2025年甘肅省嘉峪關(guān)市嘉峪關(guān)市實驗中學二模數(shù)學試題（原卷版+解析版）

初三《數(shù)學》試卷一、單選題（每小題3分，共30分）1.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A B. C. D.2.已知二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A.頂點坐標為 B.對稱軸為直線C.函數(shù)的最小值是 D.函數(shù)圖象與y軸的交點坐標是3.如圖，在中，，將繞點C旋轉(zhuǎn)，得到，若點A的對應點D恰好在的延長線上，則旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角可能為（）A.順時針， B.逆時針， C.順時針， D.逆時針，4.如圖，在中，，以O為圓心，長為半徑作，分別交于C、D．若，則度數(shù)是（）A. B. C. D.5.已知點，，都在二次函數(shù)的圖像上，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.6.如圖，、分別是的切線，A、B為切點，是的直徑，已知，∠P的度數(shù)為（）A. B. C. D.7.下列語句中，正確的是（）A.同一平面上的三點確定一個圓B.三角形的外心到三角形三邊的距離相等C.三角形的內(nèi)心是三角形三邊垂直平分線的交點D.菱形的四邊中點在同一圓上8.小明觀察某個路口的紅綠燈，發(fā)現(xiàn)該紅綠燈的時間設置為：紅燈20秒，黃燈5秒，綠燈15秒．當他下次到達該路口時，遇到綠燈的概率是（）A. B. C. D.9.如圖，在中，半徑交弦于點，點為中點，若，，則的長為（）A.8 B.5 C.4 D.310.二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤的解為，．其中正確的是（）A.①②③④ B.①③④⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤二、填空題11.已知拋物線的頂點是，形狀與相同，但開口方向相反，則該拋物線解析式為____________．12.如圖，已知拋物線與直線交于兩點，則關(guān)于x的不等式的解集是________．13.如圖，為直角三角形，是斜邊，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與重合，如果，求的長為________．14.如圖，是的直徑，點A，D在上，若，則的度數(shù)為________．15.生活在數(shù)字時代的我們，很多場合都要用到二維碼，二維碼的生成原理是用特定的幾何圖形按編排規(guī)律在二維方向上分布，采用黑白相間的圖形來記錄數(shù)據(jù)的符號信息，九年級學生王東幫媽媽打印了一個收款二維碼如圖所示，該二維碼的面積為，他在該二維碼上隨機擲點，經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落在白色區(qū)域的頻率穩(wěn)定在左右，則據(jù)此估計此二維碼中黑色區(qū)域的面積為______．16.如圖，分別切于點切于點C，分別交于點M，，若，則的周長是_______．三、解答題（共72分）17.已知在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點的坐標分別是．（1）按要求作圖：①先將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到；②再作出，使它與關(guān)于原點成中心對稱．（2）直接寫出點，的坐標．18.二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題．（1）寫出方程的兩個根（2）寫出不等式的解集（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍．（4）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，直接寫出的取值范圍．19.如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)相交于兩點，是線段上一動點，是拋物線上的動點，且平行于軸，求在移動過程中，線段的最大值．20.如圖所示，是的一條弦，，垂足為點，交于點，點在上．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求長．21.某批發(fā)商出售一種成本價為10元/件商品，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量（件）與銷售價（元/件）滿足一次函數(shù)．這種商品每周的銷售利潤為元．（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）商家為了盤活資金，減少庫存，要確保這種商品每周的銷售量不少于180件，若這種商品每周的銷售利潤為2000元，則該商品每周的銷售量是多少？22.已知關(guān)于x一元二次方程．（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）若方程有一個根為，求m的值．23.2024年巴黎奧運會新增了四個項目：霹靂舞，滑板，沖浪，運動攀巖，依次記為，，，．體育老師把這四個項目分別寫在四張背面完全相同的卡片上，將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．（1）體育老師想從這四張卡片中隨機抽取一張，了解該項目在奧運會中的得分標準，恰好抽到（沖浪）的概率是______；（2）體育老師想從中選出兩個項目，做成手抄報在學校進行普及．他先從這四張卡片中隨機抽取一張不放回，再從剩下的三張卡片（洗勻后）中隨機抽取一張．請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的概率．24.如圖，以線段為直徑作，交射線于點C，平分交于點D，過點D作直線于點E，交的延長線于點F．連接并延長交于點M．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求的長．25.如圖所示，已知正方形的邊長為3，E，F(xiàn)分別是邊上的點，且，將繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．（1）證明：．（2）若，求的長．26.如圖，在半圓O中，直徑，點C在上，連接，弦平分，連接．（1）求證：；（2）連接．若，求的長．27.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）求出四邊形ABPC的面積最大時的P點坐標和四邊形ABPC的最大面積；（3）在直線BC找一點Q，使得△QOC為等腰三角形，寫出Q點坐標．

初三《數(shù)學》試卷一、單選題（每小題3分，共30分）1.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念對各選項圖形分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項正確；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故答案為：C.2.已知二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A.頂點坐標為 B.對稱軸為直線C.函數(shù)的最小值是 D.函數(shù)圖象與y軸的交點坐標是【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象的對稱軸以及開口方向，最值是解題的關(guān)鍵根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個選項中的說法是否正確．【詳解】由二次函數(shù)的頂點式為，頂點坐標為)，選項A說法錯誤，故該選項不符合題意；對稱軸為直線，選項B說法正確，故該選項符合題意；函數(shù)的開口方向由

a

決定，且，拋物線開口向下，拋物線有最大值，最大值為頂點的

y

坐標，為，選項C說法錯誤，故該選項不符合題意；令，則，圖象與y軸的交點坐標為，故D選項錯誤，故該選項不符合題意；故選：B．3.如圖，在中，，將繞點C旋轉(zhuǎn)，得到，若點A的對應點D恰好在的延長線上，則旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角可能為（）A.順時針， B.逆時針， C.順時針， D.逆時針，【答案】A【解析】【分析】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的定義，平角的定義，正確理解圖形旋轉(zhuǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的定義及平角的定義，即得答案．【詳解】將繞點C旋轉(zhuǎn)，得到，且點A的對應點D恰好在的延長線上，，旋轉(zhuǎn)方向為順時針時,旋轉(zhuǎn)角度為；旋轉(zhuǎn)方向逆時針時,旋轉(zhuǎn)角度為．故選：A．4.如圖，在中，，以O為圓心，長為半徑作，分別交于C、D．若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，弧與圓心角的關(guān)系，先由三角形內(nèi)角和定理得到，再由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出，則，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的度數(shù)是；故選：A．5.已知點，，都在二次函數(shù)的圖像上，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題意可得該拋物線開口向下，對稱軸為直線，得到離對稱軸越遠的點，其值越小，即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)的解析式為，對稱軸為直線，，該拋物線開口向下，離對稱軸越遠的點，其值越小，點，，，，，，即，，故選：C．6.如圖，、分別是的切線，A、B為切點，是的直徑，已知，∠P的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形及四邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；由與都為圓的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到與垂直，與垂直，可得出與都為直角，又，根據(jù)等邊對等角可得與相等，由的度數(shù)求出的度數(shù)，進而利用三角形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，在四邊形中，利用四邊形的內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)；【詳解】解：∵，分別是圓的切線，∴，，∴，∵，，∴，∴，在四邊形中，，，則，故選：D．7.下列語句中，正確的是（）A.同一平面上的三點確定一個圓B.三角形的外心到三角形三邊的距離相等C.三角形的內(nèi)心是三角形三邊垂直平分線的交點D.菱形的四邊中點在同一圓上【答案】D【解析】【分析】本題考查了確定圓的條件、三角形外心的性質(zhì)、三角形內(nèi)心的定義、四點共圓等知識．根據(jù)題意逐一對選項進行分析即可得到本題答案．【詳解】解：∵同一平面內(nèi)，不在同一直線上的三個點可以確定一個圓，故A選項不正確；∵三角形外心是三角形三邊垂直平分線的交點，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知外心到三角形三個頂點距離相等，故B選項不正確，三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點，故C選項錯誤；∵菱形的四邊中點順次連接得到矩形，矩形的對角互補，即矩形的四個頂點在以矩形的對角線為直徑的圓上，∴菱形的四邊中點在同一圓上，故D選項正確，故選：D．8.小明觀察某個路口的紅綠燈，發(fā)現(xiàn)該紅綠燈的時間設置為：紅燈20秒，黃燈5秒，綠燈15秒．當他下次到達該路口時，遇到綠燈的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查概率的意義以及概率求法，正確理解概率的意義是解題關(guān)鍵．用綠燈時間除以紅綠燈時間之和，即可得到答案．【詳解】解：紅燈20秒，黃燈5秒，綠燈15秒，遇到綠燈的概率是，故選：C．9.如圖，在中，半徑交弦于點，點為中點，若，，則的長為（）A.8 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理．根據(jù)垂徑定理，可得，再根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵點為中點，∴，∴，在中，，故選：D．10.二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤的解為，．其中正確的是（）A.①②③④ B.①③④⑤ C.①②③⑤ D.①②④⑤【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，主要利用了二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，與軸的交點，此類題目，要注意利用好特殊自變量的函數(shù)值的應用．①利用拋物線與軸有2個交點可進行判斷；②根據(jù)二次函數(shù)的開口方向確定的符號，根據(jù)對稱軸確定的符號，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸的位置確定的符號即可判斷；③根據(jù)對稱軸是直線即可判斷；④利用時，可進行判斷；⑤根據(jù)拋物線與軸的交點即可判斷．【詳解】解：①拋物線與軸有2個交點，，所以①正確；②圖象開口向下，得，對稱軸，，圖象與軸的交點在軸的上方，得，，故②正確；③拋物線的對稱軸為直線，，，所以③正確；④拋物線對稱軸為直線，圖象與軸的一個交點為，圖象與軸的另一個交點為，當時，，，故④錯誤；⑤二次函數(shù)的圖象過，，方程的解是，，故⑤正確．故選：C．二、填空題11.已知拋物線的頂點是，形狀與相同，但開口方向相反，則該拋物線解析式為____________．【答案】【解析】【分析】由形狀與函數(shù)的圖象相同且開口方向相反可知，把頂點代入頂點式即可求得拋物線解析式．本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，掌握頂點式的特點是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：設拋物線解析式為，形狀與相同，但開口方向相反，∴，∴把頂點代入得：，故答案為：．12.如圖，已知拋物線與直線交于兩點，則關(guān)于x的不等式的解集是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，旨在考查學生的數(shù)形結(jié)合能力．確定拋物線與直線的交點坐標是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象可知，當時，拋物線位于直線上方，∴不等式的解集是：，故答案為：13.如圖，為直角三角形，是斜邊，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與重合，如果，求的長為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理進行計算．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，即為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得．故答案為：．14.如圖，是的直徑，點A，D在上，若，則的度數(shù)為________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，直角三角形的性質(zhì)等等，先由直徑所對的圓周角是直角得到，再由同弧所對的圓周角相等得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得到答案．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴．故答案為：．15.生活在數(shù)字時代的我們，很多場合都要用到二維碼，二維碼的生成原理是用特定的幾何圖形按編排規(guī)律在二維方向上分布，采用黑白相間的圖形來記錄數(shù)據(jù)的符號信息，九年級學生王東幫媽媽打印了一個收款二維碼如圖所示，該二維碼的面積為，他在該二維碼上隨機擲點，經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落在白色區(qū)域的頻率穩(wěn)定在左右，則據(jù)此估計此二維碼中黑色區(qū)域的面積為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了利用頻率估計概率，解決本題的關(guān)鍵是掌握概率公式．用總面積乘以落入黑色部分的頻率穩(wěn)定值即可．【詳解】解：經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落在白色區(qū)域的頻率穩(wěn)定在左右則∴點落入黑色部分頻率穩(wěn)定在左右，據(jù)此可以估計黑色部分的面積為故答案為：．16.如圖，分別切于點切于點C，分別交于點M，，若，則的周長是_______．【答案】##15厘米【解析】【分析】本題考查切線長定理，掌握從圓外一點引圓的兩條切線，這兩條切線的長度相等是解題關(guān)鍵．根據(jù)切線長定理可知，，從而可求出，即可求解．【詳解】解：∵切于點C，∴，，∴．故答案為：．三、解答題（共72分）17.已知在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點的坐標分別是．（1）按要求作圖：①先將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到；②再作出，使它與關(guān)于原點成中心對稱．（2）直接寫出點，的坐標．【答案】（1）見解析（2）點的坐標；點的坐標．【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)變換作圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)先將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，②根據(jù)對稱的性質(zhì)作出，使它與關(guān)于原點成中心對稱；（2）結(jié)合（1）即可寫出點的坐標；點的坐標．【小問1詳解】解：①如圖，即為所求，②即為所求；【小問2詳解】解：點的坐標；點的坐標．18.二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題．（1）寫出方程的兩個根（2）寫出不等式解集（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍．（4）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）1或3（2）或（3）（4）【解析】【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）看二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標即可；（2）看x軸下方的二次函數(shù)的圖象相對應的x的范圍即可；（3）在對稱軸的右側(cè)即為y隨x的增大而減??；（4）得到相對應的函數(shù)看是怎么平移得到的即可．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為，，∴方程的兩個根為；【小問2詳解】∵由圖象可知或時，二次函數(shù)的圖象在x軸下方，∴不等式的解集為或；【小問3詳解】∵拋物線的對稱軸為直線，開口向下，∴當y隨x的增大而減小時，自變量x的取值范圍是；【小問4詳解】∵由圖象可知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，當直線在的下方時，一定與拋物線有兩個不同的交點，∴當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．19.如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)相交于兩點，是線段上一動點，是拋物線上的動點，且平行于軸，求在移動過程中，線段的最大值．【答案】2【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式設出點C，D的坐標,然后然后用點C的縱坐標減去點D縱坐標表示出，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．【詳解】解：設，，當時，有最大值，最大值為2．20.如圖所示，是的一條弦，，垂足為點，交于點，點在上．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長．【答案】（1）（2）的長為【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是明確在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．（1）根據(jù)垂徑定理的推論可得，再根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角等于圓心角的一半求解即可；（2）利用勾股定理列式求出，根據(jù)垂徑定理可得，即可求解．【小問1詳解】解：∵是的一條弦，，∴，又∵，∴．【小問2詳解】解：∵，∴，在中，由勾股定理得，∵是一條弦，，∴，則．21.某批發(fā)商出售一種成本價為10元/件的商品，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量（件）與銷售價（元/件）滿足一次函數(shù)．這種商品每周的銷售利潤為元．（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）商家為了盤活資金，減少庫存，要確保這種商品每周的銷售量不少于180件，若這種商品每周的銷售利潤為2000元，則該商品每周的銷售量是多少？【答案】（1）（2）200【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用、一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，明確題意，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式及根據(jù)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)銷售量、售價與銷售利潤之間的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式即可求解；（2）根據(jù)銷售利潤為2000元為等量關(guān)系列出方程，解方程即可求解．【小問1詳解】解：根據(jù)題意，可得；【小問2詳解】若這種商品每周的銷售利潤為2000元，即，則有，解得，，由，解得．∴，當時，．答：該商品每周的銷售量是200件．22.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）若方程有一個根為，求m的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，一元二次方程的解，熟練掌握根的判別式與根的情況的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根；（1）證明即可；（2）把代入原方程得到關(guān)于的方程，再解新方程即可求得的值．【小問1詳解】證明：，無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；【小問2詳解】解：方程有一個根為，，解得：．23.2024年巴黎奧運會新增了四個項目：霹靂舞，滑板，沖浪，運動攀巖，依次記為，，，．體育老師把這四個項目分別寫在四張背面完全相同的卡片上，將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．（1）體育老師想從這四張卡片中隨機抽取一張，了解該項目在奧運會中的得分標準，恰好抽到（沖浪）的概率是______；（2）體育老師想從中選出兩個項目，做成手抄報在學校進行普及．他先從這四張卡片中隨機抽取一張不放回，再從剩下的三張卡片（洗勻后）中隨機抽取一張．請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法，概率公式，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．（1）直接運用概率公式求解即可；（2）先畫出樹狀圖，可知共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的結(jié)果有2種，最后由概率公式求解即可．【小問1詳解】解：體育老師想從中隨機抽取一張，恰好抽到（沖浪）的概率是；故答案為：；【小問2詳解】解：畫樹狀圖如下：，共有12種等可能結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的結(jié)果數(shù)為2，體育老師抽到的兩張卡片恰好是（霹靂舞）和（滑板）的概率．24.如圖，以線段為直徑作，交射線于點C，平分交于點D，過點D作直線于點E，交的延長線于點F．連接并延長交于點M．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】此題重點考查切線的判定、直徑所對的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由證明，得，即可證明直線是的切線；（2）根據(jù)圓周角定理和等邊三角形的判定和性質(zhì)，證出是等邊三角形，進一步即可得到結(jié)論；【小問1詳解】證明：如圖，連接，則，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是的半徑，且，∴直線是的切線；【小問2詳解】解：∵線段是的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴．又，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；∵，，∴，∴，∴，∴．25.如圖所示，已知正方形的邊長為3，E，F(xiàn)分別是邊上的點，且，將繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．（1）證明：．（2）若，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先由正方形的性質(zhì)得到，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)點的性質(zhì)可得，則可證明F、C、M三點共線，再證明，即可利用邊角邊證明三角形全等；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由全等三角形的性質(zhì)得到，設，則，在中，由勾股定理建立方程求解即可．【小問1詳解】證明：∵四邊形是正方形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴F、C、M三點共線，∵，∴，在和中，，∴；【小問2詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵正方形的邊長為3，∴，∵，∴，設，則，在中，由勾股定理得，，即，解得，即．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．26.如圖，在半圓O中，直徑，點C在上，連接，弦平分，連接．（1）求證：；（2）連接．若，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)．（1）利用角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)和判定即可得證；（2）先證明是等邊三角形，再利用圓周角定理和勾股定理即可求解．【小問1詳解】證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵是直徑，∴，∴27.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的