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2025年山東省沂源縣二中高三數(shù)學(xué)試題4月聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為.則“”是“為遞增數(shù)列”的()條件.A.必要而不充分 B.充要 C.充分而不必要 D.即不充分也不必要2.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.3.如圖,這是某校高三年級(jí)甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測(cè)試的班級(jí)平均分的莖葉圖,則下列說(shuō)法不正確的是()A.甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的平均水平高于乙班B.甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分比乙班穩(wěn)定C.甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的中位數(shù)高于乙班D.甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測(cè)試的總平均分是1034.已知x,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn),分別是邊,的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,則的值為()A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù),則的虛部為()A.-1 B. C.1 D.7.定義兩種運(yùn)算“★”與“◆”,對(duì)任意,滿足下列運(yùn)算性質(zhì):①★,◆;②()★★,◆◆,則(◆2020)(2020★2018)的值為()A. B. C. D.8.某高中高三(1)班為了沖刺高考,營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍,向班內(nèi)同學(xué)征集書(shū)法作品貼在班內(nèi)墻壁上,小王,小董,小李各寫(xiě)了一幅書(shū)法作品,分別是:“入班即靜”,“天道酬勤”,“細(xì)節(jié)決定成敗”,為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰(shuí)寫(xiě)的,班主任對(duì)三人進(jìn)行了問(wèn)話,得到回復(fù)如下:小王說(shuō):“入班即靜”是我寫(xiě)的;小董說(shuō):“天道酬勤”不是小王寫(xiě)的,就是我寫(xiě)的;小李說(shuō):“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫(xiě)的.若三人的說(shuō)法有且僅有一人是正確的,則“入班即靜”的書(shū)寫(xiě)者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李9.已知,則的值構(gòu)成的集合是()A. B. C. D.10.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱,且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為,則對(duì)于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸;②點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③11.已知點(diǎn),點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.412.定義在R上的函數(shù),,若在區(qū)間上為增函數(shù),且存在,使得.則下列不等式不一定成立的是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若實(shí)數(shù)滿足約束條件,設(shè)的最大值與最小值分別為,則_____.14.函數(shù)的最大值與最小正周期相同,則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_____.15.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,且,成等差數(shù)列,則___________.16.的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),如果方程有兩個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍,并證明.18.(12分)已知命題:,;命題:函數(shù)無(wú)零點(diǎn).(1)若為假,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若為假,為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)為了拓展城市的旅游業(yè),實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流,政府決定在市與市之間建一條直達(dá)公路,中間設(shè)有至少8個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口,記為,現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)路口處種植一顆楊樹(shù)或者木棉樹(shù),且種植每種樹(shù)木的概率均為.(1)現(xiàn)征求兩市居民的種植意見(jiàn),看看哪一種植物更受歡迎,得到的數(shù)據(jù)如下所示:A市居民B市居民喜歡楊樹(shù)300200喜歡木棉樹(shù)250250是否有的把握認(rèn)為喜歡樹(shù)木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性;(2)若從所有的路口中隨機(jī)抽取4個(gè)路口,恰有個(gè)路口種植楊樹(shù),求的分布列以及數(shù)學(xué)期望;(3)在所有的路口種植完成后,選取3個(gè)種植同一種樹(shù)的路口,記總的選取方法數(shù)為,求證:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820.(12分)在直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且長(zhǎng)度單位相同.(1)求圓的極坐標(biāo)方程;(2)若直線:(為參數(shù))被圓截得的弦長(zhǎng)為,求直線的傾斜角.21.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),與的公共弦的長(zhǎng)為.(1)求的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn),與相交于、兩點(diǎn),且與同向,設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為,證明:直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),總是鈍角三角形;(3)為上的動(dòng)點(diǎn),、為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的平行線交橢圓于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的平行線交橢圓于點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)的面積是否為定值,并說(shuō)明理由.22.(10分)已知?jiǎng)訄AQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn),且與定直線相切(其中a為常數(shù),且).記動(dòng)圓圓心Q的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說(shuō)明C是什么曲線?(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)P作曲線C的切線,切點(diǎn)為A,若過(guò)點(diǎn)P的直線m與曲線C交于M,N兩點(diǎn),則是否存在直線m,使得?若存在,求出直線m斜率的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
根據(jù)遞增數(shù)列的特點(diǎn)可知,解得,由此得到若是遞增數(shù)列,則,根據(jù)推出關(guān)系可確定結(jié)果.【詳解】若“是遞增數(shù)列”,則,即,化簡(jiǎn)得:,又,,,則是遞增數(shù)列,是遞增數(shù)列,“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選:.本題考查充分條件與必要條件的判斷,涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】
根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐,畫(huà)出圖形,結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對(duì)角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.3.D【解析】
計(jì)算兩班的平均值,中位數(shù),方差得到正確,兩班人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無(wú)法計(jì)算,錯(cuò)誤,得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104,中位數(shù)是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位數(shù)是101,方差是37.6,則A,B,C正確.因?yàn)榧住⒁覂砂嗟娜藬?shù)不知道,所以兩班的總平均分無(wú)法計(jì)算,故D錯(cuò)誤.故選:.本題考查了莖葉圖,平均值,中位數(shù),方差,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.4.D【解析】
,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【詳解】因?yàn)閤,,當(dāng)時(shí),不妨取,,故時(shí),不成立,當(dāng)時(shí),不妨取,則不成立,綜上可知,“”是“”的既不充分也不必要條件,故選:D本題主要考查了充分條件,必要條件的判定,屬于容易題.5.D【解析】
設(shè),,作為一個(gè)基底,表示向量,,,然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè),,所以,,,所以.故選:D本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】
分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】,故的虛部為.故選:A.本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生運(yùn)算能力,是一道容易題.7.B【解析】
根據(jù)新運(yùn)算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值,可得選項(xiàng).【詳解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此類推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此類推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故選:B.本題考查定義新運(yùn)算,關(guān)鍵在于理解,運(yùn)用新定義進(jìn)行求值,屬于中檔題.8.D【解析】
根據(jù)題意,分別假設(shè)一個(gè)正確,推理出與假設(shè)不矛盾,即可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意知,若只有小王的說(shuō)法正確,則小王對(duì)應(yīng)“入班即靜”,而否定小董說(shuō)法后得出:小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”,則矛盾;若只有小董的說(shuō)法正確,則小董對(duì)應(yīng)“天道酬勤”,否定小李的說(shuō)法后得出:小李對(duì)應(yīng)“細(xì)節(jié)決定成敗”,所以剩下小王對(duì)應(yīng)“入班即靜”,但與小王的錯(cuò)誤的說(shuō)法矛盾;若小李的說(shuō)法正確,則“細(xì)節(jié)決定成敗”不是小李的,則否定小董的說(shuō)法得出:小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”,所以得出“細(xì)節(jié)決定成敗”是小董的,剩下“入班即靜”是小李的,符合題意.所以“入班即靜”的書(shū)寫(xiě)者是:小李.故選:D.本題考查推理證明的實(shí)際應(yīng)用.9.C【解析】
對(duì)分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論,利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得.【詳解】為偶數(shù)時(shí),;為奇數(shù)時(shí),,則的值構(gòu)成的集合為.本題考查三角式的化簡(jiǎn),誘導(dǎo)公式,分類討論,屬于基本題.10.C【解析】分析:根據(jù)最低點(diǎn),判斷A=3,根據(jù)對(duì)稱中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T,再代入最低點(diǎn)可求得解析式為,依次判斷各選項(xiàng)的正確與否.詳解:因?yàn)闉閷?duì)稱中心,且最低點(diǎn)為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯(cuò)誤,②正確,③當(dāng)時(shí),,所以與有6個(gè)交點(diǎn),設(shè)各個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)依次為,則,所以③正確所以選C點(diǎn)睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過(guò)求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.11.D【解析】
如圖所示:過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于,交軸于,則,設(shè),,則,利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示:過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于,交軸于,則,設(shè),,則,當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:.本題考查了拋物線中距離的最值問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.12.D【解析】
根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性,從而根據(jù)單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【詳解】由條件可得函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱;在,上單調(diào)遞增,且在時(shí)使得;又,,所以選項(xiàng)成立;,比離對(duì)稱軸遠(yuǎn),可得,選項(xiàng)成立;,,可知比離對(duì)稱軸遠(yuǎn),選項(xiàng)成立;,符號(hào)不定,,無(wú)法比較大小,不一定成立.故選:.本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
畫(huà)出可行域,平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置,由此求得最大值以及最小值,進(jìn)而求得的比值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示,由圖可知,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值7;過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最小值2,所以.本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是:首先根據(jù)題目所給的約束條件,畫(huà)出可行域;其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù);接著畫(huà)出基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)直線;然后通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置;最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
利用三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn),求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】∵,則函數(shù)的最大值為2,周期,的最大值與最小正周期相同,,得,則,當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),得,即函數(shù)在,上的單調(diào)遞增區(qū)間為,故答案為:.本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)區(qū)間,利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵,同時(shí)要注意單調(diào)區(qū)間為定義域的一個(gè)子區(qū)間.15.【解析】
利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到關(guān)于的方程,解方程求出代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可.【詳解】因?yàn)椋傻炔顢?shù)列,所以,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得,,所以,解得或,因?yàn)椋?,所以等比?shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為:本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)綜合運(yùn)用能力;熟練掌握等差中項(xiàng)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.16.40【解析】
根據(jù)二項(xiàng)定理展開(kāi)式,求得r的值,進(jìn)而求得系數(shù).【詳解】根據(jù)二項(xiàng)定理展開(kāi)式的通項(xiàng)式得所以,解得所以系數(shù)本題考查了二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;(2),證明見(jiàn)解析.【解析】
(1)求出,對(duì)分類討論,分別求出的解,即可得出結(jié)論;(2)由(1)得出有兩解時(shí)的范圍,以及關(guān)系,將,等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明,不妨設(shè),令,則,即證,構(gòu)造函數(shù),只要證明對(duì)于任意恒成立即可.【詳解】(1)的定義域?yàn)镽,且.由,得;由,得.故當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)由(1)知當(dāng)時(shí),,且.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),直線與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),實(shí)數(shù)t的取值范圍是.方程有兩個(gè)不等實(shí)根,,,,,,即.要證,只需證,即證,不妨設(shè).令,則,則要證,即證.令,則.令,則,在上單調(diào)遞增,.,在上單調(diào)遞增,,即成立,即成立..本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)、不等式證明,構(gòu)造函數(shù)函數(shù)是解題的關(guān)鍵,意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于較難題.18.(1)(2)【解析】
(1)為假,則為真,求導(dǎo),利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)有零點(diǎn)條件得的取值范圍;(2)由為假,為真,知一真一假;分類討論列不等式組可解.【詳解】(1)依題意,為真,則無(wú)解,即無(wú)解;令,則,故當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng),,單調(diào)遞減,作出函數(shù)圖象如下所示,觀察可知,,即;(2)若為真,則,解得;由為假,為真,知一真一假;若真假,則實(shí)數(shù)滿足,則;若假真,則實(shí)數(shù)滿足,無(wú)解;綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題考查根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)的問(wèn)題.其思路:與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)是恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題.解決此類問(wèn)題時(shí),一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化,得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組),再通過(guò)解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍.19.(1)沒(méi)有(2)分布列見(jiàn)解析,(3)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)公式計(jì)算卡方值,再對(duì)應(yīng)卡值表判斷..(2)根據(jù)題意,隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,分別求得概率,寫(xiě)出分布列,根據(jù)期望公式求值.(3)因?yàn)橹辽?個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口,所以,即.要證,即證,根據(jù)組合數(shù)公式,即證;易知有.成立.設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹(shù),下面分類討論①當(dāng)時(shí),由論證.②當(dāng)時(shí),由論證.③當(dāng)時(shí),,設(shè),再論證當(dāng)時(shí),取得最小值即可.【詳解】(1)本次實(shí)驗(yàn)中,,故沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為喜歡樹(shù)木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性.(2)依題意,的可能取值為0,1,2,3,4,故,,01234故.(3)∵,∴.要證,即證;首先證明:對(duì)任意,有.證明:因?yàn)?,所?設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹(shù),①當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以,于?②當(dāng)時(shí),,同上可得③當(dāng)時(shí),,設(shè),當(dāng)時(shí),,顯然,當(dāng)即時(shí),,當(dāng)即時(shí),,即;,因此,即.綜上,,即.本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望、排列組合,還考查運(yùn)算求解能力以及必然與或然思想,屬于難題.20.(1);(2)或【解析】
(1)消去參數(shù)可得圓的直角坐標(biāo)方程,再根據(jù),,即可得極坐標(biāo)方程;(2)寫(xiě)出直線的極坐標(biāo)方程為,代入圓的極坐標(biāo)方程,根據(jù)極坐標(biāo)的意義列出等式解出即可.【詳解】(1)圓:,消去參數(shù)得:,即:,∵,,.∴,.(2)∵直線:的極坐標(biāo)方程為,當(dāng)時(shí).即:,∴或.∴或,∴直線的傾斜角為或.本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程,直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)的幾何意義,屬于中檔題.21.(1);(2)證明見(jiàn)解析;(3)是,理由見(jiàn)解析.【解析】
(1)根據(jù)兩個(gè)曲線的焦點(diǎn)相同,得到,
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