四邊形（2大模塊知識(shí)清單 3種方法清單 13個(gè)考試清單真題專練）

……T6…………習(xí)DDoALB起6a矩形、菱形、矩形、菱形、正方形果0nmBccBB矩矩形、菱形、正方形DcDc對(duì)角線2相等的菱形是正方形有一個(gè)角是29直角有一組鄰邊28相等有一個(gè)角是29直角有一組鄰邊③相等有一個(gè)角是30直角有一組鄰邊③相等A.AC⊥BDB.AC=BDC.AC⊥BD且AC=BDD.3.(2023·東莞市校級(jí)模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=10,BC=6.E是邊CD的 ∠AFD=∠FCG,則AF的長(zhǎng)為 4.(2023·樂(lè)清市模擬)如圖，0是□ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，E,F,G分別是OA,OB,CD的中點(diǎn).(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形.(2)當(dāng)∠DEF=90°,AB=6,BC=4時(shí)，求四邊形DEFG的周長(zhǎng).方法2:正方形中的十字架模型1.(2023·宜城市模擬)七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD別為BO,DO的中點(diǎn)，連接MP,NF,沿圖中實(shí)線剪開(kāi)即可得到一副七巧板，則在剪開(kāi)之前，關(guān)于該圖形的下列說(shuō)法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②圖中的四邊形MPEB是菱形；③四邊形EFNB的面積占正方形ABCD面積的正確的有()2.(2023·沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)如圖，點(diǎn)E、F、G分別是正方形ABCD的邊AD、BC、AB上的點(diǎn)，連接DG,EF,GF.且EF=DG,DE=2AG,∠ADG的度數(shù)為α,則∠EFG的度數(shù)為()A.αB.2αC.45°-αD.453.(2023·天山區(qū)校級(jí)二模)如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不含B,C兩點(diǎn)),將△ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處；在CD上有一點(diǎn)M,使得將△CMP沿直線MP翻折后，點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處，直線PE交CD于點(diǎn)N,連接MA,NA.則以下結(jié)論中正確的是()①線段AM長(zhǎng)度的最小值為5;②四邊形AMCB的面積最大值為10;④當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，AE是線段NP的垂直平分線.A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④4.(2023·浙江模擬)如圖，正方形ABCD中，AE=DF,AF與BE相交于點(diǎn)H,點(diǎn)0為BD中點(diǎn)，連結(jié)OH,若DG=OG,則的值為()5.(2023·雙峰縣三模)如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊BC,AB的中點(diǎn)，連接AE,DF交于點(diǎn)0,將△ABE沿AE翻折，得到△AGE,延長(zhǎng)EG交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接CG.有以下結(jié)論：其中正確的有()6.(2023·金東區(qū)二模)如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD邊AB上的一點(diǎn)，連結(jié)CG,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CG,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE,過(guò)點(diǎn)G作GF⊥CG,EF和GF交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)CD交EF于點(diǎn)H,連結(jié)GH,以HD和DA為邊作矩形ADHI.記△CEH的面積為s?,△GHF的面積為S?,矩形ADHI的面積為S?,若AB=4,S?+S?-S?=3,則CE=7.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的一點(diǎn)，且CE=DF,AF、DE相交于點(diǎn)0,BO=BA,則OC的值為_(kāi)8.(2023·雁塔區(qū)校級(jí)三模)如圖，在正方形ABCD中，AB=6,E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且EF=3,連接EF,DE,DF,過(guò)點(diǎn)D作DDM=DE,連接CN,MN,CM,則線段CN長(zhǎng)度的最小值為9.(2023·南關(guān)區(qū)四模)【問(wèn)題提出】如圖①,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F,G分別在邊BC,AB,CD上，GF⊥AE.請(qǐng)判斷AE與GF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【類比探究】如圖②,在矩形ABCD中，,將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG,EP交CD于點(diǎn)H,連結(jié)AE交GF于點(diǎn)0.則GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)【拓展應(yīng)用】在(2)的條件下，若,GF=3√5,則CE的長(zhǎng)為10.(2023·遵義模擬)【問(wèn)題探究】如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊DC、BC上，且AE⊥DF,求證：AE=DF.【拓展應(yīng)用】如圖3,在平行四邊形ABCD中，AB=m,BC=n,點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，當(dāng)∠EFC與∠MNC的度數(shù)之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，有試寫(xiě)出其數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.圖1圖2圖311.(2023·嘉魚(yú)縣模擬)【問(wèn)題探究】如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)F、G分別在邊BC、CD上，且AF⊥BG于點(diǎn)P,求證AF=BG;【知識(shí)遷移】如圖2,矩形ABCD中，AB=m,BC=n,點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于點(diǎn)P.求的值；【拓展應(yīng)用】如圖3,在四邊形ABCD中，∠ABC=90°,∠BDC=120°,DB=DC,點(diǎn)E、F分別在線段AB、BC上，且CE⊥DF于點(diǎn)P.請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.(圖1)(圖2)(圖3)方法3:四邊形中的對(duì)角互補(bǔ)模型1.(2023·寧陽(yáng)縣二模)在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°,對(duì)角線AC平分∠BAD.(1)如圖1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,試探究邊AD、AB與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系為 ;(2)如圖2,若將(1)中的條件“∠B=90°”去掉，(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3,若∠DAB=90°,若AD=3,AB=7,求線段AC的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積.2.(2023·雨花區(qū)校級(jí)二模)在00中，弦CD平分圓周角∠ACB,連接AB,過(guò)點(diǎn)D作DE//AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：DE是00的切線；(3)P是弦AB下方圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP和BP,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BP于點(diǎn)H,請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的比值是否改變，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出比值.3.(2023·肥城市校級(jí)模擬)定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形.的平分線交00于點(diǎn)D,連接AD,CD.求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；(2)如圖2,在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB=AD,連接AC,AC是否平分∠BCD?請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)如圖3,在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB=AD,其外角∠EAD的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,圖1圖2圖3一.多邊形內(nèi)角與外角(共2小題)1.(2023·濟(jì)寧)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°,則這個(gè)多邊形是邊形.2.(2023·揚(yáng)州)如果一個(gè)多邊形每一個(gè)外角都是60°,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為3.(2023·淮安)如圖，3個(gè)大小完全相同的正六邊形無(wú)縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)得到△ABC,則tan∠ACB的值是·三.平行四邊形的性質(zhì)(共2小題)4.(2023·福建)如圖，在□ABCD中，0為BD的中點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)0且分別交AB,CD于點(diǎn)E,F.若AE=10,則CF的長(zhǎng)為_(kāi)5.(2023·涼山州)如圖，在oABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,∠CAB=∠ACB,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AB交AC于點(diǎn)E.四.平行四邊形的判定(共1小題)6.(2023·邵陽(yáng))如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,平行四邊形，則下列正確的是()A.AD=BCB.∠ABD=∠BDCC.五.平行四邊形的判定與性質(zhì)(共2小題)7.(2023·自貢)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M,N若添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD分別在邊AB,CD上，且AM=CN.8.(2023·杭州)如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E,F在對(duì)角線BD上，且BE=EF=FD,連接AE,EC,CF,FA.(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形.(2)若△ABE的面積等于2,求△CFO的面積.六.菱形的性質(zhì)(共4小題)9.(2023·湘潭)如圖，菱形ABCD中，連接AC,BD,若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為()A.20°B.60°C.70°10.(2023·麗水)如圖，在菱形ABCD中，AB=1,∠DAB=60°,則AC的長(zhǎng)為()12.(2023·浙江)如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E,AF⊥CD于點(diǎn)F,連結(jié)EF.(2)若∠B=60°,求∠AEF的度數(shù).七.菱形的判定(共3小題)13.(2023·深圳)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=6,將線段AB水平向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段EF,若四邊形ECDF為菱形時(shí)，則a的值為()A.114.(2023·齊齊哈爾)如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,ACIBD于點(diǎn)0.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：_,使四邊形ABCD成為菱形.15.(2023·湘西州)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BM//DN,且分別交對(duì)角線AC于(1)求證：∠DMN=∠BNM;(2)若∠BAC=∠DAC.求證：四邊形BMDN是菱形八.菱形的判定與性質(zhì)(共1小題)16.(2023·云南)如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE=AF.(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若∠ABC=60°,△ABE的面積等于4√3,求平行線AB與DC間的距離.九.矩形的性質(zhì)(共6小題)17.(2023·臺(tái)灣)如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,且有一點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著B(niǎo)D往D點(diǎn)移動(dòng)，若過(guò)P點(diǎn)作AB的垂線交AB于E點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作AD的垂線交AD于F點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度最小為多少()18.(2023·臺(tái)州)如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=6.在邊AD上取一點(diǎn)E,使BE=BC,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE,垂足為點(diǎn)F,則BF的長(zhǎng)為19.(2023·蘭州)如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,CD//0E,直線CE是線段OD的垂直平分線，CE分別交OD,AD于點(diǎn)F,G,連接DE.(1)判斷四邊形OCDE的形狀，并說(shuō)明理由；20.(2023·懷化)如圖，矩形ABCD中，過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)0作BD的垂線EF,分別交AD,(1)證明：△BOF≌△DOE;(2)連接BE、DF,證明：四邊形EBFD是菱形.21.(2023·溫州)如圖，已知矩形ABCD,點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EF交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連結(jié)AF交EH于點(diǎn)G,GE=GH.(1)求證：BE=CF;22.(2023·隨州)如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,DE//AC,CE//BD.(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)若BC=3,DC=2,求四邊形OCED的面積.十.矩形的判定(共2小題)23.(2023·上海)在四邊形ABCD中，AD//BC,AB=CD.下列說(shuō)法能使四邊形ABCD為矩形的是()A.AB//CDB.AD=BCC.∠A=∠BD.∠A=∠D24.(2023·新疆)如圖，AD和BC相交于點(diǎn)0,∠ABO=∠DCO=90°,OB=0C,點(diǎn)E、F分別是AO、DO的中點(diǎn).(1)求證：OE=OF;(2)當(dāng)∠A=30°時(shí)，求證：四邊形BECF是矩形.十一.矩形的判定與性質(zhì)(共1小題)25.(2023·大慶)如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點(diǎn)，連接AC,AE,延長(zhǎng)AE,BC交于點(diǎn)F,連接DF,∠ACF=90°.(1)求證：四邊形ACFD是矩形；(2)若CD=13,CF=5,求四邊形ABCE的面積.十二.正方形的性質(zhì)(共4小題)26.(2023·攀枝花)如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PF⊥AD27.(2023·安徽)如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，EF⊥AB于點(diǎn)F,連接DE并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)M,交邊AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若AF=2,FB=1,則MG=()28.(2023·棗莊)如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,E為BC上一點(diǎn)， CE=7,F為DE的中點(diǎn)，若△CEF的周長(zhǎng)為32,則OF的長(zhǎng)為· 29.(2023·紹興)如圖，在正方形ABCD中，G是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)(與點(diǎn)B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分別為垂足.連接EF,AG,并延長(zhǎng)AG交EF于點(diǎn)H.(1)求證：∠DAG=∠EGH;(2)判斷AH與EF是否垂直，并說(shuō)明理由.十三.四邊形綜合題(共8小題)30.(2023·衡陽(yáng))[問(wèn)題探究](1)如圖1,在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0.在線段AO上任取一點(diǎn)P(端點(diǎn)除外),連接PD、PB.①求證：PD=PB;②將線段DP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處.當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化?請(qǐng)說(shuō)明理由；③探究AQ與OP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.[遷移探究](2)如圖2,將正方形ABCD換成菱形ABCD,且∠ABC=60°,其他條件不變.試探究AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.31.(2023·阜新)如圖，在正方形ABCD中，線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CE處，旋轉(zhuǎn)角為α,點(diǎn)F在直線DE上，且AD=AF,連接BF.(1)如圖1,當(dāng)0°<α<90°時(shí)，①求∠BAF的大小(用含α的式子表示).(2)如圖2,取線段EF的中點(diǎn)G,連接AG,已知AB=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出在線段CE旋轉(zhuǎn)過(guò)32.(2023·徐州)如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為4,將它剪去4個(gè)全等的直角三角形，得到四邊形EFGH.設(shè)AE的長(zhǎng)為x,四邊形EFGH的面積為y.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)AE取何值時(shí)，四邊形EFGH的面積為10?(3)四邊形EFGH的面積是否存在最小值?若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.33.(2023·蘭州)綜合與實(shí)踐：【思考嘗試】(1)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在矩形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，DF⊥CE于點(diǎn)F,GD⊥DF,AG⊥DG,AG=CF,試猜想四邊形ABCD的形狀，并【實(shí)踐探究】(2)小睿受此問(wèn)題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問(wèn)題：如圖2,在正方形ABCD中，示線段FH,AH,CF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題；【拓展遷移】(3)小博深入研究小睿提出的這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3,在BH,可以用等式表示線段CM,BH的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題.圖1圖2圖3一行的“E”是全等圖形且對(duì)應(yīng)著同一個(gè)視力值，不同的檢測(cè)距離需要不同的視力表.素材1國(guó)際通用的視力表以5米為檢測(cè)距離，任選視行的“E”形圖邊長(zhǎng)b(mm),在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)如圖1.探究1檢測(cè)距離為5米時(shí)，歸納n與b的關(guān)系式，并求視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的形圖邊長(zhǎng).素材2圖2為視網(wǎng)膜成像示意圖，在檢測(cè)視力時(shí)，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫探究2當(dāng)n≥1.0時(shí)，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的分辨視角θ的范圍.素材3如圖3,當(dāng)θ確定時(shí)，在A處用邊長(zhǎng)為b,的I號(hào)“E”b?的Ⅱ號(hào)“E”測(cè)得的視力相同.探究3若檢測(cè)距離為3米，求視力值1.2所對(duì)應(yīng)行的“E”形圖邊長(zhǎng).35.(2023·徐州)【閱讀理解】如圖1,在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得AC2=a2+b2同理BD2=a2【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b,則上述結(jié)論是否依然成立?請(qǐng)加以判斷，并說(shuō)明理由.【拓展提升】如圖3,已知BO為△ABC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c.【嘗試應(yīng)用】如圖4,在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12,點(diǎn)P在邊AD上，則PB2+PC2的最小值為36.(2023·寧夏)綜合與實(shí)踐：?jiǎn)栴}背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開(kāi)探究.探究發(fā)現(xiàn)如圖1,在△ABC中，∠A=36°,AB=AC.(1)操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,折痕交AC于點(diǎn)D,連接DE,DB,則∠BDE=°,設(shè)AC=1,BC=x,那么AE=(用含x的式子表示);(2)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：這個(gè)比值被稱為黃金比.在(1)的條件下試證明：拓展應(yīng)用當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形.例如，圖1中的△ABC是黃金三角形.如圖2,在菱形ABCD中，∠BAD=72°,AB=1.求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng).37.(2023·山西)綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為△ABC和△DFE,其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A=∠D,將△ABC和△DFE按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)B與點(diǎn)F重合(標(biāo)記為點(diǎn)B).當(dāng)∠ABE=∠A時(shí)，延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)G,試判斷四邊形BCGE的形狀，并說(shuō)明理由.數(shù)學(xué)思考：(1)請(qǐng)你解答老師提出的問(wèn)題；深入探究：(2)老師將圖2中的△DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在△ABC內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問(wèn)題.①“善思小組”提出問(wèn)題：如圖3,當(dāng)∠ABE=∠BAC時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,BM與AC交于點(diǎn)N.試猜想線段AM和BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.請(qǐng)你解答此問(wèn)②“智慧小組”提出問(wèn)題：如圖4,當(dāng)∠CBE=∠BAC時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H,若BC=9,AC=12,求AH的長(zhǎng).請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果.…T6…………起DoALB習(xí)6a矩形、菱形、矩形、菱形、正方形果0nmBccBB矩矩形、菱形、正方形對(duì)角線方法1:中點(diǎn)四邊形模型一.選擇題(共2小題)1.(2023·佛山模擬)如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).若四邊形EFGH為菱形，則對(duì)角線AC、BD應(yīng)滿足條件是()A.AC⊥BDB.AC=BDC.AC⊥BD且AC=BDD.不確定【分析】滿足的條件應(yīng)為：AC=BD,把AC=BD作為已知條件，根據(jù)三角形的中位線定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根據(jù)等量代換和平行于同一條直線的兩直線平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH為平行四邊形，又EH等于BD的一半且AC=BD,所以得到所證四邊形的鄰邊EH與HG相等，所以四邊形EFGH為菱形.【解答】解：滿足的條件應(yīng)為：AC=BD.理由如下：∵E,F,G,H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，同理EF//AC且EF=AC,同理可得則HG//EF且HG=EF,∴四邊形EFGH為平行四邊形，又AC=BD,所以EF=EH,∴四邊形EFGH為菱形.【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及菱形的判斷進(jìn)行證明，是一道綜合題.2.(2023·晉中模擬)如圖，順次連接正六邊形紙板ABCDEF各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的正六邊形.若將一個(gè)飛鏢隨機(jī)投擲到正六邊形紙板ABCDEF上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為()【分析】通過(guò)題目可以容易的得出陰影部分是一個(gè)正六邊形，要想計(jì)算飛鏢落在陰影區(qū)域的概率，只要計(jì)算陰影部分的面積占總面積的比例即可.【解答】解：∵六邊形A'B'C'D'E'F'心六邊形ABCDEF,【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了概率的應(yīng)用，運(yùn)用幾何面積的比來(lái)表示概率.二.填空題(共1小題)3.(2023·東莞市校級(jí)模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=10,BC=6.E是邊CD的【分析】根據(jù)題意構(gòu)造出包含AF的圖形，通過(guò)推斷證明該圖形的特征，利用四邊形及三角形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算得出答案.【解答】解：5,AD=BC=6;DC//AB即DE//AH,A平行四邊形對(duì)邊平行且相等).∵EF//AD即EH//AD,∴四邊形AHED是平行四邊形(平行四邊形的判定);EH//CB(平行的傳遞性),(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半),∴∠AFH=180°-∠AFE=90°,即△AFH是一個(gè)直角三角形.∴AF2+HF2=AH2,即AF2+12=52,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何構(gòu)圖的能力，平行四邊形的性質(zhì)，三角形勾股定理的運(yùn)用.三.解答題(共1小題)4.(2023·樂(lè)清市模擬)如圖，0是□ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，E,F,G分別是OA,OB,CD的中點(diǎn).(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形.(2)當(dāng)∠DEF=90°,AB=6,BC=4時(shí)，求四邊形DEFG的周長(zhǎng).【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定方法進(jìn)行證明.(2)分析四邊形的四條邊，先通過(guò)已知數(shù)據(jù)利用圖形的相關(guān)性質(zhì)算出EF的值，然后通過(guò)構(gòu)造DE延長(zhǎng)線段所在的三角形間接求出DE,從而算出周長(zhǎng).【解答】(1)證明：∵E,F,G分別是OA,OB,CD的中點(diǎn)，∴△OAB中，EF//AB且(三角形中位線定理);∴DC//AB,DC=AB(平行四邊形的對(duì)邊平行相等),,DG//AB//EF,∴四邊形DEFG是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形).解：如圖所示，∠DEF=90°時(shí)，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)H.∵AC、BD分別是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，BC=4,(平行四邊形對(duì)角線相互平分),AD=4(平行四邊形對(duì)邊相等).∵點(diǎn)E、F分別是OA、AB的中點(diǎn)，AB=6,∴△OAB中，EF//AB且(三角形中位線定理);∵點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，∴△DEF∽△DHB(兩個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形相似),答：四邊形DEFG的周長(zhǎng)是6+3√3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何構(gòu)圖能力、平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)、三角形相似、勾股定理.方法2:正方形中的十字架模型1.(2023·宜城市模擬)七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對(duì)角線，E,F分別為BC,CD的中點(diǎn)，分別交BD,EF于0,P兩點(diǎn)，M,N分別為BO,DO的中點(diǎn)，連接MP,NF,沿圖中實(shí)線剪開(kāi)即可得到一副七巧板，則在剪開(kāi)之前，關(guān)于該圖形的下列說(shuō)法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②圖中的四邊形MPEB是菱形；③四邊形EFNB的面積占正方形ABCD面積的.正確的有()A.①③B.①②C.只有①D.②③【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)可判定△ABD,△CBD、△OAB,△OAD均為等腰直角三角形，再判定EF是△BCD的中位線，F(xiàn)N為△OCD的中位線，MP為△OBC的中位線，據(jù)此可判定△DFN、△OMP均為直角三角形，據(jù)此可對(duì)說(shuō)法①進(jìn)行判定；根據(jù)三角形的中位線得,由BC≠OB可得MP≠EP,據(jù)此可對(duì)說(shuō)法②進(jìn)設(shè)ON=a,則BD=4a,NF=a,EF=2a,BN=3a,然后分別求出正方形的面積和四邊形EFNB的面積即可對(duì)說(shuō)法③進(jìn)行判定.【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴△ABD,△CBD、△OAB,△OAD均為等腰直角三角形，∴EF是△BCD的中位線，△CEF為等腰直角三角形，連接PC,則點(diǎn)A,0,P,c在同一條直線上，∵點(diǎn)N為OD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，∵點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)P//OD,綜上所述：說(shuō)法①正確；又BC≠OB,∴四邊形MPEB不是菱形，故說(shuō)法②不正確；設(shè)ON=a,則BD=4a,NF=a,,BN=3a∴四邊形EFNB為梯形，∴說(shuō)法③不正確.綜上所述：說(shuō)法正確的只是①.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，梯形的判定，正方形的面積、梯形的面積等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解決文題的關(guān)鍵.2.(2023·沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)如圖，點(diǎn)E、F、G分別是正方形ABCD的邊AD、BC、AB上的點(diǎn)，連接DG,EF,GF.且EF=DG,DE=2AG,∠ADG的度數(shù)為α,則∠EFG的度數(shù)A.aB.2αC.45°-α【分析】點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H,則四邊形CDHF為矩形，易通過(guò)HL證明Rt△FHE≌Rt△DAG,得到EH=AG,∠HFE=∠ADG=α,根據(jù)DE=2AG可得EH=DH=AG=CF,于是得到BG=BF,則△BFG為等腰直角三角形，∠BFG=45°,由∠BFG+∠EFG+∠HFE=90°即可求解.【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H,則四邊形CDHF為矩形，∴AB-AG=BC-CF,即BG=BF,∴△BFG為等腰直角三角形，∠BFG=45°,【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.3.(2023·天山區(qū)校級(jí)二模)如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不含B,C兩點(diǎn)),將△ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處；在CD上有一點(diǎn)M,使得將△CMP沿直線MP翻折后，點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處，直線PE交CD于點(diǎn)N,連接MA,NA.則以下結(jié)論中正確的是()①線段AM長(zhǎng)度的最小值為5;②四邊形AMCB的面積最大值為10;④當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，AE是線段NP的垂直平分線.A.①②③B.①②【分析】①設(shè)BP=x,則PC=4-x,首先證△CMP和△BPA相似得,再過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AB于點(diǎn)G,由勾股定理得AM=√AG2+42,據(jù)此得當(dāng)AG為最小時(shí)，AM為最小，然后求出AG的最小值即可得到AM的最小值，進(jìn)而可對(duì)結(jié)論①②設(shè)四邊形AMCB的面積為s,則,然后將,AB=BC=4代入取一點(diǎn)K,使AK=PK,則△PKB為等腰直角三角形，則BP=BK=x,繼而可得出PK=√2x,最后由AB=AK+BK=4可求出x的值，進(jìn)而可對(duì)結(jié)論③進(jìn)行判斷；用勾股定理求出x的值，進(jìn)而可對(duì)結(jié)論④進(jìn)行判斷.【解答】解：①∵四邊形ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為4,設(shè)BP=x,則PC=4-x,,過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AB于點(diǎn)G,∴當(dāng)x=2時(shí)，AG為最小，最小值為3,即當(dāng)AG=3時(shí)，AM為最小，②設(shè)四邊形AMCB的面積為s,由①可知：),AB=BC=4,∴當(dāng)x=2時(shí)，s為最大，最大值為10,∴四邊形AMCB的面積最大值為10.AE=AD,AN=AN,在AB上取一點(diǎn)K,使AK=PK,設(shè)NE=y,即：22+(4-x)2=(x+2)2,∴AE不是線段NP的垂直平分線，故結(jié)論④不正確.綜上所述：正確的結(jié)論是①②③.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，二次函數(shù)的最值等知識(shí)，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，難點(diǎn)是正確的添加輔助線，構(gòu)造矩形、等腰直角三角形.4.(2023·浙江模擬)如圖，正方形ABCD中，AE=DF,AF與BE相交于點(diǎn)H,點(diǎn)0為BD中點(diǎn)，連結(jié)OH,若DG=OG,則的值為()【分析】先根據(jù)題意得到三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到線段相等，作輔助線構(gòu)造直角三角形，設(shè)DF=k,然后根據(jù)勾股定理表示出OH、BH的長(zhǎng)度即可解答.∵點(diǎn)0為BD中點(diǎn)，DG=OG,在Rt△AHB中，根據(jù)勾股定理過(guò)點(diǎn)0作OP⊥AB于點(diǎn)P,過(guò)H作HN⊥AB于點(diǎn)N,過(guò)0作OM⊥NH交NH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,如圖：則四邊形OMNP為矩形，根據(jù)勾股定理可得【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是作輔助線，用參數(shù)表示出OH、BH的長(zhǎng)度.5.(2023·雙峰縣三模)如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊BC,AB的中點(diǎn)，連接AE,DF交于點(diǎn)0,將△ABE沿AE翻折，得到△AGE,延長(zhǎng)EG交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接CG.有以下結(jié)論：②AH=EH;③CG//AE;其中正確的有()【分析】①根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=AB=BC,∠DAB=∠B=90°,從而可證△DAF≌△ABE,進(jìn)而可得∠BAE=∠ADF,然后可得∠BAE+∠AFD=90°,即可解答；②根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD//BC,從而可得∠DAC=∠AEB,再利用折疊可得∠AEB=∠AEG,進(jìn)而可得∠DAE=∠AEG,即可解答；③由折疊得：C,從而可得進(jìn)而可得∠AEB=∠GCE,即可解答；④在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE,然后證明△AOFO△ABE,利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答.【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∵四邊形ABCD是正方形，),GE=BE,∵∠B=90°,AB=4,故④正確；所以，以上結(jié)論，正確的有4個(gè)，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換(折疊問(wèn)題),三角形的中位線定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6.(2023·金東區(qū)二模)如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD邊AB上的一點(diǎn)，連結(jié)CG,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CG,交EF于點(diǎn)H,連結(jié)GH,以HD和DA為邊作矩形ADHI.記△CEH的面積為S?,△GHF的面積為S?,矩形ADHI的面積為S?,若AB=4,S?+S?-S?=3,則CE=√26.【分析】先證四邊形GCEF為矩形，再證△ECD和△GBC全等，從而得CE=CG,進(jìn)而可判定矩整理得x2-6a-11=0,再證△CDE和△CEH相似得x2=4a+16,據(jù)此可求出a的值，進(jìn)而可求得CE的長(zhǎng).∴矩形GCEF為正方形，將x2=4(a+4)代入x2-6a-11=0【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的全等及性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形、矩形、正方形的面積，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，難點(diǎn)是設(shè)置適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，利用面積公式和相似三角形的性質(zhì)找出相關(guān)線段之間的關(guān)系.7.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的一點(diǎn)，且CE=DF,AF、DE相交于點(diǎn)0,BO=BA,則OC的值為進(jìn)而得∠AOD=90°,再證△BAH≌△ADO得AH=DO,進(jìn)而得AH=OH=DO,AO=2,再利用三角形的面積公式求出,繼而可求出,進(jìn)而可得OC的長(zhǎng).【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥0A于點(diǎn)H,過(guò)0作OG⊥CD于點(diǎn)G,∵四邊形ABCD為正方形，由勾股定理得：AF=√AD2+DF2=2√5,由三角形的面積公式得：由勾股定理得：由勾股定理得：故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比8.(2023·雁塔區(qū)校級(jí)三模)如圖，在正方形ABCD中，AB=6,E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是正DM=DE,連接CN,MN,CM,則線段CN長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)3√5-3_.【分析】首先證明△NDM和△FDE全等，從而得出DM=DE,MN=EF=3,過(guò)點(diǎn)M作MP⊥CD于點(diǎn)P,再證△DMP和△EDC全等，從而MP=CD=6,DP=CE=3,然后利用勾股定理求出CM,最后根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出CN+MN..CM,據(jù)此即可求出CN的最小值.【解答】解：∵DN⊥DF,DM⊥DE,即：∠EDN+∠NDM=∠FDE+∠EDN=90°,∵四邊形ABCD為正方形，AB=6,則∠MPD=∠DCE=90°,∠DMP+∠CDM=90°,【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，線段的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，難點(diǎn)是根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”構(gòu)造不等式CN+MN...CM,從而求出CN的最小值.三.解答題(共3小題)9.(2023·南關(guān)區(qū)四模)【問(wèn)題提出】如圖①,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F,G分別在邊BC,AB,CD上，GF⊥AE.請(qǐng)判斷AE與GF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【類比探究】如圖②,在矩形ABCD中，將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG,EP交CD于點(diǎn)H,連結(jié)AE交GF于點(diǎn)0.則GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系為【拓展應(yīng)用】在(2)的條件下，若,GF=3√5,則CE的長(zhǎng)為【類比探究】過(guò)F作FM⊥DC,證明△ABE△FMG即可解答；【拓展應(yīng)用】由可設(shè)BE=4x,EF=5x,則AF=5x,BF=3x,由(2)可得從而可得AE,在Rt△ABE中根據(jù)勾股定理即可求出BE的長(zhǎng)，BC,從而求出CE.【解答】解：【問(wèn)題提出】AE=GF,理由如下：∴∠ABE=∠FMG=90°,AB=BC=FM,∴△ABE△FGH(ASA),【類比探究】理由如下：【拓展應(yīng)用】∵由折疊性質(zhì)可知AF=EF,設(shè)BE=4x,EF=5x,則AF=5x,BF=3x,AB=8x,故答案為：2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.10.(2023·遵義模擬)【問(wèn)題探究】如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊DC、BC上，且AE⊥DF,求證：AE=DF.【知識(shí)遷移】如圖2,在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，且BE⊥MN,求的值.【拓展應(yīng)用】如圖3,在平行四邊形ABCD中，AB=m,BC=n,點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，當(dāng)∠EFC與∠MNC的度數(shù)之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，有試寫(xiě)出其數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【分析】【問(wèn)題探究】利用ASA證明△ADE≌△DCF,得AE=DF;【知識(shí)遷移】過(guò)點(diǎn)N作NO⊥AB于點(diǎn)0,利用△ABEO△ONM,得即可得出答案；【拓展應(yīng)用】作AG//EF,交BC于G,NH//BC,交AB于H,說(shuō)明△ABG∽△NHM,得,且四邊形AEFG、HNCB是平行四邊形，進(jìn)而解決問(wèn)題.【解答】【問(wèn)題探究】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴△ADE≥△DCF(ASA),【知識(shí)遷移】解：如圖，過(guò)點(diǎn)N作NO⊥AB于點(diǎn)0,【拓展應(yīng)用】解：當(dāng)∠EFC=∠MNC時(shí)，作AG//EF,交BC于G,NH//BC,交AB于H,AG//EF,AD//BC,是平行四邊形，【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形中的十字架模型是解題的關(guān)鍵.11.(2023·嘉魚(yú)縣模擬)【問(wèn)題探究】如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)F、G分別在邊BC、CD上，且AF⊥BG于點(diǎn)P,求證AF=BG;【知識(shí)遷移】如圖2,矩形ABCD中，AB=m,BC=n,點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于點(diǎn)P.求的值；【拓展應(yīng)用】如圖3,在四邊形ABCD中，∠ABC=90°,∠BDC=120°,DB=DC,點(diǎn)E、F分別在線段AB、BC上，且CE⊥DF于點(diǎn)P.請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.(圖1)(圖2)(圖3)【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用ASA證明△ABF≌△BCG,得AF=BG;(3)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H,交CE于點(diǎn)M,首先說(shuō)明△CBE∽△DHF,得,再利用△BDC是等腰三角形，得出CH=√3DH,進(jìn)而解決問(wèn)題.【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，(2)解：作EM⊥DC于點(diǎn)M,作HNIBC于點(diǎn)N,(圖2即則∠DHF=∠ABC=90°,【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了正方形和矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)一.解答題(共3小題)1.(2023·寧陽(yáng)縣二模)在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°,對(duì)角線AC平分∠BAD.(1)如圖1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,試探究邊AD、AB與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系為 AD+AB=AC;(2)如圖2,若將(1)中的條件“∠B=90°”去掉，(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3,若∠DAB=90°,若AD=3,AB=7,求線段AC的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積.【分析】(1)先證Rt△DAC≌Rt△BAC得出AD=AB,再求∠DCA的度數(shù)，得出,進(jìn)而求出AD+AB=AC;(2)先畫(huà)輔助線：以c為頂點(diǎn)，AC為一邊作∠ACE=60°,∠ACE的另一邊交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,作出輔助線后證明△ACE為等邊三角形，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°和，∠B+∠D=180°求出∠DCB=60°,進(jìn)而證明△CAD≌△CEB,得出AD=BE,最后得出AD+AB=AC;(3)先證△ACE為等腰直角三角形，再證明△ADC≌△E求四邊形ABCD的面積可以轉(zhuǎn)化為求△ACE的面積.【解答】解：(1)∵∠B+∠D=180°,∠B=90°,∵對(duì)角線AC平分∠BAD,由(1)可得：∠CAB=60°,∵∠D+∠ABC=180°,∠∵∠ABC+∠D+∠DAC+∠DCB=360°,∵對(duì)角線AC平分∠BAD,∠BAD=90°,AC2+CE2=AE2,角形的知識(shí)，有一定的難度.2.(2023·雨花區(qū)校級(jí)二模)在00中，弦CD平分圓周角∠ACB,連接AB,過(guò)點(diǎn)D作DE//AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：DE是00的切線；(2)若,且B是CE的中點(diǎn)，o0的直徑是√10,求D(3)P是弦AB下方圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP和BP,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BP于點(diǎn)H,請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的比值是否改變，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出比值.【分析】(1)利用垂徑定理即可證得結(jié)論；(2)構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理求出線段長(zhǎng)度即可求解；(3)利用相似三角形，直角三角形，找到角之間的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系進(jìn)行求解.【解答】證明：(1)如圖1,連接OD交AB于點(diǎn)F,連接OA,OB,AD,解：(2)如圖2,連接OC,OD,OE,過(guò)點(diǎn)0作OF⊥BC于點(diǎn)F,設(shè)CF=x,OF=3x,解得：∵B是CE的中點(diǎn)，(3)解法一：如圖3,延長(zhǎng)BP至Q使得PQ=AP,連接AQ,oC,連接OB,BD,連接OD交AB于點(diǎn)K,連接HK,∵A,P,B,c四點(diǎn)共圓，∵DE是00的切線，∴K是AB的中點(diǎn)，∴B,K,H,D四點(diǎn)共圓，解法二：如圖4,在BP上截取BM=AP,連接DM,BD,DP,AD,∵弦CD平分圓周角∠ACB,∴HP=HM,∴BP=BM+PM=BM+2HM,∵BH=BM+HM,解法三：如圖：連接DA,DB,DP,CD,將△APD沿PD翻折得到△A'PD,圖3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，圓內(nèi)接四邊形，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，屬于中考?jí)狠S題.3.(2023·肥城市校級(jí)模擬)定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形.(1)如圖1,點(diǎn)A,B,c在00上，∠ABC的求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；(2)如圖2,在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB=AD,連接AC,AC是否平分∠BCD?請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)如圖3,在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB=AD,其外角∠EAD的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,CD=10,AF=5,求DF的長(zhǎng).圖1圖2圖3【分析】(1)由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可知∠A+∠C=180°,∠ABC+∠ADC=180°,再證AD=CD,即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義得出結(jié)論；(2)過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E,AF垂直CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,證△ABE≌△ADF,得到AE=AF,根據(jù)角平分線的判定可得出結(jié)論；(3)連接AC,先證∠EAD=∠BCD,推出∠FCA=∠FAD,再證△ACF∽△DAF,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可求出DF的長(zhǎng).【解答】解：(1)證明：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，如圖2,過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E,AF垂直CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,∴AC是∠BCF的平分線，即AC平分∠BCD;(3)如圖3,連接AC,由(2)知，AC平分∠BCD,即【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義等補(bǔ)四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過(guò)自主學(xué)習(xí)來(lái)進(jìn)行探究，運(yùn)用一.多邊形內(nèi)角與外角(共2小題)1.(2023·濟(jì)寧)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°,則這個(gè)多邊形是五邊形.【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列方程并解方程即可.【解答】解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)為n,解得：n=5,即此多邊形為五邊形，故答案為：五.【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和公式，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握.2.(2023·揚(yáng)州)如果一個(gè)多邊形每一個(gè)外角都是60°,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360度即可求得外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù).∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6.故答案為：6.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和是360°是解題關(guān)鍵.二.平面鑲嵌(密鋪)(共1小題)3.(2023·淮安)如圖，3個(gè)大小完全相同的正六邊形無(wú)縫隙、不重疊的拼在一起，連接正【分析】以BH,HG,GD為邊，作正六邊形BHGDFE,,連接BD,DE,AD,由正六邊形性質(zhì)可得C,B,E共線，A,D,E共線；而∠BDE=∠EDG-∠BDG=90°-60°=30°,BD=2BE=2m=BC,故DE=√3BE=√3m=AD,CE=BC+BE=3m,從而【解答】解：以BH,HG,GD為邊，作正六邊形BHGDFE,,連接BD,DE,AD,如圖：由正六邊形性質(zhì)可得∠KDG=120°=∠AKD,AK=DK,設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為m,則BD=2BE=2m=BC,故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面鑲嵌問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義.三.平行四邊形的性質(zhì)(共2小題)4.(2023·福建)如圖，在□ABCD中，0為BD的中點(diǎn)，EF過(guò)點(diǎn)0且分別交AB,CD于點(diǎn)E,【分析】由平行線四邊形的性質(zhì)得到CD=AB,CD//AB,因此∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO,【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵0為BD的中點(diǎn)，故答案為：10.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由△DOF≌△BOE推出DF=BE,由平行線的性質(zhì)得到CD=AB,推出CF=AE.5.(2023·涼山州)如圖，在oABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,∠CAB=∠ACB,過(guò)點(diǎn)B(1)求證：AC⊥BD;【分析】(1)證AB=CB,得oABCD是菱形，再由菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；(2)由菱形的性質(zhì)得,AC⊥BD,再由勾股定理得OB=6,然后證△BOE△AOB,得即可得出結(jié)論.【解答】(1)證明：∵∠CAB=∠ACB,(2)解：由(1)可知，□ABCD是菱形，3,AC⊥BD,解得：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.四.平行四邊形的判定(共1小題)6.(2023·邵陽(yáng))如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,若添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD為平行四邊形，則下列正確的是()【分析】由平行四邊形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【解答】解：A、由AB//CD,AD=BC,不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)A不∴不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、由AB//CD,AB=AD,不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)c不符合題意；又∵AB//CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.五.平行四邊形的判定與性質(zhì)(共2小題)證：DM=BN.【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AB//CD,AB=CD,再證BM=DN,然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論.【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，即BM=DN,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明BM=DN是解題的關(guān)鍵.8.(2023·杭州)如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E,F在對(duì)角線BD上，且BE=EF=FD,連接AE,EC,CF,FA.(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形.(2)若△ABE的面積等于2,求△CFO的面積.【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得AO=CO,BO=DO,再證OE=OF,即可得出結(jié)論；(2)由平行四邊形的性質(zhì)可求解.【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，(2)解：∵BE=EF,【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.六.菱形的性質(zhì)(共4小題)9.(2023·湘潭)如圖，菱形ABCD中，連接AC,BD,若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為()A.20°B.60°C.70°【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.10.(2023·麗水)如圖，在菱形ABCD中，AB=1,∠【分析】連接BD交AC于點(diǎn)0,由菱形的性質(zhì)得0A=OC,∠BAO=30°,AC⊥BD,再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得,然后由勾股定理得,即可得出結(jié)論.,AC⊥BD,握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.11.(2023·牡丹江)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂A(1,0),∠DAB=60°,將菱形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°后，得到菱形AB?C?D?,則點(diǎn)C?的坐標(biāo)是_(1-√3,3)或(1+√3,-3)_.【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AD=AB=BC=CD解答.【解答】解：如圖所示：∵菱形ABCD的頂點(diǎn)A,B在x軸上，AB=2∴點(diǎn)C?的坐標(biāo)為(1-√3,3)或(1+√3,-3),故答案為：(1-√3,3)或(1+√3,-3).【點(diǎn)評(píng)】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答.12.(2023·浙江)如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E,AF⊥CD于點(diǎn)F,連結(jié)EF.(1)求證：AE=AF;(2)若∠B=60°,求∠AEF的度數(shù).【分析】(1)欲證明AE=AF,只需要證得△ABE≌△ADF即可； (2)根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)和全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理解答.【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，又∵AE⊥BC于點(diǎn)E,AF⊥CD于點(diǎn)F,∴△ABE≥△ADF(AAS).(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，由(1)知△ABE≌△ADF,∴△AEF是等邊三角形.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.13.(2023·深圳)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=6,將線段AB水平向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段EF,若四邊形ECDF為菱形時(shí)，則a的值為()A.1B.2【分析】證得四邊形ECDF為平行四邊形，當(dāng)CD=CD=4時(shí)，OECDF為為菱形，此時(shí)a=BE=BC-CE=6-4=2.【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵將線段AB水平向右平得到線段EF,∴四邊形ECDF為平行四邊形，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，平移的性質(zhì)，證得證得四邊形ECDF為平行四邊形，熟練掌握菱形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.14.(2023·齊齊哈爾)如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,AC⊥BD于點(diǎn)0.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：_AD//BC(AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等),使四邊形ABCD成為菱形.【分析】根據(jù)AD//BC或AB=CD或或ADB=∠CBD,證得四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)DO=BO,可證得四邊形ABCD是菱形.【解答】解：當(dāng)添加“AD//BC”時(shí)，∴四邊形ABCD是菱形.故答案為：AD//BC(或AB=CD或OB=OD或ADB=∠CBD等).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、直角全等三角形全等的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.15.(2023·湘西州)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BM//DN,且分別交對(duì)角線AC于(1)求證：∠DMN=∠BNM;(2)若∠BAC=∠DAC.求證：四邊形BMDN是菱形.【分析】(1)連接BD,交AC于點(diǎn)0,證明△BOM≌△DON,推出四邊形BMDN為平行四邊形，得到BN//DM,即可得證；(2)先證明四邊形ABCD是菱形，得到AC⊥BD,進(jìn)而得到MN⊥BD,即可得證.【解答】證明：(1)連接BD,交AC于點(diǎn)0,如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴△BOM≥△DON(ASA),∴四邊形BMDN為平行四邊形，(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形，∴平行四邊形BMDN是菱形.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì).熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵.八.菱形的判定與性質(zhì)(共1小題)16.(2023·云南)如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE=AF.(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若∠ABC=60°,△ABE的面積等于4√3,求平行線AB與DC間的距離.【分析】(1)根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等得到∠BAD=∠BCD,再根據(jù)AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，可得到∠DAE=∠BCF,再根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行得到∠DAE=∠AEB,于是有∠BCF=∠AEB,得出AE//FC,根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得四邊形AECF是平行四邊形，最后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；(2)連接AC,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可證得AB=EB,結(jié)合已知∠ABC=60°得到△ABE是等邊三角形，從而求出AB=AE=EB=EC=4,∠BAE=60°,再證得∠EAC=30°,即可得到∠BAC=90°,根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，從而得出平行線AB與DC間的距離.【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，(2)解：連接AC,即AB=AE=EB=4,即平行線AB與DC間的距離是4√3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形是此題的關(guān)鍵，理解平行線間的距離的定義，等邊三角形的性質(zhì)與判定.九.矩形的性質(zhì)(共6小題)17.(2023·臺(tái)灣)如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,且有一點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著B(niǎo)D往D點(diǎn)移動(dòng)，若過(guò)P點(diǎn)作AB的垂線交AB于E點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作AD的垂線交AD于F點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度最小為多少()【分析】連接AP、EF,依據(jù)PE⊥AB,PF⊥AD,∠A=90°,可得四邊形AEPF為矩形，借助矩形的對(duì)角線相等，將求EF的最小值轉(zhuǎn)化成AP的最小值，再結(jié)合垂線段最短，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求Rt△BAD斜邊上的高，利用面積法即可得解.【解答】解：如圖，連接AP、EF,∴四邊形AEPF為矩形.∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值.∵點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著B(niǎo)D往D點(diǎn)移動(dòng)，下面求此時(shí)AP的值，故本題選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短及面積法求直角三角形斜邊上的高，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用.18.(2023·臺(tái)州)如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=6.在邊AD上取一點(diǎn)E,使BE=BC,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE,垂足為點(diǎn)F,則BF的長(zhǎng)為_(kāi)2√5.【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出∠AEB=∠FBC,結(jié)合已知BE=BC,利用AAS證得△ABE和△FCB全等，得出FC=AB=4,再根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=AD=6,從而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的長(zhǎng).【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，在RtAFCB中，由勾股定理得BF=√BC2-FC2=√62-42=2√5,故答案為：2√5.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟知矩形的對(duì)邊平行且相等，四個(gè)角都是直角.19.(2023·蘭州)如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,CD//OE,直線CE是線段OD的垂直平分線，CE分別交OD,AD于點(diǎn)F,G,連接DE.(1)判斷四邊形OCDE的形狀，并說(shuō)明理由；【分析】(1)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得FD=FO,ED=OE,CD=CO,再證△FDC和△FOE全等得CD=OE,據(jù)此可得ED=OE=CD=CO,進(jìn)而可判定四邊形OCDE的形狀；(2)先證△ODC為等邊三角形得DO=CD=4,∠ODC=60°,進(jìn)而DF=2,據(jù)此再分別求出CF,GF,進(jìn)而可得EG的長(zhǎng).【解答】解：(1)四邊形OCDE是菱形，理由如下：∵CE是線段OD的垂直平分線，∴△FDC△FOE(ASA),又ED=OE,CD=CO,(2)∵四邊形ABCD為矩形，∵CE是線段OD的垂直平分線，由(1)可知：四邊形OCDE是菱形，【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解答此題關(guān)鍵是理解菱形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，數(shù)量利用勾股定理銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算.20.(2023