浙江專用2024年高考數學一輪復習講練測專題5.3平面向量的數量積及應用講含解析

PAGEPAGE1第03講平面對量的數量積及應用講1.理解平面對量數量積的概念及其意義，了解平面對量的數量積與向量投影的關系.2.駕馭平面對量數量積的坐標運算，駕馭數量積與兩個向量的夾角之間的關系.3.會用坐標表示平面對量的平行與垂直.4.高考預料：（1）以考查向量的數量積、夾角、模、垂直的條件等問題為主，基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下；（2）同三角函數、解析幾何等學問相結合，以工具的形式出現．5.備考重點：（1）理解數量積的概念是基礎，駕馭數量積的兩種運算的方法是關鍵；（2）解答與平面幾何、三角函數、解析幾何等交匯問題時，留意運用數形結合的數學思想，通過建立平面直角坐標系，利用坐標運算解題.學問點1．平面對量的數量積一、兩個向量的夾角1．定義已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．2．范圍向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°a與b同向時，夾角θ＝0°；a與b反向時，夾角θ＝180°.3．向量垂直假如向量a與b的夾角是90°，則a與b垂直，記作a⊥b.二、平面對量的數量積1．已知兩個非零向量a與b，則數量|a||b|·cosθ叫做a與b的數量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角．規(guī)定0·a＝0.當a⊥b時，θ＝90°，這時a·b＝0.2．a·b的幾何意義：數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．三、數量積的運算律1．交換律：a·b＝b·a.2．安排律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．對λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．【典例1】（2024·天津高考真題（文））在如圖的平面圖形中，已知,則的值為A．B．C．D．0【答案】C【解析】如圖所示，連結MN，由可知點分別為線段上靠近點的三等分點，則，由題意可知：，，結合數量積的運算法則可得：.本題選擇C選項.【總結提升】計算向量數量積的三種常用方法(1)定義法：已知向量的模與夾角時，可干脆運用數量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法（利用數量積的幾何意義）：計算由基底表示的向量的數量積時，應用相應運算律，最終轉化為基向量的數量積，進而求解．(3)坐標法：若向量選擇坐標形式，則向量的數量積可應用坐標的運算形式進行求解．【變式1】（2024·山西省靜樂縣第一中學高三月考）在中,則在方向上的投影為（）．A．4 B．3 C．-4 D．5【答案】C【解析】對等式兩邊平方得，，整理得，，則，，設向量與的夾角為，所以，在方向上的投影為，故選：C.學問點2．平面對量的數量積的性質及運算一、向量數量積的性質1．假如e是單位向量，則a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，.4．cosθ＝.(θ為a與b的夾角)5．|a·b|≤|a||b|.二、數量積的坐標運算設a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則：1．a·b＝a1b1＋a2b2.2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)).4．cosθ＝＝.(θ為a與b的夾角)【典例2】（2024·浙江高考真題）已知a，b，e是平面對量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿意b2?4e·b+3=0，則|a?b|的最小值是（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】設，則由得，由得因此的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.【思路點撥】先確定向量所表示的點的軌跡，一個為直線，一個為圓，再依據直線與圓的位置關系求最小值.【變式2】（2024·浙江高三期末）若向量滿意，且，則的最小值是__.【答案】【解析】設，，，由可知，所以點C在以AB為直徑的圓上；設,，則，而表示點O到以AB為直徑的圓上任一點的距離，所以最大值即是點O到圓心E的距離加半徑，即，所以，即最小值為2.故答案為2.考點1平面對量數量積的運算【典例3】（2024·全國高考真題（理））已知向量，滿意，，則（）A．4B．3C．2D．0【答案】B【解析】因為所以選B.【總結提升】①已知向量a，b的模及夾角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②對于向量數量積與線性運算的綜合運算問題，可先利用數量積的運算律化簡，再進行運算．【變式3】已知向量，則在方向上的投影為（）A、B、C、D、【答案】D【解析】因為，所以，則，則在方向上的投影既是在方向上的投影為.考點2平面對量數量積的坐標運算【典例4】(2024·成都模擬)已知菱形ABCD邊長為2，∠B＝eq\f(π,3)，點P滿意eq\o(AP,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))，λ∈R，若eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(CP,\s\up15(→))＝－3，則λ的值為()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)【答案】A【解析】法一：由題意可得eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝2×2coseq\f(π,3)＝2，eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(CP,\s\up15(→))＝(eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))·(eq\o(BP,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→)))＝(eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))·[(eq\o(AP,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))－eq\o(BC,\s\up15(→))]＝(eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))·[(λ－1)·eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))]＝(1－λ)eq\o(BA,\s\up15(→))2－eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＋(1－λ)eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝eq\f(1,2)，故選A.法二：建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(2,0)，C(1，eq\r(3))，D(－1，eq\r(3))．令P(x,0)，由eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(CP,\s\up15(→))＝(－3，eq\r(3))·(x－1，－eq\r(3))＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.∵eq\o(AP,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))，∴λ＝eq\f(1,2).故選A.【方法總結】1.已知向量a，b的坐標，利用數量積的坐標形式求解．設a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝a1b1＋a2b2.2.通過建立平面直角坐標系，利用數量積的坐標形式計算.【變式4】（2024·天津高考模擬（理））如圖梯形，且，，在線段上，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】以為坐標原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，設，因此，因此，設所以當時，最小值為選B.考點3平面對量的夾角問題【典例5】（2024·全國高考真題（理））已知為單位向量，且=0，若，則___________.【答案】.【解析】因為，，所以，，所以，所以．【總結提升】向量夾角問題的解答方法：(1)當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關系；(2)若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).提示：〈a，b〉∈[0，π]．【變式5】（2024·四川高考模擬（理））已知向量，滿意，，若與的夾角為，則m的值為A．2B．C．1D．【答案】A【解析】，又，，，，，即，得或（舍去），故的值為2，故選A.考點4平面對量的模的問題【典例6】（2024·浙江高考模擬）已知平面對量不共線，且，，記與的夾角是，則最大時，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則，，所以.易得，，當時，取得最小值，取得最大值，此時.故選C.【規(guī)律方法】平面對量模問題的類型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐標形式出現的，求向量a的模可干脆利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐標形式出現的，求向量a的?？蓱霉絴a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數量積的運算求解．(2)求向量模的最值(范圍)的方法①代數法：把所求的模表示成某個變量的函數，再用求最值的方法求解．②幾何法(數形結合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結合動點表示的圖形求解．（3）利用向量夾角公式、模公式，可將有關角度問題、線段長問題轉化為向量的數量積來解決．【變式6】（2024·浙江高考模擬）已知向量，滿意，，則的最小值是A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】因為，，由肯定值向量三角不等式得：===1，故選A.考點5平面對量垂直的條件【典例7】（2024年文北京卷）設向量a=（1,0），b=（?1,m）,若，則m=_________.【答案】【總結提升】平面對量垂直問題的類型及求解方法(1)推斷兩向量垂直第一，計算出這兩個向量的坐標；其次，依據數量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數量積為0即可．(2)已知兩向量垂直求參數依據兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數．【變式7】（浙江省杭州市學軍中學2024年5月高三模擬