高考函數(shù)知識點總結(jié)全面

高考函數(shù)知識點總結(jié)(全面)高考函數(shù)總結(jié)一、函數(shù)的概念與表示1、函數(shù)(1)函數(shù)的定義?原始定義:設(shè)在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫作自變量。?近代定義:設(shè)A、B都是非空的數(shù)的集合，f:x?y是從A到B的一個對應(yīng)法則，那么從A到B的映射f:A?B就叫做函數(shù)，記作y=f(x)，其中，原象集合A叫做函數(shù)的定義域，象集合Cx,A,y,BC,B叫做函數(shù)的值域。(2)構(gòu)成函數(shù)概念的三要素?定義域?對應(yīng)法則?值域3、函數(shù)的表示方法?解析法?列表法?圖象法注意:強調(diào)分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的表示形式。二、函數(shù)的解析式與定義域1、函數(shù)解析式:函數(shù)的解析式就是用數(shù)學(xué)運算符號和括號把數(shù)和表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫解析式，求函數(shù)解析式的方法:(1)定義法(2)變量代換法(3)待定系數(shù)法(4)函數(shù)方程法(5)參數(shù)法(6)實際問題2、函數(shù)的定義域:要使函數(shù)有意義的自變量x的取值的集合。求函數(shù)定義域的主要依據(jù):1)分式的分母不為零;((2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義;(3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算而得到的，那么它的定義域是由各基本函數(shù)定義域的交集。3。復(fù)合函數(shù)定義域:已知f(x)的定義域為,其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式,,,,x,a,bfg(x)解出。a,g(x),b三、函數(shù)的值域1(函數(shù)的值域的定義在函數(shù)y=f(x)中，與自變量x的值對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。2(確定函數(shù)的值域的原則?當(dāng)函數(shù)y=f(x)用表格給出時，函數(shù)的值域是指表格中實數(shù)y的集合;?當(dāng)函數(shù)y=f(x)用圖象給出時，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合;?當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析式給出時，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則唯一確定;?當(dāng)函數(shù)y=f(x)由實際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義確定。3(求函數(shù)值域的方法?直接法:從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍;?二次函數(shù)法:利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域;?反函數(shù)法:將求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求它的反函數(shù)的值域;?判別式法:運用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍;?單調(diào)性法:利用函數(shù)的單調(diào)性求值域;?不等式法:利用不等式的性質(zhì)求值域;?圖象法:當(dāng)一個函數(shù)圖象可作時，通過圖象可求其值域;?幾何意義法:由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。四(函數(shù)的奇偶性1(定義:設(shè)y=f(x)，x?A，如果對于任意?A，都有，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。設(shè)y=f(x)，xfxfx()(),,x?A，如果對于任意?A，都有，則稱y=f(x)為奇函數(shù)。如果函數(shù)是奇函數(shù)或xfxfx()(),,,fx()偶函數(shù)，則稱函數(shù)y=具有奇偶性。fx()2.性質(zhì):?函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱，?y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于軸對稱,y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,y,,?偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同，?偶函數(shù)無反函數(shù)，奇函數(shù)的反函數(shù)還是奇函數(shù)，?若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則它可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和11f(x),[f(x)，f(,x)]，[f(x),f(,x)]22?奇?奇=奇偶?偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數(shù)的定義域D，D，D?D要關(guān)于原點對稱]1212?對于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù)若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)3(奇偶性的判斷?看定義域是否關(guān)于原點對稱?看f(x)與f(-x)的關(guān)系五、函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)單調(diào)性的定義一般地，設(shè)一連續(xù)函數(shù)f(x)的定義域為D，則,如果對于屬于定義域D內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x，x?D且x>x，都有f(x)>f(x)，121212即在D上具有單調(diào)性且單調(diào)增加，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)。,相反地，如果對于屬于定義域D內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x，x?D且x>x，都有1212f(x)<f(x)，即在D上具有單調(diào)性且單調(diào)減少，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)。12則增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱單調(diào)函數(shù)。2、判斷函數(shù)單調(diào)性(求單調(diào)區(qū)間)的方法:(1)從定義入手，(2)從圖象入手，(3)從函數(shù)運算入手，(4)從熟悉的函數(shù)入手(5)從復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律入手注:函數(shù)的定義域優(yōu)先3、函數(shù)單調(diào)性的證明:定義法“取值—作差—變形—定號—結(jié)論”。4、一般規(guī)律(1)若f(x),g(x)均為增函數(shù)，則f(x)+g(x)仍為增函數(shù);(2)若f(x)為增函數(shù)，則-f(x)為減函數(shù);(3)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性;(4)設(shè)是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則在M上是減,,，，,,，，y,fgxy,fgx函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù)。,,，，y,fgx六、反函數(shù)1、反函數(shù)的概念:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A，值域為C，由y=f(x)求出，若對于C中的每，，x,,y一個值y，在A中都有唯一的一個值和它對應(yīng)，那么叫以y為自變量的函數(shù)，這個函數(shù)，，，，x,,yx,,y,1,1叫函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作，通常情況下，一般用x表示自變量，所以記作。，，，，x,fyy,fx注:在理解反函數(shù)的概念時應(yīng)注意下列問題。(1)只有從定義域到值域上一一映射所確定的函數(shù)才有反函數(shù);(2)反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域;2、求反函數(shù)的步驟(1)解關(guān)于x的方程y=f(x)，達到以y表示x的目的;(2)把第一步得到的式子中的x換成y，y換成x;(3)求出并說明反函數(shù)的定義域(即函數(shù)y=f(x)的值域)。3、關(guān)于反函數(shù)的性質(zhì)-1(1)y=f(x)和y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;-12)y=f(x)和y=f(x)具有相同的單調(diào)性;(-1(3)y=f(x)和x=f(y)互為反函數(shù)，但對同一坐標(biāo)系下它們的圖象相同;-1-1(4)已知y=f(x)，求f(a)，可利用f(x)=a，從中求出x，即是f(a);-1(5)f[f(x)]=x;-1(6)若點P(a,b)在y=f(x)的圖象上，又在y=f(x)的圖象上，則P(b,a)在y=f(x)的圖象上;(7)證明y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，只需證得y=f(x)反函數(shù)和y=f(x)相同;七(二次函數(shù)1(二次函數(shù)的解析式的三種形式b2(1)一般式:f(x)=ax+bx+c(a?0)，其中a是開口方向與大小，c是Y軸上的截距，而是對稱軸。,2a2(2)頂點式(配方式):f(x)=a(x-h)+k其中(h,k)是拋物線的頂點坐標(biāo)。(3)兩根式(因式分解):f(x)=a(x-x)(x-x),其中x,x是拋物線與x軸兩交點的坐標(biāo)。1212求一個二次函數(shù)的解析式需三個獨立條件，如:已知拋物線過三點，已知對稱軸和兩點，已知頂點和對稱2軸。又如，已知f(x)=ax+bx+c(a?0)，方程f(x)-x=0的兩根為x,x，則可設(shè)12，，，，，，，，，，，，f(x)-x=fx,x,ax,xx,x,或fx,ax,xx,x，x。1212bac,b,b2422(二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a?0)的圖象是一條拋物線，對稱軸，頂點坐標(biāo)x,,(,)2aaa24,bbbx,(1)a>0時，拋物線開口向上，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，(,,,,][,,，,)2a2a2a4acb2,時，f(x),min4a,bbb(2)a<0時，拋物線開口向下，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，x,(,,,,][,,，,)2a2a2a4acb2,時，f(x),max4a223(二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a?0)當(dāng)時圖象與x軸有兩個交點M(x,0),M(x,0),,b,4ac,01122,2MM,x,x,x，x,xx,()412121212a4(二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系22方程的根為二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a?0)的的取值。二次函數(shù)與一xy,0ax，bx，c,0(a,0)22元二次不等式的關(guān)系一元二次不等式的解集為二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a?ax，bx，c,0(,0)0)的的取值范圍。xy,0(,0)二次函數(shù)?情況一元二次方程一元二次不等式解集22+bx+c>0ax+bx+c<0ax222Y=ax+bx+c(a>0)?=b-4acax+bx+c=0(a>0)(a>0)(a>0)b,,,x,12a,,,,xx,x或x,xxx,x,x1212?>0b,，,x,22a圖b象xx,,,12?=02a與,,xx,x,0解方程無解?<0R,八(指數(shù)式與對數(shù)式1(冪的有關(guān)概念n個,,,,,n,0a,a,a,a,,a(n,N)？(1)正整數(shù)指數(shù)冪，(2)零指數(shù)冪a,1(a,0)m1,,n,nmnaanN,,,0,(3)負整數(shù)指數(shù)冪(4)正分數(shù)指數(shù)冪;aaamnNn,,,,0,,,1，，，，nam11,,n(5)負分數(shù)指數(shù)冪aamnNn,,,,,0,,,1，，mnmana(6)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.2(有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)srsrs，rrs10,,aaaarsQ,,,20,,aaarsQ,,,，，，，，，，，，，rrr30,0,abababrQ,,,,，，，，，，3(根式n,n(1)根式的定義:一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做ax,axan，，n,1,n,N根式，叫做根指數(shù)，叫被開方數(shù)。naaa,0,nnnn(2)根式的性質(zhì):a,a,?當(dāng)是奇數(shù)，則;當(dāng)是偶數(shù)，則a,ann,,aa,0,?負數(shù)沒有偶次方根，?零的任何次方根都是零4(對數(shù)(1)對數(shù)的概念b如果,那么b叫做以a為底N的對數(shù),記b,logN(a,0,a,1)a,N(a,0,a,1)a(2)對數(shù)的性質(zhì):?零與負數(shù)沒有對數(shù)??log1,0loga,1aa(3)對數(shù)的運算性質(zhì)?logMN,logM，logNaaaMn?log,logM,logN其中a>0,a?0,M>0,N>0?logM,nlogMaaaaaNlogNm(4)對數(shù)換底公式:logN,(N,0,a,0且a,1,m,0且m,1)alogamnnlogN,logN(N,0,a,0且a,1)(5)對數(shù)的降冪公式:maam九(指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)x1、指數(shù)函數(shù)y=a與對數(shù)函數(shù)y=logx(a>0,a?1)互為反函數(shù)，從概念、圖象、性質(zhì)去理解它們的區(qū)別和a聯(lián)系名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)x一般形式Y(jié)=a(a>0且a?1)y=logx(a>0,a?1)a定義域(-?,+?)(0,+?)值域(0,+?)(-?,+?)過定點(,，1)(1，,)x指數(shù)函數(shù)y=a與對數(shù)函數(shù)y=logx(a>0,a?1)圖象關(guān)于y=x對稱a圖象a>1,在(-?,+?)上為增函數(shù)a>1,在(0,+?)上為增函數(shù)單調(diào)性,,a<1,在(-?,+?)上為減函數(shù),,a<1,在(0,+?)上為減函數(shù)值分布y>1?y<1?y>0?y<0?比較兩個冪值的大小，是一類易錯題，解決這類問題，首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同，如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;指數(shù)相同，可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關(guān)系(對數(shù)式比較大小同理)記住下列特殊值為底數(shù)的函數(shù)圖象:3、研究指數(shù)，對數(shù)函數(shù)問題，盡量化為同底，并注意對數(shù)問題中的定義域限制4、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的絕大部分問題是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合問題，討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的重要途徑。十(函數(shù)的圖象1、作函數(shù)圖象的基本方法有兩種:(1)描點法:1、先確定函數(shù)定義域，討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性，單調(diào)性，周期性)2、列表(注意特1y,x，殊點，如:零點，最大最小，與軸的交點)3、描點，連線如:作出函數(shù)的圖象(x(2)圖象變換法:利用基本初等函數(shù)變換作圖h,0,右移;h,0,左移y,f(x),,,,,,,y,f(x，h)平移變換:(左正右負，上正下負)即?xk,0,下移;k,0,上移y,f(x),,,y,,f(x)y,f(x),,,,,,,y,f(x)，k軸y?對稱變換:(對稱誰，誰不變，對稱原點都要變)y,f(x),,,y,f(,x)軸y,f(x),,,,y,,f(,x)原點yxy,f(x),,,,y,f(x),,1yy,f(x),,,,,,,,,,,,y,f(x)軸右邊不變，左邊為右邊部分的對稱圖xxy,f(x),,,,,,,,,,,y,f(x)保留軸上方圖，將軸下方圖上翻1,,仍一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,,,,y,f(x),,,,,,,,,,,y,f(x),?伸縮變換:A仍一點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋秠,f(x),,,,,,,,,,y,Af(x)導(dǎo)數(shù)與積分1(導(dǎo)數(shù)的概念,y,x,x000函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量=f(x+),f(x)，比f(x，,x),f(x),y,y00,x,x,x00,x值叫做函數(shù)y=f(x)在x到x+之間的平均變化率，即=。如果當(dāng),y,x,0,x00時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f(x)在點x處的導(dǎo)x,x00數(shù)，記作f’(x)或y’|。f(x，,x),f(x),y00limlim,x,0,x,0,x0,x即f(x)==。2(導(dǎo)數(shù)的幾何意義000函數(shù)y=f(x)在點x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點p(x，f(x))處的切線的斜率。也就00000是說，曲線y=f(x)在點p(x，f(x))處的切線的斜率是f’(x)。相應(yīng)地，切線方程為y,y=f`(x)0(x,x)。3(幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,nn,1xnx;,，，,,,C,0;(sin)cosxx,(cos)sinxx,,???;?;11,,lnx,oxe,lglog，，，，xxxxaa,,();ee,()lnaaa,xx??;?;?.4(兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則u,,u'v,uv',,''''''2u,v),u,v.(uv),uv，uv.v,,v,(‘=(v0)。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):y,f(x)單調(diào)區(qū)間:一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，''(x)f(x)f(x)(x),0ff,0如果，則為增函數(shù);如果，則為減函數(shù);'f(x)(x),0f如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù);2(極點與極值:曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導(dǎo)數(shù)為0;曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負;曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負，右側(cè)為正;3(最值:(x)一般地，在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f在[a，b]上必有最大值與最小值。(x)?求函數(shù)?在(a，b)內(nèi)的極值;(x)?求函數(shù)?在區(qū)間端點的值?(a)、?(b);(x)?將函數(shù)?的各極值與?(a)、?(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4(定積