2017-2018學(xué)年白銀市景泰縣高二上期末數(shù)學(xué)試卷(理)(含答案)

2017-2018學(xué)年甘肅省白銀市景泰縣高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題的四個選項(xiàng)中，只有一個符合題目要求）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，則A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}2．（5分）已知命題p：?x∈R，使tanx=1，其中正確的是（）A．￢p：?x∈R，使tanx≠1 B．￢p：?x?R，使tanx≠1C．￢p：?x?R，使tanx≠1 D．￢p：?x∈R，使tanx≠13．（5分）對拋物線y=4x2，下列描述正確的是（）A．開口向上，焦點(diǎn)為（0，1） B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為（1，0） D．開口向右，焦點(diǎn)為4．（5分）雙曲線=1的漸近線方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）有下列四個命題：①“若xy=1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②“面積相等的三角形全等”的否命題；③“若m≤1，則x2﹣2x+m=0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題；④“若A∩B=B，則A?B”的逆否命題．其中為真命題的是（）A．①② B．②③ C．④ D．①②③6．（5分）鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC=，則AC=（）A．5 B． C．2 D．17．（5分）已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率為，則C的漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x8．（5分）如圖ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，B1E1=D1F1=，則BE1與DF1所成的角的余弦值是（）A． B． C． D．9．（5分）已知數(shù)列{an}中，a1=2，an=﹣（n≥2），則a2010等于（）A．﹣ B． C．2 D．﹣210．（5分）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（）A． B． C． D．11．（5分）設(shè)F1、F2是橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為直線x=上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為（）A． B． C． D．12．（5分）P是雙曲線﹣=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1上的點(diǎn)，則|PM|﹣|PN|的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在題中橫線上）13．（5分）若x，y∈（0，+∞），且x+4y=1，則+的最小值為．14．（5分）設(shè)x，y滿足約束條件，則z=x﹣2y的取值范圍為．15．（5分）已知拋物線C：y2=2px（p＞0），過焦點(diǎn)F且斜率為k（k＞0）的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，若=3，則k=．16．（5分）若橢圓C：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），與直線L：x+y+1=0交于A、B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)和線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則=．三、解答題：（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17．（10分）已知命題p：c2＜c，和命題q：?x∈R，x2+4cx+1＞0且p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．18．（12分）已知雙曲線E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率e=，且雙曲線過點(diǎn)P（2，3）．求雙曲線E的方程．19．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA=，cosB=﹣．（1）求C；（2）若c=5，求△ABC的面積．20．（12分）在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=2an﹣n+1（n∈N*），數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（1）證明：數(shù)列{an﹣n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Sn．21．（12分）在四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（1）證明AB⊥平面VAD；（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．22．（12分）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m＞0），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（2）若l過點(diǎn)（，m），延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由．

2017-2018學(xué)年甘肅省白銀市景泰縣高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題的四個選項(xiàng)中，只有一個符合題目要求）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，則A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故選：A．2．（5分）已知命題p：?x∈R，使tanx=1，其中正確的是（）A．￢p：?x∈R，使tanx≠1 B．￢p：?x?R，使tanx≠1C．￢p：?x?R，使tanx≠1 D．￢p：?x∈R，使tanx≠1【解答】解：因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以，命題p：?x∈R，使tanx=1，￢p：?x∈R，使tanx≠1．故選：D．3．（5分）對拋物線y=4x2，下列描述正確的是（）A．開口向上，焦點(diǎn)為（0，1） B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為（1，0） D．開口向右，焦點(diǎn)為【解答】解：∵a=4＞0，∴圖象開口向上，焦點(diǎn)為．故選B．4．（5分）雙曲線=1的漸近線方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：雙曲線的漸近線方程是，即．故選C．5．（5分）有下列四個命題：①“若xy=1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②“面積相等的三角形全等”的否命題；③“若m≤1，則x2﹣2x+m=0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題；④“若A∩B=B，則A?B”的逆否命題．其中為真命題的是（）A．①② B．②③ C．④ D．①②③【解答】解：①“若xy=1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題是：①“若x，y互為倒數(shù)，則xy=1”是真命題，故①正確；②“面積相等的三角形全等”的否命題是：“面積不相等的三角形不全等”是真命題，故②正確；③若x2﹣2x+m=0有實(shí)數(shù)解，則△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，∴若m≤1?則x2﹣2x+m=0有實(shí)數(shù)解”是真命題，故“若m≤1，則x2﹣2x+m=0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題是：“若x2﹣2x+m=0沒有有實(shí)數(shù)解，則m＞1”是真命題，故③正確；④若A∩B=B，則A?B，故原命題錯誤，∴若A∩B=B，則A?B”的逆否命題是錯誤，故④錯誤；故選：D．6．（5分）鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC=，則AC=（）A．5 B． C．2 D．1【解答】解：∵鈍角三角形ABC的面積是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，當(dāng)B為鈍角時，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB=1+2+2=5，即AC=，當(dāng)B為銳角時，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此時AB2+AC2=BC2，即△ABC為直角三角形，不合題意，舍去，則AC=．故選：B．7．（5分）已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率為，則C的漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：由題意可得e==，即為c2=a2，由c2=a2+b2，可得b2=a2，即a=2b，雙曲線的漸近線方程為y=±x，即為y=±2x．故選：D．8．（5分）如圖ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，B1E1=D1F1=，則BE1與DF1所成的角的余弦值是（）A． B． C． D．【解答】解：如圖先將F1D平移到AF，再平移到E1E，∠EE1B為BE1與DF1所成的角設(shè)邊長為4則，E1E=E1B=，BE=2cos∠EE1B=，故選A9．（5分）已知數(shù)列{an}中，a1=2，an=﹣（n≥2），則a2010等于（）A．﹣ B． C．2 D．﹣2【解答】解：數(shù)列{an}中，a1=2，an=﹣（n≥2），則a2=﹣=﹣，a3=﹣=2，a4=﹣=﹣，a5=﹣=2，…，則數(shù)列{an}為最小正周期為4的數(shù)列，則a2010=a4×502+2=a2=﹣，故選A．10．（5分）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（）A． B． C． D．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，則F（，0）．∴過A，B的直線方程為y=（x﹣），即x=y+．聯(lián)立，得4y2﹣12y﹣9=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=3，y1y2=﹣．∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=×|y1﹣y2|==×=．故選：D．11．（5分）設(shè)F1、F2是橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為直線x=上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為（）A． B． C． D．【解答】解：∵△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P為直線x=上一點(diǎn)∴∴故選C．12．（5分）P是雙曲線﹣=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1上的點(diǎn)，則|PM|﹣|PN|的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：雙曲線﹣=1中，如圖：∵a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F(xiàn)2（5，0），∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|+|NF2|=6+1+2=9．故選D．二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在題中橫線上）13．（5分）若x，y∈（0，+∞），且x+4y=1，則+的最小值為9．【解答】解：x，y∈（0，+∞），且x+4y=1，則+=（x+4y）（+）=1+4++≥5+2=9，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=時，等號成立，則+的最小值為9．故答案為：9．14．（5分）設(shè)x，y滿足約束條件，則z=x﹣2y的取值范圍為[﹣3，3]．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線y=，過點(diǎn)A（3，0）時，直線y=的截距最小，此時z最大為z=3﹣0=3，由圖象可知當(dāng)直線y=，過點(diǎn)B時，直線y=的截距最大，此時z最小，由，解得，即B（1，2），代入目標(biāo)函數(shù)z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=1﹣4=﹣3，故﹣3≤z≤3，故答案為：[﹣3，3]．15．（5分）已知拋物線C：y2=2px（p＞0），過焦點(diǎn)F且斜率為k（k＞0）的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，若=3，則k=．【解答】解：過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，作BC⊥AM，垂足為C，設(shè)||=m，||=3m，則由拋物線的定義得|AM|=3m，|BN|=m，∴||=4m，||=2m，∴∠BAC=60°，于是直線l的傾斜角為60°，斜率k=故答案為：．16．（5分）若橢圓C：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），與直線L：x+y+1=0交于A、B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)和線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則=．【解答】解：由直線x+y+1=0，可得y=﹣x﹣1代入mx2+ny2=1得：（m+n）x2+2nx+n+1=0，設(shè)A、B的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），則有：x1+x2=，y1+y2=﹣1﹣x1﹣1﹣x2=﹣2﹣（x1+x2）=，∴M的坐標(biāo)為：（，），∴0M的斜率k==故答案為：．三、解答題：（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17．（10分）已知命題p：c2＜c，和命題q：?x∈R，x2+4cx+1＞0且p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．【解答】（本題滿分12分）解：由不等式c2＜c，得0＜c＜1，即命題P：0＜c＜1，∴命題￢P：c≤0或c≥1，…（3分）又由（4c）2﹣4＜0，得﹣，得命題q：﹣，∴命題￢q：c或c，…（6分）∵p∨q為真，p∧q為假，∴由題知：p和q必有一個為真一個為假．…（8分）當(dāng)p真q假時：，當(dāng)q真p假時：﹣．…（10分）綜上：﹣或，故c的取值范圍是（﹣，0]∪[，1）．…（12分）．18．（12分）已知雙曲線E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率e=，且雙曲線過點(diǎn)P（2，3）．求雙曲線E的方程．【解答】解：由雙曲線離心率e=，，則，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時，設(shè)雙曲線的方程為﹣=λ代入點(diǎn)P（2，3），解得，λ=，故雙曲線的方程為﹣=1，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時，設(shè)雙曲線的方程為﹣=λ，代入點(diǎn)P（2，3），解得，λ=﹣7，舍．故雙曲線的方程為：﹣=1．19．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA=，cosB=﹣．（1）求C；（2）若c=5，求△ABC的面積．【解答】（本題滿分為10分）解：（1）∵cosA=，∴sinA=，（1分）∵cosB=﹣．∴sinB=．（2分）故cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB=，（4分）故C=．（5分）（2）∵，（6分）∴可解得a=3．（7分）故S=acsinB=．（10分）20．（12分）在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=2an﹣n+1（n∈N*），數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（1）證明：數(shù)列{an﹣n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Sn．【解答】解：（1）證明：a1=2，an+1=2an﹣n+1，可得an+1﹣（n+1）=2an﹣2n=2（an﹣n），即有數(shù)列{an﹣n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；且有an﹣n=2n﹣1，即為an=n+2n﹣1；（2）Sn=（1+2+…+n）+（1+2+…+2n﹣1）=n（n+1）+=n（n+1）+2n﹣1．21．（12分）在四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（1）證明AB⊥平面VAD；（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．【解答】證明：（1）∵平面VAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面VAD（2）取VD中點(diǎn)E，連接AE，BE，∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE=AD，∵AB⊥面VAD，AE，VD?平面VAD，∴AB⊥VD，AB⊥AE，∴AE⊥VD，AB⊥VD，∵AB∩AE=A，且AB，AE?平面ABE，∴VD⊥平面ABE，∵BE?平面ABE，∴BE⊥VD，∴∠AEB即為所求的二面角的平面角．在RT△ABE中，tan∠AEB==，∴cos∠AEB=．∴面VAD與面VDB所成的二面角的余