高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.2 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 3.2.2 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算教學實錄1 新人教A版選修2-2

高中數(shù)學第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入3.2復數(shù)代數(shù)形式的四則運算3.2.2復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算教學實錄1新人教A版選修2-2課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學

2.教學年級和班級：高一年級

3.授課時間：2023年X月X日第2節(jié)

4.教學時數(shù)：1課時

二、核心素養(yǎng)目標分析三、教學難點與重點1.教學重點：

-復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算規(guī)則：重點在于掌握復數(shù)乘法的分配律、結(jié)合律和交換律，以及復數(shù)除法中的分母有理化方法。

-復數(shù)乘除運算的實際應用：通過具體的例子，讓學生學會如何將復數(shù)乘除運算應用于實際問題中，如解決幾何問題或電路問題。

2.教學難點：

-復數(shù)乘除運算的技巧：難點在于如何正確進行復數(shù)乘法，特別是在乘法運算中出現(xiàn)多項式乘以多項式的情況。

-分母有理化的步驟理解：學生往往在分母有理化時容易出錯，難點在于理解每一步的目的和如何正確操作。

-復數(shù)運算的幾何意義：對于一些學生來說，理解復數(shù)乘除運算在復平面上的幾何意義是一個難點，需要通過直觀的圖形來幫助學生理解。

-運算過程中符號的準確使用：在復數(shù)運算中，符號的正負和乘除的順序是容易出錯的地方，需要特別強調(diào)和練習。四、教學方法與策略1.采用講授法，結(jié)合多媒體課件展示復數(shù)乘除運算的步驟和規(guī)則，直觀地展示復數(shù)在復平面上的幾何意義。

2.設計小組討論活動，讓學生通過合作解決實際問題，加深對復數(shù)乘除運算的理解。

3.利用在線互動平臺，提供實時反饋，讓學生在練習中鞏固知識，同時教師通過提問和解答幫助學生克服難點。

4.結(jié)合數(shù)學游戲，如復數(shù)拼圖，增加學習的趣味性，提高學生的學習積極性。五、教學過程一、導入新課

（教師）

同學們，我們上節(jié)課學習了復數(shù)的概念，知道了復數(shù)是由實部和虛部組成的。今天，我們將繼續(xù)探討復數(shù)的運算，特別是復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算。請大家回顧一下復數(shù)的定義，準備好進入今天的課堂。

（學生）

回顧了復數(shù)的定義，了解到復數(shù)由實部和虛部組成。

二、新課講授

1.復數(shù)乘法

（教師）

首先，我們來復習一下復數(shù)乘法的基本規(guī)則。假設有兩個復數(shù)\(a+bi\)和\(c+di\)，它們的乘積是\((a+bi)\times(c+di)\)。按照分配律，我們可以將其展開為\(ac+adi+bci+bdi^2\)。由于\(i^2=-1\)，所以\(bdi^2=-bd\)。因此，乘積可以簡化為\((ac-bd)+(ad+bc)i\)。

（學生）

明白了，復數(shù)乘法遵循分配律，并且\(i^2=-1\)。

（教師）

現(xiàn)在，讓我們通過一個例子來實踐一下。假設我們要計算\((2+3i)\times(4-5i)\)。

（學生）

\((2+3i)\times(4-5i)=(2\times4)+(2\times-5i)+(3i\times4)+(3i\times-5i)=8-10i+12i-15i^2\)。

（教師）

很好，我們得到了\(8+2i\)。注意，這里我們使用了\(i^2=-1\)來簡化計算。

2.復數(shù)除法

（教師）

（學生）

明白了，我們需要乘以共軛復數(shù)來有理化分母。

（教師）

讓我們通過一個例子來練習。計算\(\frac{1+2i}{3-4i}\)。

（學生）

\(\frac{1+2i}{3-4i}=\frac{(1+2i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{3+4i+6i+8i^2}{9+12i-12i-16i^2}=\frac{3+10i-8}{9+16}=\frac{-5+10i}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\)。

（教師）

正確！我們得到了\(-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\)。注意，我們在計算過程中使用了\(i^2=-1\)。

3.實際應用

（教師）

現(xiàn)在，讓我們將這些運算應用到實際問題中。例如，一個電路中的電流是\(3+4i\)安培，電阻是\(2+3i\)歐姆，求電路中的電壓。

（學生）

電壓\(V=I\timesR=(3+4i)\times(2+3i)=6+9i+8i+12i^2=6+17i-12=-6+17i\)。

（教師）

很好，我們得到了電壓為\(-6+17i\)伏特。

三、課堂練習

（教師）

（學生）

認真完成練習題，檢查自己的計算過程。

四、課堂總結(jié)

（教師）

今天我們學習了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算。我們了解到復數(shù)乘法遵循分配律，并且\(i^2=-1\)。在復數(shù)除法中，我們需要乘以共軛復數(shù)來有理化分母。我們還通過實際應用題鞏固了這些運算。

（學生）

五、布置作業(yè)

（教師）

請大家課后完成以下作業(yè)：

1.復數(shù)乘法練習題；

2.復數(shù)除法練習題；

3.應用復數(shù)乘除運算解決實際問題。

（學生）

認真完成作業(yè)，準備下一節(jié)課的討論。六、知識點梳理1.復數(shù)的定義

-復數(shù)是形如\(a+bi\)的數(shù)，其中\(zhòng)(a\)是實部，\(b\)是虛部，\(i\)是虛數(shù)單位，滿足\(i^2=-1\)。

2.復數(shù)的幾何表示

-復數(shù)\(a+bi\)可以在復平面上表示為一個點，其實部\(a\)表示點的橫坐標，虛部\(b\)表示點的縱坐標。

3.復數(shù)的相等

-兩個復數(shù)\(a+bi\)和\(c+di\)相等，當且僅當它們的實部相等，虛部也相等，即\(a=c\)且\(b=d\)。

4.復數(shù)的加法

-復數(shù)加法遵循實部與實部相加，虛部與虛部相加的規(guī)則，即\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)。

5.復數(shù)的減法

-復數(shù)減法遵循實部與實部相減，虛部與虛部相減的規(guī)則，即\((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)。

6.復數(shù)的乘法

-復數(shù)乘法遵循分配律，即\((a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)。

7.復數(shù)的除法

-復數(shù)除法需要乘以共軛復數(shù)來有理化分母，即\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\)。

8.復數(shù)的模

-復數(shù)\(a+bi\)的模定義為\(|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)。

9.復數(shù)的共軛

-復數(shù)\(a+bi\)的共軛復數(shù)為\(a-bi\)。

10.復數(shù)的乘除運算性質(zhì)

-復數(shù)乘法滿足結(jié)合律和交換律。

-復數(shù)除法滿足結(jié)合律。

-復數(shù)乘法滿足分配律。

11.復數(shù)的幾何意義

-復數(shù)的乘法在復平面上表示為向量乘法，乘積的模表示向量的長度，乘積的輻角表示向量的方向。

12.復數(shù)的應用

-復數(shù)在電子學、信號處理、流體力學等領(lǐng)域有廣泛的應用。七、典型例題講解1.例題一：計算復數(shù)乘法

-題目：計算\((3+2i)\times(4-3i)\)。

-解答：\((3+2i)\times(4-3i)=(3\times4)+(3\times-3i)+(2i\times4)+(2i\times-3i)=12-9i+8i-6i^2\)。由于\(i^2=-1\)，所以\(12-9i+8i-6i^2=12-i+6=18-i\)。

2.例題二：計算復數(shù)除法

-題目：計算\(\frac{5+3i}{2-i}\)。

-解答：\(\frac{5+3i}{2-i}=\frac{(5+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{(5\times2)+(5\timesi)+(3i\times2)+(3i\timesi)}{(2^2)+(2\timesi)-(2\timesi)-(i^2)}=\frac{10+5i+6i-3}{4+1}=\frac{7+11i}{5}=\frac{7}{5}+\frac{11}{5}i\)。

3.例題三：計算復數(shù)的模

-題目：計算復數(shù)\(2+3i\)的模。

-解答：\(|2+3i|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)。

4.例題四：求復數(shù)的共軛

-題目：求復數(shù)\(4-5i\)的共軛。

-解答：復數(shù)\(4-5i\)的共軛是\(4+5i\)。

5.例題五：利用復數(shù)解決幾何問題

-題目：在復平面上，點\(A\)的坐標為\(2+3i\)，點\(B\)的坐標為\(4-i\)。求線段\(AB\)的長度。

-解答：線段\(AB\)的長度可以通過計算兩個點的坐標差的模來得到。首先，計算\(AB\)的坐標差：\((4-i)-(2+3i)=2-4i\)。然后，計算模：\(|2-4i|=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。因此，線段\(AB\)的長度是\(2\sqrt{5}\)。八、反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.案例教學法的應用：在講解復數(shù)乘除運算時，我嘗試引入實際案例，如電路問題、幾何問題等，讓學生在實際情境中應用所學知識，提高他們的實踐能力。

2.多媒體輔助教學：利用多媒體課件展示復數(shù)在復平面上的幾何意義，以及復數(shù)乘除運算的步驟，使抽象的概念更加直觀易懂。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生對復數(shù)乘除運算的掌握程度不夠：部分學生在進行復數(shù)乘除運算時，容易出錯，特別是在分母有理化過程中。

2.學生對復數(shù)幾何意義的理解不足：一些學生對復數(shù)在復平面上的幾何表示和運算的幾何意義理解不夠深入，需要加強這方面的教學。

3.課堂互動不足：在課堂教學中，我發(fā)現(xiàn)學生參與度不高，互動環(huán)節(jié)較少，需要改進教學方法，提高學生的參與積極性。

反思改進措施（三）改進措施

1.加強對復數(shù)乘除運算的練習：針對學生在復數(shù)乘除運算中容易出錯的問題，我將增加練習題的數(shù)量和難度，讓學生通過反復練習來提高運算能力。

2.深入講解復數(shù)的幾何意義：為了幫助學生更好地理解復數(shù)在復平面上的幾何表示和運算的幾何意義，我將結(jié)合具體例子進行講解，并利用圖形工具進行輔助教學。

3.提高課堂互動性：為了提高學生的參與積極性，我將設計更多互動環(huán)節(jié)，如小組討論、問題解答等，鼓勵學生主動參與課堂，提出問題和觀點。

4.課后輔導和答疑：對于學習上有困難的學生，我將提供課后輔導和答疑服務，幫助他們解決學習中的問題，提高學習效果。

5.定期評估和反饋：我將定期對學生進行評估，了解他們的學習進度和存在的問題，并根據(jù)評估結(jié)果調(diào)整教學策略，確保教學效果。板書設計①復數(shù)乘法

-復數(shù)乘法公式：\((a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)

-\(i^2=-1\)

-分配律、結(jié)合律、交換律

②復數(shù)除法

-復數(shù)除法公式：\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\)

-分母有理化：乘以共軛復數(shù)

-\(i^2=-1\)

③復數(shù)的模

-復數(shù)模公式：\(|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)

-模的幾何意義：復平面上點到原點的距離

④復數(shù)的共軛

-共軛復數(shù)公式：\(a+bi\)的共軛為\(a-bi\)

-共軛復數(shù)的幾何意義：復平面上點關(guān)于實軸的對稱點

⑤復數(shù)