2025年甘肅省嘉峪關(guān)市嘉峪關(guān)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

初三《數(shù)學(xué)》試卷一、單選題（每小題3分，共30分）1.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A B. C. D.2.已知二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為 B.對稱軸為直線C.函數(shù)的最小值是 D.函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是3.如圖，在中，，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D恰好在的延長線上，則旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角可能為（）A.順時(shí)針， B.逆時(shí)針， C.順時(shí)針， D.逆時(shí)針，4.如圖，在中，，以O(shè)為圓心，長為半徑作，分別交于C、D．若，則度數(shù)是（）A. B. C. D.5.已知點(diǎn)，，都在二次函數(shù)的圖像上，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.6.如圖，、分別是的切線，A、B為切點(diǎn)，是的直徑，已知，∠P的度數(shù)為（）A. B. C. D.7.下列語句中，正確的是（）A.同一平面上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓B.三角形的外心到三角形三邊的距離相等C.三角形的內(nèi)心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)D.菱形的四邊中點(diǎn)在同一圓上8.小明觀察某個(gè)路口的紅綠燈，發(fā)現(xiàn)該紅綠燈的時(shí)間設(shè)置為：紅燈20秒，黃燈5秒，綠燈15秒．當(dāng)他下次到達(dá)該路口時(shí)，遇到綠燈的概率是（）A. B. C. D.9.如圖，在中，半徑交弦于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，若，，則的長為（）A.8 B.5 C.4 D.310.二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤的解為，．其中正確的是（）A.①②③④ B.①③④⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤二、填空題11.已知拋物線的頂點(diǎn)是，形狀與相同，但開口方向相反，則該拋物線解析式為____________．12.如圖，已知拋物線與直線交于兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集是________．13.如圖，為直角三角形，是斜邊，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與重合，如果，求的長為________．14.如圖，是的直徑，點(diǎn)A，D在上，若，則的度數(shù)為________．15.生活在數(shù)字時(shí)代的我們，很多場合都要用到二維碼，二維碼的生成原理是用特定的幾何圖形按編排規(guī)律在二維方向上分布，采用黑白相間的圖形來記錄數(shù)據(jù)的符號信息，九年級學(xué)生王東幫媽媽打印了一個(gè)收款二維碼如圖所示，該二維碼的面積為，他在該二維碼上隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在白色區(qū)域的頻率穩(wěn)定在左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色區(qū)域的面積為______．16.如圖，分別切于點(diǎn)切于點(diǎn)C，分別交于點(diǎn)M，，若，則的周長是_______．三、解答題（共72分）17.已知在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．（1）按要求作圖：①先將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到；②再作出，使它與關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱．（2）直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)．18.二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題．（1）寫出方程的兩個(gè)根（2）寫出不等式的解集（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍．（4）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直接寫出的取值范圍．19.如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)相交于兩點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且平行于軸，求在移動(dòng)過程中，線段的最大值．20.如圖所示，是的一條弦，，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求長．21.某批發(fā)商出售一種成本價(jià)為10元/件商品，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量（件）與銷售價(jià)（元/件）滿足一次函數(shù)．這種商品每周的銷售利潤為元．（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）商家為了盤活資金，減少庫存，要確保這種商品每周的銷售量不少于180件，若這種商品每周的銷售利潤為2000元，則該商品每周的銷售量是多少？22.已知關(guān)于x一元二次方程．（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）若方程有一個(gè)根為，求m的值．23.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)新增了四個(gè)項(xiàng)目：霹靂舞，滑板，沖浪，運(yùn)動(dòng)攀巖，依次記為，，，．體育老師把這四個(gè)項(xiàng)目分別寫在四張背面完全相同的卡片上，將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．（1）體育老師想從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，了解該項(xiàng)目在奧運(yùn)會(huì)中的得分標(biāo)準(zhǔn)，恰好抽到（沖浪）的概率是______；（2）體育老師想從中選出兩個(gè)項(xiàng)目，做成手抄報(bào)在學(xué)校進(jìn)行普及．他先從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張不放回，再從剩下的三張卡片（洗勻后）中隨機(jī)抽取一張．請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的概率．24.如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F．連接并延長交于點(diǎn)M．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求的長．25.如圖所示，已知正方形的邊長為3，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．（1）證明：．（2）若，求的長．26.如圖，在半圓O中，直徑，點(diǎn)C在上，連接，弦平分，連接．（1）求證：；（2）連接．若，求的長．27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求出四邊形ABPC的面積最大時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積；（3）在直線BC找一點(diǎn)Q，使得△QOC為等腰三角形，寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

初三《數(shù)學(xué)》試卷一、單選題（每小題3分，共30分）1.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)圖形分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)正確；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故答案為：C.2.已知二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為 B.對稱軸為直線C.函數(shù)的最小值是 D.函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象的對稱軸以及開口方向，最值是解題的關(guān)鍵根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確．【詳解】由二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為)，選項(xiàng)A說法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；對稱軸為直線，選項(xiàng)B說法正確，故該選項(xiàng)符合題意；函數(shù)的開口方向由

a

決定，且，拋物線開口向下，拋物線有最大值，最大值為頂點(diǎn)的

y

坐標(biāo)，為，選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；令，則，圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3.如圖，在中，，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D恰好在的延長線上，則旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角可能為（）A.順時(shí)針， B.逆時(shí)針， C.順時(shí)針， D.逆時(shí)針，【答案】A【解析】【分析】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的定義，平角的定義，正確理解圖形旋轉(zhuǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的定義及平角的定義，即得答案．【詳解】將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到，且點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D恰好在的延長線上，，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針時(shí),旋轉(zhuǎn)角度為；旋轉(zhuǎn)方向逆時(shí)針時(shí),旋轉(zhuǎn)角度為．故選：A．4.如圖，在中，，以O(shè)為圓心，長為半徑作，分別交于C、D．若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，弧與圓心角的關(guān)系，先由三角形內(nèi)角和定理得到，再由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出，則，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的度數(shù)是；故選：A．5.已知點(diǎn)，，都在二次函數(shù)的圖像上，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題意可得該拋物線開口向下，對稱軸為直線，得到離對稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)，其值越小，即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)的解析式為，對稱軸為直線，，該拋物線開口向下，離對稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)，其值越小，點(diǎn)，，，，，，即，，故選：C．6.如圖，、分別是的切線，A、B為切點(diǎn)，是的直徑，已知，∠P的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形及四邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；由與都為圓的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到與垂直，與垂直，可得出與都為直角，又，根據(jù)等邊對等角可得與相等，由的度數(shù)求出的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，在四邊形中，利用四邊形的內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)；【詳解】解：∵，分別是圓的切線，∴，，∴，∵，，∴，∴，在四邊形中，，，則，故選：D．7.下列語句中，正確的是（）A.同一平面上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓B.三角形的外心到三角形三邊的距離相等C.三角形的內(nèi)心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)D.菱形的四邊中點(diǎn)在同一圓上【答案】D【解析】【分析】本題考查了確定圓的條件、三角形外心的性質(zhì)、三角形內(nèi)心的定義、四點(diǎn)共圓等知識．根據(jù)題意逐一對選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得到本題答案．【詳解】解：∵同一平面內(nèi)，不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故A選項(xiàng)不正確；∵三角形外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，故B選項(xiàng)不正確，三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵菱形的四邊中點(diǎn)順次連接得到矩形，矩形的對角互補(bǔ)，即矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在以矩形的對角線為直徑的圓上，∴菱形的四邊中點(diǎn)在同一圓上，故D選項(xiàng)正確，故選：D．8.小明觀察某個(gè)路口的紅綠燈，發(fā)現(xiàn)該紅綠燈的時(shí)間設(shè)置為：紅燈20秒，黃燈5秒，綠燈15秒．當(dāng)他下次到達(dá)該路口時(shí)，遇到綠燈的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查概率的意義以及概率求法，正確理解概率的意義是解題關(guān)鍵．用綠燈時(shí)間除以紅綠燈時(shí)間之和，即可得到答案．【詳解】解：紅燈20秒，黃燈5秒，綠燈15秒，遇到綠燈的概率是，故選：C．9.如圖，在中，半徑交弦于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，若，，則的長為（）A.8 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理．根據(jù)垂徑定理，可得，再根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴，在中，，故選：D．10.二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤的解為，．其中正確的是（）A.①②③④ B.①③④⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，主要利用了二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，與軸的交點(diǎn)，此類題目，要注意利用好特殊自變量的函數(shù)值的應(yīng)用．①利用拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)可進(jìn)行判斷；②根據(jù)二次函數(shù)的開口方向確定的符號，根據(jù)對稱軸確定的符號，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸的位置確定的符號即可判斷；③根據(jù)對稱軸是直線即可判斷；④利用時(shí)，可進(jìn)行判斷；⑤根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)即可判斷．【詳解】解：①拋物線與軸有2個(gè)交點(diǎn)，，所以①正確；②圖象開口向下，得，對稱軸，，圖象與軸的交點(diǎn)在軸的上方，得，，故②正確；③拋物線的對稱軸為直線，，，所以③正確；④拋物線對稱軸為直線，圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，，故④錯(cuò)誤；⑤二次函數(shù)的圖象過，，方程的解是，，故⑤正確．故選：C．二、填空題11.已知拋物線的頂點(diǎn)是，形狀與相同，但開口方向相反，則該拋物線解析式為____________．【答案】【解析】【分析】由形狀與函數(shù)的圖象相同且開口方向相反可知，把頂點(diǎn)代入頂點(diǎn)式即可求得拋物線解析式．本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，掌握頂點(diǎn)式的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)拋物線解析式為，形狀與相同，但開口方向相反，∴，∴把頂點(diǎn)代入得：，故答案為：．12.如圖，已知拋物線與直線交于兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，旨在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力．確定拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，拋物線位于直線上方，∴不等式的解集是：，故答案為：13.如圖，為直角三角形，是斜邊，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與重合，如果，求的長為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，即為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得．故答案為：．14.如圖，是的直徑，點(diǎn)A，D在上，若，則的度數(shù)為________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，直角三角形的性質(zhì)等等，先由直徑所對的圓周角是直角得到，再由同弧所對的圓周角相等得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得到答案．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴．故答案為：．15.生活在數(shù)字時(shí)代的我們，很多場合都要用到二維碼，二維碼的生成原理是用特定的幾何圖形按編排規(guī)律在二維方向上分布，采用黑白相間的圖形來記錄數(shù)據(jù)的符號信息，九年級學(xué)生王東幫媽媽打印了一個(gè)收款二維碼如圖所示，該二維碼的面積為，他在該二維碼上隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在白色區(qū)域的頻率穩(wěn)定在左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色區(qū)域的面積為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，解決本題的關(guān)鍵是掌握概率公式．用總面積乘以落入黑色部分的頻率穩(wěn)定值即可．【詳解】解：經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在白色區(qū)域的頻率穩(wěn)定在左右則∴點(diǎn)落入黑色部分頻率穩(wěn)定在左右，據(jù)此可以估計(jì)黑色部分的面積為故答案為：．16.如圖，分別切于點(diǎn)切于點(diǎn)C，分別交于點(diǎn)M，，若，則的周長是_______．【答案】##15厘米【解析】【分析】本題考查切線長定理，掌握從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，這兩條切線的長度相等是解題關(guān)鍵．根據(jù)切線長定理可知，，從而可求出，即可求解．【詳解】解：∵切于點(diǎn)C，∴，，∴．故答案為：．三、解答題（共72分）17.已知在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．（1）按要求作圖：①先將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到；②再作出，使它與關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱．（2）直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析（2）點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)變換作圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)先將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，②根據(jù)對稱的性質(zhì)作出，使它與關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；（2）結(jié)合（1）即可寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：①如圖，即為所求，②即為所求；【小問2詳解】解：點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)的坐標(biāo)．18.二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題．（1）寫出方程的兩個(gè)根（2）寫出不等式解集（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍．（4）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）1或3（2）或（3）（4）【解析】【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）看二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可；（2）看x軸下方的二次函數(shù)的圖象相對應(yīng)的x的范圍即可；（3）在對稱軸的右側(cè)即為y隨x的增大而減??；（4）得到相對應(yīng)的函數(shù)看是怎么平移得到的即可．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為，，∴方程的兩個(gè)根為；【小問2詳解】∵由圖象可知或時(shí)，二次函數(shù)的圖象在x軸下方，∴不等式的解集為或；【小問3詳解】∵拋物線的對稱軸為直線，開口向下，∴當(dāng)y隨x的增大而減小時(shí)，自變量x的取值范圍是；【小問4詳解】∵由圖象可知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線在的下方時(shí)，一定與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．19.如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)相交于兩點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且平行于軸，求在移動(dòng)過程中，線段的最大值．【答案】2【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式設(shè)出點(diǎn)C，D的坐標(biāo),然后然后用點(diǎn)C的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)D縱坐標(biāo)表示出，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．【詳解】解：設(shè)，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為2．20.如圖所示，是的一條弦，，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長．【答案】（1）（2）的長為【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是明確在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．（1）根據(jù)垂徑定理的推論可得，再根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角等于圓心角的一半求解即可；（2）利用勾股定理列式求出，根據(jù)垂徑定理可得，即可求解．【小問1詳解】解：∵是的一條弦，，∴，又∵，∴．【小問2詳解】解：∵，∴，在中，由勾股定理得，∵是一條弦，，∴，則．21.某批發(fā)商出售一種成本價(jià)為10元/件的商品，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量（件）與銷售價(jià)（元/件）滿足一次函數(shù)．這種商品每周的銷售利潤為元．（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）商家為了盤活資金，減少庫存，要確保這種商品每周的銷售量不少于180件，若這種商品每周的銷售利潤為2000元，則該商品每周的銷售量是多少？【答案】（1）（2）200【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，明確題意，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式及根據(jù)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)銷售量、售價(jià)與銷售利潤之間的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式即可求解；（2）根據(jù)銷售利潤為2000元為等量關(guān)系列出方程，解方程即可求解．【小問1詳解】解：根據(jù)題意，可得；【小問2詳解】若這種商品每周的銷售利潤為2000元，即，則有，解得，，由，解得．∴，當(dāng)時(shí)，．答：該商品每周的銷售量是200件．22.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）若方程有一個(gè)根為，求m的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，一元二次方程的解，熟練掌握根的判別式與根的情況的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根；（1）證明即可；（2）把代入原方程得到關(guān)于的方程，再解新方程即可求得的值．【小問1詳解】證明：，無論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；【小問2詳解】解：方程有一個(gè)根為，，解得：．23.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)新增了四個(gè)項(xiàng)目：霹靂舞，滑板，沖浪，運(yùn)動(dòng)攀巖，依次記為，，，．體育老師把這四個(gè)項(xiàng)目分別寫在四張背面完全相同的卡片上，將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．（1）體育老師想從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，了解該項(xiàng)目在奧運(yùn)會(huì)中的得分標(biāo)準(zhǔn)，恰好抽到（沖浪）的概率是______；（2）體育老師想從中選出兩個(gè)項(xiàng)目，做成手抄報(bào)在學(xué)校進(jìn)行普及．他先從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張不放回，再從剩下的三張卡片（洗勻后）中隨機(jī)抽取一張．請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法，概率公式，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．（1）直接運(yùn)用概率公式求解即可；（2）先畫出樹狀圖，可知共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的結(jié)果有2種，最后由概率公式求解即可．【小問1詳解】解：體育老師想從中隨機(jī)抽取一張，恰好抽到（沖浪）的概率是；故答案為：；【小問2詳解】解：畫樹狀圖如下：，共有12種等可能結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的結(jié)果數(shù)為2，體育老師抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的概率．24.如圖，以線段為直徑作，交射線于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F．連接并延長交于點(diǎn)M．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】此題重點(diǎn)考查切線的判定、直徑所對的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由證明，得，即可證明直線是的切線；（2）根據(jù)圓周角定理和等邊三角形的判定和性質(zhì)，證出是等邊三角形，進(jìn)一步即可得到結(jié)論；【小問1詳解】證明：如圖，連接，則，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是的半徑，且，∴直線是的切線；【小問2詳解】解：∵線段是的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴．又，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；∵，，∴，∴，∴，∴．25.如圖所示，已知正方形的邊長為3，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．（1）證明：．（2）若，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先由正方形的性質(zhì)得到，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)可得，則可證明F、C、M三點(diǎn)共線，再證明，即可利用邊角邊證明三角形全等；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由全等三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，則，在中，由勾股定理建立方程求解即可．【小問1詳解】證明：∵四邊形是正方形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴F、C、M三點(diǎn)共線，∵，∴，在和中，，∴；【小問2詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵正方形的邊長為3，∴，∵，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，即，解得，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．26.如圖，在半圓O中，直徑，點(diǎn)C在上，連接，弦平分，連接．（1）求證：；（2）連接．若，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)．（1）利用角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)和判定即可得證；（2）先證明是等邊三角形，再利用圓周角定理和勾股定理即可求解．【小問1詳解】證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵是直徑，∴，∴27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的