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文檔簡介
2025年山東省沂源縣二中高三數(shù)學試題4月聯(lián)考試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.數(shù)列的通項公式為.則“”是“為遞增數(shù)列”的()條件.A.必要而不充分 B.充要 C.充分而不必要 D.即不充分也不必要2.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.3.如圖,這是某校高三年級甲、乙兩班在上學期的5次數(shù)學測試的班級平均分的莖葉圖,則下列說法不正確的是()A.甲班的數(shù)學成績平均分的平均水平高于乙班B.甲班的數(shù)學成績的平均分比乙班穩(wěn)定C.甲班的數(shù)學成績平均分的中位數(shù)高于乙班D.甲、乙兩班這5次數(shù)學測試的總平均分是1034.已知x,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知是邊長為1的等邊三角形,點,分別是邊,的中點,連接并延長到點,使得,則的值為()A. B. C. D.6.已知復數(shù),則的虛部為()A.-1 B. C.1 D.7.定義兩種運算“★”與“◆”,對任意,滿足下列運算性質:①★,◆;②()★★,◆◆,則(◆2020)(2020★2018)的值為()A. B. C. D.8.某高中高三(1)班為了沖刺高考,營造良好的學習氛圍,向班內同學征集書法作品貼在班內墻壁上,小王,小董,小李各寫了一幅書法作品,分別是:“入班即靜”,“天道酬勤”,“細節(jié)決定成敗”,為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰寫的,班主任對三人進行了問話,得到回復如下:小王說:“入班即靜”是我寫的;小董說:“天道酬勤”不是小王寫的,就是我寫的;小李說:“細節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的,則“入班即靜”的書寫者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李9.已知,則的值構成的集合是()A. B. C. D.10.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關于點成中心對稱,且與點相鄰的一個最低點為,則對于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸;②點是函數(shù)的一個對稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③11.已知點,點在曲線上運動,點為拋物線的焦點,則的最小值為()A. B. C. D.412.定義在R上的函數(shù),,若在區(qū)間上為增函數(shù),且存在,使得.則下列不等式不一定成立的是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若實數(shù)滿足約束條件,設的最大值與最小值分別為,則_____.14.函數(shù)的最大值與最小正周期相同,則在上的單調遞增區(qū)間為______.15.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,且,成等差數(shù)列,則___________.16.的展開式中項的系數(shù)為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)當時,如果方程有兩個不等實根,求實數(shù)t的取值范圍,并證明.18.(12分)已知命題:,;命題:函數(shù)無零點.(1)若為假,求實數(shù)的取值范圍;(2)若為假,為真,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)為了拓展城市的旅游業(yè),實現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流,政府決定在市與市之間建一條直達公路,中間設有至少8個的偶數(shù)個十字路口,記為,現(xiàn)規(guī)劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹,且種植每種樹木的概率均為.(1)現(xiàn)征求兩市居民的種植意見,看看哪一種植物更受歡迎,得到的數(shù)據如下所示:A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性;(2)若從所有的路口中隨機抽取4個路口,恰有個路口種植楊樹,求的分布列以及數(shù)學期望;(3)在所有的路口種植完成后,選取3個種植同一種樹的路口,記總的選取方法數(shù)為,求證:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820.(12分)在直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標系,且長度單位相同.(1)求圓的極坐標方程;(2)若直線:(為參數(shù))被圓截得的弦長為,求直線的傾斜角.21.(12分)已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點,與的公共弦的長為.(1)求的方程;(2)過點的直線與相交于、兩點,與相交于、兩點,且與同向,設在點處的切線與軸的交點為,證明:直線繞點旋轉時,總是鈍角三角形;(3)為上的動點,、為長軸的兩個端點,過點作的平行線交橢圓于點,過點作的平行線交橢圓于點,請問的面積是否為定值,并說明理由.22.(10分)已知動圓Q經過定點,且與定直線相切(其中a為常數(shù),且).記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說明C是什么曲線?(2)設點P的坐標為,過點P作曲線C的切線,切點為A,若過點P的直線m與曲線C交于M,N兩點,則是否存在直線m,使得?若存在,求出直線m斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
根據遞增數(shù)列的特點可知,解得,由此得到若是遞增數(shù)列,則,根據推出關系可確定結果.【詳解】若“是遞增數(shù)列”,則,即,化簡得:,又,,,則是遞增數(shù)列,是遞增數(shù)列,“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選:.本題考查充分條件與必要條件的判斷,涉及到根據數(shù)列的單調性求解參數(shù)范圍,屬于基礎題.2.D【解析】
根據三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側棱為2的四棱錐,畫出圖形,結合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據三視圖知,該幾何體是側棱底面的四棱錐,如圖所示:結合圖中數(shù)據知,該四棱錐底面為對角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復原幾何體是解題的關鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.3.D【解析】
計算兩班的平均值,中位數(shù),方差得到正確,兩班人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計算,錯誤,得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104,中位數(shù)是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位數(shù)是101,方差是37.6,則A,B,C正確.因為甲、乙兩班的人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計算,故D錯誤.故選:.本題考查了莖葉圖,平均值,中位數(shù),方差,意在考查學生的計算能力和應用能力.4.D【解析】
,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【詳解】因為x,,當時,不妨取,,故時,不成立,當時,不妨取,則不成立,綜上可知,“”是“”的既不充分也不必要條件,故選:D本題主要考查了充分條件,必要條件的判定,屬于容易題.5.D【解析】
設,,作為一個基底,表示向量,,,然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設,,所以,,,所以.故選:D本題主要考查平面向量的基本運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.6.A【解析】
分子分母同乘分母的共軛復數(shù)即可.【詳解】,故的虛部為.故選:A.本題考查復數(shù)的除法運算,考查學生運算能力,是一道容易題.7.B【解析】
根據新運算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值,可得選項.【詳解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此類推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此類推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故選:B.本題考查定義新運算,關鍵在于理解,運用新定義進行求值,屬于中檔題.8.D【解析】
根據題意,分別假設一個正確,推理出與假設不矛盾,即可得出結論.【詳解】解:由題意知,若只有小王的說法正確,則小王對應“入班即靜”,而否定小董說法后得出:小王對應“天道酬勤”,則矛盾;若只有小董的說法正確,則小董對應“天道酬勤”,否定小李的說法后得出:小李對應“細節(jié)決定成敗”,所以剩下小王對應“入班即靜”,但與小王的錯誤的說法矛盾;若小李的說法正確,則“細節(jié)決定成敗”不是小李的,則否定小董的說法得出:小王對應“天道酬勤”,所以得出“細節(jié)決定成敗”是小董的,剩下“入班即靜”是小李的,符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是:小李.故選:D.本題考查推理證明的實際應用.9.C【解析】
對分奇數(shù)、偶數(shù)進行討論,利用誘導公式化簡可得.【詳解】為偶數(shù)時,;為奇數(shù)時,,則的值構成的集合為.本題考查三角式的化簡,誘導公式,分類討論,屬于基本題.10.C【解析】分析:根據最低點,判斷A=3,根據對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T,再代入最低點可求得解析式為,依次判斷各選項的正確與否.詳解:因為為對稱中心,且最低點為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯誤,②正確,③當時,,所以與有6個交點,設各個交點坐標依次為,則,所以③正確所以選C點睛:本題考查了根據條件求三角函數(shù)的解析式,通過求得的解析式進一步研究函數(shù)的性質,屬于中檔題.11.D【解析】
如圖所示:過點作垂直準線于,交軸于,則,設,,則,利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示:過點作垂直準線于,交軸于,則,設,,則,當,即時等號成立.故選:.本題考查了拋物線中距離的最值問題,意在考查學生的計算能力和轉化能力.12.D【解析】
根據題意判斷出函數(shù)的單調性,從而根據單調性對選項逐個判斷即可.【詳解】由條件可得函數(shù)關于直線對稱;在,上單調遞增,且在時使得;又,,所以選項成立;,比離對稱軸遠,可得,選項成立;,,可知比離對稱軸遠,選項成立;,符號不定,,無法比較大小,不一定成立.故選:.本題考查了函數(shù)的基本性質及其應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
畫出可行域,平移基準直線到可行域邊界位置,由此求得最大值以及最小值,進而求得的比值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知,當直線過點時,取得最大值7;過點時,取得最小值2,所以.本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是:首先根據題目所給的約束條件,畫出可行域;其次是求得線性目標函數(shù)的基準函數(shù);接著畫出基準函數(shù)對應的基準直線;然后通過平移基準直線到可行域邊界的位置;最后求出所求的最值.屬于基礎題.14.【解析】
利用三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡,求出函數(shù)的解析式,結合三角函數(shù)的單調性進行求解即可.【詳解】∵,則函數(shù)的最大值為2,周期,的最大值與最小正周期相同,,得,則,當時,,則當時,得,即函數(shù)在,上的單調遞增區(qū)間為,故答案為:.本題考查三角函數(shù)的性質、單調區(qū)間,利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵,同時要注意單調區(qū)間為定義域的一個子區(qū)間.15.【解析】
利用等差中項的性質和等比數(shù)列通項公式得到關于的方程,解方程求出代入等比數(shù)列通項公式即可.【詳解】因為,成等差數(shù)列,所以,由等比數(shù)列通項公式得,,所以,解得或,因為,所以,所以等比數(shù)列的通項公式為.故答案為:本題考查等差中項的性質和等比數(shù)列通項公式;考查運算求解能力和知識綜合運用能力;熟練掌握等差中項和等比數(shù)列通項公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題.16.40【解析】
根據二項定理展開式,求得r的值,進而求得系數(shù).【詳解】根據二項定理展開式的通項式得所以,解得所以系數(shù)本題考查了二項式定理的簡單應用,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)當時,的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是;當時,的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是;(2),證明見解析.【解析】
(1)求出,對分類討論,分別求出的解,即可得出結論;(2)由(1)得出有兩解時的范圍,以及關系,將,等價轉化為證明,不妨設,令,則,即證,構造函數(shù),只要證明對于任意恒成立即可.【詳解】(1)的定義域為R,且.由,得;由,得.故當時,函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是;當時,函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是.(2)由(1)知當時,,且.當時,;當時,.當時,直線與的圖像有兩個交點,實數(shù)t的取值范圍是.方程有兩個不等實根,,,,,,即.要證,只需證,即證,不妨設.令,則,則要證,即證.令,則.令,則,在上單調遞增,.,在上單調遞增,,即成立,即成立..本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用,涉及到函數(shù)單調性、極值、零點、不等式證明,構造函數(shù)函數(shù)是解題的關鍵,意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于較難題.18.(1)(2)【解析】
(1)為假,則為真,求導,利用導函數(shù)研究函數(shù)有零點條件得的取值范圍;(2)由為假,為真,知一真一假;分類討論列不等式組可解.【詳解】(1)依題意,為真,則無解,即無解;令,則,故當時,,單調遞增,當,,單調遞減,作出函數(shù)圖象如下所示,觀察可知,,即;(2)若為真,則,解得;由為假,為真,知一真一假;若真假,則實數(shù)滿足,則;若假真,則實數(shù)滿足,無解;綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.本題考查根據全(特)稱命題的真假求參數(shù)的問題.其思路:與全稱命題或特稱命題真假有關的參數(shù)取值范圍問題的本質是恒成立問題或有解問題.解決此類問題時,一般先利用等價轉化思想將條件合理轉化,得到關于參數(shù)的方程或不等式(組),再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍.19.(1)沒有(2)分布列見解析,(3)證明見解析【解析】
(1)根據公式計算卡方值,再對應卡值表判斷..(2)根據題意,隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4,分別求得概率,寫出分布列,根據期望公式求值.(3)因為至少8個的偶數(shù)個十字路口,所以,即.要證,即證,根據組合數(shù)公式,即證;易知有.成立.設個路口中有個路口種植楊樹,下面分類討論①當時,由論證.②當時,由論證.③當時,,設,再論證當時,取得最小值即可.【詳解】(1)本次實驗中,,故沒有99.9%的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性.(2)依題意,的可能取值為0,1,2,3,4,故,,01234故.(3)∵,∴.要證,即證;首先證明:對任意,有.證明:因為,所以.設個路口中有個路口種植楊樹,①當時,,因為,所以,于是.②當時,,同上可得③當時,,設,當時,,顯然,當即時,,當即時,,即;,因此,即.綜上,,即.本題考查獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列以及期望、排列組合,還考查運算求解能力以及必然與或然思想,屬于難題.20.(1);(2)或【解析】
(1)消去參數(shù)可得圓的直角坐標方程,再根據,,即可得極坐標方程;(2)寫出直線的極坐標方程為,代入圓的極坐標方程,根據極坐標的意義列出等式解出即可.【詳解】(1)圓:,消去參數(shù)得:,即:,∵,,.∴,.(2)∵直線:的極坐標方程為,當時.即:,∴或.∴或,∴直線的傾斜角為或.本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程,直角坐標方程化為極坐標方程以及極坐標的幾何意義,屬于中檔題.21.(1);(2)證明見解析;(3)是,理由見解析.【解析】
(1)根據兩個曲線的焦點相同,得到,
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