2025版高考數(shù)學二輪復習第2部分專題7鴨4系列第1講坐標系與參數(shù)方程教案理選修4-4

PAGE1-第1講選修4－4坐標系與參數(shù)方程極坐標與曲線的極坐標方程(5年5考)[高考解讀]以極坐標系下兩曲線的位置關系為載體，考查極坐標的表示、極徑的幾何意義，極坐標與直角坐標的互化等問題，考查學生的等價轉化實力、邏輯推理及數(shù)學運算的素養(yǎng).1．(2024·全國卷Ⅲ)如圖，在極坐標系Ox中，A(2,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π,4)))，D(2，π)，弧eq\o(AB,\s\up10(︵))，eq\o(BC,\s\up10(︵))，eq\o(CD,\s\up10(︵))所在圓的圓心分別是(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，(1，π)，曲線M1是弧eq\o(AB,\s\up10(︵))，曲線M2是弧eq\o(BC,\s\up10(︵))，曲線M3是弧eq\o(CD,\s\up10(︵)).(1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程；(2)曲線M由M1，M2，M3構成，若點P在M上，且|OP|＝eq\r(3)，求P的極坐標．[解](1)由題設可得，弧eq\o(AB,\s\up10(︵))，eq\o(BC,\s\up10(︵))，eq\o(CD,\s\up10(︵))所在圓的極坐標方程分別為ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的極坐標方程為ρ＝2cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π,4)))，M2的極坐標方程為ρ＝2sinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)≤θ≤\f(3π,4)))，M3的極坐標方程為ρ＝－2cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)≤θ≤π)).(2)設P(ρ，θ)，由題設及(1)知若0≤θ≤eq\f(π,4)，則2cosθ＝eq\r(3)，解得θ＝eq\f(π,6)；若eq\f(π,4)≤θ≤eq\f(3π,4)，則2sinθ＝eq\r(3)，解得θ＝eq\f(π,3)或θ＝eq\f(2π,3)；若eq\f(3π,4)≤θ≤π，則－2cosθ＝eq\r(3)，解得θ＝eq\f(5π,6).綜上，P的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(π,6)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(π,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(2π,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(5π,6))).2．(2024·全國卷Ⅱ)在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲線C：ρ＝4sinθ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當θ0＝eq\f(π,3)時，求ρ0及l(fā)的極坐標方程；(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程．[解](1)因為M(ρ0，θ0)在曲線C上，當θ0＝eq\f(π,3)時，ρ0＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3).由已知得|OP|＝|OA|coseq\f(π,3)＝2.設Q(ρ，θ)為l上除P外的隨意一點．連接OQ，在Rt△OPQ中，ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝|OP|＝2.經檢驗，點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))在曲線ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝2上．所以，l的極坐標方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝2.(2)設P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因為P在線段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).所以，P點軌跡的極坐標方程為ρ＝4cosθ，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).[老師備選題]1．(2015·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，設C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積．[解](1)因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的極坐標方程為ρcosθ＝－2，C2的極坐標方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)將θ＝eq\f(π,4)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3eq\r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq\r(2)，ρ2＝eq\r(2).故ρ1－ρ2＝eq\r(2)，即|MN|＝eq\r(2).由于C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為eq\f(1,2).2．(2024·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿意|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設點A的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．[解](1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)．由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq\f(4,cosθ).由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標方程為ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)．由題設知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面積S＝eq\f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))－\f(\r(3),2)))≤2＋eq\r(3).當α＝－eq\f(π,12)時，S取得最大值2＋eq\r(3).所以△OAB面積的最大值為2＋eq\r(3).1．極徑的幾何意義及其應用(1)幾何意義：極徑ρ表示極坐標平面內點M到極點O的距離．(2)應用：一般應用于過極點的直線與曲線相交，所得的弦長問題，須要用極徑表示出弦長，結合根與系數(shù)的關系解題．2．極坐標化直角坐標的常用技巧(1)通常要用ρ去乘方程的兩邊，使之出現(xiàn)ρ2，ρcosθ，ρsinθ的形式．(2)含關于tanθ的方程用公式tanθ＝eq\f(y,x).1．(極坐標的表示)(2024·蘭州模擬)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1：ρcosθ＝3，曲線C2：ρ＝4cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ＜\f(π,2))).(1)求C1與C2交點的極坐標；(2)設點Q在C2上，eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(QP,\s\up7(→))，求動點P的極坐標方程．[解](1)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρcosθ＝3，,ρ＝4cosθ，得cosθ＝±\f(\r(3),2)，))因為0≤θ≤eq\f(π,2)，θ＝eq\f(π,6)，ρ＝2eq\r(3)，所以所求交點的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6))).(2)設P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)且ρ0＝4cosθ0，θ0∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，由已知eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(QP,\s\up7(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ0＝\f(2,5)ρ，,θ0＝θ，))所以eq\f(2,5)ρ＝4cosθ，點P的極坐標方程為ρ＝10cosθ，θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).2．(極坐標同直角坐標的互化)已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ＝2，ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2.(1)將圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經過兩圓交點的直線的極坐標方程．[解](1)由ρ＝2，知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4，因為ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2，所以ρ2－2eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθcos\f(π,4)＋sinθsin\f(π,4)))＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)將兩圓的直角坐標方程相減，得經過兩圓交點的直線方程為x＋y＝1，化為極坐標方程為ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2).3．(極坐標的應用)(2024·鄭州模擬)已知曲線C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲線C1上的動點，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，以極點O為中心，將點A繞點O逆時針旋轉90°得到點B，設點B的軌跡為曲線C2.(1)求曲線C1，C2的極坐標方程；(2)射線θ＝eq\f(5π,6)(ρ＞0)與曲線C1，C2分別交于P，Q兩點，定點M(－4,0)，求△MPQ的面積．[解](1)曲線C1：x2＋(y－3)2＝9，把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))代入可得，曲線C1的極坐標方程為ρ＝6sinθ.設B(ρ，θ)，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ，θ－\f(π,2)))，則ρ＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝－6cosθ.所以曲線C2的極坐標方程為ρ＝－6cosθ.(2)M到直線θ＝eq\f(5π,6)的距離為d＝4sineq\f(5π,6)＝2，射線θ＝eq\f(5π,6)與曲線C1的交點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5π,6)))，射線θ＝eq\f(5π,6)與曲線C2的交點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(3)，\f(5π,6)))，所以|PQ|＝3eq\r(3)－3，故△MPQ的面積S＝eq\f(1,2)×|PQ|×d＝3eq\r(3)－3.曲線的參數(shù)方程(5年4考)[高考解讀]以直線、圓及圓錐曲線的參數(shù)方程為載體，考查參數(shù)方程同一般方程的互化，參數(shù)的幾何意義，以及解析幾何中的最值、范圍、位置關系等問題，考查數(shù)學運算及等價轉化的數(shù)學素養(yǎng).(2024·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，過點(0，－eq\r(2))且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點．(1)求α的取值范圍；(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程．[解](1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1.當α＝eq\f(π,2)時，l與⊙O交于兩點．當α≠eq\f(π,2)時，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－eq\r(2).l與⊙O交于兩點當且僅當eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),\r(1＋k2))))＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))或α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).綜上，α的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).(2)l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－\r(2)＋tsinα))t為參數(shù)，eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4).設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝eq\f(tA＋tB,2)，且tA，tB滿意t2－2eq\r(2)tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2eq\r(2)sinα，tP＝eq\r(2)sinα.又點P的坐標(x，y)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tPcosα，,y＝－\r(2)＋tPsinα，))所以點P的軌跡的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cos2α))α為參數(shù)，eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4).[老師備選題](2014·全國卷Ⅰ)已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))．(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的一般方程；(2)過曲線C上隨意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．[解](1)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．直線l的一般方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上隨意一點P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|.則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).1．直線方程中參數(shù)t的幾何意義的應用經過點P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))．若A，B為直線l上的兩點，其對應的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應的參數(shù)為t0，則以下結論在解題中常常用到：(1)t0＝eq\f(t1＋t2,2)；(2)|PM|＝|t0|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2)))；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.2．求橢圓、雙曲線等曲線上的點到直線的距離的最值時，往往通過參數(shù)方程引入三角函數(shù)，再借助三角函數(shù)的性質進行求解．駕馭參數(shù)方程與一般方程互化的規(guī)律是求解此類問題的關鍵．3．不能忽視所給直線方程是不是直線的標準參數(shù)方程，非標準的直線參數(shù)方程中的t不具有幾何意義．1．(參數(shù)的幾何意義的應用)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為x2＋y2＝4，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2－t，,y＝3\r(3)＋\r(3)t))(t為參數(shù))，若將曲線C1上的點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膃q\f(3,2)倍，得曲線C2.(1)寫出曲線C2的參數(shù)方程；(2)設點P(－2,3eq\r(3))，直線l與曲線C2的兩個交點分別為A，B，求eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)的值．[解](1)若將曲線C1上的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膃q\f(3,2)倍，則曲線C2的直角坐標方程為x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)y))eq\s\up12(2)＝4，整理得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，∴曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．(2)將直線l的參數(shù)方程化為標準形式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2－\f(1,2)t′，,y＝3\r(3)＋\f(\r(3),2)t′))(t′為參數(shù))，將參數(shù)方程代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，得eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(1,2)t′))2,4)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(3)＋\f(\r(3),2)t′))2,9)＝1，整理得eq\f(7,4)(t′)2＋18t′＋36＝0.|PA|＋|PB|＝|t1′＋t2′|＝eq\f(72,7)，|PA||PB|＝t1′t2′＝eq\f(144,7).∴eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)＝eq\f(|PA|＋|PB|,|PA||PB|)＝eq\f(\f(72,7),\f(144,7))＝eq\f(1,2).2．(參數(shù)方程的應用)(2024·貴陽模擬)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t,y＝\f(\r(2),2)t＋4\r(2)))(t是參數(shù))，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).(1)推斷直線l與曲線C的位置關系；(2)設M(x，y)為曲線C上隨意一點，求x＋y的取值范圍．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t＋4\r(2)，))消去t得y＝x＋4eq\r(2)，由ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))得ρ＝eq\r(2)cosθ－eq\r(2)sinθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝1，即C是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))為圓心，1為半徑的圓，圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))到直線y＝x＋4eq\r(2)的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)＋4\r(2))),\r(2))＝5＞1，所以直線l與曲線C相離．(2)圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)＋cosθ,y＝－\f(\r(2),2)＋sinθ))(θ為參數(shù))，則x＋y＝sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，又由θ∈R可得－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤1，則－eq\r(2)≤x＋y≤eq\r(2)，所以x＋y的取值范圍為[－eq\r(2)，eq\r(2)].極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應用(5年4考)[高考解讀]主要考查極坐標方程、參數(shù)方程及直角坐標系方程之間的互化，考查利用三角函數(shù)求最值，考查利用極徑的幾何意義及參數(shù)的幾何意義解決問題的實力.(2024·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－t2,1＋t2)，,y＝\f(4t,1＋t2)))(t為參數(shù))．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρcosθ＋eq\r(3)ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐標方程；(2)求C上的點到l距離的最小值．[解](1)因為－1＜eq\f(1－t2,1＋t2)≤1，且x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t2,1＋t2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4t2,1＋t22)＝1，所以C的直角坐標方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1(x≠－1)．l的直角坐標方程為2x＋eq\r(3)y＋11＝0.(2)由(1)可設C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝2sinα))(α為參數(shù)，－π＜α＜π)．C上的點到l的距離為eq\f(|2cosα＋2\r(3)sinα＋11|,\r(7))＝eq\f(4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋11,\r(7)).當α＝－eq\f(2π,3)時，4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋11取得最小值7，故C上的點到l距離的最小值為eq\r(7).[老師備選題]1．(2024·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(2).(1)寫出C1的一般方程和C2的直角坐標方程；(2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標．[解](1)C1的一般方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1，C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0.(2)由題意，可設點P的直角坐標為(eq\r(3)cosα，sinα)．因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，d(α)＝eq\f(|\r(3)cosα＋sinα－4|,\r(2))＝eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－2))，當且僅當α＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為eq\r(2)，此時P的直角坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).2．(2024·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝kt))(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋m，,y＝\f(m,k)))(m為參數(shù))．設l1與l2的交點為P，當k改變時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的一般方程；(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ(cosθ＋sinθ)－eq\r(2)＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑．[解](1)消去參數(shù)t得l1的一般方程l1：y＝k(x－2)；消去參數(shù)m得l2的一般方程l2：y＝eq\f(1,k)(x＋2)．設P(x，y)，由題設得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y＝\f(1,k)x＋2，))消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的一般方程為x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2cos2θ－sin2θ＝4，,ρcosθ＋sinθ－\r(2)＝0))得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－eq\f(1,3)，從而cos2θ＝eq\f(9,10)，sin2θ＝eq\f(1,10).代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交點M的極徑為eq\r(5).1．解決極坐標與參數(shù)方程的綜合問題的關鍵是駕馭極坐標方程與直角坐標方程的互化，參數(shù)方程與一般方程的互化．涉及圓、圓錐曲線上的點的最值問題，往往通過參數(shù)方程引入三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的最值求解．2．數(shù)形結合的應用，即充分利用參數(shù)方程、參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，干脆求解，能達到化繁為簡的解題目的．1．(極徑的幾何意義)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋5cosα，,y＝4＋5sinα，))(α為參數(shù))，A，B在曲線C上，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，A，B兩點的極坐標為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ1，\f(π,6)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ2，\f(π,2))).(1)求曲線C的極坐標方程；(2)設曲線C的中心為M，求△MAB的面積．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋5cosα，,y＝4＋5sinα，))消去α，得(x－3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0，將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入得曲線C的極坐標方程為ρ2－6ρcosθ－8ρsinθ＝0，即ρ－6cosθ－8sinθ＝0.(2)將Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ1，\f(π,6)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ2，\f(π,2)))代入(1)所得的極坐標方程，得ρ1＝4＋3eq\r(3)，ρ2＝8，所以|AB|＝eq\r(ρ\o\al(2,1)＋ρ\o\al(2,2)－2ρ1ρ2cos\f(π,3))＝5eq\r(3).曲線C的中心M到弦AB的距離為d＝eq\r(25－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(5,2)，所以S△MAB＝eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),4).2．(最值問題)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：x2＋2y2＝2.以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝eq\f(4,\r(2)sinθ＋cosθ).(1)寫出曲線C1的參數(shù)方程，曲線C2的直角坐標方程；(2)設M是曲線C1上一點，N是曲線C2上一點，求|MN|的最小值．[解](1)由題意可得，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)co