高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教學(xué)實錄1 新人教A版選修2-2

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算教學(xué)實錄1新人教A版選修2-2課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)

2.教學(xué)年級和班級：高一年級

3.授課時間：2023年X月X日第2節(jié)

4.教學(xué)時數(shù)：1課時

二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

-復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算規(guī)則：重點(diǎn)在于掌握復(fù)數(shù)乘法的分配律、結(jié)合律和交換律，以及復(fù)數(shù)除法中的分母有理化方法。

-復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的實際應(yīng)用：通過具體的例子，讓學(xué)生學(xué)會如何將復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算應(yīng)用于實際問題中，如解決幾何問題或電路問題。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

-復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的技巧：難點(diǎn)在于如何正確進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法，特別是在乘法運(yùn)算中出現(xiàn)多項式乘以多項式的情況。

-分母有理化的步驟理解：學(xué)生往往在分母有理化時容易出錯，難點(diǎn)在于理解每一步的目的和如何正確操作。

-復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義：對于一些學(xué)生來說，理解復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算在復(fù)平面上的幾何意義是一個難點(diǎn)，需要通過直觀的圖形來幫助學(xué)生理解。

-運(yùn)算過程中符號的準(zhǔn)確使用：在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，符號的正負(fù)和乘除的順序是容易出錯的地方，需要特別強(qiáng)調(diào)和練習(xí)。四、教學(xué)方法與策略1.采用講授法，結(jié)合多媒體課件展示復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的步驟和規(guī)則，直觀地展示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的幾何意義。

2.設(shè)計小組討論活動，讓學(xué)生通過合作解決實際問題，加深對復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的理解。

3.利用在線互動平臺，提供實時反饋，讓學(xué)生在練習(xí)中鞏固知識，同時教師通過提問和解答幫助學(xué)生克服難點(diǎn)。

4.結(jié)合數(shù)學(xué)游戲，如復(fù)數(shù)拼圖，增加學(xué)習(xí)的趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。五、教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課

（教師）

同學(xué)們，我們上節(jié)課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念，知道了復(fù)數(shù)是由實部和虛部組成的。今天，我們將繼續(xù)探討復(fù)數(shù)的運(yùn)算，特別是復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算。請大家回顧一下復(fù)數(shù)的定義，準(zhǔn)備好進(jìn)入今天的課堂。

（學(xué)生）

回顧了復(fù)數(shù)的定義，了解到復(fù)數(shù)由實部和虛部組成。

二、新課講授

1.復(fù)數(shù)乘法

（教師）

首先，我們來復(fù)習(xí)一下復(fù)數(shù)乘法的基本規(guī)則。假設(shè)有兩個復(fù)數(shù)\(a+bi\)和\(c+di\)，它們的乘積是\((a+bi)\times(c+di)\)。按照分配律，我們可以將其展開為\(ac+adi+bci+bdi^2\)。由于\(i^2=-1\)，所以\(bdi^2=-bd\)。因此，乘積可以簡化為\((ac-bd)+(ad+bc)i\)。

（學(xué)生）

明白了，復(fù)數(shù)乘法遵循分配律，并且\(i^2=-1\)。

（教師）

現(xiàn)在，讓我們通過一個例子來實踐一下。假設(shè)我們要計算\((2+3i)\times(4-5i)\)。

（學(xué)生）

\((2+3i)\times(4-5i)=(2\times4)+(2\times-5i)+(3i\times4)+(3i\times-5i)=8-10i+12i-15i^2\)。

（教師）

很好，我們得到了\(8+2i\)。注意，這里我們使用了\(i^2=-1\)來簡化計算。

2.復(fù)數(shù)除法

（教師）

（學(xué)生）

明白了，我們需要乘以共軛復(fù)數(shù)來有理化分母。

（教師）

讓我們通過一個例子來練習(xí)。計算\(\frac{1+2i}{3-4i}\)。

（學(xué)生）

\(\frac{1+2i}{3-4i}=\frac{(1+2i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{3+4i+6i+8i^2}{9+12i-12i-16i^2}=\frac{3+10i-8}{9+16}=\frac{-5+10i}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\)。

（教師）

正確！我們得到了\(-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\)。注意，我們在計算過程中使用了\(i^2=-1\)。

3.實際應(yīng)用

（教師）

現(xiàn)在，讓我們將這些運(yùn)算應(yīng)用到實際問題中。例如，一個電路中的電流是\(3+4i\)安培，電阻是\(2+3i\)歐姆，求電路中的電壓。

（學(xué)生）

電壓\(V=I\timesR=(3+4i)\times(2+3i)=6+9i+8i+12i^2=6+17i-12=-6+17i\)。

（教師）

很好，我們得到了電壓為\(-6+17i\)伏特。

三、課堂練習(xí)

（教師）

（學(xué)生）

認(rèn)真完成練習(xí)題，檢查自己的計算過程。

四、課堂總結(jié)

（教師）

今天我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算。我們了解到復(fù)數(shù)乘法遵循分配律，并且\(i^2=-1\)。在復(fù)數(shù)除法中，我們需要乘以共軛復(fù)數(shù)來有理化分母。我們還通過實際應(yīng)用題鞏固了這些運(yùn)算。

（學(xué)生）

五、布置作業(yè)

（教師）

請大家課后完成以下作業(yè)：

1.復(fù)數(shù)乘法練習(xí)題；

2.復(fù)數(shù)除法練習(xí)題；

3.應(yīng)用復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算解決實際問題。

（學(xué)生）

認(rèn)真完成作業(yè)，準(zhǔn)備下一節(jié)課的討論。六、知識點(diǎn)梳理1.復(fù)數(shù)的定義

-復(fù)數(shù)是形如\(a+bi\)的數(shù)，其中\(zhòng)(a\)是實部，\(b\)是虛部，\(i\)是虛數(shù)單位，滿足\(i^2=-1\)。

2.復(fù)數(shù)的幾何表示

-復(fù)數(shù)\(a+bi\)可以在復(fù)平面上表示為一個點(diǎn)，其實部\(a\)表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)，虛部\(b\)表示點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

3.復(fù)數(shù)的相等

-兩個復(fù)數(shù)\(a+bi\)和\(c+di\)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實部相等，虛部也相等，即\(a=c\)且\(b=d\)。

4.復(fù)數(shù)的加法

-復(fù)數(shù)加法遵循實部與實部相加，虛部與虛部相加的規(guī)則，即\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)。

5.復(fù)數(shù)的減法

-復(fù)數(shù)減法遵循實部與實部相減，虛部與虛部相減的規(guī)則，即\((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)。

6.復(fù)數(shù)的乘法

-復(fù)數(shù)乘法遵循分配律，即\((a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)。

7.復(fù)數(shù)的除法

-復(fù)數(shù)除法需要乘以共軛復(fù)數(shù)來有理化分母，即\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\)。

8.復(fù)數(shù)的模

-復(fù)數(shù)\(a+bi\)的模定義為\(|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)。

9.復(fù)數(shù)的共軛

-復(fù)數(shù)\(a+bi\)的共軛復(fù)數(shù)為\(a-bi\)。

10.復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算性質(zhì)

-復(fù)數(shù)乘法滿足結(jié)合律和交換律。

-復(fù)數(shù)除法滿足結(jié)合律。

-復(fù)數(shù)乘法滿足分配律。

11.復(fù)數(shù)的幾何意義

-復(fù)數(shù)的乘法在復(fù)平面上表示為向量乘法，乘積的模表示向量的長度，乘積的輻角表示向量的方向。

12.復(fù)數(shù)的應(yīng)用

-復(fù)數(shù)在電子學(xué)、信號處理、流體力學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。七、典型例題講解1.例題一：計算復(fù)數(shù)乘法

-題目：計算\((3+2i)\times(4-3i)\)。

-解答：\((3+2i)\times(4-3i)=(3\times4)+(3\times-3i)+(2i\times4)+(2i\times-3i)=12-9i+8i-6i^2\)。由于\(i^2=-1\)，所以\(12-9i+8i-6i^2=12-i+6=18-i\)。

2.例題二：計算復(fù)數(shù)除法

-題目：計算\(\frac{5+3i}{2-i}\)。

-解答：\(\frac{5+3i}{2-i}=\frac{(5+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{(5\times2)+(5\timesi)+(3i\times2)+(3i\timesi)}{(2^2)+(2\timesi)-(2\timesi)-(i^2)}=\frac{10+5i+6i-3}{4+1}=\frac{7+11i}{5}=\frac{7}{5}+\frac{11}{5}i\)。

3.例題三：計算復(fù)數(shù)的模

-題目：計算復(fù)數(shù)\(2+3i\)的模。

-解答：\(|2+3i|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)。

4.例題四：求復(fù)數(shù)的共軛

-題目：求復(fù)數(shù)\(4-5i\)的共軛。

-解答：復(fù)數(shù)\(4-5i\)的共軛是\(4+5i\)。

5.例題五：利用復(fù)數(shù)解決幾何問題

-題目：在復(fù)平面上，點(diǎn)\(A\)的坐標(biāo)為\(2+3i\)，點(diǎn)\(B\)的坐標(biāo)為\(4-i\)。求線段\(AB\)的長度。

-解答：線段\(AB\)的長度可以通過計算兩個點(diǎn)的坐標(biāo)差的模來得到。首先，計算\(AB\)的坐標(biāo)差：\((4-i)-(2+3i)=2-4i\)。然后，計算模：\(|2-4i|=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。因此，線段\(AB\)的長度是\(2\sqrt{5}\)。八、反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.案例教學(xué)法的應(yīng)用：在講解復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算時，我嘗試引入實際案例，如電路問題、幾何問題等，讓學(xué)生在實際情境中應(yīng)用所學(xué)知識，提高他們的實踐能力。

2.多媒體輔助教學(xué)：利用多媒體課件展示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的幾何意義，以及復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的步驟，使抽象的概念更加直觀易懂。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問題

1.學(xué)生對復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的掌握程度不夠：部分學(xué)生在進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算時，容易出錯，特別是在分母有理化過程中。

2.學(xué)生對復(fù)數(shù)幾何意義的理解不足：一些學(xué)生對復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的幾何表示和運(yùn)算的幾何意義理解不夠深入，需要加強(qiáng)這方面的教學(xué)。

3.課堂互動不足：在課堂教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生參與度不高，互動環(huán)節(jié)較少，需要改進(jìn)教學(xué)方法，提高學(xué)生的參與積極性。

反思改進(jìn)措施（三）改進(jìn)措施

1.加強(qiáng)對復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的練習(xí)：針對學(xué)生在復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算中容易出錯的問題，我將增加練習(xí)題的數(shù)量和難度，讓學(xué)生通過反復(fù)練習(xí)來提高運(yùn)算能力。

2.深入講解復(fù)數(shù)的幾何意義：為了幫助學(xué)生更好地理解復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的幾何表示和運(yùn)算的幾何意義，我將結(jié)合具體例子進(jìn)行講解，并利用圖形工具進(jìn)行輔助教學(xué)。

3.提高課堂互動性：為了提高學(xué)生的參與積極性，我將設(shè)計更多互動環(huán)節(jié)，如小組討論、問題解答等，鼓勵學(xué)生主動參與課堂，提出問題和觀點(diǎn)。

4.課后輔導(dǎo)和答疑：對于學(xué)習(xí)上有困難的學(xué)生，我將提供課后輔導(dǎo)和答疑服務(wù)，幫助他們解決學(xué)習(xí)中的問題，提高學(xué)習(xí)效果。

5.定期評估和反饋：我將定期對學(xué)生進(jìn)行評估，了解他們的學(xué)習(xí)進(jìn)度和存在的問題，并根據(jù)評估結(jié)果調(diào)整教學(xué)策略，確保教學(xué)效果。板書設(shè)計①復(fù)數(shù)乘法

-復(fù)數(shù)乘法公式：\((a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)

-\(i^2=-1\)

-分配律、結(jié)合律、交換律

②復(fù)數(shù)除法

-復(fù)數(shù)除法公式：\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\)

-分母有理化：乘以共軛復(fù)數(shù)

-\(i^2=-1\)

③復(fù)數(shù)的模

-復(fù)數(shù)模公式：\(|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)

-模的幾何意義：復(fù)平面上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

④復(fù)數(shù)的共軛

-共軛復(fù)數(shù)公式：\(a+bi\)的共軛為\(a-bi\)

-共軛復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)平面上點(diǎn)關(guān)于實軸的對稱點(diǎn)

⑤復(fù)數(shù)