2024-2025學年黃岡市啟黃中學高三第十四次考試數(shù)學試題含解析_第1頁
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2024-2025學年黃岡市啟黃中學高三第十四次考試數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在平行六面體中,M為與的交點,若,,則與相等的向量是()A. B. C. D.2.在正方體中,球同時與以為公共頂點的三個面相切,球同時與以為公共頂點的三個面相切,且兩球相切于點.若以為焦點,為準線的拋物線經(jīng)過,設球的半徑分別為,則()A. B. C. D.3.如圖是國家統(tǒng)計局于2020年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國居民消費價格的漲跌幅情況折線圖.(注:同比是指本期與同期作對比;環(huán)比是指本期與上期作對比.如:2019年2月與2018年2月相比較稱同比,2019年2月與2019年1月相比較稱環(huán)比)根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是()A.2019年12月份,全國居民消費價格環(huán)比持平B.2018年12月至2019年12月全國居民消費價格環(huán)比均上漲C.2018年12月至2019年12月全國居民消費價格同比均上漲D.2018年11月的全國居民消費價格高于2017年12月的全國居民消費價格4.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項的和為,,且成等比數(shù)列,則()A.56 B.72 C.88 D.405.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-86.如圖是甲、乙兩位同學在六次數(shù)學小測試(滿分100分)中得分情況的莖葉圖,則下列說法錯誤的是()A.甲得分的平均數(shù)比乙大 B.甲得分的極差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位數(shù)和乙相等7.在平面直角坐標系中,已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,終邊落在直線上,則()A. B. C. D.8.如圖,在正方體中,已知、、分別是線段上的點,且.則下列直線與平面平行的是()A. B. C. D.9.已知函數(shù)(,是常數(shù),其中且)的大致圖象如圖所示,下列關于,的表述正確的是()A., B.,C., D.,10.已知平面向量,滿足,,且,則()A.3 B. C. D.511.若復數(shù),其中為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()A.的虛部為 B. C.的共軛復數(shù)為 D.為純虛數(shù)12.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的漸近線與準線的一個交點坐標為,則雙曲線的焦距為______.14.在平面直角坐標系中,點P在直線上,過點P作圓C:的一條切線,切點為T.若,則的長是______.15.已知函數(shù)為奇函數(shù),,且與圖象的交點為,,…,,則______.16.已知為雙曲線:的左焦點,直線經(jīng)過點,若點,關于直線對稱,則雙曲線的離心率為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的模為______.18.(12分)在四棱錐的底面是菱形,底面,,分別是的中點,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;(III)在邊上是否存在點,使與所成角的余弦值為,若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由.19.(12分)為了整頓道路交通秩序,某地考慮將對行人闖紅燈進行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度,在普通行人中隨機選取了200人進行調(diào)查,當不處罰時,有80人會闖紅燈,處罰時,得到如表數(shù)據(jù):處罰金額(單位:元)5101520會闖紅燈的人數(shù)50402010若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.(1)當罰金定為10元時,行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少?(2)將選取的200人中會闖紅燈的市民分為兩類:類市民在罰金不超過10元時就會改正行為;類是其他市民.現(xiàn)對類與類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷,則前兩位均為類市民的概率是多少?20.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍21.(12分)已知函數(shù).(1)當a=2時,求不等式的解集;(2)設函數(shù).當時,,求的取值范圍.22.(10分)設函數(shù)f(x)=sin(2x-π(I)求f(x)的最小正周期;(II)若α∈(π6,π)且f(

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

根據(jù)空間向量的線性運算,用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運算可知因為,,則即,故選:D.本題考查了空間向量的線性運算,用基底表示向量,屬于基礎題.2.D【解析】

由題先畫出立體圖,再畫出平面處的截面圖,由拋物線第一定義可知,點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離因此球內(nèi)切于正方體,設,兩球球心和公切點都在體對角線上,通過幾何關系可轉(zhuǎn)化出,進而求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義,點到點的距離與到直線的距離相等,其中點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離,因此球內(nèi)切于正方體,不妨設,兩個球心和兩球的切點均在體對角線上,兩個球在平面處的截面如圖所示,則,所以.又因為,因此,得,所以.故選:D本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化,拋物線幾何性質(zhì)的使用,內(nèi)切球的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化思想,直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)3.D【解析】

先對圖表數(shù)據(jù)的分析處理,再結(jié)簡單的合情推理一一檢驗即可【詳解】由折線圖易知A、C正確;2019年3月份及6月份的全國居民消費價格環(huán)比是負的,所以B錯誤;設2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全國居民消費價格分別為,由題意可知,,,則有,所以D正確.故選:D此題考查了對圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進行簡單的合情推理,屬于中檔題.4.B【解析】

,將代入,求得公差d,再利用等差數(shù)列的前n項和公式計算即可.【詳解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故選:B.本題考查等差數(shù)列的前n項和公式,考查等差數(shù)列基本量的計算,是一道容易題.5.B【解析】

根據(jù)交集的定義,,可知,代入計算即可求出.【詳解】由,可知,又因為,所以時,,解得.故選:B.本題考查交集的概念,屬于基礎題.6.B【解析】

由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念,可得所求結(jié)論.【詳解】對于甲,;對于乙,,故正確;甲的極差為,乙的極差為,故錯誤;對于甲,方差.5,對于乙,方差,故正確;甲得分的中位數(shù)為,乙得分的中位數(shù)為,故正確.故選:.本題考查莖葉圖的應用,考查平均數(shù)和方差等概念,培養(yǎng)計算能力,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎題.7.C【解析】

利用誘導公式以及二倍角公式,將化簡為關于的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知的值,從而可求的值.【詳解】因為,且,所以.故選:C.本題考查三角函數(shù)中的誘導公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問題,難度一般.求解值的兩種方法:(1)分別求解出的值,再求出結(jié)果;(2)將變形為,利用的值求出結(jié)果.8.B【解析】

連接,使交于點,連接、,可證四邊形為平行四邊形,可得,利用線面平行的判定定理即可得解.【詳解】如圖,連接,使交于點,連接、,則為的中點,在正方體中,且,則四邊形為平行四邊形,且,、分別為、的中點,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面.故選:B.本題主要考查了線面平行的判定,考查了推理論證能力和空間想象能力,屬于中檔題.9.D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項.【詳解】從題設中提供的圖像可以看出,故得,故選:D.本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征,本題屬于基礎題.10.B【解析】

先求出,再利用求出,再求.【詳解】解:由,所以,,,故選:B考查向量的數(shù)量積及向量模的運算,是基礎題.11.D【解析】

將復數(shù)整理為的形式,分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為,錯誤;,錯誤;,錯誤;,為純虛數(shù),正確本題正確選項:本題考查復數(shù)的模長、實部與虛部、共軛復數(shù)、復數(shù)的分類的知識,屬于基礎題.12.C【解析】

由三視圖可知,幾何體是一個三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側(cè)棱長為,利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑,根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心,求出球的半徑,即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知,幾何體是一個三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側(cè)棱長為,如圖:由底面邊長可知,底面三角形的頂角為,由正弦定理可得,解得,三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心,所以,該幾何體外接球的表面積為:.故選:C本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問題,由三視圖求幾何體的表面積,考查了學生的空間想象能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】

由雙曲線的漸近線,以及求得的值即可得答案.【詳解】由于雙曲線的漸近線與準線的一個交點坐標為,所以,即①,把代入,得,即②又③聯(lián)立①②③,得.所以.故答案是:1.本題考查雙曲線的性質(zhì),注意題目“雙曲線的漸近線與準線的一個交點坐標為”這一條件的運用,另外注意題目中要求的焦距即,容易只計算到,就得到結(jié)論.14.【解析】

作出圖像,設點,根據(jù)已知可得,,且,可解出,計算即得.【詳解】如圖,設,圓心坐標為,可得,,,,,解得,,即的長是.故答案為:本題考查直線與圓的位置關系,以及求平面兩點間的距離,運用了數(shù)形結(jié)合的思想.15.18【解析】

由題意得函數(shù)f(x)與g(x)的圖像都關于點對稱,結(jié)合函數(shù)的對稱性進行求解即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)關于點對稱,,函數(shù)關于點對稱,所以兩個函數(shù)圖象的交點也關于點(1,2)對稱,與圖像的交點為,,…,,兩兩關于點對稱,.故答案為:18本題考查了函數(shù)對稱性的應用,結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱性是解決本題的關鍵,屬于中檔題.16.【解析】

由點,關于直線對稱,得到直線的斜率,再根據(jù)直線過點,可求出直線方程,又,中點在直線上,代入直線的方程,化簡整理,即可求出結(jié)果.【詳解】因為為雙曲線:的左焦點,所以,又點,關于直線對稱,,所以可得直線的方程為,又,中點在直線上,所以,整理得,又,所以,故,解得,因為,所以.故答案為本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì),先由兩點對稱,求出直線斜率,再由焦點坐標求出直線方程,根據(jù)中點在直線上,即可求出結(jié)果,屬于常考題型.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.1【解析】

整理已知利用復數(shù)的除法運算方式計算,再由求模公式得答案.【詳解】因為,即所以的模為1故答案為:1本題考查復數(shù)的除法運算與求模,屬于基礎題.18.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)見解析.【解析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關系可證得平面,據(jù)此證明題中的結(jié)論即可;(Ⅱ)建立空間直角坐標系,求得直線的方向向量與平面的一個法向量,然后求解線面角的正弦值即可;(Ⅲ)假設滿足題意的點存在,設,由直線與的方向向量得到關于的方程,解方程即可確定點F的位置.【詳解】(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可得:,結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知:,故,底面,底面,故,且,故平面,平面,(Ⅱ)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知,,,以點O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則:,設平面的一個法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個法向量為,而,設直線與平面所成角為,則.(Ⅲ)由題意可得:,假設滿足題意的點存在,設,,據(jù)此可得:,即:,從而點F的坐標為,據(jù)此可得:,,結(jié)合題意有:,解得:.故點F為中點時滿足題意.本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,線面角的向量求法,立體幾何中的探索性問題等知識,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19.(1)降低(2)【解析】

(1)計算出罰金定為10元時行人闖紅燈的概率,和不進行處罰時行人闖紅燈的概率,求解即可;(2)闖紅燈的市民有80人,其中類市民和類市民各有40人,根據(jù)分層抽樣法抽出4人依次排序,計算所求的概率值.【詳解】解:(1)當罰金定為10元時,行人闖紅燈的概率為;不進行處罰,行人闖紅燈的概率為;所以當罰金定為10元時,行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低;(2)由題可知,闖紅燈的市民有80人,類市民和類市民各有40人故分別從類市民和類市民各抽出兩人,4人依次排序記類市民中抽取的兩人對應的編號為,類市民中抽取的兩人編號為則4人依次排序分別為,,,,,,,,,,,,共有種前兩位均為類市民排序為,,有種,所以前兩位均為類市民的概率是.本題主要考查了計算古典概型的概率,屬于中檔題.20.(1).(2).【解析】試題分析:(Ⅰ)通過討論x的范圍,得到關于x的不等式組,解出取并集即可;(Ⅱ)求出f(x)的最大值,得到關于a的不等式,解出即可.試題解析:(1)不等式等價于或或,解得或,所以不等式的解集是;(2),,,解得實數(shù)的取值范圍是.點睛:含絕對值不等式的解法有兩個基本方法,一是運用零點分區(qū)間討論,二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是運用分類討論思想,法二是運用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)

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