2024秋八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1章分式1.4分式的加法和減法第3課時(shí)異分母分式的加減教案1新版湘教版

Page1第3課時(shí)異分母分式的加減1．駕馭異分母分式的加減法；(重點(diǎn))2．理解分式混合運(yùn)算的依次，并會(huì)嫻熟進(jìn)行分式的混合運(yùn)算．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入小明用10元錢買甲種商品a千克，同樣用10元錢買乙種商品b千克(a＞b)，乙種商品比甲種商品每千克貴多少元？二、合作探究探究點(diǎn)一：異分母分式的加減法【類型一】分母是單項(xiàng)式計(jì)算：(1)eq\f(3,2x)－eq\f(1,3y)；(2)eq\f(1,a)－eq\f(1,2ab)＋eq\f(a,bc).解析：(1)小題的最簡(jiǎn)公分母是6xy，(2)小題的最簡(jiǎn)公分母是2abc，通分后再依據(jù)同分母分式相加減的法則進(jìn)行計(jì)算．解：(1)eq\f(3,2x)－eq\f(1,3y)＝eq\f(9y,6xy)－eq\f(2x,6xy)＝eq\f(9y－2x,6xy)；(2)eq\f(1,a)－eq\f(1,2ab)＋eq\f(a,bc)＝eq\f(2bc,2abc)－eq\f(c,2abc)＋eq\f(2a2,2abc)＝eq\f(2bc－c＋2a2,2abc).方法總結(jié)：異分母分式相加減，先通分，再轉(zhuǎn)化為同分母分式相加減．【類型二】分母是多項(xiàng)式計(jì)算：(1)eq\f(x,x2－4)－eq\f(2,x2＋4x＋4)；(2)eq\f(a2－4,a＋2)＋a＋2；(3)eq\f(m,m－n)－eq\f(n,m＋n)＋eq\f(2mn,m2－n2).解析：依據(jù)分式的加減法法則，(1)、(3)中先找出最簡(jiǎn)公分母分別為(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后運(yùn)用同分母分式加減法法則運(yùn)算；(2)中把后面的加數(shù)a＋2看成分母為1的式子進(jìn)行通分．解：(1)原式＝eq\f(x,（x＋2）（x－2）)－eq\f(2,（x＋2）2)＝eq\f(x（x＋2）,（x＋2）2（x－2）)－eq\f(2（x－2）,（x＋2）2（x－2）)＝eq\f(x（x＋2）－2（x－2）,（x＋2）2（x－2）)＝eq\f(x2＋4,（x＋2）2（x－2）)；(2)原式＝eq\f(a2－4＋（a＋2）2,a＋2)＝eq\f(2a（a＋2）,a＋2)＝2a；(3)原式＝eq\f(m（m＋n）,（m＋n）（m－n）)－eq\f(n（m－n）,（m＋n）（m－n）)＋eq\f(2mn,（m＋n）（m－n）)＝eq\f(m2＋2mn＋n2,（m＋n）（m－n）)＝eq\f(m＋n,m－n).方法總結(jié)：分母是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解，目的是為了找最簡(jiǎn)公分母以便通分．對(duì)于整式與分式的加減運(yùn)算，可以將整式的每一項(xiàng)的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整體看成1，再進(jìn)行通分運(yùn)算．探究點(diǎn)二：分式的混合運(yùn)算計(jì)算：(1)(eq\f(x2－4x＋4,x2－4)－eq\f(x,x＋2))÷eq\f(x－1,x＋2)；(2)eq\f(a－5,2a－6)÷(eq\f(16,a－3)－a－3)．解：(1)原式＝[eq\f(（x－2）2,（x－2）（x＋2）)－eq\f(x,x＋2)]÷eq\f(x－1,x＋2)＝(eq\f(x－2,x＋2)－eq\f(x,x＋2))÷eq\f(x－1,x＋2)＝eq\f(－2,x＋2)×eq\f(x＋2,x－1)＝－eq\f(2,x－1)；(2)原式＝eq\f(a－5,2a－6)÷(eq\f(16,a－3)－eq\f(a2－9,a－3))＝eq\f(a－5,2（a－3）)÷eq\f(（5＋a）（5－a）,a－3)＝eq\f(a－5,2（a－3）)·eq\f(a－3,（5＋a）（5－a）)＝－eq\f(1,10＋2a).方法總結(jié)：對(duì)于一般的分式混合運(yùn)算來(lái)講，其運(yùn)算依次與整式混合運(yùn)算一樣，是先乘方，再乘除，最終算加減，假如遇到括號(hào)要先算括號(hào)里面的．在此基礎(chǔ)上，有時(shí)也應(yīng)當(dāng)依據(jù)詳細(xì)問(wèn)題的特點(diǎn)，敏捷應(yīng)變，留意方法．探究點(diǎn)三：分式運(yùn)算的化簡(jiǎn)求值【類型一】先化簡(jiǎn)，再依據(jù)所給字母的值求分式的值先化簡(jiǎn)，再求值：(eq\f(1,x－y)＋eq\f(1,x＋y))÷eq\f(2x,x2＋2xy＋y2)，其中x＝1，y＝－2.解析：化簡(jiǎn)時(shí)，先把括號(hào)內(nèi)通分，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，把多項(xiàng)式因式分解，再約分，最終代值計(jì)算．解：原式＝eq\f(2x,（x－y）（x＋y）)·eq\f(（x＋y）2,2x)＝eq\f(x＋y,x－y)，當(dāng)x＝1，y＝－2時(shí)，原式＝eq\f(1＋（－2）,1－（－2）)＝－eq\f(1,3).方法總結(jié)：分式的化簡(jiǎn)求值，其關(guān)鍵步驟是分式的化簡(jiǎn)．要熟識(shí)混合運(yùn)算的計(jì)算依次，式子化到最簡(jiǎn)再代值計(jì)算．【類型二】先化簡(jiǎn)，再自選字母的值求分式的值先化簡(jiǎn)，再選擇使原式有意義而你寵愛(ài)的數(shù)代入求值：eq\f(2x＋6,x2－4x＋4)·eq\f(x－2,x2＋3x)－eq\f(1,x－2).解析：先把分式化簡(jiǎn)，再選數(shù)代入，x取除－3、0和2以外的任何數(shù)．解：原式＝eq\f(2（x＋3）,（x－2）2)·eq\f(x－2,x（x＋3）)－eq\f(1,x－2)＝eq\f(2,x（x－2）)－eq\f(1,x－2)＝eq\f(2－x,x（x－2）)＝－eq\f(1,x).當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何數(shù))方法總結(jié)：取寵愛(ài)的數(shù)代入求值時(shí)，要留意所選擇的值肯定滿意分式分母不為0，這包括原式及化簡(jiǎn)過(guò)程中的每一步的分式都有意義．【類型三】整體代入求值已知實(shí)數(shù)a滿意a2＋2a－8＝0，求eq\f(1,a＋1)－eq\f(a＋3,a2－1)·eq\f(a2－2a＋1,（a＋1）（a＋3）)的值．解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解，進(jìn)行約分，然后進(jìn)行減法運(yùn)算，最終整體代值計(jì)算．解：eq\f(1,a＋1)－eq\f(a＋3,a2－1)·eq\f(a2－2a＋1,（a＋1）（a＋3）)＝eq\f(1,a＋1)－eq\f(a＋3,（a＋1）（a－1）)·eq\f(（a－1）2,（a＋1）（a＋3）)＝eq\f(1,a＋1)－eq\f(a－1,（a＋1）2)＝eq\f(2,（a＋1）2)＝eq\f(2,a2＋2a＋1).因?yàn)閍2＋2a－8＝0，所以a2＋2a＝8，eq\f(2,a2＋2a＋1)＝eq\f(2,8＋1)＝eq\f(2,9).方法總結(jié)：利用“整體代入”思想化簡(jiǎn)求值時(shí)，先把要求值的代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后將已知條件變換成適合所求代數(shù)式的形式，再整體代入即可．探究點(diǎn)四：運(yùn)用分式解決實(shí)際問(wèn)題有一客輪來(lái)回于重慶和武漢之間，第一次來(lái)回航行時(shí)，長(zhǎng)江的水流速度為a千米/小時(shí)；其次次來(lái)回航行時(shí)，正遇上長(zhǎng)江汛期，水流速度為b千米/小時(shí)(b＞a)．已知該船在兩次航行中，靜水速度都為v千米/小時(shí)，問(wèn)該船兩次來(lái)回航行所花時(shí)間是否相等，若你認(rèn)為相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；若你認(rèn)為不相等，請(qǐng)分別表示出兩次航行所花的時(shí)間，并指出哪次時(shí)間更短些？解析：重慶和武漢之間的路程肯定，可設(shè)其為s，所用時(shí)間＝順流時(shí)間＋逆流時(shí)間，留意順流速度＝靜水速度＋水流速度；逆流速度＝靜水速度－水流速度，把相關(guān)數(shù)值代入，比較即可．解：設(shè)兩次航行的路程都為s.第一次所用時(shí)間為：eq\f(s,v＋a)＋eq\f(s,v－a)＝eq\f(2vs,v2－a2)，其次次所用時(shí)間為：eq\f(s,v＋b)＋eq\f(s,v－b)＝eq\f(2vs,v2－b2)，∵b＞a，∴b2＞a2，∴v2－b2＜v2－a2.∴eq\f(2vs,v2－b2)＞eq\f(2vs,v2－a2).∴第一次的時(shí)間要短些．方法總結(jié)：①運(yùn)用分式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，用分式表示實(shí)際問(wèn)題中的量是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．②比較分子相同的兩個(gè)分式的大小，分母大的反而小．三、板書設(shè)計(jì)1．異分母分式的加減法：先通分，化為同分母分式，再按同分母分式相加減的法則進(jìn)行計(jì)算．2．分式的