高中數(shù)學(xué)平面空間向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納

一.向量的基本概念與基本運(yùn)算

1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。诹阆蛄浚洪L(zhǎng)度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行③單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量④平行向量（共線向量）⑤相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量2、向量加法：設(shè)ABa,BCb，則a+b=ABBC=AC（1）0aa0a；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；．ABBCCDPQQRAR，但這時(shí)必須“首尾相連”3、向量的減法：①相反向量：與a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做a②向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，③作圖法：ab可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量（a、b有共同起點(diǎn)）4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）aa；（Ⅱ）當(dāng)0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，λa的方向與a的方向

相反；當(dāng)0時(shí)，a0，方向是任意的5、兩個(gè)向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b=a6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一個(gè)平面2(1)若ax1,y1,bx2,y2，則abx1x2,y1y2(2)若Ax1,y1,Bx2,y2，則ABx2x1,y2y1

(3)若a=(x,y)，則a=(x,y)(4)若ax1,y1,bx2,y2，則a//bx1y2x2y10(5)若ax1,y1,bx2,y2，則abx1x2y1y2若ab，則x1x2y1y20

三．平面向量的數(shù)量積1已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，則a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定0a0ab2b︱cos=∈R，稱(chēng)為向量b在a投影的絕對(duì)值稱(chēng)為射影|a|aa3數(shù)量積的幾何意義：·b等于的長(zhǎng)度與b在a方向上的投影的乘積224aaa|a|5

22ababab

222aba2abb22ab；22a2abb6①交換律成立：abba②對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：abababR

③分配律成立：abcacbccab

特別注意：（1）結(jié)合律不成立：abcabc；

（2）消去律不成立abac不能bca=0或b=0（3）ab=0不能

7已知兩個(gè)向量a(x1,y1),b(x2,y2)，則a·b=x1x2y1y2008已知兩個(gè)非零向量a與b，作OA=a,OB=b,則∠AOB=（0180）叫做向量a與b的夾角abcos=cosa,b

ab00當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b同方向時(shí)，θ=0，當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時(shí)θ=180，同時(shí)0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題09垂直：如果a與b的夾角為90則稱(chēng)a與b垂直，記作a⊥b10：a⊥ba·b＝Ox1x2y1y2空間向量與立體幾何

1、空間向量及其運(yùn)算：（1）空間中的平行（共線）條件：a//bb0xR,axb

（2）空間中的共面條件：a,b,c共面（b,c不共線）x,yR,axbycOC推論：對(duì)于空間任一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)A、B、，OPxOAyOBzOCxyz1，則四點(diǎn)O、

A、B、C共面

（3）空間向量分解定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量pxaybzc

（4）空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積定義及運(yùn)算若ax1,y1,z1,bx2,y2,z2，則：abx1x2,y1y2,z1z2ax1,y1,z1ab1x2zx1y2y1z注1：數(shù)量積不滿足結(jié)合律；

注2：空間中的基底要求不共面。

2、空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用：

（1）證明AB//CD，即證明AB//CD

（2）證明ABCD，即證明ABCD0AB//（3）證明（平面）（或在面內(nèi)），即證明AB垂直于平面的法向量或證明AB與平面內(nèi)的基底共面；（4）證明AB，即證明AB平行于平面的法向量或證明AB垂直于平面內(nèi)的兩條相交的直線所對(duì)應(yīng)的向量；

（5）證明兩平面//（或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個(gè)面的法向量垂直于另一個(gè)平面；

（6）證明兩平面，即證明兩平面的法向量垂直或一個(gè)面的法向量在內(nèi)一個(gè)面內(nèi)。

平面向量真題集訓(xùn)

2004年

（9）已知平面上直線l的方向向量e(43,)，點(diǎn)O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分別是O1和A1，則O1A1＝e，55

其中

＝（）

1111（A）（B）－（C）2

（D）－255

2005

年

8.已知點(diǎn)A（，1），B（0，0）C（

等于（）

A.2B.C.－3D.－，0）.設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有

x（1）（文）已知向量a＝（4，2），向量b＝（，3），且a//b,則x＝()

（A）9(B)6(C)5(D)32006年

2007年

1CDCACB，則（）5．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若AD2DB，3

2112A．B．C．D．3333

2009年

6.已知向量a2,1,ab10,|ab||b|（）

A.B.C.5D.25

2010年

uuruuruuur（8）△ABC中，點(diǎn)D在AB上，CD平方ACB．若CBa，CAb，a1，b2，則CD（）

（A）1

3a2

3b（B）2

3a1

3b（C）3

5a4

5b（D）4

5a3

5b

2011年

1（3）設(shè)向量a、b滿足ab1，ab,則a2b2

（A

（B

（C

（D

利用向量法解決立體幾何問(wèn)題

基本知識(shí)回顧

向量平行，垂直的坐標(biāo)表示：平行x1y2-x2y1=0，垂直x1x2+y1y2=0

直線的方向向量：1.直線的方向向量把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱(chēng)為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是：AB(x2x1,y2y1,z2z1)

平面的法向量：如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時(shí)向量n叫做平面α的法向量.

在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢?設(shè)a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說(shuō),若n·a=0且n·b=0,則n⊥α

求平面法向量的基本步驟：

第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).

第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組

第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.

第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo).

(一).判定直線、平面間的位置關(guān)系

（1）直線與直線的位置關(guān)系，不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.

①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥b

(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,

①若a∥n,即a=λn,則L⊥α

②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.

（3)平面與平面的位置關(guān)系

平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2

①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥β

(二)、用向量解決距離問(wèn)題

①兩點(diǎn)A,B間距離|AB|由AB2

ABAB可算出；若ABab，則由數(shù)量積得AB2ab2ab22，若已知

兩點(diǎn)坐標(biāo)，則可直接用兩點(diǎn)間距離公式.

②點(diǎn)P到直線AB的距離

過(guò)點(diǎn)P作直線AB的垂線PD，垂足為D，則由PDAB且點(diǎn)A,B,D共線得PDAB0,ADAB，解出D點(diǎn)后再求|PD|。

③異面直線a、b的距離

可先設(shè)a、b的公垂線段EF（

aEF0

Ea、Fb），再由垂直向量性質(zhì)得

bEF0

，從而得到E、

F

的坐標(biāo)，最后算出所求EF.④點(diǎn)P到平面的距離h

先設(shè)平面的斜線為PAA，再求的法向量n，運(yùn)用向量平移，不難得到推論“h等

于PA在法向量n上的射影PA

n

PAn

的絕對(duì)值”，即h

，最后由此算出所求距離.

nn

④兩平行平面,之間的距離

由平行平面間的距離定義知道，平面上任意一點(diǎn)A到的距離就是到的距離，因此，我們也可把到的距離轉(zhuǎn)化為A到的距離，運(yùn)用求點(diǎn)與面距離的方法來(lái)求。

(三)、用向量解決角的問(wèn)題

①兩條異面直線a、b間夾角

在直線a上取兩點(diǎn)A、B，在直線b上取兩點(diǎn)C、D，若直線a與b的夾角為，則

cos|cosABC,

D

注意,由于兩向量的夾角范圍為0,180,而異面直線所成角的范圍為090，若兩向量夾角為鈍角,轉(zhuǎn)化到異面直線夾角時(shí)為180°

②直線a與平面所成的角（如圖11）

圖1－1

2

圖1－2

2

圖1－3

2

移得：若時(shí)

（圖12）；若時(shí)

2

（圖13）.

平面的法向量n是向量的一個(gè)重要內(nèi)容，是求直線與平面所成角、求點(diǎn)到平面距離的必備工具.由n可知，要求得法向量n，只需在平面上找出兩個(gè)不共線向量a、b，最后通過(guò)解方程

an0組得到n

bn0

.

x

③求二面角的大小

已知二面角α—l—β，n1,n2分別是平面α和平面β的一個(gè)法向量，設(shè)二面角α—l—β的大小

為θ，規(guī)定0≤θ≤π，則n1,n2（這里若平面α的法向量是二面角的內(nèi)部指向平面α內(nèi)的

一點(diǎn)，則平面β的法向量必須是由平面β內(nèi)的一點(diǎn)指向二面角的內(nèi)部，如圖2-1，否則從二面角內(nèi)

部一點(diǎn)出發(fā)向兩個(gè)半平面作法向量時(shí)，二面角n1,n2，如圖2-2）

2-1

2-2

二面角的大?。ㄈ缬覉D），也可用兩個(gè)向量所成的夾角表示，在、上分別作棱的垂線AB、CD（A、C），從圖中可知：等于AB、CD所成的角.

2004年—2012年云南省高考立體幾何解答題匯總

2004年

20．（本小題滿分12分）

如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AA1B1B的兩條

對(duì)角線交點(diǎn)為D，B1C1的中點(diǎn)為M.（Ⅰ）求證CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B1BD與面CBD所成二面角的大小.

2005年

（18）(本小題滿分12分)

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）證明AB⊥平面VAD．

（Ⅱ）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小．

2006年

（19）（本小題滿分１２分）

如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC,D、E分別為BB1、AC1的中點(diǎn)。（I）證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線；

AADC1（II

）設(shè)AA1AC,求二面角1的大小。

C1

1

B1

D

E

B

A

C

2007年

19．（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，

側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點(diǎn)．（1）證明EF∥平面SAD；

（2）設(shè)SD2DC，求二面角AEFD的大?。?/p>

A

S

F

C

E

B

2008年

19．（本小題滿分12分）

A1

D

1

1

C1

如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，點(diǎn)E在CC1上且C1E3EC．

E

（Ⅰ）證明：A1C平面BED；（Ⅱ）求二面角A1DEB的大?。?/p>

A

D

C

2009年

18（本小題滿分12分）

如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE平面BCC1（I）證明：ABAC

（II）設(shè)二面角ABDC為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大小。

2010年

（19）（本小題滿分12分）

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D為BB1的中點(diǎn)，E為AB1上的一點(diǎn)，AE=3EB1

（Ⅰ）證明：DE為異面直線AB1與CD的公垂線；（Ⅱ）設(shè)異面直線AB1與CD的夾角