江蘇省南通市海門區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 （原卷版+解析版）

2024~2025學(xué)年第一學(xué)期期末試卷九年級(jí)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷及答題卡上指定的位置．3．答案必須按要求填涂、書寫在答題卡上，在試卷、草稿紙上答題一律無效．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.如圖所示的幾何體的主視圖是（）A. B. C. D.2.一個(gè)質(zhì)地均勻的小正方體，六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，擲一次小正方體，朝上一面數(shù)字為“5”的概率是（）A. B. C. D.3.已知甲、乙兩地相距s（單位：km），汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時(shí)間t（單位：h）關(guān)于行駛速度v（單位：km/h）的函數(shù)圖象是（）A. B. C. D.4.若，且，，，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.5.在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為的竹竿的影長(zhǎng)為，同時(shí)測(cè)得一棟樓的影長(zhǎng)為，則這棟樓的高度為（）A.180m B.60m C.45m D.30m6.如圖，中，弦、相交于，，，則（）A. B. C. D.7.著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微．?dāng)?shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非．”寥窖數(shù)語，把圖形之妙趣說的淋漓盡致．如圖是二次函數(shù)的圖象，那么無論為何值，函數(shù)值恒為正的條件是（）A. B. C. D.8.從地面豎直向上拋出一小球，根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，小球的高度h（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式是，則小球運(yùn)動(dòng)中的最大高度是（）A. B. C. D.9.如圖所示，的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.10.如圖，直線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)，連接．若的面積為6，則的值為（）A.6 B.8 C.9 D.18二、填空題（本大題共8小題，第11~12題每小題3分，第13~18題每小題4分，共30分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）11.將拋物線向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線的解析式是________．12.如圖，和位似，位似比為，位似中心是原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．13.如圖，草坪上的自動(dòng)噴水裝置能旋轉(zhuǎn)220°，若它的噴射半徑是20m，則它能噴灌的草坪的面積為___m2．14.氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部B的仰角為．著這棟樓底部的俯角為，若這棟樓的樓高，則熱氣球與該樓的水平距離為_________m（結(jié)果保留根號(hào)）．15.如圖，ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是____mm．16.在中，，，則的內(nèi)切圓的半徑為____．17.已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的最大值為，則的值為________．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)（為實(shí)數(shù)，且），則的最大值為___________．三、解答題（本大題共8小題，共90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.解方程：（1）；（2）．20.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）寫出這條拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=.解這個(gè)直角三角形.22.如圖，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于和兩點(diǎn)．（1）求的值；（2）點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象上位于第四象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)．23.如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，以為圓心，為半徑作，交于點(diǎn)，與邊相切于點(diǎn)，連接．（1）求證：平分；（2）若，，求半徑．24.要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱與池中心的水平距離為處達(dá)到最高，高度為，水柱落在距離池中心處（包含和）．（1）選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)為原點(diǎn)，畫出平面直角坐標(biāo)系．（2）求水管長(zhǎng)度的取值范圍．25.如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，垂足為，連接．（1）求證：；（2）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得與相似？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．26.【動(dòng)手操作】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，在軸上任取一點(diǎn)，完成以下作圖步驟：①連接，作的垂直平分線，過點(diǎn)作軸的垂線，記，的交點(diǎn)為；②在軸上多次改變點(diǎn)的位置，用①的方法得到相應(yīng)的點(diǎn)．線段與的數(shù)量關(guān)系為________，其理由為：________；問題探究】通過上述方法得到一系列的點(diǎn)，把這些點(diǎn)用平滑的曲線連接起來，記為曲線．對(duì)于曲線上的任意一點(diǎn)，試求出，滿足的函數(shù)關(guān)系式；【拓展延伸】若點(diǎn)（為任意實(shí)數(shù)），點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

2024~2025學(xué)年第一學(xué)期期末試卷九年級(jí)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷及答題卡上指定的位置．3．答案必須按要求填涂、書寫在答題卡上，在試卷、草稿紙上答題一律無效．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.如圖所示的幾何體的主視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了三視圖，熟識(shí)三視圖的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；觀察給出的圖形可知，從正面看有兩列，左邊有2個(gè)正方形，右邊有1個(gè)正方形．【詳解】解：從正面看，該幾何體的主視圖為：故選：A．2.一個(gè)質(zhì)地均勻的小正方體，六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，擲一次小正方體，朝上一面數(shù)字為“5”的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算，根據(jù)求概率公式求解即可．【詳解】解：一個(gè)質(zhì)地均勻的小正方體，六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，∴擲一次小正方體，朝上一面數(shù)字為“5”的概率是．故選：D．3.已知甲、乙兩地相距s（單位：km），汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時(shí)間t（單位：h）關(guān)于行駛速度v（單位：km/h）的函數(shù)圖象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)實(shí)際意義，寫出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的類型，以及自變量的取值范圍即可進(jìn)行判斷．【詳解】解：根據(jù)題意有：v?t＝s，∴，故t與v之間的函數(shù)圖象為反比例函數(shù)圖象，且根據(jù)實(shí)際意義v＞0、t＞0，∴其圖像第一象限，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用實(shí)際意義確定其所在的象限．4.若，且，，，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，代入數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，，，，故選：D．5.在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為的竹竿的影長(zhǎng)為，同時(shí)測(cè)得一棟樓的影長(zhǎng)為，則這棟樓的高度為（）A.180m B.60m C.45m D.30m【答案】C【解析】【分析】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)這棟樓的高度為，∵在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為的竹竿的影長(zhǎng)為，同時(shí)測(cè)得一棟樓的影長(zhǎng)為，∴，解得：．故選：C．6.如圖，中，弦、相交于，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可知，即可利用外角性質(zhì)求出．【詳解】解：∵，∴，又∵，，∴．故選：C．7.著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微．?dāng)?shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非．”寥窖數(shù)語，把圖形之妙趣說的淋漓盡致．如圖是二次函數(shù)的圖象，那么無論為何值，函數(shù)值恒為正的條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象在x軸上方，可得拋物線開口向上，與x軸無交點(diǎn)，即可判斷．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象在x軸上方，拋物線開口向上，與x軸無交點(diǎn)，即，，解得，故選：C．8.從地面豎直向上拋出一小球，根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，小球的高度h（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式是，則小球運(yùn)動(dòng)中的最大高度是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．先將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求解．【詳解】解：，∵，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為45，∴小球運(yùn)動(dòng)中的最大高度是．故選：C．9.如圖所示，的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查勾股定理及三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理及正弦的定義是解題的關(guān)鍵；如圖，，則有，然后根據(jù)正弦的定義可進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖，∴，∴，∴，∴．故選：A10.如圖，直線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)，連接．若的面積為6，則的值為（）A.6 B.8 C.9 D.18【答案】D【解析】【分析】本題為反比例函數(shù)綜合題，考查了三角形相似、用字母表示坐標(biāo)等基本數(shù)學(xué)知識(shí)，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．證明，得到，即，求出點(diǎn)，則點(diǎn)，由即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)B分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)，，則，則，則，即，∴，則，則，則點(diǎn)，則點(diǎn)，設(shè)直線的表達(dá)式為：，由點(diǎn)B、D的坐標(biāo)得，，解得，∴直線的表達(dá)式為：，令，則，∴點(diǎn)；設(shè)直線的表達(dá)式為：，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得，，解得，∴直線的表達(dá)式為：，令，則，解得：，∴點(diǎn)，則，∵，則，故選：D．二、填空題（本大題共8小題，第11~12題每小題3分，第13~18題每小題4分，共30分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）11.將拋物線向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線的解析式是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了拋物線的平移規(guī)律．根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．【詳解】解：拋物線向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線的解析式是：，故答案為：．12.如圖，和位似，位似比為，位似中心是原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了位似變換，直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵和位似，位似中心是原點(diǎn)O，和的相似比為，B點(diǎn)坐標(biāo)是，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：即．故答案為：．13.如圖，草坪上的自動(dòng)噴水裝置能旋轉(zhuǎn)220°，若它的噴射半徑是20m，則它能噴灌的草坪的面積為___m2．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得它能噴灌的草坪是扇形，半徑為20m，圓心角為220°，再根據(jù)扇形面積公式，即可求解．【詳解】解：∵草坪上的自動(dòng)噴水裝置能旋轉(zhuǎn)220°，它的噴射半徑是20m，∴它能噴灌的草坪是扇形，半徑為20m，圓心角為220°，∴它能噴灌的草坪的面積為：=m2．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．14.氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部B的仰角為．著這棟樓底部的俯角為，若這棟樓的樓高，則熱氣球與該樓的水平距離為_________m（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】【解析】【分析】過作于點(diǎn)，設(shè)，則，在和中分別表示出，則可解出的值，繼而得出答案．【詳解】解：過作于點(diǎn)，設(shè)，則，在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴解得：，∴（m），則熱氣球與該樓的水平距離為m．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，注意掌握仰角、俯角的定義．解答本題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形．15.如圖，ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是____mm．【答案】48【解析】【詳解】試題分析：設(shè)該正方形邊長(zhǎng)是a，則符合題意得式子=考點(diǎn)：比例分析點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圖形的線段比例的分析，通過比例的大小從而列比例式求解16.在中，，，則的內(nèi)切圓的半徑為____．【答案】1【解析】【分析】本題考查求直角三角形的內(nèi)切圓的半徑，勾股定理求出的長(zhǎng)，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，設(shè)的內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別為，內(nèi)切圓的半徑為，如圖，則：四邊形為正方形，，，∴，∴，∴；故答案為：1．17.已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的最大值為，則的值為________．【答案】【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，從而可得拋物線開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)，將代入函數(shù)解析式求出的值，進(jìn)而求解．解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．【詳解】解：，拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入得，解得，，，當(dāng)時(shí)，，故答案為：．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)（為實(shí)數(shù)，且），則的最大值為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，二次根式的除法法則，一元二次方程根的判別式，圖象法解一元二次不等式等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．先根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出，，然后求出，令，整理得，當(dāng)時(shí)，原方程為，解得：，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，且有實(shí)數(shù)根，所以，即，解得，所以的最大值為，即可求解．【詳解】解：點(diǎn)，點(diǎn)（為實(shí)數(shù)，且），，，，令，則，整理得，當(dāng)時(shí)，原方程為，解得：，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，且有實(shí)數(shù)根，，整理得，即，，的最大值為，，故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法解答即可；（2）運(yùn)用配方法解答即可．【小問1詳解】解：，，，或，，；【小問2詳解】解：，，，，．20.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）寫出這條拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）（2）拋物線的對(duì)稱軸為直線；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)，代入，求出，即可得到二次函數(shù)的解析式；（2）將二次函數(shù)配成頂點(diǎn)式，求出對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【小問1詳解】解：將點(diǎn)，代入，得：，，；小問2詳解】解：，這條拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=.解這個(gè)直角三角形.【答案】，，.【解析】【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，利用勾股定理，可以求得AB的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)可以求得∠A的度數(shù)，進(jìn)而求得∠B的度數(shù)，本題得以解決．【詳解】∵，，，∴，.∴，.∴.答：，，.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理和數(shù)形結(jié)合的思想解答．22.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于和兩點(diǎn)．（1）求的值；（2）點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象上位于第四象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或或【解析】【分析】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）先把點(diǎn)A代入一次函數(shù)解析式，求出m的值，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)解析式求出k的值即可；（2）設(shè)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，根據(jù)的面積可求出，解關(guān)于a的方程即可．【小問1詳解】解：一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，；【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，∴的面積為4．當(dāng)時(shí)解得，當(dāng)時(shí)解得，（不合題意，舍去）綜上所述點(diǎn)或或23.如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，以為圓心，為半徑作，交于點(diǎn)，與邊相切于點(diǎn)，連接．（1）求證：平分；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（）連接，由切線的性質(zhì)推導(dǎo)出，因?yàn)椋?，則，所以，又，所以，則，從而求證；（）過點(diǎn)作，垂足為，則四邊形四邊形是矩形，則，設(shè)的半徑為，則，然后由垂徑定理和勾股定理即可求解．【小問1詳解】解：如圖，連接，∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分；【小問2詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，，∴四邊形是矩形，∴，設(shè)的半徑為，則，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，即的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24.要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱與池中心的水平距離為處達(dá)到最高，高度為，水柱落在距離池中心處（包含和）．（1）選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)為原點(diǎn)，畫出平面直角坐標(biāo)系．（2）求水管長(zhǎng)度的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是利用頂點(diǎn)式求出解析式．（1）以噴水池中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水管所在直線為y軸，以垂直水管水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系；（2）設(shè)拋物線的解析式為，將頂點(diǎn)坐標(biāo)為代入得，分別將，代入求得a值，再令時(shí)得的y值即為水管的長(zhǎng)，然后求出d的取值范圍．【小問1詳解】解：以噴水池中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水管所在直線為y軸，以垂直水管的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：【小問2詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為，由題意可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以拋物線解析式為，當(dāng)水柱落地點(diǎn)為時(shí)，，拋物線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)水柱落地點(diǎn)為時(shí)，，拋物線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，；的取值范圍是：．25.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，垂足為，連接．（1）求證：；（2）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得與相似？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析（2）存在實(shí)數(shù)，使得與相似，或5【解析】【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；（1）由題意易得，則有，然后問題可求