中考數學一輪復習重難點突破：規(guī)律探究與新定義型問題（2類型+10題型）（解析版）

重難點01規(guī)律探究與新定義型問題

目錄

重難點題型突破

類型一數式規(guī)律

題

型

01記數類規(guī)律

題

型

02乘方類規(guī)律

題

型

03表格類規(guī)律

題

型

04數陣類規(guī)律

題

型

05個位數字規(guī)律

題

型

06新定義運算規(guī)律

類型

二圖形規(guī)律

型

題

圖形固定累加型

型

題01

型圖形漸變累加型

題02

型

題03圖形個數分區(qū)域累加

04圖形循環(huán)規(guī)律

真題實戰(zhàn)練

重難點題型突破

計數類規(guī)律

乘方類規(guī)律

數式規(guī)律表格類規(guī)律

-------------------數陣類規(guī)律

個位數字規(guī)律

新定義運算規(guī)律

規(guī)律探究與新定義型問題I

圖叫固定累加型

圖形規(guī)律圖形遞變累加型

-------------------圖形個數分區(qū)域累加型

圖形循環(huán)規(guī)律

類型一數式規(guī)律

方法總結：

一、數字規(guī)律探索

1）當所給的一組數是整數時，先觀察這組數字是自然數列、正整數列、奇數列、偶數列、正整數數列或經

過平方、平方加1或減1等運算后的數列，然后再看這組數字的符號，判斷數字符號的正負是交替出現(xiàn)還

是只出現(xiàn)一種符號，如果是交替出現(xiàn)的可用（-1尸或（-1產1表示數字的符號，最后把數字規(guī)律和符號規(guī)律結合

起來從而得到結果.

2）當數字是分數和整數結合的時候，先把這組數據的所有整數寫成分數，然后分別推斷出分子和分母的數字

規(guī)律（其方法同1））,從而得出分子和分母的規(guī)律，最后得到該組第n項的規(guī)律.

二、數陣規(guī)律探索

此類題目中的數據與有序數對是對應的，設問方式有已知有序數對求數值和表示某個數值的有序數對，本

質上講，這兩種方式是相同的.此類型題的解決方法有：

1）分析數陣中的數字排列方式：①每行的個數;②每列的個數;③相鄰數據的變化特點，并且觀察是否某一行

或者某一列數據具有某些特別的性質（如完全平方數，正整數）等；

2）找出該行或列上的數字與其所在的行數或列數的關系；

3）使用1）中找出的具有特殊性質的數字，根據2）中的性質定位，求得答案

三、等式規(guī)律探索

1）標序數；

2）對比式子與序數，即分別比較等式中各部分與序數（1,2,3,4,…，n）之間的關系，把其蘊含的規(guī)律

用含序數的式子表示出來.通常方法是將式子進行拆分觀察式子中數字與序數是否存在倍數或者乘方的關系

.3）根據找出的規(guī)律得出第n個等式，并進行檢驗.

題型01記數類規(guī)律

【例1】（2023岳陽市二模）按一定規(guī)律排列的一列數依次是|、1、*拳魯、g.按此規(guī)律，這列數中第

100個數是（）

AA.——299-B.——299—C.—301—D.—303

199201201203

【答案】B

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，是不變的，變的是數字，不難發(fā)現(xiàn)數字的規(guī)律，代入具體的數就可求解.

【詳解】解:由|、1、］甘、芳、］……可得第n個數為黑.

Vn=100,

???第100個數為:券

故選B.

【點睛】本題考查學生的觀察和推理能力，通過觀察發(fā)現(xiàn)數字之間的聯(lián)系，找出一般的規(guī)律，解決具體的

問題；關鍵是找出一般的規(guī)律.

【變式1T】（2023?山東日照?日照市新營中學校考一模）觀察下列各式：的=1,。3=；,…，它

54

們按一定規(guī)律排列，第”個數記為時,且滿足則上+'=3,則。2023=

【答案】高

【分析】由題意可得與二而余，即可求解.

【詳解】解：由題意可得：＜11=1,a2-|,a3-i,

同理可求即=—,

222222

a——,念=—

，l=3，。2=g，◎3=7=五，%14o17

2

%1—3(n-l)+2,

221

。2023=3(2023-1)+260683034

故答案為：嘉

【點睛】本題考查了數字的變化類，找出數字的變化規(guī)律是解題的關鍵.

【變式1-2］（2022?河北保定?統(tǒng)考模擬預測）有一列數1,久2,7,久4,％，…，Xn，從第二個數開始，每

個數等于與它相鄰的兩個數的平均數.

（1）則久6為.

(2)若工恒=52,則m=.

【答案】1618

【分析】（1）根據從第二個數開始，每個數等于與它相鄰的兩個數的平均數直接計算即可;

（2）根據（1）中計算的前幾個數找到規(guī)律x“=3n-2,根據=52列出方程求解即可.

【詳解】（1）解：???從第二個數開始，每個數等于與它相鄰的兩個數的平均數,

-,?冷=+7)=4,

-'-7=1(%2+%4)=[(4+第4)，解得久4=13

X4=1(7+X5),即10=((7+%5)，解得苑=13,

???%5=1(%4+%6)'解得%6=

BP13=|(10+%6),16,

故答案為：16；

（2）解：根據前面幾項X]=1,右=4,孫=7,小=10，萬5=13,0=16,…，可知規(guī)律為與i=3?1—2,

xm=3m-2=52,即3nl=54,解得m=18,

故答案為：18.

【點睛】本題考查有理數計算及數字規(guī)律的尋找，準確理解題意，并根據計算的數據找到規(guī)律是解決問題

的關鍵.

【變式1-3]（2023六安市模擬）判斷下面各式是否成立

探究：①你判斷完上面各題后,發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？并猜想：宿

②用含有”的代數式將規(guī)律表示出來，說明w的取值范圍，并給出證明

【答案】都正確①5患②小+號=n>2）,證明見解析.

【分析】（1）①利用已知即可得出命題正確，同理即可得出其他正確性，猜想可得出

②利用①的方法，可以得出規(guī)律，并加以證明即可.

【詳解】解：①上面三題都正確,

【點睛】此題主要考查了平方根的性質，利用已知得出數字之間的規(guī)律是解決問題的關鍵.

【變式1-4]（2023?安徽六安?統(tǒng)考模擬預測）觀察下列等式：

第1個等式：1+1+?；2

第2個等式：2+打；專=|

第3個等式：3+打；總若

第4個等式：4+l+l-i-^...,

78564

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

⑴寫出第5個等式：；

(2)寫出你猜想的第〃個等式：(用含〃的等式表示)，并證明.

【答案】(1)5+打專一2=合

(2加+六+『—=『證明見解札

【分析】將所給等式，豎列排放，觀察各式子的分母之間的關系發(fā)現(xiàn)：等式左邊第一個分母比第二個分母

小1,第三個分母是前兩個分母的乘積，等式的右邊分母是序數，分子是分母的平方再加L

【詳解】⑴第5個等式為：5+,親—2=募,

故答案為:5+打卷一卷26

5

14

(2)猜想第〃個等式為：nH—--F—

2n-l2n2n(2n-l)n

證明::左邊力+六+11

2n2n(2n-l)

2n+(2n—1)—1

=71T---------------------------------

2n(2n—1)

4n—2

=71-1---------------------

2n(2n-1)

2(2n-l)

=n-\-----------------

2n(2n—1)

1

=n+—

n2+l

n

右邊=上,

n

左邊=右邊,

...等式成立.

故答案為：n+—+--—^-=—.

2n-l2n2n(2n-l)n

【點睛】本題考查了規(guī)律型中數字的變化類，以及分式的加減法，根據等式中各數字的變化找出變化規(guī)律

是解題的關鍵.

【變式1-5](2023?安徽宣城?校聯(lián)考一模)先觀察下列各式：

VT=1；

V1+3=V4=2；

Ml+3+5—V9=3；

V1+3+5+7=V16=4

⑴計算：Vl+3+5+7+9；

(2)已知”為正整數，通過觀察并歸納，

請與出：J1+3+5+7+9+11+…+(2?1-1)=；

(3)應用上述結論，請計算V4+12+20+28+36+44+…+204的值.

【答案】(1)6

⑵w

⑶52

【分析】(1)先求出1+3+5+7+9的值，再根據算術平方根的定義求解即可；

(2)觀察可知左邊根式里面都是奇數，等式右邊的結果是等式左邊根號里面最后一個數加1后的一半，據

此規(guī)律求解即可；

(3)把根號里面的數字提取公因數4,然后根據(2)的規(guī)律求解即可.

【詳解】(1)解：Vl+3+5+7+9=V25=5,

故答案為：5

(2)解：VV1=1,

VTT3=〃=2，

V1+3+5=V9=3,

V1+3+5+7=716=4

可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律J1+3+5+7+9+11+...+(27i—1)=n

(3)解：V4+12+20+28+36+44+.........+204

74X[1+3+5+7+9+-?-...+(2X26-1)]

=J4x262

=52.

【點睛】本題主要考查了與實數相關的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關鍵.

題型02乘方類規(guī)律

【例2】（2023?四川成都??？家荒＃┨剿饕?guī)律：觀察下面的一列單項式：X、—234x\-8x\16%\..

根據其中的規(guī)律得出的第9個單項式是（）

A.-256/B.256/C.-512%9D.512x9

【答案】B

【分析】根據已知的式子可以得到系數是以-2為底的累，指數是式子的序號減1,x的指數是式子的序號.

【詳解】解：第9個單項式是（-2）9-59=256/.

故選：B.

【點睛】本題考查了單項式規(guī)律題，正確理解式子的符號、次數與式子的序號之間的關系是關鍵.

2

【變式2-1］（2023?湖北武漢??？寄M預測）為了求1+2+22+…+22。23的值，可令5=1+2+2+-+

22023,貝|J2s=2+22+23+…+22024,因此2S—S=22°24一1,所以1+2+2?+…+22°23=22024一1,

仿照以上推理計算出1+3+32+…+32。23的值是（）

1-320243-3202432024-1n-2024_n

A.B.C.D.--------

2222

【答案】c

【分析】令S=1+3+32+...+32023,貝歸S=3+32+33+…+32024,再將第二個等式與第一個等式左

右兩邊相減求出3s-S的值即可求解.

【詳解】解：令S=1+3+32+…+32023①,

...3S=3+32+33+…+32024②,

②減①，得：3S-S=32024一1,

2

32024-1

即1+3+3?+…+32023

2

故選：C.

【點睛】本題考查數字的變化類，有理數的混合運算，找到變化規(guī)律是解題的關鍵.

【變式2-2](2022隨州市一模)我們知道，一元二次方程x2=-1沒有實數根，即不存在一個實數的平方等

于-1,若我們規(guī)定一個新數i,使其滿足i2=-1(即x2=-1方程有一個根為i),并且進一步規(guī)定：一切實

數可以與新數進行四則運算，且原有的運算法則仍然成立，于是有i'i,i2=-1,i3=i2?i=(-1)?i,i4=(i2)

2=(-1)2=1,從而對任意正整數n,我們可得到i4n+l=i4n.i=(i4)n?i,同理可得1而+2=-1,-j,j4n口

那么，i+i2+i3+i4+...+i2016+j2017的值為()

A.0B.1C.-1D.i

【答案】D

【詳解】試題解析：由題意得，i!=i,i2=-l,i3=i2?i=(-1)?i=-i,i4=(i2)2=(-1)2=1,i5=i4?i=i,i6=i5?i=-l

故可發(fā)現(xiàn)4次一循環(huán)，一個循環(huán)內的和為0

?.?竺12=504-1

4

.*.i+i2+i3+i4+...+i2013+i2017=i

故選：D

【變式2-3](2022.廣西梧州.統(tǒng)考一模)找規(guī)律數:0,6,16,30,48,則第兀個為_____(用含〃的代

數式表示).

【答案】2("_1)

【分析】現(xiàn)將這列數除以2,再利用平方差公式尋找規(guī)律即可求解

【詳解】解：將原數列，每個數除以2,得到新數列，為：0,3,8,15,24,

可以發(fā)現(xiàn)：

0=1-1=12-1,

3=4-1=22-1,

8=9-1=32_1,

15=16-1=42_1,

24=25-1=52-1,

依次類推，可知新數列的第"個數為：n2-l,

則原數列的第"個數為：2(n2-l),

故答案為：2(n2-l).

【點睛】此題考查了數字的變化規(guī)律，根據數字的特點，運用平方差公式找到數字的規(guī)律是解答本題的關

鍵.

2

【變式2-4】觀察等式：1=1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=4)...

猜想1+3+5+7+■??+2019=.

【答案】10102.

【分析】觀察給出的等式得到：從1開始的連續(xù)2個奇數和是22,連續(xù)3個奇數和是32,連續(xù)4個，5個奇

數和分別為42,52…根據規(guī)律即可猜想從1開始的連續(xù)n個奇數的和，據此可解.

【詳解】解：???從1開始的連續(xù)2個奇數和是22,連續(xù)3個奇數和是32,連續(xù)4個，5個奇數和分別為42,

52...；

.?.從1開始的連續(xù)n個奇數的和：1+3+5+7+...+(2n-l)=n2；

A2n-1=2019；

/.n=1010；

.,.l+3+5+7...+2019=10102；

故答案是：10102.

【點睛】此題主要考查學生對規(guī)律型題的掌握，關鍵是要對給出的等式進行仔細觀察分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根

據規(guī)律解題.

題型03表格類規(guī)律

解題技巧：表格找規(guī)律其實是在數學的學習當中一項比較常見的類型，以日歷的表格為基礎而展開的規(guī)律

選擇最為常見.這類提醒我們要以其中一個數字為中心，上下左右的數字變化以及大小來展開，比如在日歷

的表格當中上下相差7,左右相差一，那么將中心的數字看作是字母a,則左邊為a-1,右邊為a+1,上邊

為57,下邊為a+7.所以當我們沒有關于表格規(guī)律的解題思路時，將以此為基礎來進行觀察，雖然其規(guī)律

有所不同，但是其思路是相通的，方法也可以類比進行推論.

【例3】(2020?山西臨汾?校聯(lián)考模擬預測)在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數滿足一定的規(guī)律，如圖是

2019年1月份的日歷.我們任意選擇其中所示的菱形框部分將每個菱形框部分中去掉中間位置的數之后，

相對的兩對數分別相乘，再相減，例如：9X11-3X17=48,13X15-7X21=48.不難發(fā)現(xiàn)，結果

都是48.

2019年1月

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

一“.

12..45

6...8910if\12

J131415J；16'、17.1819

20。.21.2212242526

2728293031

(1)請證明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；

(2)若用一個如圖所示菱形框，再框出5個數字，其中最小數與最大數的積為435,求出這5個數的最大

數；

(3)小明說：他用一個如圖所示菱形框，框出5個數字，其中最小數與最大數的積是120.直接判斷他的

說法是否正確.(不必敘述理由)

【答案】(1)見解析；(2)29；(3)他的說法不正確

【分析】(1)設中間的數為a,則另外4個數分別為(a-7),(a-1),(a+1),(a+7),利用(a-1)(a+1)

-(a-7)(a+7)=48可證出結論；

(2)設這5個數中最大數為x,則最小數為(xT4),根據兩數之積為435,可得出關于x的一元二次方程，

解之取其正值即可得出結論；

(3)設這5個數中最大數為y,則最小數為(y-14),根據兩數之積為120,可得出關于y的一元二次方程，

解之取其正值，由該值在第一列可得出小明的說法不正確.

【詳解】(1)證明：設中間的數為a,

(a-l)(a+1)—(a-7)(ci+7)=a2—1—(a?-49)

=a2—1-a?+49=48.

(2)解：設這五個數中最大數為工,

由題意,得—14)=435,

解方程，得打=29,x2--15(不合題意，舍去).

答：這5個數中最大的數是29.

(3)他的說法不正確.

解：設這5個數中最大數為y,則最小數為(y-14),

依題意，得：y(y-14)=120,

解得：yl=20,y2=-6(不合題意，舍去).

：20在第一列,

不符合題意，

.??小明的說法不正確.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用及菱形的性質，以及規(guī)律型：數字的變化類，找準等量關系，正

確列出一元二次方程是解題的關鍵.

【變式3-1】觀察表格，回答問題：

a0.00010.01110010000

y[a0.01X1y100

(1)表格中久=,y-；

(2)從表格中探究a與班數位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：

①己知VTU-3.16,則“000-；

②已知標=8.973,若a=897.3,用含機的代數式表示b,則匕=

⑶試比較血與。的大小.

當________時，Va>a；當________時，Va=a；當________時，Va<a.

【答案】(1)0.1;10;

(2)?31.6；②10000m；

(3)0<a<1,<1=1或0,a>1.

【分析】(1)由表格得出規(guī)律，求出x與y的值即可；

(2)根據得出的規(guī)律確定出所求即可；

(3)分類討論a的范圍，比較大小即可.

【詳解】(1)解：x=V(10T=0.1,y=VToo=10.

故答案為：0.1；10；

(2)解：①根據題意得：V1000?31.6.

②結果擴大100倍，則被開方數擴大10000倍，

???b=10000m.

故答案為：31.6；10000m；

(3)解：當a=0或1時，Va=a；

當0<aV1時，y[a>a；

當a=1或0時，4a=a；

當a〉1時，y[a<a,

故答案為：0<a<l,(1=1或0,a>l.

【點睛】本題考查了實數的比較，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵.

【變式3-2](2021宿州市一模)如圖，下列各正方形中的四個數之間具有相同的規(guī)律.

第1個圖第2個圖第3個圖第4個圖第〃個圖

根據此規(guī)律，回答下列問題：

(1)第5個圖中4個數的和為.

(2)a=；c=.

(3)根據此規(guī)律，第n個正方形中，d=2564,貝g的值為.

【答案】(1)-152；(2)(―(-l)n-2n+4；(3)10.

【分析】(1)觀察圖形可得第5個圖中4個數，相加即可求解；

(2)由已知圖形得出2=(-1)n-2n_1,b=2a=(-1)n?2n,c=b+4=(-1)n*2n+4,即可求解;

(3)根據d=a+b+c=5x(-1)――+4=2564求解可得.

【詳解】(1)第5個圖形中的4個數分別是-16,-32,-28,-76

4個數的和為：一16-32-28-76=-152.

故答案為：—152；

(2)a=(-1)%251；

b=2a=(-1)n?2n,

c=b+4=(-1)n?2n+4.

故答案為：C-ir-Z"-1；(-l)n-2n+4.

(3)根據規(guī)律知道，若d=2564>0,則n為偶數，

當n為偶數時a=2"T,b=2n,

c=2n+4,2"T+2n+2n+4=2564,2n-1+2n+2n=2560,

2n-1(l+2+2)=2560

2吩1=512

2nt=29

n-1=9

解得n=10.

故答案為：10.

【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類.關鍵是由特殊到一般，找出數字算式運算規(guī)律.

【變式3-3］（2023?河北保定?統(tǒng)考一模）觀察：

序號①②③④⑤⑥⑦

數2°212223242526

個位上數字12486mn

思考：（1）上面表格中機、w的值分別是多少？

探究：（2）第⑩個數是什么？它個位上的數字是多少？

延伸：（3）22。23的個位數字是多少？

拓展：（4）用含人的代數式表示個位上的數字是6的數的序號.（左為正整數）

【答案】（1）m=2,n=4；（2）第⑩個數是2\個位上的數字是2；（3）2?。23的個位數字是生（4）第1k

個6的序號為：4k+1

【分析】（1）不難看出個位上的數字是以2,4,8,6重復出現(xiàn)，則可求解；

（2）根據表格中的規(guī)律，可表示出第10個數，即可求解；

（3）結合（1）進行求解即可；

（4）結合表格進行求解即可.

【詳解】解：⑴25=32,26=64,

771=2,n=4；

（2）???表格中的數是以2為底數，指數是從。開始的自然數，

個位上的數字是以1,2,4,8,6,2,4,8,6,...排列,

二第⑩個數是2%29=512,

二個位上的數字是2；

（3）???（2023-1）4-4=505……2,

.-.22023的個位數字是生

（4）?.?個位上的數字是6的數的序號是：5,9,13,

???第k個6的序號為：4k+1.

【點睛】本題主要考查列代數式，有理數的乘方，解答的關鍵是由表格分析出存在的規(guī)律.

題型04數陣類規(guī)律

【例4】（2023?福建廈門?廈門雙十中學?？既＃⒁唤M數近，2,V6,2^2,...,4e,...按下列方式進

行排列：

V2,2,V6,2-\/2：

V10,2V3,V14,4；

若2的位置記為（1,2）,舊的位置記為（2,3）,則2同的位置記為

【答案】（5,4）

【分析】先找出被開方數的規(guī)律，再求出2g的位置即可.

【詳解】解：原來的一組數即為

V2,V4,V6,V8；

V10,V12,V14,V16；

所以，規(guī)律為：被開方數為從2開始的偶數，每行4個數，

V2V10=V40?40是第20個偶數，而20+4=5,

.?.2內的位置為（5,4）,

故答案為：（5,4）.

【點睛】本題考查了數字的規(guī)律探究，找準規(guī)律是解題的關鍵.

【變式4-1］（2022?陜西西安??？寄M預測）觀察下列一系列數，按照這種規(guī)律排下去，那么第5行從左邊

數第6個數是—.

-1

2-34

-56-78-9

10-1112-1314-1516

【答案】22

【分析】根據數陣中的數字，可以發(fā)現(xiàn)數字的變化特點，從而可以求得第5行從左邊數第6個數，本題得以

解決.

【詳解】解：由數陣可得，

第一行有1個數字，

前2行一共有：4個數字，

前3行一共有：9個數字，

前4行一共有：16個數字，

則第5行從左邊數第6個數的絕對值是16+6=22,

??,數陣中的奇數都是負數，偶數都是正數，

二第5行從左邊數第6個數是22,

故答案為:22.

【點睛】本題考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數字的變化特點，求出相應的數字.

【變式4-2］（2023?山東聊城?統(tǒng)考二模）將正整數按如圖所示的規(guī)律排列，若有序數對（幾小）表示第"排，

從左到右第相個數，如（4,2）表示9,則表示123的有序數對是.

1……第一排

32……第二排

456……第三排

10987……第四排

【答案】（16,14）

【分析】根據圖中的數字，可以發(fā)現(xiàn)每排的數字個數和每排中數字的排列順序，從而可以得到123在第多

少排，然后即可寫出表示123的有序數對，本題得以解決.

【詳解】解：由圖可知，

第一排1個數，

第二排2個數，數字從大到小排列，

第三排3個數，數字從小到大排列，

第四排4個數，數字從大到小排列，

則前〃排的數字共有：1+2+3+…+幾=3#個數,

奇數排從小到大排列，偶數排從大到小排列,

?.,當n=15時，”產=120,

當n=16時，竺羅=136,

A123在第16排,

V136-123+1=14,

二表示123的有序數對是（16,14）.

故答案為：（16,14）.

【點睛】本題考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數字的變化特點，寫出表示123的有

序數對.

【變式4-3］（2021?山東濟寧.統(tǒng)考一模）將1,V2,V3,乃按如圖方式排列，若規(guī)定（加，〃）表示第相排

從左向右第咒個數，則（6,3）與（2000,4）表示的兩數之積是.

1第1排

72招第2排

761也第3排

76172第4排

737617273第5排

【答案】2V3.

【分析】首先計算出前5排和前1999排共有多少個數，然后除以4,根據得到的余數確定（6,3）與（2000,

4）,即可得到結果.

【詳解】前5排共有1+2+3+4+5=15個數，15+4=3……3,

...第6排的第1個數為痣，

第6排的第3個數為魚，

前1999排共有1+2+3+4+......+1999-19；）1999=1999000,1999000^4=499750,

.?.第2000排的第1個數為1,

/.第2000排的第4個數為歷，

.'.V6-V2=V12=2V3.

故答案為：2回

【點睛】本題考查了算術平方根與規(guī)律型：數字的變化類，根據規(guī)律判斷出是第幾個數是解本題的關鍵.

【變式4-4］（2022鄂爾多斯市二模）我國古代數學的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖所

示）就是一例.

11.......................................(a+d)1

\z

121.......................................(a+b?

\7\7

1331........................................(CT+6)3

這個三角形的構造法則為：兩腰上的數都是1,其余每個數均為其上方左右兩數之和.事實上，這個三角形

給出了(a+6嚴①為正整數)的展開式(按a的次數由大到小的順序排列)的系數規(guī)律.例如，在三角形中第三行

的三個數1、2、1,恰好對應(a+6)2=。2+2防+》2展開式中各項的系數；第四行的四個數1、3、3、1,

恰好對應著(a+=a3+3a2b+3ab2+/展開式中各項的系數等等.根據上面的規(guī)律，(a+b》的展開式

中各項系數最大的數為；式子75+5x74x(一5)+10x73x(-5)2+10x72x(-5)3+5x7x

(一5尸+(—5>的值為.

【答案】632

【分析】根據三角形的構造法則，確定出(a+b)4的展開式中各項系數最大的數；原式變形后，計算即可

得到結果.

【詳解】解：根據題意得：(a+b)4的展開式中各項系數分別為：1,4,6,4,1,

???最大的數為6；

75+5x74x(-5)+10x73x(-5)2+10x72X(-5)3+5x7x(-5)4+(-5)5

=(7-5>

=25=32；

故答案為6；32.

【點睛】此題考查了整式的混合運算，以及乘方的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

【變式4-4](2021?湖北隨州?統(tǒng)考一模)我國古代數學家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝

三角”，它具有一定的規(guī)律性.從圖中取一斜列數：1,3,6,10,15,…，我們把第一個數記為的,第二個

數記為42,第三個數記為43,…，第九個數記為即.4看+己+-“+/=募，則n的值為.

【答案】4041

【分析】首先根據題意得出西的關系式，然后用“裂項法”將高裂成2?-.)，逐步化簡，列等式求值

即可得出結果.

【詳解】解：由題意得的=1，。2=3=1+2,%=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,…，

,_n(n+l)

??a九—2,

—=---=2

ann(n+l)

=2。_總，

氏=2(1-總

n2n

2021-n+1

An=4041；

故答案為:4041.

【點睛】本題考查規(guī)律型：數字的變化規(guī)律.找到變化規(guī)律然后用“裂項法”求解是解本題的關鍵.

【變式4-5](2021合肥市一模)如圖1,觀察數表，如何計算數表中所有數的和？

方法1：如圖1,先求每行數的和：

第1行1+2+3+…+n=(1+2+3+...+n)

第2行2+4+6+…+2Tl=2(1+2+3+…+n)

第n行n+2n+3n-\------Fn2=n(l+2+3+—Fn)

故表中所有數的和：

(1+2+3+???+n)+2(1+2+3+???+n)+???+n(l+2+3+??-+n)=_；

第1行1234---n

第2行24682n

第3行369123n

第4行481216…4〃

第”行n2n3”4〃---n'

圖1

方法2：如圖2.依次以第1行每個數為起點，按順時針方向計算各數的和:

第1組1=13

第2組2+4+2=23

第3組3+6+9+6+3=33

第71組n+2m+—n2+—2n+n

用這n組數計算的結果，表示數表中所有數的和為：

綜合上面兩種方法所得的結果可得等式：

利用上面得到的規(guī)律計算：13+23+33+…+203.

【答案】方法1：-n2(n+I)2；方法2：n3；I3+23+33+—Fn3；-n2(n+l)z=l3+23+33+-??+n3；

44

44100.

【分析】方法1：先提取公因式，然后利用計算公式1+2+3+…+幾=也羅，即可求解.

方法2：根據規(guī)律第1組1=13,第2組2+4+2=23,第3組3+6+9+6+3=33可找到規(guī)律，n+2m+

+n2+—F2n+n—n3

根據表中所有數的和相等，將方法1和方法2綜合即可得等式.

I3+23+33+…+2。3結合上一問所得等式即可求出解.

【詳解】方法1：

(1+2+3+…+n)+2(1+2+3+…+n)+…+幾(1+2+3+…+n)

n(n+l)2n(n+l)3n(n+l)n2(n+l)

=--------------1------------------1------------------F???H---------------

2222

=^^(l+2+3+-+n)

_n(n+l)n(n+l)

"2,2

_n2(n+l)2

4

方法2:

n+2m+—I-n2+—F2n+n

=n3

用這n組數計算的結果，表示數表中所有數的和為：

I3+23+33+???+n3：

綜合上面兩種方法所得的結果可得等式：

"2（n+1）Z=13+23+33+-??+n3；

4

33

計算13+2+3+…+2。3=2°2（2。+1）2=44100.

4

【點睛】本題是找規(guī)律的一道題目，掌握計算公式1+2+3+…+踐=也羅是解題關鍵.

題型05個位數字規(guī)律

[例5]（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模）觀察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=

16807,…，根據其中的規(guī)律可得70+7]+72+…+72。22+72。23的結果的個位數字是.

【答案】0

23

【分析】由已知可得7n的尾數1,7,9,3循環(huán)，則7。+7】+…+72023的結果的個位數字與7。+7i+7+7

的個位數字相同，即可求解.

【詳解】解：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

??.7"的尾數1,7,9,3循環(huán)，

7°+71+72+73的個位數字是0,

■??0,1,2023,一共有2024個數，

???2024+4=506,

7°+71+…+72。22+72。23的結果的個位數字與7。+71+72+73的個位數字相同，

1

7°+7+…+72022+72023的結果的個位數字是0,

故答案為：0.

【點睛】本題考查數的尾數特征，能夠通過所給數的特點，確定尾數的循環(huán)規(guī)律是解題的關鍵.

【變式5-1]（2022.山東聊城.統(tǒng)考二模）計算3】，32,33,34,35,36,并觀察這些哥的個位數字，根據你

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，判斷32022的個位數字跟（）的個位數字相同.

A.31B.32C.33D.34

【答案】B

【提示】先計算幾個幕的運算，然后從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得出結果.

【詳解】解:31=3,

32=9,

33=27,

34=81,

35=243,

據此發(fā)現(xiàn)，這些事的個位數字分別為3,9,7,1四個循環(huán)一次，

.?.2022+4=505…2,

...32022個位數字為％與32個位數字相同，

故選：B.

【點睛】題目主要考查有理數乘方運算及規(guī)律問題，理解題意，找出相應規(guī)律是解題關鍵.

【變式5-2］計算：21-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,…歸納各計算結果中的個位

數字規(guī)律，猜測22。21-1的個位數字是()

A.1B.3C.7D.5

【答案】A

［提示】根據題目中的式子可以計算出前幾個數字，從而可以發(fā)現(xiàn)個位數字的變化規(guī)律,進而可以得到22021-1

的個位數字.

【詳解】解：由2L1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31,26-1=63,27-1=127,28-1=255,可知計算

結果中的個位數字以1、3、7、5為一個循環(huán)組依次循環(huán)，

；2021+4=505...1,

.?.22。2」的個位數字是1,

故選：A.

【點睛】本題考查數字的變化類、尾數特征，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)個位數字的變化特點，求

出所求式子的個位數字.

【變式5-3】發(fā)現(xiàn)：4?4,42=16,43=64,4=256,45=1024,46=4096,47=16384,48=65536

(1)觀察上面運算結果的個位數字，寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；

(2)依據(1)中的規(guī)律，通過計算判斷3x(4+1)(42+1)(44+1)...(432+1)+1的結果的個位數字是多

少,

【答案】(1)當4的指數是奇數時，運算結果的個位數字是4；當4的指數是偶數時，運算結果的個位數字

是6；(2)個位數字是6.

【提示】(1)注意4的指數的奇偶性與個位數字的關系；

(2)利用平方差公式進行計算，然后利用(1)中的規(guī)律解答.

【詳解】解：(1)1=4,42=16,43=64,44=256,45=1024,46=4096,47=16384,48=65536

觀察上面運算結果發(fā)現(xiàn)：當4的指數是奇數時，運算結果的個位數字是4；當4的指數是偶數時，運算結果

的個位數字是6；

(2)3x(4+1)(42+1)(44+1)...(432+1)+1

=(4-1)x(4+1)(42+1)(44+1)...(432+1)+1

=(42-1)x(42+1)(44+1)...(432+1)+1

=(44-1)(44+1)...(432+1)+1

=464.

可知464的個位數字是6,故3x(4+1)(42+1)(44+1)...(432+1)+1的結果的個位數字是6.

【點睛】本題考查了平方差公式的應用，題型較好，難度適中，是一道不錯的題目，通過此題能培養(yǎng)學生

的觀察能力.

題型06新定義運算規(guī)律

解題技巧：新定義運算的規(guī)律其實是這幾種規(guī)律當中最為簡單的一種，因為其規(guī)律都是由題目給出的，想

要找到其規(guī)律，需要從所給的條件當中進行簡單的推論.這時候就考驗大家的觀察能力，以及對數字的敏感

程度.

【例6】(2020.河南.統(tǒng)考中考真題)定義運算：m?n=mn2-mn-l.例如:4x2=4x2?-4x2-1=

7.則方程1xx=0的根的情況為()

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.無實數根D.只有一個實數根

【答案】A

【分析】先根據新定義得出方程，再根據一元二次方程的根的判別式可得答案.

【詳解】解：根據定義得：lxx="2—X—1=0,

a=l,b=—l,c=—1,

4=爐-4ac=(-1)2-4X1x(-1)=5>0,

原方程有兩個不相等的實數根，

故選4

【點睛】本題考查了新定義，考查學生的學習與理解能力，同時考查了一元二次方程的根的判別式，掌握

以上知識是解題的關鍵.

【變式6-1](2023?遼寧朝陽?校聯(lián)考三模)我們知道，一元二次方程/=-1沒有實數根，即不存在一個實

數的平方等于-1.如果我們規(guī)定一個新數“『'使它滿足產=-1(即/=—1有一個根為力并且進一步規(guī)定：

一切實數可以與新數“i”進行四則運算，且原有的運算律和運算法則仍然成立.于是有：尸=i,i2=-1,

i3=i2-i=~i,i4=(步尸=1……那么產。23=.

【答案】-i

【分析】根據所給的新定義找到規(guī)律即可得到答案.

【詳解】解：尸=i，

i2=-1,

i3=i2-i=-i,

〃=戶.j=i,

i5=i4-i=i,

可以發(fā)現(xiàn)每4個運算為一個循環(huán)，結果為i,-1,-i,1循環(huán)出現(xiàn)，

720234-4=505...3,

Ai2023=-i,

故答案為：-九

【點睛】此題主要考查了新定義下的實數運算和數字類的規(guī)律探索，正確得出數字變化規(guī)律是解題關鍵.

【變式6-2](2022?浙江寧波?統(tǒng)考中考真題)定義一種新運算：對于任意的非零實數a,6,。86=工+"若

ab

(x+1)0X=則X的值為.

【答案】-1/-0.5

【分析】根據新定義可得(x+1)集x=竽，由此建立方程竽i="解方程即可.

xz+xxz+xX

【詳解】解：⑤b=乙+3

ab

x+l+x2x4-1

(%+1)0X=—+-

x+1xx(x+l)x2+xf

又???。+1)6)%=等,

.2x+l2x4-1

??~x~z+xX,

/.(%2+x)(2x+1)-x(2x+1)=0,

(%2+x—%)(2%+1)=0,

/.x2(2x+1)=0,

?；(x+l)(8)x=平即xKO,

/.2%4-1=0,

解得久=_5

經檢驗x=-1是方程竽=處的解，

2xz+xx

故答案為：一

【點睛】本題主要考查了新定義下的實數運算,解分式方程,正確理解題意得到關于尤的方程是解題的關鍵.

【變式6-3](2022?湖南張家界?張家界市民族中學?？家荒?定義:如果一個數的平方等于-1,記為產=-1,

這個數