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文檔簡介
PAGEPAGE1第03講平面對量的數(shù)量積及應用講1.理解平面對量數(shù)量積的概念及其意義,了解平面對量的數(shù)量積與向量投影的關系.2.駕馭平面對量數(shù)量積的坐標運算,駕馭數(shù)量積與兩個向量的夾角之間的關系.3.會用坐標表示平面對量的平行與垂直.4.高考預料:(1)以考查向量的數(shù)量積、夾角、模、垂直的條件等問題為主,基本穩(wěn)定為選擇題或填空題,難度中等以下;(2)同三角函數(shù)、解析幾何等學問相結(jié)合,以工具的形式出現(xiàn).5.備考重點:(1)理解數(shù)量積的概念是基礎,駕馭數(shù)量積的兩種運算的方法是關鍵;(2)解答與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等交匯問題時,留意運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,通過建立平面直角坐標系,利用坐標運算解題.學問點1.平面對量的數(shù)量積一、兩個向量的夾角1.定義已知兩個非零向量a和b,作=a,=b,則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角.2.范圍向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°a與b同向時,夾角θ=0°;a與b反向時,夾角θ=180°.3.向量垂直假如向量a與b的夾角是90°,則a與b垂直,記作a⊥b.二、平面對量的數(shù)量積1.已知兩個非零向量a與b,則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,其中θ是a與b的夾角.規(guī)定0·a=0.當a⊥b時,θ=90°,這時a·b=0.2.a(chǎn)·b的幾何意義:數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.三、數(shù)量積的運算律1.交換律:a·b=b·a.2.安排律:(a+b)·c=a·c+b·c.3.對λ∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).【典例1】(2024·天津高考真題(文))在如圖的平面圖形中,已知,則的值為A.B.C.D.0【答案】C【解析】如圖所示,連結(jié)MN,由可知點分別為線段上靠近點的三等分點,則,由題意可知:,,結(jié)合數(shù)量積的運算法則可得:.本題選擇C選項.【總結(jié)提升】計算向量數(shù)量積的三種常用方法(1)定義法:已知向量的模與夾角時,可干脆運用數(shù)量積的定義求解,即a·b=|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角).(2)基向量法(利用數(shù)量積的幾何意義):計算由基底表示的向量的數(shù)量積時,應用相應運算律,最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積,進而求解.(3)坐標法:若向量選擇坐標形式,則向量的數(shù)量積可應用坐標的運算形式進行求解.【變式1】(2024·山西省靜樂縣第一中學高三月考)在中,則在方向上的投影為().A.4 B.3 C.-4 D.5【答案】C【解析】對等式兩邊平方得,,整理得,,則,,設向量與的夾角為,所以,在方向上的投影為,故選:C.學問點2.平面對量的數(shù)量積的性質(zhì)及運算一、向量數(shù)量積的性質(zhì)1.假如e是單位向量,則a·e=e·a.2.a(chǎn)⊥ba·b=0.3.a(chǎn)·a=|a|2,.4.cosθ=.(θ為a與b的夾角)5.|a·b|≤|a||b|.二、數(shù)量積的坐標運算設a=(a1,a2),b=(b1,b2),則:1.a(chǎn)·b=a1b1+a2b2.2.a(chǎn)⊥ba1b1+a2b2=0.3.|a|=eq\r(a\o\al(2,1)+a\o\al(2,2)).4.cosθ==.(θ為a與b的夾角)【典例2】(2024·浙江高考真題)已知a,b,e是平面對量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為,向量b滿意b2?4e·b+3=0,則|a?b|的最小值是()A.B.C.2D.【答案】A【解析】設,則由得,由得因此的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1,為選A.【思路點撥】先確定向量所表示的點的軌跡,一個為直線,一個為圓,再依據(jù)直線與圓的位置關系求最小值.【變式2】(2024·浙江高三期末)若向量滿意,且,則的最小值是__.【答案】【解析】設,,,由可知,所以點C在以AB為直徑的圓上;設,,則,而表示點O到以AB為直徑的圓上任一點的距離,所以最大值即是點O到圓心E的距離加半徑,即,所以,即最小值為2.故答案為2.考點1平面對量數(shù)量積的運算【典例3】(2024·全國高考真題(理))已知向量,滿意,,則()A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】因為所以選B.【總結(jié)提升】①已知向量a,b的模及夾角θ,利用公式a·b=|a||b|cosθ求解;②對于向量數(shù)量積與線性運算的綜合運算問題,可先利用數(shù)量積的運算律化簡,再進行運算.【變式3】已知向量,則在方向上的投影為()A、B、C、D、【答案】D【解析】因為,所以,則,則在方向上的投影既是在方向上的投影為.考點2平面對量數(shù)量積的坐標運算【典例4】(2024·成都模擬)已知菱形ABCD邊長為2,∠B=eq\f(π,3),點P滿意eq\o(AP,\s\up15(→))=λeq\o(AB,\s\up15(→)),λ∈R,若eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(CP,\s\up15(→))=-3,則λ的值為()A.eq\f(1,2)B.-eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.-eq\f(1,3)【答案】A【解析】法一:由題意可得eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))=2×2coseq\f(π,3)=2,eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(CP,\s\up15(→))=(eq\o(BA,\s\up15(→))+eq\o(BC,\s\up15(→)))·(eq\o(BP,\s\up15(→))-eq\o(BC,\s\up15(→)))=(eq\o(BA,\s\up15(→))+eq\o(BC,\s\up15(→)))·[(eq\o(AP,\s\up15(→))-eq\o(AB,\s\up15(→)))-eq\o(BC,\s\up15(→))]=(eq\o(BA,\s\up15(→))+eq\o(BC,\s\up15(→)))·[(λ-1)·eq\o(AB,\s\up15(→))-eq\o(BC,\s\up15(→))]=(1-λ)eq\o(BA,\s\up15(→))2-eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))+(1-λ)eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))-eq\o(BC,\s\up15(→))2=(1-λ)·4-2+2(1-λ)-4=-6λ=-3,∴λ=eq\f(1,2),故選A.法二:建立如圖所示的平面直角坐標系,則B(2,0),C(1,eq\r(3)),D(-1,eq\r(3)).令P(x,0),由eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(CP,\s\up15(→))=(-3,eq\r(3))·(x-1,-eq\r(3))=-3x+3-3=-3x=-3得x=1.∵eq\o(AP,\s\up15(→))=λeq\o(AB,\s\up15(→)),∴λ=eq\f(1,2).故選A.【方法總結(jié)】1.已知向量a,b的坐標,利用數(shù)量積的坐標形式求解.設a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a·b=a1b1+a2b2.2.通過建立平面直角坐標系,利用數(shù)量積的坐標形式計算.【變式4】(2024·天津高考模擬(理))如圖梯形,且,,在線段上,,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】以為坐標原點,所在直線為軸,建立平面直角坐標系,設,因此,因此,設所以當時,最小值為選B.考點3平面對量的夾角問題【典例5】(2024·全國高考真題(理))已知為單位向量,且=0,若,則___________.【答案】.【解析】因為,,所以,,所以,所以.【總結(jié)提升】向量夾角問題的解答方法:(1)當a,b是非坐標形式時,求a與b的夾角θ,需求出a·b及|a|,|b|或得出它們之間的關系;(2)若已知a=(x1,y1)與b=(x2,y2),則cos〈a,b〉=eq\f(x1x2+y1y2,\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2))).提示:〈a,b〉∈[0,π].【變式5】(2024·四川高考模擬(理))已知向量,滿意,,若與的夾角為,則m的值為A.2B.C.1D.【答案】A【解析】,又,,,,,即,得或(舍去),故的值為2,故選A.考點4平面對量的模的問題【典例6】(2024·浙江高考模擬)已知平面對量不共線,且,,記與的夾角是,則最大時,()A. B. C. D.【答案】C【解析】設,則,,所以.易得,,當時,取得最小值,取得最大值,此時.故選C.【規(guī)律方法】平面對量模問題的類型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐標形式出現(xiàn)的,求向量a的??筛纱嗬霉絴a|=eq\r(x2+y2).②若向量a,b是以非坐標形式出現(xiàn)的,求向量a的??蓱霉絴a|2=a2=a·a,或|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2,先求向量模的平方,再通過向量數(shù)量積的運算求解.(2)求向量模的最值(范圍)的方法①代數(shù)法:把所求的模表示成某個變量的函數(shù),再用求最值的方法求解.②幾何法(數(shù)形結(jié)合法):弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動點表示的圖形求解.(3)利用向量夾角公式、模公式,可將有關角度問題、線段長問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決.【變式6】(2024·浙江高考模擬)已知向量,滿意,,則的最小值是A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】因為,,由肯定值向量三角不等式得:===1,故選A.考點5平面對量垂直的條件【典例7】(2024年文北京卷)設向量a=(1,0),b=(?1,m),若,則m=_________.【答案】【總結(jié)提升】平面對量垂直問題的類型及求解方法(1)推斷兩向量垂直第一,計算出這兩個向量的坐標;其次,依據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式,計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可.(2)已知兩向量垂直求參數(shù)依據(jù)兩個向量垂直的充要條件,列出相應的關系式,進而求解參數(shù).【變式7】(浙江省杭州市學軍中學2024年5月高三模擬
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