my+1,

設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)A&,%）,B（X2,%）,設(shè)A3的中點(diǎn)P（x,y）,

聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：

22

y-4my-4=0,%+%=4根，^+x2=m（yt+y2）+2=4m+2,

Y—2fli+]

',消去機(jī)可得產(chǎn)的軌跡方程：y2=2x-2,故選：C.

{y=2m

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求軌跡方程的常見方法有：1、定義法；2、待定系數(shù)法；3、直接求軌跡法；4、反求

法；5、參數(shù)方程法等等.

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知曲線C上的點(diǎn)滿足：到定點(diǎn)（1,0）與定直線'軸的距離的差為定值機(jī)，其中,

點(diǎn)A,8分別為曲線C上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)8恒在點(diǎn)A的右側(cè)，則（）

A.若機(jī)=g,則曲線C的圖象為一條拋物線

B.若機(jī)=1,則曲線C的方程為V=4x

C.當(dāng)7"＞1時(shí)，對于任意的A（X，%）,3（9,%）,都有㈤＞闖

D.當(dāng)心＜-1時(shí)，對于任意的A（%,%）,8優(yōu),％）,都有㈤＞同

【答案］AC

【分析】設(shè)曲線C上的點(diǎn)P（x,y）,由題意求出的方程，分x20、x＜0化簡后逐項(xiàng)判斷可得答案.

【詳解】對于A,若機(jī)=；,設(shè)曲線C上的點(diǎn)P（x,y）,由題意可得小》-吁+六一禺=g,

化簡得y2=2x+W—9當(dāng)XNO時(shí)，y=3x--為拋物線，

1144

33

當(dāng)x＜°時(shí)’因?yàn)閤＜。，所以尤-丁。，而冷0,顯然不成立,

綜上，若則曲線C的圖象為一條拋物線，故A錯(cuò)^________

對于B,若m=1,設(shè)曲線C上的點(diǎn)P（x,y）,由題意可得，a-1）2+丫2一國=1,

化簡得V=2X+2N，當(dāng)時(shí)，產(chǎn)=以為拋物線，當(dāng)無＜0時(shí)，y=0為一條射線，故B錯(cuò)誤;

對于C,若m＞1,設(shè)曲線C上的點(diǎn)P（x,y）,由題意可得J（x-l『+y2-0=加，

化簡得丁=2x+2機(jī)國+4一1,因?yàn)閙＞1,當(dāng)時(shí)，y2=2（m+l）|x--y

一帆）（

為開口向右，頂點(diǎn)為［/虧1,oj的拋物線的一部分,，當(dāng)x＜0時(shí)，/=2（l-777）lx1-|—-rvi

為開口向左，頂點(diǎn)為（手,4的拋物線的一部分，，且（一,。］與［T,可關(guān)于舊對稱,其圖象大致如

下，

因?yàn)?（%,%）,3（%，%）兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)對稱性可得閭＞國，故c正確;

對于D,若相＜-1,設(shè)曲線C上的點(diǎn)P（K,y）,由題意可得+;/-|x|=m,

為開口向右，頂點(diǎn)為（臂,。］的拋物線的一部分，且（一'°j與（亨，“關(guān)于x=；對稱，其圖象大致如下，

因?yàn)锳&,%）,3（.，%）兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)對稱性可得閭＜同，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)曲線C上的點(diǎn)P(x,y),求出尸點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合求出答案.

5.(24-25高三?全國?模擬)設(shè)廠(1,0),點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)尸在y軸上，且麗=2旃，PM1PF>當(dāng)點(diǎn)尸在

'軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N的軌跡方程為.

【答案】y2=4x

【分析】設(shè)知(知0)，尸(0,%),N(x,y),根據(jù)而_)_麗可得%+y：=0,根據(jù)麗=2而可得毛=-x,%=gy,

代入即可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)M(%,0),「(。,%)，陽羽,八則加=5,-%)//］。,-%),MN=(x-x0,y),MP=(-x0,y0),

無o=—x

UU1UULUx-x0=-2x0

因?yàn)閮?而，貝尸=%+尤=0,又因?yàn)辂?2詼，則、，即11

y=2%%=5〉

2

可得T+2=0,2

即y2=4x.故點(diǎn)N的軌跡方程是y2=4x.故答案為：y=4x.

4

題型五：直接設(shè)點(diǎn)型

指I點(diǎn)I迷I津

如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述

成含的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法.

(1)到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)的軌跡是該線段的垂直平分線.

(2)到角的兩邊相等的點(diǎn)的軌跡是該角的平分線及外角平分線.

(3)平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑.

求解過程：

(1)建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

(2)設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x,y)

(3)列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式

(4)代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，

(5)檢驗(yàn)：對某些特殊值應(yīng)另外補(bǔ)充檢驗(yàn).

1.(24-25高三上?河北保定?階段練習(xí))已知曲線C：無2+/=火丫>0),從c上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP',

尸’為垂足，點(diǎn)Af滿