甘肅省張掖市某校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次檢測數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，若，則（）A. B.C. D.2.若，則（）A. B. C. D.3.已知直線，，是三條不同的直線，平面，，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，且，，則D.，，三個(gè)平面最多可將空間分割成個(gè)部分4.在研究變量與之間的關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.205.在平行四邊形中，分別在邊上，，相交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.6.已知是方程的兩個(gè)根，則（）A. B. C. D.7.直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.58.如圖，B地在A地正東方向處，C地在B地的北偏東方向處，河流的沿岸（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)．現(xiàn)要在曲線上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測算，從M到B、C兩地修建公路的費(fèi)用分別是a萬元/、萬元/，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（）A.萬元 B.萬元 C.萬元 D.萬元二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在棱長為3正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.正方體的外接球表面積為；B.直線與所成角的取值范圍；C.直線平面；D.三棱錐的體積隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而不變.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（）A.若，則是等差數(shù)列 B.若，則是等比數(shù)列C.若是等差數(shù)列，則 D.若是等比數(shù)列，且，則11.已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，，且，函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B.C.為偶函數(shù) D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是___________．13.設(shè).若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則________.14.已知數(shù)列滿足，，記事件“”的概率為，其中，則______；當(dāng)時(shí)，______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求A；（2）若，內(nèi)切圓半徑，求a.16.為倡導(dǎo)節(jié)能環(huán)保，實(shí)現(xiàn)廢舊資源再利用，小明與小亮兩位小朋友打算將自己家中的閑置玩具進(jìn)行交換，其中小明家有2臺(tái)不同的玩具車和2個(gè)不同的玩偶，小亮家也有與小明家不同的2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶，他們每次等可能的各取一件玩具進(jìn)行交換.（1）兩人進(jìn)行一次交換后，求小明仍有2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶的概率；（2）兩人進(jìn)行兩次交換后，記為“小明手中玩偶的個(gè)數(shù)”，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.17.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積為1，且二面角的余弦值為，求的值．18.已知拋物線：，在上有一點(diǎn)A位于第一象限，設(shè)A的縱坐標(biāo)為（1）若A到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，求a的值；（2）當(dāng)時(shí)，若x軸上存在一點(diǎn)B，使AB的中點(diǎn)在拋物線上，求O到直線AB的距離；（3）直線l：，拋物線上有一異于點(diǎn)A的動(dòng)點(diǎn)P，P在直線l上的投影為點(diǎn)H，直線AP與直線l的交點(diǎn)為若在P的位置變化過程中，恒成立，求a的取值范圍．19.若變量滿足：，且，其中且，則稱是“型函數(shù)”.（1）已知是“2型函數(shù)”，求該函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）已知是的“型函數(shù)”.（i）求的最小值；（ii）求證：.

數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，若，則（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】求得，結(jié)合，得到，根據(jù)集合并集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，因?yàn)?，可得，所?故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得到，再利用復(fù)數(shù)的模長公式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋玫?，即，所以，得到，故選：D.3.已知直線，，是三條不同的直線，平面，，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，且，，則D.，，三個(gè)平面最多可將空間分割成個(gè)部分【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A，結(jié)合條件可得直線，可能平行，相交，異面，判斷A，對(duì)于B，由條件可得或，由此判斷B，結(jié)合面面平行判定定理判斷C，舉例判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，，則與可能相交、平行或異面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，若，，則或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，若，，且，，因?yàn)橹本€，未必相交，所以與不一定平行，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，，三個(gè)平面兩兩垂直時(shí)，可將空間分割成個(gè)部分，故選項(xiàng)D正確．故選：D.4.在研究變量與之間關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.20【答案】C【解析】【分析】由題意，求出剔除后的平均數(shù)，進(jìn)而求出剔除前的平均數(shù)，根據(jù)回歸直線必過樣本點(diǎn)中心得到，進(jìn)而得到，將點(diǎn)代入，即可求解.【詳解】設(shè)沒剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)前的平均數(shù)分別為，，剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)后的平均數(shù)分別為，，因，所以，，則，所以，又因?yàn)?，所以，解得故選：C.5.在平行四邊形中，分別在邊上，，相交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量基本定理及三點(diǎn)共線即可求解.【詳解】由題意可得：，，設(shè)，則,又三點(diǎn)共線，所以，解得，所以，故選：A6.已知是方程的兩個(gè)根，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用韋達(dá)定理和正切的兩角差公式，先求出的值，再利用弦化切思想來求的值即可.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，即也是方程的兩個(gè)根，所以，且可知，又由，則，再由兩角差的正切公式可得：，因?yàn)?，所以，即，則，故選：D.7.直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由題意知要求交點(diǎn)即求函數(shù)的零點(diǎn)，等價(jià)于求的零點(diǎn)，等價(jià)于求和兩函數(shù)交點(diǎn)，作出相關(guān)圖形，利用數(shù)型結(jié)合從而可求解.【詳解】由題意可得，所以其與直線的交點(diǎn)，等價(jià)于求的零點(diǎn)，等價(jià)于的零點(diǎn)，等價(jià)于求函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)，易得函數(shù)為周期為2的函數(shù)，且時(shí)，，所以是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，對(duì)于，，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且為增函數(shù)，為增函數(shù)，所以在，上單調(diào)遞增，所以可以作出和圖象如下圖，由圖可得其有2個(gè)交點(diǎn)，故A正確.故選：A.8.如圖，B地在A地的正東方向處，C地在B地的北偏東方向處，河流的沿岸（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)．現(xiàn)要在曲線上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測算，從M到B、C兩地修建公路的費(fèi)用分別是a萬元/、萬元/，那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是（）A.萬元 B.萬元 C.萬元 D.萬元【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，求出曲線PQ的方程，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解作答.【詳解】以線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線OB為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，令點(diǎn)為曲線PQ上任意一點(diǎn)，則，因此曲線PQ是以點(diǎn)A，B為左右焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線右支，其方程為，顯然點(diǎn)C在曲線PQ含焦點(diǎn)B的區(qū)域內(nèi)，設(shè)，，有，修建這兩條公路的總費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，且，解得，即時(shí)，所以修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是萬元.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線上的點(diǎn)與一定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離和的問題，借助兩點(diǎn)間距離公式及點(diǎn)在曲線上進(jìn)行化簡變形即可推理求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在棱長為3的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.正方體的外接球表面積為；B.直線與所成角的取值范圍；C.直線平面；D.三棱錐的體積隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而不變.【答案】ACD【解析】【分析】求出正方體棱外接球半徑求解判斷A；由異面直線所成角的定義，特值判斷B；利用面面平行的性質(zhì)判斷C；利用線面平行，結(jié)合等體積法判斷D.【詳解】對(duì)于A，棱長為3的正方體外接球半徑為，此外接球的表面積為，A正確；對(duì)于B，在正方體中，連接，，由，得四邊形是平行四邊形，，則直線與所成的角等于直線與所成的角，當(dāng)與或重合時(shí)，此角等于，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，，而平面，平面，則平面，同理平面，又，平面，因此平面平面，而平面，則平面，C正確；對(duì)于D，由平面，得到平面的距離不變，而的面積是定值，因此不變，D正確.故選：ACD10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（）A.若，則是等差數(shù)列 B.若，則是等比數(shù)列C.若是等差數(shù)列，則 D.若是等比數(shù)列，且，則【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A和B，利用與間的關(guān)系，求得，再根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義，即可求解；選項(xiàng)C，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解；選項(xiàng)D，通過取特例，即可判斷.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式作差可得，當(dāng)時(shí)，；又，不滿足上式，故，故數(shù)列不為等差數(shù)列，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，兩式作差可得，當(dāng)時(shí)，；又滿足，故，得到為常數(shù)，故數(shù)列為等比數(shù)列，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，故，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，，不妨取，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，，且，函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B.C.為偶函數(shù) D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法，結(jié)合奇偶性與周期，逐項(xiàng)分析可得結(jié)果【詳解】定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，，對(duì)于A，令，則，，A正確；對(duì)于C，令，則，于是，則，因此不是偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于B，由函數(shù)為偶函數(shù)，得，即，于是，即，，因此函數(shù)的周期為，，B正確；對(duì)于D，由，得，因此，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及抽象函數(shù)等式求解問題，利用賦值法分析探討函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】由題意，對(duì)橢圓方程進(jìn)行變形，根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，列出不等式再進(jìn)行求解即可．【詳解】易知該橢圓方程為，因?yàn)樵摍E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，則的取值范圍為．故答案為：.13.設(shè).若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則________.【答案】【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再結(jié)合函數(shù)極大值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值為0建立關(guān)于a的關(guān)系式，最后結(jié)合極大值的定義，討論最終a的取值.【詳解】由題意得，，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極大值點(diǎn)，所以有，解得或.又當(dāng)時(shí)，，或，，故函數(shù)在和遞增，在遞減，此時(shí)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符題意；而當(dāng)時(shí)，，或，，故函數(shù)在和遞增，在遞減，此時(shí)是函數(shù)的極大值點(diǎn).故答案為：.14.已知數(shù)列滿足，，記事件“”的概率為，其中，則______；當(dāng)時(shí)，______．【答案】①.##0.375②.【解析】【分析】根據(jù)概率的定義，利用列舉法數(shù)列的前4項(xiàng)，求得，設(shè)，，由題得，若，則中必有個(gè)1，個(gè)，結(jié)合排列組合求概率.【詳解】由題意，得，所以，則事件“”的概率為，即．對(duì)數(shù)列的前4項(xiàng)列舉如下：0123012101010100010000則事件“”的概率為，即．設(shè)，則，所以．要使，則中必有個(gè)1，個(gè)，所以事件“”的概率為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二空解決的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，抽象出數(shù)列累加的模型找到等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求A；（2）若，內(nèi)切圓半徑，求a.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）先由正弦定理得，再應(yīng)用兩角和的正弦公式化簡得出結(jié)合角的范圍得解；（2）先應(yīng)用內(nèi)切圓半徑表示面積，化簡得，再由正弦定理結(jié)合余弦定理得解.【小問1詳解】由正弦定理得因?yàn)?，所以所以即，且，所以【小?詳解】又因?yàn)樗?，即，所以①，由余弦定理得②，所以，所以，解?6.為倡導(dǎo)節(jié)能環(huán)保，實(shí)現(xiàn)廢舊資源再利用，小明與小亮兩位小朋友打算將自己家中的閑置玩具進(jìn)行交換，其中小明家有2臺(tái)不同的玩具車和2個(gè)不同的玩偶，小亮家也有與小明家不同的2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶，他們每次等可能的各取一件玩具進(jìn)行交換.（1）兩人進(jìn)行一次交換后，求小明仍有2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶的概率；（2）兩人進(jìn)行兩次交換后，記為“小明手中玩偶的個(gè)數(shù)”，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，期望為2【解析】【分析】（1）分兩人交換的是玩具車和兩人交換的是玩偶求解；（2）可取的值為0、1、2、3、4，分別求得其概率，列出分布列，再求期望.【小問1詳解】解：若兩人交換是玩具車，則概率為，若兩人交換的是玩偶，則概率也為，故兩人進(jìn)行一次交換后，小明仍有2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶的概率為.【小問2詳解】可取的值為0、1、2、3、4，一次交換后，小明有1個(gè)玩偶和3臺(tái)玩具車的概率為，有3個(gè)玩偶和1臺(tái)玩具車的概率也為，經(jīng)過兩次交換后，，，故隨機(jī)變量的分布列為：01234.17.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面是菱形，平面平面，，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積為1，且二面角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）2【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，證明，原題即得證；（2）證明平面，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解．【小問1詳解】證明：取中點(diǎn)，連接為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，，，據(jù)此可得四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．【小問2詳解】解：平面平面過作平面，，為中點(diǎn)，，如圖分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，則又，，設(shè)二面角的平面角為，，整理得：，解得或（舍）.18.已知拋物線：，在上有一點(diǎn)A位于第一象限，設(shè)A的縱坐標(biāo)為（1）若A到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，求a的值；（2）當(dāng)時(shí)，若x軸上存在一點(diǎn)B，使AB的中點(diǎn)在拋物線上，求O到直線AB的距離；（3）直線l：，拋物線上有一異于點(diǎn)A的動(dòng)點(diǎn)P，P在直線l上的投影為點(diǎn)H，直線AP與直線l的交點(diǎn)為若在P的位置變化過程中，恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程即可求解；（2）先通過中點(diǎn)在拋物線上求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求解即可；（3）設(shè)，表示出直線AP的方程，進(jìn)一步表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)恒成立，結(jié)合基本不等式即可得到a的范圍．【小