七年級數(shù)學北師大版下冊第四章1認識三角形第2課時三角形的高中線與角平分線

第四章三角形1認識三角形第2課時三角形的高、中線與角平分線目錄02課堂講練01名師導學03分層訓練名師導學A.從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作____________，頂點和____________之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.三角形三條高所在的直線____________.1.如圖4-1-14，AD⊥BC于點D，那么圖中以AD為高的三角形有____________個．垂線垂足交于一點6B.在三角形中，連接一個頂點與它對邊____________的線段，叫做這個三角形的中線，三角形的三條中線____________，這一點稱為三角形的____________.2．如圖4-1-12，在△ABC中，AB=13，AC=10，AD為中線，則△ABD與△ACD的周長之差為____________．中點交于一點重心3C.在三角形中，一個內(nèi)角的________________與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的三條角平分線__________________.角平分線交于一點3.如圖4-1-13，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分線，則∠CAD的度數(shù)為()A.40°B.45°C.50°D.55°A課堂講練【例1】下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）典型例題知識點1：三角形的高C1．下列各圖中，正確畫出AC邊上的高的是（）舉一反三D【例2】如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.都有可能C2.如圖4-1-14，△ABC中BC邊上的高是（）A．BD B．AE C．BE D．CF思路點撥：根據(jù)三角形某邊上的高的定義，即可得到答案.注意鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點.B【例3】如圖4-1-15，已知△ABC的周長為24cm，AD是BC邊上的中線，AD=58AB，AD=5cm，△ABD的周長是18cm，求AC的長．知識點2：三角形的中線解：因為AD=AB，AD=5cm，所以AB=8cm．又因為△ABD的周長是18cm，所以BD=5cm．因為D是BC的中點，所以BC=2BD=10（cm）．又因為△ABC的周長為24cm，所以AC=24-8-10=6（cm）.3.如圖4-1-16，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，求AC和AB的長．解：因為AD是BC邊上的中線，AC=2BC，所以BD=CD.設BD=CD=x，AB=y，則AC=4x.分為兩種情況：①AC+CD=60，AB+BD=40，則4x+x=60，x+y=40.解得x=12，y=28.即AC=4x=48，AB=28.②AC+CD=40，AB+BD=60，則4x+x=40，x+y=60.解得x=8，y=52.即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16.此時不符合三角形三邊關(guān)系定理,故舍去.綜上所述,AC=48，AB=28．【例4】如圖4-1-17，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多5cm，AB與AC的和為13cm，求AC的長．解：因為AD是BC邊上的中線，所以CD=BD．因為△ADC的周長-△ABD的周長=5,所以AC-AB=5（cm）．又因為AB+AC=13（cm），所以可得AC=9cm,AB=4cm.所以AC的長為9cm．4．如圖4-1-18，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長比△ACD的周長多3cm，BC=8cm，求邊AC的長．解：因為CD為△ABC的AB邊上的中線，所以AD=BD.因為△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，所以（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3（cm）.所以BC-AC=3（cm）.因為BC=8cm，所以AC=5cm．思路點撥：三角形中線的定義、三角形的周長公式以及中線能把一個三角形分成兩個面積相等的部分是解此類題的關(guān)鍵.知識點3：三角形的角平分線【例5】如圖4-1-19，在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AD和AE分別是△ABC的高和角平分線，求∠DAE的度數(shù)．解：在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°.因為AE是∠BAC的平分線,所以∠BAE=∠BAC=45°.因為AD是△ABC的高，所以∠ADB=90°.所以在△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°.所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-30°=15°.5.如圖4-1-20，D是△ABC中BC上的一點，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，且∠ADE=∠ADF，AD是△ABC的角平分線嗎？說明理由．解：AD是△ABC的角平分線．理由：因為DE∥AC，DF∥AB，所以∠ADE=∠DAF，∠ADF=∠EAD.又因為∠ADE=∠ADF，所以∠DAF=∠EAD.因為∠DAF+∠EAD=∠BAC，所以AD是∠BAC的平分線．【例6】如圖4-1-21，△ABC中，AD,AE分別是△ABC的高和角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF與AE交于點O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠AEC，∠BOE的度數(shù)．解：在△ABC中，因為∠ABC=40°，∠C=60°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=80°．因為AE是△ABC的角平分線，所以∠EAC=∠BAC=40°．因為AD是△ABC的高，所以∠ADC=90°.所以在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°.所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°．所以∠AEC=90°-10°=80°.所以∠AEB=100°.因為BF是∠ABC的平分線，所以∠FBC=∠ABC=20°.所以∠BOE=180°-20°-100°=60°．6．如圖4-1-22，在△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，BE平分∠ABC，分別交CD,AC于點F,E，試說明：∠CFE=∠CEF．解：如答圖4-1-1所示標明各角.因為∠ACB=90°，所以∠1+∠3=90°.因為CD⊥AB，所以∠COB=90°.所以∠2+∠4=90°.又因為BE平分∠ABC，所以∠1=∠2.所以∠3=∠4.因為∠4=∠5，所以∠5=∠3，即∠CFE=∠CEF．思路點撥：角平分線的定義與三角形內(nèi)角和等于180°以及余角、補角知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵.分層訓練【A組】1.如圖4-1-23，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，則△ABD和△BCD的周長的差是()A.2B.3C.6D.不能確定A2．畫△ABC中AB邊上的高，下列畫法正確的是（）C3．如圖4-1-24，AD⊥BC于點D，GC⊥BC于點C，CF⊥AB于點F.下列關(guān)于高的說法錯誤的是（）A．△ABC中，AD是BC邊上的高B．△GBC中，CF是BG邊上的高C．△ABC中，GC是BC邊上的高D．△GBC中，GC是BC邊上的高C4.如圖4-1-25，AD是△ABC的中線，△ABC的面積為10cm2，則△ABD的面積是()A.5cm2B.6cm2C.7cm2D.8cm2A5．如圖4-1-26，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分線，AF是BC邊上的中線，則下列線段中，最短的是（）A．ABB．AEC．ADD．AFC6．如圖4-1-27，已知∠1=∠2，∠3=∠4，則下列正確的結(jié)論有（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個B【B組】7．如圖4-1-28，在△ABC中，∠C=90°，D，E為AC上的兩點，且AE=DE，BD平分∠EBC，則下列說法不正確的是（）A．BC是△ABE的高B．BE是△ABD的中線C．BD是△EBC的角平分線D．∠ABE=∠EBD=∠DBCD8.如圖4-1-29，在△ABC中，AD，CE分別為BC，AB邊上的高，若BC＝6，AD＝5，CE＝4，則AB的長為____________.1529.如圖4-1-30，已知AE是△ABC的邊BC上的高，AD是∠EAC的平分線，交BC于點D．若∠ACB=40°，則∠DAE=__________．25°【C組】10.如圖4-1-31，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．解：因為∠CAB=50°，∠C=60°,所以∠ABC=180°-50°-60°=70°.又因為AD是高，所以∠ADC=90°.