中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：全等三角形中的常見(jiàn)壓軸題（五種模型）含答案及解析

全等模型專題:全等三角形中的常見(jiàn)壓軸題五種模型全攻略

【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】1

【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】

【解題模型二一線三等角模型】

【解題模型三三垂直模型】

【解題模型四倍長(zhǎng)中線模型】

【解題模型五旋轉(zhuǎn)模型】

1一總【典型例題】

【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】

方法模型總結(jié)：若四邊形中有兩對(duì)鄰邊

相等（如圖），常連接這兩對(duì)鄰邊的交點(diǎn)

構(gòu)造全等三角形解題.

血］1（2023春?廣東梅州?八年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知如圖，四邊形ABCD中，=ADCD,求證:

???

【變式訓(xùn)練】

題目工（2023秋?云南昆明?八年級(jí)統(tǒng)考期末）放風(fēng)箏是中國(guó)民間的傳統(tǒng)游戲之一,風(fēng)箏又稱風(fēng)琴，紙鸛，鸛

子，紙鶯.如圖1,小華制作了一個(gè)風(fēng)箏，示意圖如圖2所示，AB=AC,,他發(fā)現(xiàn)AO不僅平分

ABAC,且平分,你覺(jué)得他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

題目句（2023秋?湖南常德?八年級(jí)統(tǒng)考期末）中國(guó)現(xiàn)役的第五代隱形戰(zhàn)斗機(jī)殲-20的機(jī)翼如圖，為適應(yīng)空氣

動(dòng)力的要求，兩個(gè)翼角乙4,必須相等.

⑴實(shí)際制造中，工作人員只需用刻度尺測(cè)量P4=PB,CA=CB就能滿足要求，說(shuō)明理由;

（2）若/A=30°,ZP=40°,求AACB的度數(shù).

:題目3如圖，在四邊形ABCD中，CB，AB于點(diǎn)B,CD，AD于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F分別在AB,AO上，AE=

AF,CE=CF.

(1)若AE=8,CD=6,求四邊形AECF的面積；

(2)猜想/D4B,NECF,ZDFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

題目⑷在四邊形ABOC中，AC=AB,DC=DB,ZCAB=60°,/CDB=120°,E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=BF.

(1)試說(shuō)明：DE=DF：

(2)在圖中，若G在AB上且/EDG=60°,試猜想CE,EG,BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論.

(3)若題中條件“/CAB=60°,/CDB=120°改為/CAB=a,ZCDB-180°G在AB上，/EDG滿足

什么條件時(shí)，(2)中結(jié)論仍然成立？

【解題模型二一線三等角模型】

方法模型總結(jié)：如圖，NB=NC=

N1,由三角形內(nèi)角和及平角的有

關(guān)性質(zhì)易得N2=/3,/4=X5,

BD

再加上任一組對(duì)應(yīng)邊相等，易證兩三角形全等.

題］（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【探究】如圖①，點(diǎn)B、。在的邊4W、4V上，點(diǎn)E、F在內(nèi)部

的射線AD上，ZK/2分別是AABE、Z\CAF的外角.若AB=AC,/I=/2=求證：&ABE咨

△CAF.

【應(yīng)用】如圖②，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AB>,點(diǎn)。在邊BCk,CD=2BD,點(diǎn)、E、F在線

段AD上，/I=/2=/BAC,若△ABC的面積為9，則A4BE與△CDF的面積之和為.

【變式訓(xùn)練】

題目①（2023春?廣西南寧?七年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀?）問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖1,射線AE在/AMN

的內(nèi)部，點(diǎn)B、C分別在乙MAN的邊AM、AN上，且AB=AC,若ABAC=4BFE=4CDE=90°,求證：

△ABFW4CAD；

（2）類比探究:如圖2,AB=AC,且NBAC=NBFE=NCDE.（1）中的結(jié)論是否仍然成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;

⑶拓展延伸:如圖3,在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)E在邊上，CE=2BE,點(diǎn)。、F在線段

AE上，NBAC=NBFE=NCDE.若AABC的面積為15,DE=2AD,求△BE尸與△（7￡）￡；的面積之比.

圖1圖2圖3

?M

題目⑨（2023春?廣東佛山?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，CD是經(jīng)過(guò)/BCA頂點(diǎn)。的一條直線，CA=CB,E、F

分別是直線CD上兩點(diǎn),且ABEC=ACFA=a.

⑴若直線CD經(jīng)過(guò)乙BCA的內(nèi)部，且右、F在射線CD上.

①如圖1,若/.BCA=90°,a=90°,試判斷BE和CF的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

②如圖2,若0°<ABCA<180°,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于a與ABCA關(guān)系的條件，使①中的結(jié)論仍然成立；

（2）如圖3,若直線CD經(jīng)過(guò)ABCA的外部，a=ABCA,請(qǐng)?zhí)岢鲫P(guān)于EF,BE,AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合

理猜想，并說(shuō)明理由.

［題目T］在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D,A,E,在直線m上方有AB^AC,且滿足ABDA=AAEC

=ABAC=a.

⑴如圖1,當(dāng)a=90°時(shí),猜想線段。E,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

（2）如圖2,當(dāng)0<a<180°時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明;若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

（3）應(yīng)用：如圖3,在中,/BAC是鈍角，AB=AC,ABAD<ACAE,ABDA=4AEC=ABAC,直

線m與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若BC=3FB,&ABC的面積是12,求&FBD與4ACE的面積之和.

5

【解題模型三三垂直模型】

方法模型總結(jié)：在三垂直模型中，利用余角的性質(zhì)尋求

兩直角三角形中一組角相等，再加上任一組對(duì)邊相等，

;易證兩直角三角形全等，常見(jiàn)的模型如下：

1……一一.

的1（2023春?廣東廣州?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖,乙4cB=90°,AC=BC,BE_LCE亍E,AO_LCE于。,

AD=2.7cm,DE=1.8cm.

A

CLB

（1）求證：/\ACD篤4CBE.

（2）求BE的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練】

題目⑵（2023春?河北邯鄲?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：/ACB=90°,AC=BC,AD_LCW,BE_LCM_，垂

足分別為。，石.

AA

A.

J

MDCEM

圖1圖2

（1）如圖1,把下面的解答過(guò)程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)內(nèi)注明理由.

①線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系是：CD=BE；

②請(qǐng)寫出線段人。，BE,DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明.???

在△43。中，NBAC=90°,AC=AB,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)、A,且CD_LMN于D,BE_LMN于E.

圖1圖2

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)、A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，AEAB+NDAC=度；

（2）求證：DE=CD+BE；

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問(wèn)DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)

系,并加以證明.

題目叵］如圖，已知:在△ABC中，乙4cB=90°,直線1W經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AD±MN,BE±MN.

（1）當(dāng)直線7W繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí),求證：△4DC生△CEB；

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí),求證：DE=AD-BE-,

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)

等量關(guān)系：?

【解題模型四倍長(zhǎng)中線模型】

題］（2023春?山東臨沂?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△48。中，AB=3,4,

⑴求邊的長(zhǎng)的取值范圍？

（2）若AD是△ABC的中線，求AD取值范圍？

【變式訓(xùn)練】

題目$如圖，在△A3。中，AD是BC邊上的中線.延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使OE=AD,連接BE.

⑴求證：/\ACD篤/\EBD；

（2）AC與BE的數(shù)量關(guān)系是：，位置關(guān)系是：；

（3）若ABAC=90°,猜想AD與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

題目團(tuán)（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖1,AO為4ABC的中線，延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD.

（1）試證明：4ACD豈△EBD；

（2）用上述方法解答下列問(wèn)題:如圖2,40為△ABC的中線，BA〃交AD于。，交力。于河,若⑷W=GW,

求證：BG=AC.

E

題目叵〕（2023春?上海?七年級(jí)專題練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng),請(qǐng)你來(lái)加入.

圖1圖2圖3

【探究與發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1,AD是AABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使=連接BE,證明：△ACDWAEBD

【理解與應(yīng)用】

（2）如圖2,EP是^DEF的中線，若EF=5,DE=3,設(shè)EP=必則c的取值范圍是.

⑶如圖3,AD是△ABC的中線，E、F分別在AB、AC上，且OE_LDF,求證:BE+CF>EF.

【解題模型五旋轉(zhuǎn)模型】

網(wǎng)］1如圖，=AE=AD,ACAB=Z.EAD=a.

(1)求證：/XAEC^AADB；

(2)若a=90°,試判斷BD與CE的數(shù)量及位置關(guān)系并證明;

(3)若NCAB=NEAD=a，求ZCFA的度數(shù).

【變式訓(xùn)練】

題目?如圖，在△ABC中，AB=8C,/ABC=120°,點(diǎn)。在邊人。上,且線段BD繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较?/p>

旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合，點(diǎn)F是即與AB的交點(diǎn).

(1)求證：AE=CD；

(2)若ZDBC=45°,求4BFE的度數(shù).

?M

題目0問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖1,已知。為線段AB上一點(diǎn),分別以線段AC,BC為直角邊作等腰直角三角形,

AACD=9Q°,CA=CD,CB=CE,連接AE,BD,線段AE,BD之間的數(shù)量關(guān)系為；位置關(guān)系為

拓展探究:如圖2,把Rt/\ACD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),線段AB,BD交于點(diǎn)F,則AE與BD之間的關(guān)系是否

仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

題目⑼（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，/區(qū)4。=90°,=直線上W經(jīng)過(guò)點(diǎn)且CD

_L2W于。，BE_L2VGV于E.

圖1圖2

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，NEAB+度；

（2）求證：DE^CD+BE；

（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),試問(wèn)DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)

系,并加以證明.

???

^^^(2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè))在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°.將一個(gè)含45°角的直角三角

尺DEF按圖所示放置，使直角三角尺的直角頂點(diǎn)。恰好落在邊的中點(diǎn)處.將直角三角尺DEF繞點(diǎn)

。旋轉(zhuǎn)，設(shè)48交。F于點(diǎn)N,AC交DE于點(diǎn)示意圖如圖所示.

(1)【證明推斷】求證：DN=DM；小明給出的思路：若要證明DN=DM，只需證明ABDN當(dāng)ZVIDM■即可.

請(qǐng)你根據(jù)小明的思路完成證明過(guò)程；

(2)【延伸發(fā)現(xiàn)】連接AE,BF,如圖所示,求證：AE=BF；

(3)【遷移應(yīng)用】延長(zhǎng)E4交OF于點(diǎn)P,交于點(diǎn)Q.在圖中完成如上作圖過(guò)程，猜想并證明AE和的

位置關(guān)系.

全等模型專題:全等三角形中的常見(jiàn)壓軸題五種模型全攻略

二.【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】1

【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】

【解題模型二一線三等角模型】

【解題模型三三垂直模型】

【解題模型四倍長(zhǎng)中線模型】

【解題模型五旋轉(zhuǎn)模型】

I」第【典型例題】

【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】

:方法模型總結(jié)：若四邊形中有兩對(duì)鄰邊；

;相等（如圖），常連接這兩對(duì)鄰邊的交點(diǎn)E\\2F\

;構(gòu)造全等三角形解題.i

：.............................................H....:

血11（2023春?廣東梅州?八年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知如圖，四邊形ABCD中，=4D=CD,求證:

乙4二/。.

A

c

【答案】見(jiàn)解析

【分析】連接,已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，加之一個(gè)公共邊BD,則可利用SSS判定△48?？铡鰿BD,根據(jù)全等

三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可證得.

【詳解】證明：連接

?/AB=CB,BD=BD,AD=CD,

：./\ABD空△CBD（SSS）.

ZA=AC.

c

【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法的理解及運(yùn)用，常用的判定方法有SSS,SAS,4SA,

HL等.

【變式訓(xùn)練】

題目刀（2023秋?云南昆明?八年級(jí)統(tǒng)考期末）放風(fēng)箏是中國(guó)民間的傳統(tǒng)游戲之一,風(fēng)箏又稱風(fēng)琴，紙鸛，鸛

子,紙鶯.如圖1,小華制作了一個(gè)風(fēng)箏，示意圖如圖2所示，AB=AC,他發(fā)現(xiàn)人。不僅平分

ABAC,且平分NBDC,你覺(jué)得他的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】他的發(fā)現(xiàn)正確，理由見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)直接證明即可.

【詳解】解：他的發(fā)現(xiàn)正確，理由如下：

在/\ABD與XACD中,

（AB=AC

iBD^CD,

[AD^AD

：.4ABDW4ACD,

：.ABAD=ACAD,NADB=ZADC,

：.AD不僅平分乙民4C,且平分ABDC.

【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

題目0（2023秋?湖南常德?八年級(jí)統(tǒng)考期末）中國(guó)現(xiàn)役的第五代隱形戰(zhàn)斗機(jī)殲-20的機(jī)翼如圖，為適應(yīng)空氣

動(dòng)力的要求，兩個(gè)翼角必須相等.

（1）實(shí)際制造中，工作人員只需用刻度尺測(cè)量P4=PB,CA=CB就能滿足要求，說(shuō)明理由;

（2）若/A=30°,ZP=40°,求NACB的度數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）100°

【分析】（1）連接PC,證明△APCEBPC,即可解答.

（2）由三角形的外角的性質(zhì)即可解答.

【詳解】（1）證明：如圖，連接PC,

A

B

在△AP。和△BPO中，

(PA=PB

[CA=CB,

[PC=PC

：.△AP。空△BPC(SSS),

：./.A—ZB.

(2)V/\APC^/\BPC,ZA=30°,ZF=40°,

???乙4=/B=30°,

???AACB=AACE+/BCE,4ACE=AAPC+/A,/BCE=ABPC+ZB,

???4ACB=ZAFC+ZA+ZBFC+ZB=ZA+ABPA+ZB=2x30°+40°=100°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等和外角的性質(zhì)，掌握三角形全等是解題的關(guān)鍵.

題目包如圖，在四邊形ABCD中，CB,AB于點(diǎn)B,CD，4D于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F分別在AB,4D上，4E=

AF,CE=CF.

(1)若AE=8,8=6,求四邊形人七次的面積；

⑵猜想/D4B,ZECF,/DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】⑴48

(2)/D4B+ZECF=2/DFC,證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)連接AC,證明△力CEWA4CF,則SMCEMSMCF,根據(jù)三■角形面積公式求得與$徵無(wú)，根據(jù)S唳

形AECF=SAACF+SAACE求解即可；

(2)由XACE空A4CF可得NFCA=/ECA,zLFAC=/EAC,/AFC=/ABC,根據(jù)垂直關(guān)系，以及三

角形的外角性質(zhì)可得ZDFC+NBEC=ZFCA+ZFAC+AECA+NEAC=ADAB+ZECF.可得

ADAB+AECF=2ADFC

(1)

解：連接AC,如圖，

?M

D

(AE=AF

在△ACE和△ACF中(CE=CF

[AC=AC

???/XACE空△ACF(SSS).

???SEACE=SAACF,ZFAC=AEAC.

?：CB±AB,CD.LAD,

:,CD=CB=6.

??S&ACF=S^ACE=~AE-CB—/X8x6=24.

S四邊彩AECF=^^ACF~^~SAAOE=24+24=48.

(2)

ADAB+ZECF=2ZDFC

i￡明：/\ACE篤/\ACF,

NFCA=ZECA,ZFAC=NEAC,AAFC=NAEC.

?/4DFC與乙4FC互補(bǔ)，ZBEC與/AEC互補(bǔ),

：.ZDFC=NBEC.

?：ZDFC=NFCA+ZFAC,2BEC=NECA+AEAC,

ADFC+ZBEC=NFCA+AFAC+AECA+/EAC

=ADAB+AECF.

/DAB+2ECF=2ADFC

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)

鍵.

題目@在四邊形48。。中，4。=48,。。=。氏ZCAB=60°,/CDB=120°,E是4。上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=BF.

（2）在圖中，若G在AB上且AEDG=60°,試猜想CE,EG,BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論.

（3）若題中條件“/CAB=60°,/CDB=120°改為/CAB=a,180°—a,G在AB上，/EDG滿足

什么條件時(shí)，（2）中結(jié)論仍然成立？

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）CH+BG=EG,理由見(jiàn)解析；?M

(3)當(dāng)/EDG=90°—4時(shí)，⑵中結(jié)論仍然成立.

【解析】

【分析】

⑴首先判斷出/C=/DBF,然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出ACDE生ABDF,即可判斷出DE

=DF.

⑵猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+BG=EG.首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出

^ABD=^ACD,即可判斷出ABDA=2CDA=60°;然后根據(jù)ZEDG=60°,可得ZCDE=AADG,

AADE=/.BDG,再根據(jù)ACDE=ZBDF，判斷出ZEDG=/EDG,據(jù)此推得^DEG=^DFG，所以EG

=FG,最后根據(jù)CE=BF,判斷出CE+BG=EG即可.

⑶根據(jù)(2)的證明過(guò)程，要使CE+BG=EG仍然成立，則4EDG=ABDA=ACDA=yZCDB,即

AEDG=y(180°—a)=90°,據(jù)此解答即可.

⑴

證明：?.?/G4B+/Cl+/CDB+/ABD=360°,/CAB=60°,ZC?B=120°,

.-.ZC+NABD=360°-60°-120°=180°,

又VADBF+NABD=180°,

:"C=4DBF,

(CD^BD

在&CDE和J\BDF中，{/C=4DBF

[CE=BF

：.ACDEw>BDF(SAS),

：.DE=DF.

⑵

解:如圖，連接AO,

猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+BG=EG.

(AB=AC

證明：在ZL4B。和AACD中，1BD=CD,

[AD=AD

：.^ABD=AACD(SSS),

：.ABDA=NCDA=-j-ZCDB=}x120°=60°,

又；/EDG=60°,

ACDE=AADG,NADE=/LBDG,

由(1),可得ACDEw^BDF,

ACDE=ABDF,

：./BDG+/BDF=60°,

即ZFDG=60a,

：.AEDG=AFDG,

在ADEG和ADFG中，

(DE=DF

\AEDG=AFDG

[DG^DG

：.^DEG=ADFG(SAS),

:.EG=FG,

又；CE=BF,FG^BF+BG,

:.CE+BG=EG;

⑶

解：要使CE+BG=EG仍然成立，

則AEDG=ABDA=ZLCDA=-j-ZCDB,

即AEDG=y(180°-a)=90°-^-a,

當(dāng)/EDG=90°—1"a時(shí)，CE+BG=￡；G仍然成立.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意

推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

【解題模型二一線三等角模型】

方法模型總結(jié)：如圖，NB=NC=EF

N1,由三角形內(nèi)角和及平角的有/2V/5

關(guān)性質(zhì)易得/2=/3,/4=/5,/4格

DD

再加上任一組對(duì)應(yīng)邊相等，易證兩三角形全等.

網(wǎng)]1(2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))【探究】如圖①，點(diǎn)B、。在/AMN的邊⑷W、AN上，點(diǎn)E、F在/M4N內(nèi)部

的射線40上，/I、/2分別是△ABE、aCAF的外角.若4B=AC,/I=/2=乙84。，求證：△ABE空

△CAF.

【應(yīng)用】如圖②,在等腰三角形ABC中，AB=AC,AB>BC,點(diǎn)。在邊BC上,CD=2BD，點(diǎn)E、F在線

段人。上，/I=/2=ABAC,若△ABC的面積為9,則△ABE與△CDF的面積之和為.

【答案】探究：見(jiàn)解析；應(yīng)用：6

【分析】探究：根據(jù)ZA=ABAE+NABE,ABAC=2CAF+NBAE,得出/ABE=ACAF，根據(jù)Z1=

/2,得出AAEB=ACFA,再根據(jù)AAS證明即可；?M

應(yīng)用：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出：S^BEMSAC”，進(jìn)而得出SACDF+SACAFUSAACD，根據(jù)CD=2BD,

△ABC的面積為9,得出S=△⑷j0=6,即可得出答案.

AACDO

【詳解】探究

證明：???ZA=ABAE-^/ABE,ABAC=ACAF+4BAE,

又丁ABAC=Al,

：.NABE=Z.CAF,

???N1=N2,

???/AEB=/CFA,

（Z.AEB=ZCFA

在△ABE和/\CAF中，（/ABE=ACAF

[AB=AC

：.AABE空△CAF（44S）;

應(yīng)用

解：???△力BE空尸，

?e?^^ABE=S^cAF，

?S~AF=S^ACD，

???CD=2BD,AABC的面積為9,

.2

??SMCD=3S^ABC=6,

???/XABE與△CDF的面積之和為6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

,Wt①（2023春?廣西南寧?七年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖1,射線AE在/AMN

的內(nèi)部，點(diǎn)B、C分別在AMAN的邊4V上，且AB=AC,若ABAC=NBFE=NCDE=90°,求證：

△ABF衛(wèi)4CAD；

（2）類比探究:如圖2,AB=AC,且NBAC=/BFE=NCDE.（1）中的結(jié)論是否仍然成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）拓展延伸:如圖3,在△ABC中，AB=AC,AB>30.點(diǎn)E在B。邊上，CE=2BE,點(diǎn)、D、F在線段

AE上，NBAC=NBFE=NCDE.若4ABC的面積為15,DE=2AD,求與△CDE的面積之比.

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）成立,證明見(jiàn)詳解；（3）1:4

【分析】（1）根據(jù)ABAC=2BFE=2CDE=9Q°即可得到ABAF+ZCAF=90°,ADCA+ACAF=90°,

從而得到ABAF=ADCA,即可得到證明；

（2）根據(jù)NBFE=NCDE得到ABAF+ACAF^ADCA+ACAF,即可得到NBAF=ADCA,

即可得到證明；

⑶根據(jù)△ABC的面積為15,CE=2跳;，即可得到$4巫=5,5田°=10，結(jié)合0七=24?？傻肧△皿°=

與，$以°=瞿，根據(jù)AB=AC,/及4C=NBFE=/CDE得到△ABF篤△CAD,即可得到SARKF,即可得

oo

到答案；

【詳解】(1)證明：:ZBAC=/BFE=/CDE=90°,

??.ABFA=ACDA=90°,ZBAF+ACAF=90°,ADCA+ACAF=90°,

???/BAF=/DCA,

在△?1可與△CAD中，

(ZBFA=ACDA

??,(Z.BAF=ADCA,

[AB=AC

：.△ABFn/XCAD{AAS);

⑵解:成立，理由如下,

???ZBAC=ZBFE=ACDE,

??.ZBAF+ZCAF=ADCA+ACAF,ABFA=ZCDA,

???/BAF=/DCA,

在△ABF與△CAD中，

(ABFA=ZCDA

???(/BAF=ADCA,

[AB=AC

：.AABF^△CAD(AAS);

(3)解：???△48。的面積為15,CE=2BE,

?S^ABE=5,S^AEC—10,

,:DE=2AD,

.s->S-20

???ZBAC=/BFE=/CDE,

：.ABAF+ACAF=ADCA+/CAF,ABFA=/.CDA,

：.ZBAF=ADCA,

在△ABR與△CAD中，

(ZBFA=ACDA

???(ZBAF=Z.DCA,

[AB=AC

???/\ABFW△C4D(A4S)

?S-5-10-A

??QABER—03—3，

S他EF：S^CDE=今：專'=1：4;

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)及同高不同底三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)內(nèi)外角關(guān)系得

到三角形全等的條件.

題目團(tuán)（2023春?廣東佛山?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，CD是經(jīng)過(guò)/BCA頂點(diǎn)。的一條直線，CA=CB,E、F

分別是直線CD上兩點(diǎn),且/BEC=ZCFA=a.

???

⑴若直線CD經(jīng)過(guò)/BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上.

①如圖1,若ABCA=90°,a=90°,試判斷BE和CF的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

②如圖2,若0°<NBCA<180°,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于a與ZBCA關(guān)系的條件，使①中的結(jié)論仍然成立；

（2）如圖3,若直線CD經(jīng)過(guò)ZBCA的外部，a=ABCA,請(qǐng)?zhí)岢鲫P(guān)于EF,BE,AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合

理猜想，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）①BE=CF;②a+ZBC4=180°

⑵EF=BE+AF

【分析】（1）①由ABCA=90°,ZBEC=AGFA=a=90°,可得2BCE=/C4尸，從而可證△BCEn

△CAF,故BE=CF：

②添加a+ABCA=180°,可證明/LBCA=ABEF,則NACF=ACBE,根據(jù)AAS可證明△3CE空

△CAF,即可得證①中的結(jié)論仍然成立；

（2）題干已知條件可證/\BCEnACAF，故BE=CF,EC=FA,從而可證明EF=BE+AF.

【詳解】（1）解:①理由如下：

?/NBCA=90°,

ZACF+ZBCE=90°,

?/ZBEC=ZAFC=a=90°,

ZACF+ZCAF=90°,

：.NBCE=4CAF,

?：AC=BC,

：.△BCE篤△CAF（44S）,

：.BE=CF-

②添加a+ZBCA=180°,使①中的結(jié)論仍然成立，理由如下：

?/ABEC=ACFA=a,

ABEF=180°-ABEC=180°-a,

■：2BEF=4EBC+ZBCE,

：.AEBC+NBCE=180°-a,

?：a+ABCA=18Q°,

：.ZBCA=180°-a,

：.NBCA=/BCE+AACF=180°—a,

2EBC=AACF,

?：AC=BC,ZBEC=AGFA=a,

：.△BCE空△CA尸（AAS）,

:.BE=CF;

故答案為：a+NBCA=180°;

（2）EF=BE+AF,理由如下：?M

,/ABCA^a,

：./.BCE+AFCA=180°-ABCA=180°-a,

???/BEC=a,

：./EBC+ZBCE=180°-ZBEC=180°—a,

???4EBC=4FCA,

VAC=BC,/BEC=/CFA=a,

：."EC型/XCFA（AAS）,

:?BE=CF,EC=FA,

：.EF=EC+CF=FA+BE,

即石F=跳;+AR.

【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題,主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是

解題的關(guān)鍵.

題目⑶在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D,A,E,在直線m上方有AB^AC,且滿足ABDA=NAEC

=NBAC=a.

⑴如圖1,當(dāng)a=90°時(shí)，猜想線段。之間的數(shù)量關(guān)系是；

（2）如圖2,當(dāng)0<a<180°時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明;若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

（3）應(yīng)用：如圖3,在AABC中，是鈍角，=NBAD<NCAE,NBDA=/AEC=NBAC,直

線m與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若BC=3FB,4ABC的面積是12,求AFBD與/\ACE的面積之和.

【答案】（1）DE=BD+CE

⑵DE=BD+CE仍然成立，理由見(jiàn)解析

（3）AFBD與AACE的面積之和為4

【解析】

【分析】

（1）由/BDA=/BAC=/AEC=90°得到/BAD+NE4C=/B4O+/DBA=90°,進(jìn)而得到NDBA=

/EAC,然后結(jié)合AB=AC得證△DBA空△及1。，最后得到。E=8。+CE;

（2）由ABDA=ZBAC=NAEC=a得到ABAD+NEAC=ABAD+/DBA=180°—a,進(jìn)而得到

4DBA=/瓦4。，然后結(jié)合AB=AC得證ADBA2△EAC,最后得到DE=BD+CE;

（3）由/BAD>ZCAE,ABDA=NAEC=ABAC,得出ZCAE=NABD,由AAS證得AADB2△CAE,

得出SZ\AB_D=SZ\CEL4,再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，得出SAABF即可得出結(jié)

果.

⑴

解：DE=BD+CE,理由如下，

/BDA=ZBAC=ZAEC=90°,

ABAD+4EAC=/BAD+/DBA=90°,

/DBA=NEAC,

?：AB=AC,

/XDBA也^EAC{AAS'),

:.AD=CE,BD=AE,

：.DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：。E=BD+CE.

⑵

DE=BD+CE仍然成立，理由如下，

ABDA=NAEC=a,

：.ABAD+NEAC=ABAD+ADBA=180°-?,

/DBA=AEAC,

?：AB=AC,

：.ADBA邕^(guò)EAC(AAS'),

:.BD=AE,AD=CE,

：.DE=AD+AE=BD+CE;

⑶

解：；/BADVACAE,ABDA=ZAEC=ABAC,

：.NCAE=AABD,

在△ABD和△CAE中，

(AABD=ZCAE

(ABDA=ACEA,

[AB^AC

：./\ABD空ACAE(AAS),

:.S/\ABD=S4CAE,

設(shè)△ABC的底邊B。上的高為心則△?!明的底邊BF上的高為/z,

SAABC=^BC-h=12,S/\ABF=^-BF-h,

；BC=3BF,

.?.SZ\ABF=4,

S/\ABF=S^BDF+S/\ABD=S/XFBD+S4ACE=4,

/XFBD與/\ACE的面積之和為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三

角形的判定與性質(zhì).

【解題模型三三垂直模型】

方法模型總結(jié)：在三垂直模型中，利用余角的性質(zhì)尋求

兩直角三角形中一組角相等，再加上任一組對(duì)邊相等，

易證兩直角三角形全等，常見(jiàn)的模型如下:

題］1（2023春?廣東廣州?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖,NACB=90°,AC=BC,BE_LCE于E,AD,CE于D,

???

AD—2.7cm,DE—1.8cm.

（2）求BE的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）BE=0.9cm.

【分析】（1）由垂直得/ADC=/CEB=90°,求出乙4cD=/CBE,然后利用_AAS即可證明△ACD望

△CBE;

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CE=AD=2.7cm,BE=CD,根據(jù)CD=CE—DE求出CD即可得到

BE的長(zhǎng).

【詳解】⑴證明：：AD_LCE,BE_LCE,

NADC=NCEB=90°,

?.?/ACB=90°,

AZACD^ZACB-/BCE=90°—ZBCE,

；NCBE=90°—/BCE,

：.4ACD=4CBE,

（AADC^ACEB

在△ACD與4CBE中，AACD=ACBE,

[AC^BC

：./\ACDW△CBE（A4S）;

（2）解：由（1）知，△ACDZACSE,

二CE=AD=2.7cm,BE=CD,

?：CD=CE-DE=2.7-1.8=Q.9cm,

BE—0.9cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理和全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

題目E（2023春?河北邯鄲?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：/ACB=90°,47=8。，40，◎〃，跳；，。0,垂

足分別為。,

AA

⑴如圖1,把下面的解答過(guò)程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)內(nèi)注明理由.

①線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系是：CD=BE；

②請(qǐng)寫出線段A。，BE,DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

解:①結(jié)論：CD=BE.

理由：AD_LCM,CM,

ZACB=ZBEC=AADC=90°,

NACD+NBCE=90°,NBCE+NCBE=90°,

AACD=_（）

在△ACO和4CBE中

：.^ACD^/\CBE,（）

：.CD=BE.

②結(jié)論：ADBE+DE.

理由：；△ACD空ACBE,

?：CE=CD+DE=BE+DE,

：.AD=BE+DE.

（2）如圖2,上述結(jié)論②還成立嗎？如果不成立，請(qǐng)寫出線段A。，BE,DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）①NCBE;同角的余角相等；AADC=ZBEC,NACD=NCBE,AC=BC;AAS;②？1。=CE

（2）不就立，DE—BE=AD,見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等，全等三形的判定方法角角邊分析處理；

（2）根據(jù)同角的余角相等，全等三形的判定方法角角邊分析處理，注意觀察圖形，得出線段間的數(shù)量關(guān)系；

【詳解】（1）：AD±CM,BE1.CM,

：.ZACB=NBEC=NADC=90°,

NACD+2BCE=90°,NBCE+ACBE=90°,

：.ZACD-_ZCBE_（同角的余角相等）

在^ACD和△CBE中,_ZADC=ABEC^NACD=ZCBE^AC=BC_,

...△ACD空△CBE,（AAS）

：.CD=BE.

②結(jié)論：AD=BE+DE.

理由：；/\ACD篤/\CBE,

：._AD=CE_,

?：CE=CD+DE=BE+DE,

：.AD=BE+DE.

（2）不成立，結(jié)論：DE—BE=AD.

圖2

理由：AD_LCM,BE_LCM,

2ACB=Z.BEC=AADC=90°,

AACD+ABCE=90°,2BCE+ACBE=90°,

ZACD=NCBE

1/ADC=/CEB

在A4CD和△CBE中，(ZACD=NCBE,

[AC^CB

：.AACD篤/XCBE,(AAS)

:.AD=CE,CD=BE,

:.DE—BE=DE-DC=CE=AD.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠由圖形的位置關(guān)系得出線段之間、角之間的數(shù)量關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

、題目團(tuán)在△ABC中，/比4。=90°,AC=AB,直線；W經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且CD_LAW于。，BE_LA1N于E.

圖1圖2

⑴當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),NEAB+NDAC=度；

（2）求證：。E=CD+BE；

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問(wèn)DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)

系,并加以證明.

【答案】（1）90。

（2）見(jiàn)解析

（3）CD=BE+DE,證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

（1）由ZBAC=90°可直接得到AEAB+ADAC=90°;

（2）由CD_LMN,BE_LMN,得AADC=NBEA=ABAC=90°,根據(jù)等角的余角相等得到2DCA=

/&IB,根據(jù)AAS可證△DC4篤ZYEAB,所以AD=CE,DC=BE,即可得到。E=EA+AD=DC+

—

BE.

⑶同(2)易證△0CZ空△EAB,得到=由圖可知人石=AD+。石，所以CD=BE

+DE,

⑴

???ZBAC=90°

??.AEAB+乙DAC=180°-ABAC=180°-90°=90°

故答案為：90°.

⑵

證明：???CD_LMN于D,BE_LMN于E

???ZADC=/.BEA=ABAC=90°

???NZZ4O+ZDC4=90°且NZZ4C+NEAB=90°

??.ADCA=/.EAB

???在△ZXM和MAB中

(Z.ADC=ABEA=90

bDCA=ZEAB

[AC=AB

??.△DCA注/\EAB(44S)

??.AD=BE且EA=DC

由圖可知：OE=EA+AD=DC+BE,

⑶

???CD工MN于D,BE_LMN于E

???ZADC=ABEA=ZBAC=90°

???ADAC+ADCA=90°且ADAC+AEAB=90°

??.ADCA=ZEAB

???在ADCA和△E4B中

{Z.DCA=Z.EAB

[AC=AB

???△DCA名4EAB(44S)

??.AD=BE且AE=CD

由圖可知：AE=AD+DE

??.CD=BE+DE.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線

段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì).

目"如圖，已知:在△ABC中，乙4cB=90°,直線7W經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AD_LMN,BE_LMN.

MM

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí),求證：△ADCwaCEB；

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí),求證：DE=AD—BE；

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD,BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)

等量關(guān)系：-

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；⑶DE=BE—AD

【分析】（1）由已知推出乙4。。=/跳;。=90°,因?yàn)?入8+/8?！辏?90°,ND4C+/ACD=90°,推出

NDAC=/BCE,根據(jù)4s即可得到答案；

⑵結(jié)論：DE=AD-BE.與（1）證法類似可證出NACD=/EBC,能推出空△CEB,得到AD=

CE,CD=BE,即可得到答案.

（3）結(jié)論：DE=BE—AD.證明方法類似.

【詳解】解：（1）證明：如圖1,

AD_LDE,BE_LDE,

：./ADC=/班。=90°,

???ZACB=9Q°,

：.AACD+ZBCE=90°,ADAC+ZAGD