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文檔簡介
全等模型專題:全等三角形中的常見壓軸題五種模型全攻略
【考點導航】
目錄
【典型例題】1
【解題模型一四邊形中構造全等三角形解題】
【解題模型二一線三等角模型】
【解題模型三三垂直模型】
【解題模型四倍長中線模型】
【解題模型五旋轉模型】
1一總【典型例題】
【解題模型一四邊形中構造全等三角形解題】
方法模型總結:若四邊形中有兩對鄰邊
相等(如圖),常連接這兩對鄰邊的交點
構造全等三角形解題.
血]1(2023春?廣東梅州?八年級校聯考開學考試)已知如圖,四邊形ABCD中,=ADCD,求證:
???
【變式訓練】
題目工(2023秋?云南昆明?八年級統考期末)放風箏是中國民間的傳統游戲之一,風箏又稱風琴,紙鸛,鸛
子,紙鶯.如圖1,小華制作了一個風箏,示意圖如圖2所示,AB=AC,,他發(fā)現AO不僅平分
ABAC,且平分,你覺得他的發(fā)現正確嗎?請說明理由.
圖1圖2
題目句(2023秋?湖南常德?八年級統考期末)中國現役的第五代隱形戰(zhàn)斗機殲-20的機翼如圖,為適應空氣
動力的要求,兩個翼角乙4,必須相等.
⑴實際制造中,工作人員只需用刻度尺測量P4=PB,CA=CB就能滿足要求,說明理由;
(2)若/A=30°,ZP=40°,求AACB的度數.
:題目3如圖,在四邊形ABCD中,CB,AB于點B,CD,AD于點。,點E,F分別在AB,AO上,AE=
AF,CE=CF.
(1)若AE=8,CD=6,求四邊形AECF的面積;
(2)猜想/D4B,NECF,ZDFC三者之間的數量關系,并證明你的猜想.
題目⑷在四邊形ABOC中,AC=AB,DC=DB,ZCAB=60°,/CDB=120°,E是AC上一點,F是AB
延長線上一點,且CE=BF.
(1)試說明:DE=DF:
(2)在圖中,若G在AB上且/EDG=60°,試猜想CE,EG,BG之間的數量關系并證明所歸納結論.
(3)若題中條件“/CAB=60°,/CDB=120°改為/CAB=a,ZCDB-180°G在AB上,/EDG滿足
什么條件時,(2)中結論仍然成立?
【解題模型二一線三等角模型】
方法模型總結:如圖,NB=NC=
N1,由三角形內角和及平角的有
關性質易得N2=/3,/4=X5,
BD
再加上任一組對應邊相等,易證兩三角形全等.
題](2023春?七年級課時練習)【探究】如圖①,點B、。在的邊4W、4V上,點E、F在內部
的射線AD上,ZK/2分別是AABE、Z\CAF的外角.若AB=AC,/I=/2=求證:&ABE咨
△CAF.
【應用】如圖②,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB>,點。在邊BCk,CD=2BD,點、E、F在線
段AD上,/I=/2=/BAC,若△ABC的面積為9,則A4BE與△CDF的面積之和為.
【變式訓練】
題目①(2023春?廣西南寧?七年級南寧市天桃實驗學校??计谀?)問題發(fā)現:如圖1,射線AE在/AMN
的內部,點B、C分別在乙MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,若ABAC=4BFE=4CDE=90°,求證:
△ABFW4CAD;
(2)類比探究:如圖2,AB=AC,且NBAC=NBFE=NCDE.(1)中的結論是否仍然成立,請說明理由;
⑶拓展延伸:如圖3,在△ABC中,AB=AC,點E在邊上,CE=2BE,點。、F在線段
AE上,NBAC=NBFE=NCDE.若AABC的面積為15,DE=2AD,求△BE尸與△(7£)£;的面積之比.
圖1圖2圖3
?M
題目⑨(2023春?廣東佛山?七年級??计谥校┤鐖D,CD是經過/BCA頂點。的一條直線,CA=CB,E、F
分別是直線CD上兩點,且ABEC=ACFA=a.
⑴若直線CD經過乙BCA的內部,且右、F在射線CD上.
①如圖1,若/.BCA=90°,a=90°,試判斷BE和CF的數量關系,并說明理由.
②如圖2,若0°<ABCA<180°,請?zhí)砑右粋€關于a與ABCA關系的條件,使①中的結論仍然成立;
(2)如圖3,若直線CD經過ABCA的外部,a=ABCA,請?zhí)岢鲫P于EF,BE,AF三條線段數量關系的合
理猜想,并說明理由.
[題目T]在直線m上依次取互不重合的三個點D,A,E,在直線m上方有AB^AC,且滿足ABDA=AAEC
=ABAC=a.
⑴如圖1,當a=90°時,猜想線段。E,BD,CE之間的數量關系是;
(2)如圖2,當0<a<180°時,問題(1)中結論是否仍然成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理
由;
(3)應用:如圖3,在中,/BAC是鈍角,AB=AC,ABAD<ACAE,ABDA=4AEC=ABAC,直
線m與CB的延長線交于點F,若BC=3FB,&ABC的面積是12,求&FBD與4ACE的面積之和.
5
【解題模型三三垂直模型】
方法模型總結:在三垂直模型中,利用余角的性質尋求
兩直角三角形中一組角相等,再加上任一組對邊相等,
;易證兩直角三角形全等,常見的模型如下:
1……一一.
的1(2023春?廣東廣州?九年級專題練習)如圖,乙4cB=90°,AC=BC,BE_LCE亍E,AO_LCE于。,
AD=2.7cm,DE=1.8cm.
A
CLB
(1)求證:/\ACD篤4CBE.
(2)求BE的長.
【變式訓練】
題目⑵(2023春?河北邯鄲?七年級校考階段練習)已知:/ACB=90°,AC=BC,AD_LCW,BE_LCM_,垂
足分別為。,石.
AA
A.
J
MDCEM
圖1圖2
(1)如圖1,把下面的解答過程補充完整,并在括號內注明理由.
①線段CD和BE的數量關系是:CD=BE;
②請寫出線段人。,BE,DE之間的數量關系并證明.???
在△43。中,NBAC=90°,AC=AB,直線MN經過點、A,且CD_LMN于D,BE_LMN于E.
圖1圖2
(1)當直線MN繞點、A旋轉到圖1的位置時,AEAB+NDAC=度;
(2)求證:DE=CD+BE;
(3)當直線MN繞點A旋轉到圖2的位置時,試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關系?請寫出這個等量關
系,并加以證明.
題目叵]如圖,已知:在△ABC中,乙4cB=90°,直線1W經過點C,AD±MN,BE±MN.
(1)當直線7W繞點。旋轉到圖(1)的位置時,求證:△4DC生△CEB;
(2)當直線MN繞點。旋轉到圖(2)的位置時,求證:DE=AD-BE-,
(3)當直線MN繞點。旋轉到圖(3)的位置時,試問DE、AD.BE具有怎樣的等量關系?請直接寫出這個
等量關系:?
【解題模型四倍長中線模型】
題](2023春?山東臨沂?八年級統考期中)如圖,在△48。中,AB=3,4,
⑴求邊的長的取值范圍?
(2)若AD是△ABC的中線,求AD取值范圍?
【變式訓練】
題目$如圖,在△A3。中,AD是BC邊上的中線.延長AD到點E,使OE=AD,連接BE.
⑴求證:/\ACD篤/\EBD;
(2)AC與BE的數量關系是:,位置關系是:;
(3)若ABAC=90°,猜想AD與的數量關系,并加以證明.
題目團(2023?全國?八年級假期作業(yè))如圖1,AO為4ABC的中線,延長AD至E,使DE=AD.
(1)試證明:4ACD豈△EBD;
(2)用上述方法解答下列問題:如圖2,40為△ABC的中線,BA〃交AD于。,交力。于河,若⑷W=GW,
求證:BG=AC.
E
題目叵〕(2023春?上海?七年級專題練習)某數學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動,請你來加入.
圖1圖2圖3
【探究與發(fā)現】
(1)如圖1,AD是AABC的中線,延長AD至點E,使=連接BE,證明:△ACDWAEBD
【理解與應用】
(2)如圖2,EP是^DEF的中線,若EF=5,DE=3,設EP=必則c的取值范圍是.
⑶如圖3,AD是△ABC的中線,E、F分別在AB、AC上,且OE_LDF,求證:BE+CF>EF.
【解題模型五旋轉模型】
網]1如圖,=AE=AD,ACAB=Z.EAD=a.
(1)求證:/XAEC^AADB;
(2)若a=90°,試判斷BD與CE的數量及位置關系并證明;
(3)若NCAB=NEAD=a,求ZCFA的度數.
【變式訓練】
題目?如圖,在△ABC中,AB=8C,/ABC=120°,點。在邊人。上,且線段BD繞著點B按逆時針方向
旋轉120°能與BE重合,點F是即與AB的交點.
(1)求證:AE=CD;
(2)若ZDBC=45°,求4BFE的度數.
?M
題目0問題發(fā)現:如圖1,已知。為線段AB上一點,分別以線段AC,BC為直角邊作等腰直角三角形,
AACD=9Q°,CA=CD,CB=CE,連接AE,BD,線段AE,BD之間的數量關系為;位置關系為
拓展探究:如圖2,把Rt/\ACD繞點。逆時針旋轉,線段AB,BD交于點F,則AE與BD之間的關系是否
仍然成立?請說明理由.
題目⑼(2023春?全國?七年級專題練習)在△ABC中,/區(qū)4。=90°,=直線上W經過點且CD
_L2W于。,BE_L2VGV于E.
圖1圖2
(1)當直線MN繞點A旋轉到圖1的位置時,NEAB+度;
(2)求證:DE^CD+BE;
(3)當直線繞點A旋轉到圖2的位置時,試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關系?請寫出這個等量關
系,并加以證明.
???
^^^(2023?江蘇?八年級假期作業(yè))在△ABC中,AB=AC,ZBAC=90°.將一個含45°角的直角三角
尺DEF按圖所示放置,使直角三角尺的直角頂點。恰好落在邊的中點處.將直角三角尺DEF繞點
。旋轉,設48交。F于點N,AC交DE于點示意圖如圖所示.
(1)【證明推斷】求證:DN=DM;小明給出的思路:若要證明DN=DM,只需證明ABDN當ZVIDM■即可.
請你根據小明的思路完成證明過程;
(2)【延伸發(fā)現】連接AE,BF,如圖所示,求證:AE=BF;
(3)【遷移應用】延長E4交OF于點P,交于點Q.在圖中完成如上作圖過程,猜想并證明AE和的
位置關系.
全等模型專題:全等三角形中的常見壓軸題五種模型全攻略
二.【考點導航】
目錄
【典型例題】1
【解題模型一四邊形中構造全等三角形解題】
【解題模型二一線三等角模型】
【解題模型三三垂直模型】
【解題模型四倍長中線模型】
【解題模型五旋轉模型】
I」第【典型例題】
【解題模型一四邊形中構造全等三角形解題】
:方法模型總結:若四邊形中有兩對鄰邊;
;相等(如圖),常連接這兩對鄰邊的交點E\\2F\
;構造全等三角形解題.i
:.............................................H....:
血11(2023春?廣東梅州?八年級校聯考開學考試)已知如圖,四邊形ABCD中,=4D=CD,求證:
乙4二/。.
A
c
【答案】見解析
【分析】連接,已知兩邊對應相等,加之一個公共邊BD,則可利用SSS判定△48??铡鰿BD,根據全等
三角形的對應角相等即可證得.
【詳解】證明:連接
?/AB=CB,BD=BD,AD=CD,
:./\ABD空△CBD(SSS).
ZA=AC.
c
【點睛】此題主要考查學生對全等三角形的判定方法的理解及運用,常用的判定方法有SSS,SAS,4SA,
HL等.
【變式訓練】
題目刀(2023秋?云南昆明?八年級統考期末)放風箏是中國民間的傳統游戲之一,風箏又稱風琴,紙鸛,鸛
子,紙鶯.如圖1,小華制作了一個風箏,示意圖如圖2所示,AB=AC,他發(fā)現人。不僅平分
ABAC,且平分NBDC,你覺得他的發(fā)現正確嗎?請說明理由.
【答案】他的發(fā)現正確,理由見解析
【分析】根據全等三角形的判定和性質直接證明即可.
【詳解】解:他的發(fā)現正確,理由如下:
在/\ABD與XACD中,
(AB=AC
iBD^CD,
[AD^AD
:.4ABDW4ACD,
:.ABAD=ACAD,NADB=ZADC,
:.AD不僅平分乙民4C,且平分ABDC.
【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質,熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵.
題目0(2023秋?湖南常德?八年級統考期末)中國現役的第五代隱形戰(zhàn)斗機殲-20的機翼如圖,為適應空氣
動力的要求,兩個翼角必須相等.
(1)實際制造中,工作人員只需用刻度尺測量P4=PB,CA=CB就能滿足要求,說明理由;
(2)若/A=30°,ZP=40°,求NACB的度數.
【答案】(1)見解析
(2)100°
【分析】(1)連接PC,證明△APCEBPC,即可解答.
(2)由三角形的外角的性質即可解答.
【詳解】(1)證明:如圖,連接PC,
A
B
在△AP。和△BPO中,
(PA=PB
[CA=CB,
[PC=PC
:.△AP??铡鰾PC(SSS),
:./.A—ZB.
(2)V/\APC^/\BPC,ZA=30°,ZF=40°,
???乙4=/B=30°,
???AACB=AACE+/BCE,4ACE=AAPC+/A,/BCE=ABPC+ZB,
???4ACB=ZAFC+ZA+ZBFC+ZB=ZA+ABPA+ZB=2x30°+40°=100°.
【點睛】本題考查了三角形全等和外角的性質,掌握三角形全等是解題的關鍵.
題目包如圖,在四邊形ABCD中,CB,AB于點B,CD,4D于點。,點E,F分別在AB,4D上,4E=
AF,CE=CF.
(1)若AE=8,8=6,求四邊形人七次的面積;
⑵猜想/D4B,ZECF,/DFC三者之間的數量關系,并證明你的猜想.
【答案】⑴48
(2)/D4B+ZECF=2/DFC,證明見解析
【解析】
【分析】
(1)連接AC,證明△力CEWA4CF,則SMCEMSMCF,根據三■角形面積公式求得與$徵無,根據S唳
形AECF=SAACF+SAACE求解即可;
(2)由XACE空A4CF可得NFCA=/ECA,zLFAC=/EAC,/AFC=/ABC,根據垂直關系,以及三
角形的外角性質可得ZDFC+NBEC=ZFCA+ZFAC+AECA+NEAC=ADAB+ZECF.可得
ADAB+AECF=2ADFC
(1)
解:連接AC,如圖,
?M
D
(AE=AF
在△ACE和△ACF中(CE=CF
[AC=AC
???/XACE空△ACF(SSS).
???SEACE=SAACF,ZFAC=AEAC.
?:CB±AB,CD.LAD,
:,CD=CB=6.
??S&ACF=S^ACE=~AE-CB—/X8x6=24.
S四邊彩AECF=^^ACF~^~SAAOE=24+24=48.
(2)
ADAB+ZECF=2ZDFC
i£明:/\ACE篤/\ACF,
NFCA=ZECA,ZFAC=NEAC,AAFC=NAEC.
?/4DFC與乙4FC互補,ZBEC與/AEC互補,
:.ZDFC=NBEC.
?:ZDFC=NFCA+ZFAC,2BEC=NECA+AEAC,
ADFC+ZBEC=NFCA+AFAC+AECA+/EAC
=ADAB+AECF.
/DAB+2ECF=2ADFC
【點睛】
本題考查了三角形全等的性質與判定,三角形的外角的性質,掌握三角形全等的性質與判定是解題的關
鍵.
題目@在四邊形48。。中,4。=48,。。=。氏ZCAB=60°,/CDB=120°,E是4。上一點,F是AB
延長線上一點,且CE=BF.
(2)在圖中,若G在AB上且AEDG=60°,試猜想CE,EG,BG之間的數量關系并證明所歸納結論.
(3)若題中條件“/CAB=60°,/CDB=120°改為/CAB=a,180°—a,G在AB上,/EDG滿足
什么條件時,(2)中結論仍然成立?
【答案】(1)見解析;
(2)CH+BG=EG,理由見解析;?M
(3)當/EDG=90°—4時,⑵中結論仍然成立.
【解析】
【分析】
⑴首先判斷出/C=/DBF,然后根據全等三角形判定的方法,判斷出ACDE生ABDF,即可判斷出DE
=DF.
⑵猜想CE、EG、BG之間的數量關系為:CE+BG=EG.首先根據全等三角形判定的方法,判斷出
^ABD=^ACD,即可判斷出ABDA=2CDA=60°;然后根據ZEDG=60°,可得ZCDE=AADG,
AADE=/.BDG,再根據ACDE=ZBDF,判斷出ZEDG=/EDG,據此推得^DEG=^DFG,所以EG
=FG,最后根據CE=BF,判斷出CE+BG=EG即可.
⑶根據(2)的證明過程,要使CE+BG=EG仍然成立,則4EDG=ABDA=ACDA=yZCDB,即
AEDG=y(180°—a)=90°,據此解答即可.
⑴
證明:?.?/G4B+/Cl+/CDB+/ABD=360°,/CAB=60°,ZC?B=120°,
.-.ZC+NABD=360°-60°-120°=180°,
又VADBF+NABD=180°,
:"C=4DBF,
(CD^BD
在&CDE和J\BDF中,{/C=4DBF
[CE=BF
:.ACDEw>BDF(SAS),
:.DE=DF.
⑵
解:如圖,連接AO,
猜想CE、EG、BG之間的數量關系為:CE+BG=EG.
(AB=AC
證明:在ZL4B。和AACD中,1BD=CD,
[AD=AD
:.^ABD=AACD(SSS),
:.ABDA=NCDA=-j-ZCDB=}x120°=60°,
又;/EDG=60°,
ACDE=AADG,NADE=/LBDG,
由(1),可得ACDEw^BDF,
ACDE=ABDF,
:./BDG+/BDF=60°,
即ZFDG=60a,
:.AEDG=AFDG,
在ADEG和ADFG中,
(DE=DF
\AEDG=AFDG
[DG^DG
:.^DEG=ADFG(SAS),
:.EG=FG,
又;CE=BF,FG^BF+BG,
:.CE+BG=EG;
⑶
解:要使CE+BG=EG仍然成立,
則AEDG=ABDA=ZLCDA=-j-ZCDB,
即AEDG=y(180°-a)=90°-^-a,
當/EDG=90°—1"a時,CE+BG=£;G仍然成立.
【點睛】
本題綜合考查了全等三角形的性質和判定,此題是一道綜合性比較強的題目,有一定的難度,能根據題意
推出規(guī)律是解此題的關鍵.
【解題模型二一線三等角模型】
方法模型總結:如圖,NB=NC=EF
N1,由三角形內角和及平角的有/2V/5
關性質易得/2=/3,/4=/5,/4格
DD
再加上任一組對應邊相等,易證兩三角形全等.
網]1(2023春?七年級課時練習)【探究】如圖①,點B、。在/AMN的邊⑷W、AN上,點E、F在/M4N內部
的射線40上,/I、/2分別是△ABE、aCAF的外角.若4B=AC,/I=/2=乙84。,求證:△ABE空
△CAF.
【應用】如圖②,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB>BC,點。在邊BC上,CD=2BD,點E、F在線
段人。上,/I=/2=ABAC,若△ABC的面積為9,則△ABE與△CDF的面積之和為.
【答案】探究:見解析;應用:6
【分析】探究:根據ZA=ABAE+NABE,ABAC=2CAF+NBAE,得出/ABE=ACAF,根據Z1=
/2,得出AAEB=ACFA,再根據AAS證明即可;?M
應用:根據全等三角形的性質得出:S^BEMSAC”,進而得出SACDF+SACAFUSAACD,根據CD=2BD,
△ABC的面積為9,得出S=△⑷j0=6,即可得出答案.
AACDO
【詳解】探究
證明:???ZA=ABAE-^/ABE,ABAC=ACAF+4BAE,
又丁ABAC=Al,
:.NABE=Z.CAF,
???N1=N2,
???/AEB=/CFA,
(Z.AEB=ZCFA
在△ABE和/\CAF中,(/ABE=ACAF
[AB=AC
:.AABE空△CAF(44S);
應用
解:???△力BE空尸,
?e?^^ABE=S^cAF,
?S~AF=S^ACD,
???CD=2BD,AABC的面積為9,
.2
??SMCD=3S^ABC=6,
???/XABE與△CDF的面積之和為6,
故答案為:6.
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質,掌握全等三角形的判定是解題的關鍵.
【變式訓練】
,Wt①(2023春?廣西南寧?七年級南寧市天桃實驗學校??计谀?)問題發(fā)現:如圖1,射線AE在/AMN
的內部,點B、C分別在AMAN的邊4V上,且AB=AC,若ABAC=NBFE=NCDE=90°,求證:
△ABF衛(wèi)4CAD;
(2)類比探究:如圖2,AB=AC,且NBAC=/BFE=NCDE.(1)中的結論是否仍然成立,請說明理由;
(3)拓展延伸:如圖3,在△ABC中,AB=AC,AB>30.點E在B。邊上,CE=2BE,點、D、F在線段
AE上,NBAC=NBFE=NCDE.若4ABC的面積為15,DE=2AD,求與△CDE的面積之比.
【答案】(1)證明見詳解;(2)成立,證明見詳解;(3)1:4
【分析】(1)根據ABAC=2BFE=2CDE=9Q°即可得到ABAF+ZCAF=90°,ADCA+ACAF=90°,
從而得到ABAF=ADCA,即可得到證明;
(2)根據NBFE=NCDE得到ABAF+ACAF^ADCA+ACAF,即可得到NBAF=ADCA,
即可得到證明;
⑶根據△ABC的面積為15,CE=2跳;,即可得到$4巫=5,5田°=10,結合0七=24??傻肧△皿°=
與,$以°=瞿,根據AB=AC,/及4C=NBFE=/CDE得到△ABF篤△CAD,即可得到SARKF,即可得
oo
到答案;
【詳解】(1)證明::ZBAC=/BFE=/CDE=90°,
??.ABFA=ACDA=90°,ZBAF+ACAF=90°,ADCA+ACAF=90°,
???/BAF=/DCA,
在△?1可與△CAD中,
(ZBFA=ACDA
??,(Z.BAF=ADCA,
[AB=AC
:.△ABFn/XCAD{AAS);
⑵解:成立,理由如下,
???ZBAC=ZBFE=ACDE,
??.ZBAF+ZCAF=ADCA+ACAF,ABFA=ZCDA,
???/BAF=/DCA,
在△ABF與△CAD中,
(ABFA=ZCDA
???(/BAF=ADCA,
[AB=AC
:.AABF^△CAD(AAS);
(3)解:???△48。的面積為15,CE=2BE,
?S^ABE=5,S^AEC—10,
,:DE=2AD,
.s->S-20
???ZBAC=/BFE=/CDE,
:.ABAF+ACAF=ADCA+/CAF,ABFA=/.CDA,
:.ZBAF=ADCA,
在△ABR與△CAD中,
(ZBFA=ACDA
???(ZBAF=Z.DCA,
[AB=AC
???/\ABFW△C4D(A4S)
?S-5-10-A
??QABER—03—3,
S他EF:S^CDE=今:專'=1:4;
【點睛】本題考查三角形全等的判定與性質及同高不同底三角形的面積,解題的關鍵是根據內外角關系得
到三角形全等的條件.
題目團(2023春?廣東佛山?七年級??计谥校┤鐖D,CD是經過/BCA頂點。的一條直線,CA=CB,E、F
分別是直線CD上兩點,且/BEC=ZCFA=a.
???
⑴若直線CD經過/BCA的內部,且E、F在射線CD上.
①如圖1,若ABCA=90°,a=90°,試判斷BE和CF的數量關系,并說明理由.
②如圖2,若0°<NBCA<180°,請?zhí)砑右粋€關于a與ZBCA關系的條件,使①中的結論仍然成立;
(2)如圖3,若直線CD經過ZBCA的外部,a=ABCA,請?zhí)岢鲫P于EF,BE,AF三條線段數量關系的合
理猜想,并說明理由.
【答案】(1)①BE=CF;②a+ZBC4=180°
⑵EF=BE+AF
【分析】(1)①由ABCA=90°,ZBEC=AGFA=a=90°,可得2BCE=/C4尸,從而可證△BCEn
△CAF,故BE=CF:
②添加a+ABCA=180°,可證明/LBCA=ABEF,則NACF=ACBE,根據AAS可證明△3CE空
△CAF,即可得證①中的結論仍然成立;
(2)題干已知條件可證/\BCEnACAF,故BE=CF,EC=FA,從而可證明EF=BE+AF.
【詳解】(1)解:①理由如下:
?/NBCA=90°,
ZACF+ZBCE=90°,
?/ZBEC=ZAFC=a=90°,
ZACF+ZCAF=90°,
:.NBCE=4CAF,
?:AC=BC,
:.△BCE篤△CAF(44S),
:.BE=CF-
②添加a+ZBCA=180°,使①中的結論仍然成立,理由如下:
?/ABEC=ACFA=a,
ABEF=180°-ABEC=180°-a,
■:2BEF=4EBC+ZBCE,
:.AEBC+NBCE=180°-a,
?:a+ABCA=18Q°,
:.ZBCA=180°-a,
:.NBCA=/BCE+AACF=180°—a,
2EBC=AACF,
?:AC=BC,ZBEC=AGFA=a,
:.△BCE空△CA尸(AAS),
:.BE=CF;
故答案為:a+NBCA=180°;
(2)EF=BE+AF,理由如下:?M
,/ABCA^a,
:./.BCE+AFCA=180°-ABCA=180°-a,
???/BEC=a,
:./EBC+ZBCE=180°-ZBEC=180°—a,
???4EBC=4FCA,
VAC=BC,/BEC=/CFA=a,
:."EC型/XCFA(AAS),
:?BE=CF,EC=FA,
:.EF=EC+CF=FA+BE,
即石F=跳;+AR.
【點睛】本題是三角形的綜合題,主要考查全等三角形的性質與判定,熟練掌握全等三角形的性質與判定是
解題的關鍵.
題目⑶在直線m上依次取互不重合的三個點D,A,E,在直線m上方有AB^AC,且滿足ABDA=NAEC
=NBAC=a.
⑴如圖1,當a=90°時,猜想線段。之間的數量關系是;
(2)如圖2,當0<a<180°時,問題(1)中結論是否仍然成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理
由;
(3)應用:如圖3,在AABC中,是鈍角,=NBAD<NCAE,NBDA=/AEC=NBAC,直
線m與CB的延長線交于點F,若BC=3FB,4ABC的面積是12,求AFBD與/\ACE的面積之和.
【答案】(1)DE=BD+CE
⑵DE=BD+CE仍然成立,理由見解析
(3)AFBD與AACE的面積之和為4
【解析】
【分析】
(1)由/BDA=/BAC=/AEC=90°得到/BAD+NE4C=/B4O+/DBA=90°,進而得到NDBA=
/EAC,然后結合AB=AC得證△DBA空△及1。,最后得到。E=8。+CE;
(2)由ABDA=ZBAC=NAEC=a得到ABAD+NEAC=ABAD+/DBA=180°—a,進而得到
4DBA=/瓦4。,然后結合AB=AC得證ADBA2△EAC,最后得到DE=BD+CE;
(3)由/BAD>ZCAE,ABDA=NAEC=ABAC,得出ZCAE=NABD,由AAS證得AADB2△CAE,
得出SZ\AB_D=SZ\CEL4,再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比,得出SAABF即可得出結
果.
⑴
解:DE=BD+CE,理由如下,
/BDA=ZBAC=ZAEC=90°,
ABAD+4EAC=/BAD+/DBA=90°,
/DBA=NEAC,
?:AB=AC,
/XDBA也^EAC{AAS'),
:.AD=CE,BD=AE,
:.DE=AD+AE=BD+CE,
故答案為:。E=BD+CE.
⑵
DE=BD+CE仍然成立,理由如下,
ABDA=NAEC=a,
:.ABAD+NEAC=ABAD+ADBA=180°-?,
/DBA=AEAC,
?:AB=AC,
:.ADBA邕^EAC(AAS'),
:.BD=AE,AD=CE,
:.DE=AD+AE=BD+CE;
⑶
解:;/BADVACAE,ABDA=ZAEC=ABAC,
:.NCAE=AABD,
在△ABD和△CAE中,
(AABD=ZCAE
(ABDA=ACEA,
[AB^AC
:./\ABD空ACAE(AAS),
:.S/\ABD=S4CAE,
設△ABC的底邊B。上的高為心則△?!明的底邊BF上的高為/z,
SAABC=^BC-h=12,S/\ABF=^-BF-h,
;BC=3BF,
.?.SZ\ABF=4,
S/\ABF=S^BDF+S/\ABD=S/XFBD+S4ACE=4,
/XFBD與/\ACE的面積之和為4.
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質,三角形的面積,解題的關鍵是熟練掌握全等三
角形的判定與性質.
【解題模型三三垂直模型】
方法模型總結:在三垂直模型中,利用余角的性質尋求
兩直角三角形中一組角相等,再加上任一組對邊相等,
易證兩直角三角形全等,常見的模型如下:
題]1(2023春?廣東廣州?九年級專題練習)如圖,NACB=90°,AC=BC,BE_LCE于E,AD,CE于D,
???
AD—2.7cm,DE—1.8cm.
(2)求BE的長.
【答案】(1)見解析;
(2)BE=0.9cm.
【分析】(1)由垂直得/ADC=/CEB=90°,求出乙4cD=/CBE,然后利用_AAS即可證明△ACD望
△CBE;
(2)根據全等三角形的性質可得CE=AD=2.7cm,BE=CD,根據CD=CE—DE求出CD即可得到
BE的長.
【詳解】⑴證明::AD_LCE,BE_LCE,
NADC=NCEB=90°,
?.?/ACB=90°,
AZACD^ZACB-/BCE=90°—ZBCE,
;NCBE=90°—/BCE,
:.4ACD=4CBE,
(AADC^ACEB
在△ACD與4CBE中,AACD=ACBE,
[AC^BC
:./\ACDW△CBE(A4S);
(2)解:由(1)知,△ACDZACSE,
二CE=AD=2.7cm,BE=CD,
?:CD=CE-DE=2.7-1.8=Q.9cm,
BE—0.9cm.
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質,熟練掌握全等三角形的判定定理和全等三角形對應邊相等
的性質是解題的關鍵.
【變式訓練】
題目E(2023春?河北邯鄲?七年級??茧A段練習)已知:/ACB=90°,47=8。,40,◎〃,跳;,。0,垂
足分別為。,
AA
⑴如圖1,把下面的解答過程補充完整,并在括號內注明理由.
①線段CD和BE的數量關系是:CD=BE;
②請寫出線段A。,BE,DE之間的數量關系并證明.
解:①結論:CD=BE.
理由:AD_LCM,CM,
ZACB=ZBEC=AADC=90°,
NACD+NBCE=90°,NBCE+NCBE=90°,
AACD=_()
在△ACO和4CBE中
:.^ACD^/\CBE,()
:.CD=BE.
②結論:ADBE+DE.
理由:;△ACD空ACBE,
?:CE=CD+DE=BE+DE,
:.AD=BE+DE.
(2)如圖2,上述結論②還成立嗎?如果不成立,請寫出線段A。,BE,DE之間的數量關系,并說明理由.
【答案】(1)①NCBE;同角的余角相等;AADC=ZBEC,NACD=NCBE,AC=BC;AAS;②?1。=CE
(2)不就立,DE—BE=AD,見解析
【分析】(1)根據同角的余角相等,全等三形的判定方法角角邊分析處理;
(2)根據同角的余角相等,全等三形的判定方法角角邊分析處理,注意觀察圖形,得出線段間的數量關系;
【詳解】(1):AD±CM,BE1.CM,
:.ZACB=NBEC=NADC=90°,
NACD+2BCE=90°,NBCE+ACBE=90°,
:.ZACD-_ZCBE_(同角的余角相等)
在^ACD和△CBE中,_ZADC=ABEC^NACD=ZCBE^AC=BC_,
...△ACD空△CBE,(AAS)
:.CD=BE.
②結論:AD=BE+DE.
理由:;/\ACD篤/\CBE,
:._AD=CE_,
?:CE=CD+DE=BE+DE,
:.AD=BE+DE.
(2)不成立,結論:DE—BE=AD.
圖2
理由:AD_LCM,BE_LCM,
2ACB=Z.BEC=AADC=90°,
AACD+ABCE=90°,2BCE+ACBE=90°,
ZACD=NCBE
1/ADC=/CEB
在A4CD和△CBE中,(ZACD=NCBE,
[AC^CB
:.AACD篤/XCBE,(AAS)
:.AD=CE,CD=BE,
:.DE—BE=DE-DC=CE=AD.
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質,能夠由圖形的位置關系得出線段之間、角之間的數量關系是解
題的關鍵.
、題目團在△ABC中,/比4。=90°,AC=AB,直線;W經過點A,且CD_LAW于。,BE_LA1N于E.
圖1圖2
⑴當直線MN繞點A旋轉到圖1的位置時,NEAB+NDAC=度;
(2)求證:。E=CD+BE;
(3)當直線MN繞點A旋轉到圖2的位置時,試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關系?請寫出這個等量關
系,并加以證明.
【答案】(1)90。
(2)見解析
(3)CD=BE+DE,證明見解析
【解析】
【分析】
(1)由ZBAC=90°可直接得到AEAB+ADAC=90°;
(2)由CD_LMN,BE_LMN,得AADC=NBEA=ABAC=90°,根據等角的余角相等得到2DCA=
/&IB,根據AAS可證△DC4篤ZYEAB,所以AD=CE,DC=BE,即可得到。E=EA+AD=DC+
—
BE.
⑶同(2)易證△0CZ空△EAB,得到=由圖可知人石=AD+。石,所以CD=BE
+DE,
⑴
???ZBAC=90°
??.AEAB+乙DAC=180°-ABAC=180°-90°=90°
故答案為:90°.
⑵
證明:???CD_LMN于D,BE_LMN于E
???ZADC=/.BEA=ABAC=90°
???NZZ4O+ZDC4=90°且NZZ4C+NEAB=90°
??.ADCA=/.EAB
???在△ZXM和MAB中
(Z.ADC=ABEA=90
bDCA=ZEAB
[AC=AB
??.△DCA注/\EAB(44S)
??.AD=BE且EA=DC
由圖可知:OE=EA+AD=DC+BE,
⑶
???CD工MN于D,BE_LMN于E
???ZADC=ABEA=ZBAC=90°
???ADAC+ADCA=90°且ADAC+AEAB=90°
??.ADCA=ZEAB
???在ADCA和△E4B中
{Z.DCA=Z.EAB
[AC=AB
???△DCA名4EAB(44S)
??.AD=BE且AE=CD
由圖可知:AE=AD+DE
??.CD=BE+DE.
【點睛】
本題考查了旋轉的性質:旋轉前后兩圖形全等,對應點到旋轉中心的距離相等,對應點與旋轉中心的連線
段所夾的角等于旋轉角,也考查了三角形全等的判定與性質.
目"如圖,已知:在△ABC中,乙4cB=90°,直線7W經過點C,AD_LMN,BE_LMN.
MM
(1)當直線MN繞點。旋轉到圖(1)的位置時,求證:△ADCwaCEB;
(2)當直線MN繞點。旋轉到圖(2)的位置時,求證:DE=AD—BE;
(3)當直線MN繞點。旋轉到圖(3)的位置時,試問DE、AD,BE具有怎樣的等量關系?請直接寫出這個
等量關系:-
【答案】(1)見解析;(2)見解析;⑶DE=BE—AD
【分析】(1)由已知推出乙4。。=/跳;。=90°,因為/入8+/8?!?;=90°,ND4C+/ACD=90°,推出
NDAC=/BCE,根據4s即可得到答案;
⑵結論:DE=AD-BE.與(1)證法類似可證出NACD=/EBC,能推出空△CEB,得到AD=
CE,CD=BE,即可得到答案.
(3)結論:DE=BE—AD.證明方法類似.
【詳解】解:(1)證明:如圖1,
AD_LDE,BE_LDE,
:./ADC=/班。=90°,
???ZACB=9Q°,
:.AACD+ZBCE=90°,ADAC+ZAGD
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