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文檔簡(jiǎn)介
全等模型專題:全等三角形中的常見(jiàn)壓軸題五種模型全攻略
【考點(diǎn)導(dǎo)航】
目錄
【典型例題】1
【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】
【解題模型二一線三等角模型】
【解題模型三三垂直模型】
【解題模型四倍長(zhǎng)中線模型】
【解題模型五旋轉(zhuǎn)模型】
1一總【典型例題】
【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】
方法模型總結(jié):若四邊形中有兩對(duì)鄰邊
相等(如圖),常連接這兩對(duì)鄰邊的交點(diǎn)
構(gòu)造全等三角形解題.
血]1(2023春?廣東梅州?八年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知如圖,四邊形ABCD中,=ADCD,求證:
???
【變式訓(xùn)練】
題目工(2023秋?云南昆明?八年級(jí)統(tǒng)考期末)放風(fēng)箏是中國(guó)民間的傳統(tǒng)游戲之一,風(fēng)箏又稱風(fēng)琴,紙鸛,鸛
子,紙鶯.如圖1,小華制作了一個(gè)風(fēng)箏,示意圖如圖2所示,AB=AC,,他發(fā)現(xiàn)AO不僅平分
ABAC,且平分,你覺(jué)得他的發(fā)現(xiàn)正確嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
圖1圖2
題目句(2023秋?湖南常德?八年級(jí)統(tǒng)考期末)中國(guó)現(xiàn)役的第五代隱形戰(zhàn)斗機(jī)殲-20的機(jī)翼如圖,為適應(yīng)空氣
動(dòng)力的要求,兩個(gè)翼角乙4,必須相等.
⑴實(shí)際制造中,工作人員只需用刻度尺測(cè)量P4=PB,CA=CB就能滿足要求,說(shuō)明理由;
(2)若/A=30°,ZP=40°,求AACB的度數(shù).
:題目3如圖,在四邊形ABCD中,CB,AB于點(diǎn)B,CD,AD于點(diǎn)。,點(diǎn)E,F分別在AB,AO上,AE=
AF,CE=CF.
(1)若AE=8,CD=6,求四邊形AECF的面積;
(2)猜想/D4B,NECF,ZDFC三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.
題目⑷在四邊形ABOC中,AC=AB,DC=DB,ZCAB=60°,/CDB=120°,E是AC上一點(diǎn),F(xiàn)是AB
延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=BF.
(1)試說(shuō)明:DE=DF:
(2)在圖中,若G在AB上且/EDG=60°,試猜想CE,EG,BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論.
(3)若題中條件“/CAB=60°,/CDB=120°改為/CAB=a,ZCDB-180°G在AB上,/EDG滿足
什么條件時(shí),(2)中結(jié)論仍然成立?
【解題模型二一線三等角模型】
方法模型總結(jié):如圖,NB=NC=
N1,由三角形內(nèi)角和及平角的有
關(guān)性質(zhì)易得N2=/3,/4=X5,
BD
再加上任一組對(duì)應(yīng)邊相等,易證兩三角形全等.
題](2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))【探究】如圖①,點(diǎn)B、。在的邊4W、4V上,點(diǎn)E、F在內(nèi)部
的射線AD上,ZK/2分別是AABE、Z\CAF的外角.若AB=AC,/I=/2=求證:&ABE咨
△CAF.
【應(yīng)用】如圖②,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB>,點(diǎn)。在邊BCk,CD=2BD,點(diǎn)、E、F在線
段AD上,/I=/2=/BAC,若△ABC的面積為9,則A4BE與△CDF的面積之和為.
【變式訓(xùn)練】
題目①(2023春?廣西南寧?七年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校??计谀?)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖1,射線AE在/AMN
的內(nèi)部,點(diǎn)B、C分別在乙MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,若ABAC=4BFE=4CDE=90°,求證:
△ABFW4CAD;
(2)類比探究:如圖2,AB=AC,且NBAC=NBFE=NCDE.(1)中的結(jié)論是否仍然成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
⑶拓展延伸:如圖3,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E在邊上,CE=2BE,點(diǎn)。、F在線段
AE上,NBAC=NBFE=NCDE.若AABC的面積為15,DE=2AD,求△BE尸與△(7£)£;的面積之比.
圖1圖2圖3
?M
題目⑨(2023春?廣東佛山?七年級(jí)??计谥校┤鐖D,CD是經(jīng)過(guò)/BCA頂點(diǎn)。的一條直線,CA=CB,E、F
分別是直線CD上兩點(diǎn),且ABEC=ACFA=a.
⑴若直線CD經(jīng)過(guò)乙BCA的內(nèi)部,且右、F在射線CD上.
①如圖1,若/.BCA=90°,a=90°,試判斷BE和CF的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
②如圖2,若0°<ABCA<180°,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于a與ABCA關(guān)系的條件,使①中的結(jié)論仍然成立;
(2)如圖3,若直線CD經(jīng)過(guò)ABCA的外部,a=ABCA,請(qǐng)?zhí)岢鲫P(guān)于EF,BE,AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合
理猜想,并說(shuō)明理由.
[題目T]在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D,A,E,在直線m上方有AB^AC,且滿足ABDA=AAEC
=ABAC=a.
⑴如圖1,當(dāng)a=90°時(shí),猜想線段。E,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是;
(2)如圖2,當(dāng)0<a<180°時(shí),問(wèn)題(1)中結(jié)論是否仍然成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理
由;
(3)應(yīng)用:如圖3,在中,/BAC是鈍角,AB=AC,ABAD<ACAE,ABDA=4AEC=ABAC,直
線m與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若BC=3FB,&ABC的面積是12,求&FBD與4ACE的面積之和.
5
【解題模型三三垂直模型】
方法模型總結(jié):在三垂直模型中,利用余角的性質(zhì)尋求
兩直角三角形中一組角相等,再加上任一組對(duì)邊相等,
;易證兩直角三角形全等,常見(jiàn)的模型如下:
1……一一.
的1(2023春?廣東廣州?九年級(jí)專題練習(xí))如圖,乙4cB=90°,AC=BC,BE_LCE亍E,AO_LCE于。,
AD=2.7cm,DE=1.8cm.
A
CLB
(1)求證:/\ACD篤4CBE.
(2)求BE的長(zhǎng).
【變式訓(xùn)練】
題目⑵(2023春?河北邯鄲?七年級(jí)??茧A段練習(xí))已知:/ACB=90°,AC=BC,AD_LCW,BE_LCM_,垂
足分別為。,石.
AA
A.
J
MDCEM
圖1圖2
(1)如圖1,把下面的解答過(guò)程補(bǔ)充完整,并在括號(hào)內(nèi)注明理由.
①線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系是:CD=BE;
②請(qǐng)寫出線段人。,BE,DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明.???
在△43。中,NBAC=90°,AC=AB,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)、A,且CD_LMN于D,BE_LMN于E.
圖1圖2
(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)、A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),AEAB+NDAC=度;
(2)求證:DE=CD+BE;
(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),試問(wèn)DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)
系,并加以證明.
題目叵]如圖,已知:在△ABC中,乙4cB=90°,直線1W經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AD±MN,BE±MN.
(1)當(dāng)直線7W繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖(1)的位置時(shí),求證:△4DC生△CEB;
(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時(shí),求證:DE=AD-BE-,
(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置時(shí),試問(wèn)DE、AD.BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出這個(gè)
等量關(guān)系:?
【解題模型四倍長(zhǎng)中線模型】
題](2023春?山東臨沂?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,在△48。中,AB=3,4,
⑴求邊的長(zhǎng)的取值范圍?
(2)若AD是△ABC的中線,求AD取值范圍?
【變式訓(xùn)練】
題目$如圖,在△A3。中,AD是BC邊上的中線.延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使OE=AD,連接BE.
⑴求證:/\ACD篤/\EBD;
(2)AC與BE的數(shù)量關(guān)系是:,位置關(guān)系是:;
(3)若ABAC=90°,猜想AD與的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
題目團(tuán)(2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè))如圖1,AO為4ABC的中線,延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD.
(1)試證明:4ACD豈△EBD;
(2)用上述方法解答下列問(wèn)題:如圖2,40為△ABC的中線,BA〃交AD于。,交力。于河,若⑷W=GW,
求證:BG=AC.
E
題目叵〕(2023春?上海?七年級(jí)專題練習(xí))某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng),請(qǐng)你來(lái)加入.
圖1圖2圖3
【探究與發(fā)現(xiàn)】
(1)如圖1,AD是AABC的中線,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使=連接BE,證明:△ACDWAEBD
【理解與應(yīng)用】
(2)如圖2,EP是^DEF的中線,若EF=5,DE=3,設(shè)EP=必則c的取值范圍是.
⑶如圖3,AD是△ABC的中線,E、F分別在AB、AC上,且OE_LDF,求證:BE+CF>EF.
【解題模型五旋轉(zhuǎn)模型】
網(wǎng)]1如圖,=AE=AD,ACAB=Z.EAD=a.
(1)求證:/XAEC^AADB;
(2)若a=90°,試判斷BD與CE的數(shù)量及位置關(guān)系并證明;
(3)若NCAB=NEAD=a,求ZCFA的度數(shù).
【變式訓(xùn)練】
題目?如圖,在△ABC中,AB=8C,/ABC=120°,點(diǎn)。在邊人。上,且線段BD繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较?/p>
旋轉(zhuǎn)120°能與BE重合,點(diǎn)F是即與AB的交點(diǎn).
(1)求證:AE=CD;
(2)若ZDBC=45°,求4BFE的度數(shù).
?M
題目0問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖1,已知。為線段AB上一點(diǎn),分別以線段AC,BC為直角邊作等腰直角三角形,
AACD=9Q°,CA=CD,CB=CE,連接AE,BD,線段AE,BD之間的數(shù)量關(guān)系為;位置關(guān)系為
拓展探究:如圖2,把Rt/\ACD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),線段AB,BD交于點(diǎn)F,則AE與BD之間的關(guān)系是否
仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
題目⑼(2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí))在△ABC中,/區(qū)4。=90°,=直線上W經(jīng)過(guò)點(diǎn)且CD
_L2W于。,BE_L2VGV于E.
圖1圖2
(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),NEAB+度;
(2)求證:DE^CD+BE;
(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),試問(wèn)DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)
系,并加以證明.
???
^^^(2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè))在△ABC中,AB=AC,ZBAC=90°.將一個(gè)含45°角的直角三角
尺DEF按圖所示放置,使直角三角尺的直角頂點(diǎn)。恰好落在邊的中點(diǎn)處.將直角三角尺DEF繞點(diǎn)
。旋轉(zhuǎn),設(shè)48交。F于點(diǎn)N,AC交DE于點(diǎn)示意圖如圖所示.
(1)【證明推斷】求證:DN=DM;小明給出的思路:若要證明DN=DM,只需證明ABDN當(dāng)ZVIDM■即可.
請(qǐng)你根據(jù)小明的思路完成證明過(guò)程;
(2)【延伸發(fā)現(xiàn)】連接AE,BF,如圖所示,求證:AE=BF;
(3)【遷移應(yīng)用】延長(zhǎng)E4交OF于點(diǎn)P,交于點(diǎn)Q.在圖中完成如上作圖過(guò)程,猜想并證明AE和的
位置關(guān)系.
全等模型專題:全等三角形中的常見(jiàn)壓軸題五種模型全攻略
二.【考點(diǎn)導(dǎo)航】
目錄
【典型例題】1
【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】
【解題模型二一線三等角模型】
【解題模型三三垂直模型】
【解題模型四倍長(zhǎng)中線模型】
【解題模型五旋轉(zhuǎn)模型】
I」第【典型例題】
【解題模型一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題】
:方法模型總結(jié):若四邊形中有兩對(duì)鄰邊;
;相等(如圖),常連接這兩對(duì)鄰邊的交點(diǎn)E\\2F\
;構(gòu)造全等三角形解題.i
:.............................................H....:
血11(2023春?廣東梅州?八年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知如圖,四邊形ABCD中,=4D=CD,求證:
乙4二/。.
A
c
【答案】見(jiàn)解析
【分析】連接,已知兩邊對(duì)應(yīng)相等,加之一個(gè)公共邊BD,則可利用SSS判定△48??铡鰿BD,根據(jù)全等
三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可證得.
【詳解】證明:連接
?/AB=CB,BD=BD,AD=CD,
:./\ABD空△CBD(SSS).
ZA=AC.
c
【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法的理解及運(yùn)用,常用的判定方法有SSS,SAS,4SA,
HL等.
【變式訓(xùn)練】
題目刀(2023秋?云南昆明?八年級(jí)統(tǒng)考期末)放風(fēng)箏是中國(guó)民間的傳統(tǒng)游戲之一,風(fēng)箏又稱風(fēng)琴,紙鸛,鸛
子,紙鶯.如圖1,小華制作了一個(gè)風(fēng)箏,示意圖如圖2所示,AB=AC,他發(fā)現(xiàn)人。不僅平分
ABAC,且平分NBDC,你覺(jué)得他的發(fā)現(xiàn)正確嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】他的發(fā)現(xiàn)正確,理由見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)直接證明即可.
【詳解】解:他的發(fā)現(xiàn)正確,理由如下:
在/\ABD與XACD中,
(AB=AC
iBD^CD,
[AD^AD
:.4ABDW4ACD,
:.ABAD=ACAD,NADB=ZADC,
:.AD不僅平分乙民4C,且平分ABDC.
【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
題目0(2023秋?湖南常德?八年級(jí)統(tǒng)考期末)中國(guó)現(xiàn)役的第五代隱形戰(zhàn)斗機(jī)殲-20的機(jī)翼如圖,為適應(yīng)空氣
動(dòng)力的要求,兩個(gè)翼角必須相等.
(1)實(shí)際制造中,工作人員只需用刻度尺測(cè)量P4=PB,CA=CB就能滿足要求,說(shuō)明理由;
(2)若/A=30°,ZP=40°,求NACB的度數(shù).
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)100°
【分析】(1)連接PC,證明△APCEBPC,即可解答.
(2)由三角形的外角的性質(zhì)即可解答.
【詳解】(1)證明:如圖,連接PC,
A
B
在△AP。和△BPO中,
(PA=PB
[CA=CB,
[PC=PC
:.△AP。空△BPC(SSS),
:./.A—ZB.
(2)V/\APC^/\BPC,ZA=30°,ZF=40°,
???乙4=/B=30°,
???AACB=AACE+/BCE,4ACE=AAPC+/A,/BCE=ABPC+ZB,
???4ACB=ZAFC+ZA+ZBFC+ZB=ZA+ABPA+ZB=2x30°+40°=100°.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等和外角的性質(zhì),掌握三角形全等是解題的關(guān)鍵.
題目包如圖,在四邊形ABCD中,CB,AB于點(diǎn)B,CD,4D于點(diǎn)。,點(diǎn)E,F分別在AB,4D上,4E=
AF,CE=CF.
(1)若AE=8,8=6,求四邊形人七次的面積;
⑵猜想/D4B,ZECF,/DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.
【答案】⑴48
(2)/D4B+ZECF=2/DFC,證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
(1)連接AC,證明△力CEWA4CF,則SMCEMSMCF,根據(jù)三■角形面積公式求得與$徵無(wú),根據(jù)S唳
形AECF=SAACF+SAACE求解即可;
(2)由XACE空A4CF可得NFCA=/ECA,zLFAC=/EAC,/AFC=/ABC,根據(jù)垂直關(guān)系,以及三
角形的外角性質(zhì)可得ZDFC+NBEC=ZFCA+ZFAC+AECA+NEAC=ADAB+ZECF.可得
ADAB+AECF=2ADFC
(1)
解:連接AC,如圖,
?M
D
(AE=AF
在△ACE和△ACF中(CE=CF
[AC=AC
???/XACE空△ACF(SSS).
???SEACE=SAACF,ZFAC=AEAC.
?:CB±AB,CD.LAD,
:,CD=CB=6.
??S&ACF=S^ACE=~AE-CB—/X8x6=24.
S四邊彩AECF=^^ACF~^~SAAOE=24+24=48.
(2)
ADAB+ZECF=2ZDFC
i£明:/\ACE篤/\ACF,
NFCA=ZECA,ZFAC=NEAC,AAFC=NAEC.
?/4DFC與乙4FC互補(bǔ),ZBEC與/AEC互補(bǔ),
:.ZDFC=NBEC.
?:ZDFC=NFCA+ZFAC,2BEC=NECA+AEAC,
ADFC+ZBEC=NFCA+AFAC+AECA+/EAC
=ADAB+AECF.
/DAB+2ECF=2ADFC
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定,三角形的外角的性質(zhì),掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)
鍵.
題目@在四邊形48。。中,4。=48,。。=。氏ZCAB=60°,/CDB=120°,E是4。上一點(diǎn),F(xiàn)是AB
延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=BF.
(2)在圖中,若G在AB上且AEDG=60°,試猜想CE,EG,BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論.
(3)若題中條件“/CAB=60°,/CDB=120°改為/CAB=a,180°—a,G在AB上,/EDG滿足
什么條件時(shí),(2)中結(jié)論仍然成立?
【答案】(1)見(jiàn)解析;
(2)CH+BG=EG,理由見(jiàn)解析;?M
(3)當(dāng)/EDG=90°—4時(shí),⑵中結(jié)論仍然成立.
【解析】
【分析】
⑴首先判斷出/C=/DBF,然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出ACDE生ABDF,即可判斷出DE
=DF.
⑵猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為:CE+BG=EG.首先根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出
^ABD=^ACD,即可判斷出ABDA=2CDA=60°;然后根據(jù)ZEDG=60°,可得ZCDE=AADG,
AADE=/.BDG,再根據(jù)ACDE=ZBDF,判斷出ZEDG=/EDG,據(jù)此推得^DEG=^DFG,所以EG
=FG,最后根據(jù)CE=BF,判斷出CE+BG=EG即可.
⑶根據(jù)(2)的證明過(guò)程,要使CE+BG=EG仍然成立,則4EDG=ABDA=ACDA=yZCDB,即
AEDG=y(180°—a)=90°,據(jù)此解答即可.
⑴
證明:?.?/G4B+/Cl+/CDB+/ABD=360°,/CAB=60°,ZC?B=120°,
.-.ZC+NABD=360°-60°-120°=180°,
又VADBF+NABD=180°,
:"C=4DBF,
(CD^BD
在&CDE和J\BDF中,{/C=4DBF
[CE=BF
:.ACDEw>BDF(SAS),
:.DE=DF.
⑵
解:如圖,連接AO,
猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為:CE+BG=EG.
(AB=AC
證明:在ZL4B。和AACD中,1BD=CD,
[AD=AD
:.^ABD=AACD(SSS),
:.ABDA=NCDA=-j-ZCDB=}x120°=60°,
又;/EDG=60°,
ACDE=AADG,NADE=/LBDG,
由(1),可得ACDEw^BDF,
ACDE=ABDF,
:./BDG+/BDF=60°,
即ZFDG=60a,
:.AEDG=AFDG,
在ADEG和ADFG中,
(DE=DF
\AEDG=AFDG
[DG^DG
:.^DEG=ADFG(SAS),
:.EG=FG,
又;CE=BF,FG^BF+BG,
:.CE+BG=EG;
⑶
解:要使CE+BG=EG仍然成立,
則AEDG=ABDA=ZLCDA=-j-ZCDB,
即AEDG=y(180°-a)=90°-^-a,
當(dāng)/EDG=90°—1"a時(shí),CE+BG=£;G仍然成立.
【點(diǎn)睛】
本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,此題是一道綜合性比較強(qiáng)的題目,有一定的難度,能根據(jù)題意
推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.
【解題模型二一線三等角模型】
方法模型總結(jié):如圖,NB=NC=EF
N1,由三角形內(nèi)角和及平角的有/2V/5
關(guān)性質(zhì)易得/2=/3,/4=/5,/4格
DD
再加上任一組對(duì)應(yīng)邊相等,易證兩三角形全等.
網(wǎng)]1(2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))【探究】如圖①,點(diǎn)B、。在/AMN的邊⑷W、AN上,點(diǎn)E、F在/M4N內(nèi)部
的射線40上,/I、/2分別是△ABE、aCAF的外角.若4B=AC,/I=/2=乙84。,求證:△ABE空
△CAF.
【應(yīng)用】如圖②,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB>BC,點(diǎn)。在邊BC上,CD=2BD,點(diǎn)E、F在線
段人。上,/I=/2=ABAC,若△ABC的面積為9,則△ABE與△CDF的面積之和為.
【答案】探究:見(jiàn)解析;應(yīng)用:6
【分析】探究:根據(jù)ZA=ABAE+NABE,ABAC=2CAF+NBAE,得出/ABE=ACAF,根據(jù)Z1=
/2,得出AAEB=ACFA,再根據(jù)AAS證明即可;?M
應(yīng)用:根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出:S^BEMSAC”,進(jìn)而得出SACDF+SACAFUSAACD,根據(jù)CD=2BD,
△ABC的面積為9,得出S=△⑷j0=6,即可得出答案.
AACDO
【詳解】探究
證明:???ZA=ABAE-^/ABE,ABAC=ACAF+4BAE,
又丁ABAC=Al,
:.NABE=Z.CAF,
???N1=N2,
???/AEB=/CFA,
(Z.AEB=ZCFA
在△ABE和/\CAF中,(/ABE=ACAF
[AB=AC
:.AABE空△CAF(44S);
應(yīng)用
解:???△力BE空尸,
?e?^^ABE=S^cAF,
?S~AF=S^ACD,
???CD=2BD,AABC的面積為9,
.2
??SMCD=3S^ABC=6,
???/XABE與△CDF的面積之和為6,
故答案為:6.
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì),掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練】
,Wt①(2023春?廣西南寧?七年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末)(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖1,射線AE在/AMN
的內(nèi)部,點(diǎn)B、C分別在AMAN的邊4V上,且AB=AC,若ABAC=NBFE=NCDE=90°,求證:
△ABF衛(wèi)4CAD;
(2)類比探究:如圖2,AB=AC,且NBAC=/BFE=NCDE.(1)中的結(jié)論是否仍然成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)拓展延伸:如圖3,在△ABC中,AB=AC,AB>30.點(diǎn)E在B。邊上,CE=2BE,點(diǎn)、D、F在線段
AE上,NBAC=NBFE=NCDE.若4ABC的面積為15,DE=2AD,求與△CDE的面積之比.
【答案】(1)證明見(jiàn)詳解;(2)成立,證明見(jiàn)詳解;(3)1:4
【分析】(1)根據(jù)ABAC=2BFE=2CDE=9Q°即可得到ABAF+ZCAF=90°,ADCA+ACAF=90°,
從而得到ABAF=ADCA,即可得到證明;
(2)根據(jù)NBFE=NCDE得到ABAF+ACAF^ADCA+ACAF,即可得到NBAF=ADCA,
即可得到證明;
⑶根據(jù)△ABC的面積為15,CE=2跳;,即可得到$4巫=5,5田°=10,結(jié)合0七=24??傻肧△皿°=
與,$以°=瞿,根據(jù)AB=AC,/及4C=NBFE=/CDE得到△ABF篤△CAD,即可得到SARKF,即可得
oo
到答案;
【詳解】(1)證明::ZBAC=/BFE=/CDE=90°,
??.ABFA=ACDA=90°,ZBAF+ACAF=90°,ADCA+ACAF=90°,
???/BAF=/DCA,
在△?1可與△CAD中,
(ZBFA=ACDA
??,(Z.BAF=ADCA,
[AB=AC
:.△ABFn/XCAD{AAS);
⑵解:成立,理由如下,
???ZBAC=ZBFE=ACDE,
??.ZBAF+ZCAF=ADCA+ACAF,ABFA=ZCDA,
???/BAF=/DCA,
在△ABF與△CAD中,
(ABFA=ZCDA
???(/BAF=ADCA,
[AB=AC
:.AABF^△CAD(AAS);
(3)解:???△48。的面積為15,CE=2BE,
?S^ABE=5,S^AEC—10,
,:DE=2AD,
.s->S-20
???ZBAC=/BFE=/CDE,
:.ABAF+ACAF=ADCA+/CAF,ABFA=/.CDA,
:.ZBAF=ADCA,
在△ABR與△CAD中,
(ZBFA=ACDA
???(ZBAF=Z.DCA,
[AB=AC
???/\ABFW△C4D(A4S)
?S-5-10-A
??QABER—03—3,
S他EF:S^CDE=今:專'=1:4;
【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)及同高不同底三角形的面積,解題的關(guān)鍵是根據(jù)內(nèi)外角關(guān)系得
到三角形全等的條件.
題目團(tuán)(2023春?廣東佛山?七年級(jí)??计谥校┤鐖D,CD是經(jīng)過(guò)/BCA頂點(diǎn)。的一條直線,CA=CB,E、F
分別是直線CD上兩點(diǎn),且/BEC=ZCFA=a.
???
⑴若直線CD經(jīng)過(guò)/BCA的內(nèi)部,且E、F在射線CD上.
①如圖1,若ABCA=90°,a=90°,試判斷BE和CF的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
②如圖2,若0°<NBCA<180°,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于a與ZBCA關(guān)系的條件,使①中的結(jié)論仍然成立;
(2)如圖3,若直線CD經(jīng)過(guò)ZBCA的外部,a=ABCA,請(qǐng)?zhí)岢鲫P(guān)于EF,BE,AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合
理猜想,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)①BE=CF;②a+ZBC4=180°
⑵EF=BE+AF
【分析】(1)①由ABCA=90°,ZBEC=AGFA=a=90°,可得2BCE=/C4尸,從而可證△BCEn
△CAF,故BE=CF:
②添加a+ABCA=180°,可證明/LBCA=ABEF,則NACF=ACBE,根據(jù)AAS可證明△3CE空
△CAF,即可得證①中的結(jié)論仍然成立;
(2)題干已知條件可證/\BCEnACAF,故BE=CF,EC=FA,從而可證明EF=BE+AF.
【詳解】(1)解:①理由如下:
?/NBCA=90°,
ZACF+ZBCE=90°,
?/ZBEC=ZAFC=a=90°,
ZACF+ZCAF=90°,
:.NBCE=4CAF,
?:AC=BC,
:.△BCE篤△CAF(44S),
:.BE=CF-
②添加a+ZBCA=180°,使①中的結(jié)論仍然成立,理由如下:
?/ABEC=ACFA=a,
ABEF=180°-ABEC=180°-a,
■:2BEF=4EBC+ZBCE,
:.AEBC+NBCE=180°-a,
?:a+ABCA=18Q°,
:.ZBCA=180°-a,
:.NBCA=/BCE+AACF=180°—a,
2EBC=AACF,
?:AC=BC,ZBEC=AGFA=a,
:.△BCE空△CA尸(AAS),
:.BE=CF;
故答案為:a+NBCA=180°;
(2)EF=BE+AF,理由如下:?M
,/ABCA^a,
:./.BCE+AFCA=180°-ABCA=180°-a,
???/BEC=a,
:./EBC+ZBCE=180°-ZBEC=180°—a,
???4EBC=4FCA,
VAC=BC,/BEC=/CFA=a,
:."EC型/XCFA(AAS),
:?BE=CF,EC=FA,
:.EF=EC+CF=FA+BE,
即石F=跳;+AR.
【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題,主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定,熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是
解題的關(guān)鍵.
題目⑶在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D,A,E,在直線m上方有AB^AC,且滿足ABDA=NAEC
=NBAC=a.
⑴如圖1,當(dāng)a=90°時(shí),猜想線段。之間的數(shù)量關(guān)系是;
(2)如圖2,當(dāng)0<a<180°時(shí),問(wèn)題(1)中結(jié)論是否仍然成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理
由;
(3)應(yīng)用:如圖3,在AABC中,是鈍角,=NBAD<NCAE,NBDA=/AEC=NBAC,直
線m與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若BC=3FB,4ABC的面積是12,求AFBD與/\ACE的面積之和.
【答案】(1)DE=BD+CE
⑵DE=BD+CE仍然成立,理由見(jiàn)解析
(3)AFBD與AACE的面積之和為4
【解析】
【分析】
(1)由/BDA=/BAC=/AEC=90°得到/BAD+NE4C=/B4O+/DBA=90°,進(jìn)而得到NDBA=
/EAC,然后結(jié)合AB=AC得證△DBA空△及1。,最后得到。E=8。+CE;
(2)由ABDA=ZBAC=NAEC=a得到ABAD+NEAC=ABAD+/DBA=180°—a,進(jìn)而得到
4DBA=/瓦4。,然后結(jié)合AB=AC得證ADBA2△EAC,最后得到DE=BD+CE;
(3)由/BAD>ZCAE,ABDA=NAEC=ABAC,得出ZCAE=NABD,由AAS證得AADB2△CAE,
得出SZ\AB_D=SZ\CEL4,再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比,得出SAABF即可得出結(jié)
果.
⑴
解:DE=BD+CE,理由如下,
/BDA=ZBAC=ZAEC=90°,
ABAD+4EAC=/BAD+/DBA=90°,
/DBA=NEAC,
?:AB=AC,
/XDBA也^EAC{AAS'),
:.AD=CE,BD=AE,
:.DE=AD+AE=BD+CE,
故答案為:。E=BD+CE.
⑵
DE=BD+CE仍然成立,理由如下,
ABDA=NAEC=a,
:.ABAD+NEAC=ABAD+ADBA=180°-?,
/DBA=AEAC,
?:AB=AC,
:.ADBA邕^(guò)EAC(AAS'),
:.BD=AE,AD=CE,
:.DE=AD+AE=BD+CE;
⑶
解:;/BADVACAE,ABDA=ZAEC=ABAC,
:.NCAE=AABD,
在△ABD和△CAE中,
(AABD=ZCAE
(ABDA=ACEA,
[AB^AC
:./\ABD空ACAE(AAS),
:.S/\ABD=S4CAE,
設(shè)△ABC的底邊B。上的高為心則△?!明的底邊BF上的高為/z,
SAABC=^BC-h=12,S/\ABF=^-BF-h,
;BC=3BF,
.?.SZ\ABF=4,
S/\ABF=S^BDF+S/\ABD=S/XFBD+S4ACE=4,
/XFBD與/\ACE的面積之和為4.
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì),三角形的面積,解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三
角形的判定與性質(zhì).
【解題模型三三垂直模型】
方法模型總結(jié):在三垂直模型中,利用余角的性質(zhì)尋求
兩直角三角形中一組角相等,再加上任一組對(duì)邊相等,
易證兩直角三角形全等,常見(jiàn)的模型如下:
題]1(2023春?廣東廣州?九年級(jí)專題練習(xí))如圖,NACB=90°,AC=BC,BE_LCE于E,AD,CE于D,
???
AD—2.7cm,DE—1.8cm.
(2)求BE的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;
(2)BE=0.9cm.
【分析】(1)由垂直得/ADC=/CEB=90°,求出乙4cD=/CBE,然后利用_AAS即可證明△ACD望
△CBE;
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CE=AD=2.7cm,BE=CD,根據(jù)CD=CE—DE求出CD即可得到
BE的長(zhǎng).
【詳解】⑴證明::AD_LCE,BE_LCE,
NADC=NCEB=90°,
?.?/ACB=90°,
AZACD^ZACB-/BCE=90°—ZBCE,
;NCBE=90°—/BCE,
:.4ACD=4CBE,
(AADC^ACEB
在△ACD與4CBE中,AACD=ACBE,
[AC^BC
:./\ACDW△CBE(A4S);
(2)解:由(1)知,△ACDZACSE,
二CE=AD=2.7cm,BE=CD,
?:CD=CE-DE=2.7-1.8=Q.9cm,
BE—0.9cm.
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定定理和全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等
的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練】
題目E(2023春?河北邯鄲?七年級(jí)??茧A段練習(xí))已知:/ACB=90°,47=8。,40,◎〃,跳;,。0,垂
足分別為。,
AA
⑴如圖1,把下面的解答過(guò)程補(bǔ)充完整,并在括號(hào)內(nèi)注明理由.
①線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系是:CD=BE;
②請(qǐng)寫出線段A。,BE,DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明.
解:①結(jié)論:CD=BE.
理由:AD_LCM,CM,
ZACB=ZBEC=AADC=90°,
NACD+NBCE=90°,NBCE+NCBE=90°,
AACD=_()
在△ACO和4CBE中
:.^ACD^/\CBE,()
:.CD=BE.
②結(jié)論:ADBE+DE.
理由:;△ACD空ACBE,
?:CE=CD+DE=BE+DE,
:.AD=BE+DE.
(2)如圖2,上述結(jié)論②還成立嗎?如果不成立,請(qǐng)寫出線段A。,BE,DE之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)①NCBE;同角的余角相等;AADC=ZBEC,NACD=NCBE,AC=BC;AAS;②?1。=CE
(2)不就立,DE—BE=AD,見(jiàn)解析
【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等,全等三形的判定方法角角邊分析處理;
(2)根據(jù)同角的余角相等,全等三形的判定方法角角邊分析處理,注意觀察圖形,得出線段間的數(shù)量關(guān)系;
【詳解】(1):AD±CM,BE1.CM,
:.ZACB=NBEC=NADC=90°,
NACD+2BCE=90°,NBCE+ACBE=90°,
:.ZACD-_ZCBE_(同角的余角相等)
在^ACD和△CBE中,_ZADC=ABEC^NACD=ZCBE^AC=BC_,
...△ACD空△CBE,(AAS)
:.CD=BE.
②結(jié)論:AD=BE+DE.
理由:;/\ACD篤/\CBE,
:._AD=CE_,
?:CE=CD+DE=BE+DE,
:.AD=BE+DE.
(2)不成立,結(jié)論:DE—BE=AD.
圖2
理由:AD_LCM,BE_LCM,
2ACB=Z.BEC=AADC=90°,
AACD+ABCE=90°,2BCE+ACBE=90°,
ZACD=NCBE
1/ADC=/CEB
在A4CD和△CBE中,(ZACD=NCBE,
[AC^CB
:.AACD篤/XCBE,(AAS)
:.AD=CE,CD=BE,
:.DE—BE=DE-DC=CE=AD.
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì),能夠由圖形的位置關(guān)系得出線段之間、角之間的數(shù)量關(guān)系是解
題的關(guān)鍵.
、題目團(tuán)在△ABC中,/比4。=90°,AC=AB,直線;W經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且CD_LAW于。,BE_LA1N于E.
圖1圖2
⑴當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),NEAB+NDAC=度;
(2)求證:。E=CD+BE;
(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),試問(wèn)DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)
系,并加以證明.
【答案】(1)90。
(2)見(jiàn)解析
(3)CD=BE+DE,證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】
(1)由ZBAC=90°可直接得到AEAB+ADAC=90°;
(2)由CD_LMN,BE_LMN,得AADC=NBEA=ABAC=90°,根據(jù)等角的余角相等得到2DCA=
/&IB,根據(jù)AAS可證△DC4篤ZYEAB,所以AD=CE,DC=BE,即可得到。E=EA+AD=DC+
—
BE.
⑶同(2)易證△0CZ空△EAB,得到=由圖可知人石=AD+。石,所以CD=BE
+DE,
⑴
???ZBAC=90°
??.AEAB+乙DAC=180°-ABAC=180°-90°=90°
故答案為:90°.
⑵
證明:???CD_LMN于D,BE_LMN于E
???ZADC=/.BEA=ABAC=90°
???NZZ4O+ZDC4=90°且NZZ4C+NEAB=90°
??.ADCA=/.EAB
???在△ZXM和MAB中
(Z.ADC=ABEA=90
bDCA=ZEAB
[AC=AB
??.△DCA注/\EAB(44S)
??.AD=BE且EA=DC
由圖可知:OE=EA+AD=DC+BE,
⑶
???CD工MN于D,BE_LMN于E
???ZADC=ABEA=ZBAC=90°
???ADAC+ADCA=90°且ADAC+AEAB=90°
??.ADCA=ZEAB
???在ADCA和△E4B中
{Z.DCA=Z.EAB
[AC=AB
???△DCA名4EAB(44S)
??.AD=BE且AE=CD
由圖可知:AE=AD+DE
??.CD=BE+DE.
【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線
段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角,也考查了三角形全等的判定與性質(zhì).
目"如圖,已知:在△ABC中,乙4cB=90°,直線7W經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AD_LMN,BE_LMN.
MM
(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖(1)的位置時(shí),求證:△ADCwaCEB;
(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時(shí),求證:DE=AD—BE;
(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置時(shí),試問(wèn)DE、AD,BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出這個(gè)
等量關(guān)系:-
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;⑶DE=BE—AD
【分析】(1)由已知推出乙4。。=/跳;。=90°,因?yàn)?入8+/8?!辏?90°,ND4C+/ACD=90°,推出
NDAC=/BCE,根據(jù)4s即可得到答案;
⑵結(jié)論:DE=AD-BE.與(1)證法類似可證出NACD=/EBC,能推出空△CEB,得到AD=
CE,CD=BE,即可得到答案.
(3)結(jié)論:DE=BE—AD.證明方法類似.
【詳解】解:(1)證明:如圖1,
AD_LDE,BE_LDE,
:./ADC=/班。=90°,
???ZACB=9Q°,
:.AACD+ZBCE=90°,ADAC+ZAGD
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