2025年云南省馬關(guān)縣一中高三下學(xué)期5月階段檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第1頁(yè)
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2025年云南省馬關(guān)縣一中高三下學(xué)期5月階段檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.為虛數(shù)單位,則的虛部為()A. B. C. D.2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D.3.一個(gè)盒子里有4個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1,2,3,4的小球,每次取出一個(gè),記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中,共取3次,則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有()A.17種 B.27種 C.37種 D.47種4.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有勾六步,股八步,問勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為6步和8步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自內(nèi)切圓的概率是()A. B. C. D.5.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為()A. B. C. D.7.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.8.若、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.9.為雙曲線的左焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn),(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.已知集合A,則集合()A. B. C. D.11.設(shè)函數(shù),則,的大致圖象大致是的()A. B.C. D.12.已知集合,,則等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在長(zhǎng)方體中,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.14.在一底面半徑和高都是的圓柱形容器中盛滿小麥,有一粒帶麥銹病的種子混入了其中.現(xiàn)從中隨機(jī)取出的種子,則取出了帶麥銹病種子的概率是_____.15.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),,則的值為________.16.已知平面向量,,且,則向量與的夾角的大小為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)中國(guó)古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體,給人于美的享受.如圖(1)為一花窗;圖(2)所示是一扇窗中的一格,呈長(zhǎng)方形,長(zhǎng)30cm,寬26cm,其內(nèi)部窗芯(不含長(zhǎng)方形邊框)用一種條形木料做成,由兩個(gè)菱形和六根支條構(gòu)成,整個(gè)窗芯關(guān)于長(zhǎng)方形邊框的兩條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱.設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm和ycm,窗芯所需條形木料的長(zhǎng)度之和為L(zhǎng).(1)試用x,y表示L;(2)如果要求六根支條的長(zhǎng)度均不小于2cm,每個(gè)菱形的面積為130cm2,那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長(zhǎng)的條形木料(不計(jì)榫卯及其它損耗)?18.(12分)已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上,圓心在直線上的圓與軸相切,且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(1)求和的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)的直線與交于,與交于,求證:.19.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足().(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)(),數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù),的值.20.(12分)已知圓O經(jīng)過橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)以及兩個(gè)頂點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓C上.求橢圓C的方程;若直線l與圓O相切,與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且,求直線l的傾斜角.21.(12分)已知,函數(shù),(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(Ⅰ)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(Ⅱ)若,且命題“,”是假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,且,其中p為常數(shù).(1)求p的值;(2)求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列;(3)證明:“數(shù)列an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x=1,且y=2”.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】,故虛部為.故選:C.本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念,注意復(fù)數(shù)的虛部為,不是,本題為基礎(chǔ)題,也是易錯(cuò)題.2.D【解析】

利用輔助角公式,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,解得,即函?shù)的增區(qū)間為,所以當(dāng)時(shí),增區(qū)間的一個(gè)子集為.故選D.本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點(diǎn)在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)對(duì)于整體法的應(yīng)用,使問題化繁為簡(jiǎn),難度較易.3.C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種;先找到最大值不是4的情況,即三次取出標(biāo)號(hào)均不為4的球的情況,進(jìn)而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有種,故選:C本題考查古典概型,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑,再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,即可求解.【詳解】由題意,直角三角形的斜邊長(zhǎng)為,利用等面積法,可得其內(nèi)切圓的半徑為,所以向次三角形內(nèi)投擲豆子,則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選:C.本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計(jì)算問題,其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì),求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.5.A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解:,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選:A.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】

根據(jù)三視圖,可得該幾何體是一個(gè)三棱錐,并且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,,再求得其它的棱長(zhǎng)比較下結(jié)論.【詳解】如圖所示:由三視圖得:該幾何體是一個(gè)三棱錐,且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,則,所以,,,,該幾何體中的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為.故選:C本題主要考查三視圖還原幾何體,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.7.B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項(xiàng).【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當(dāng)時(shí),;又當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時(shí),,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系,屬于中檔題.8.C【解析】

作出不等式組所表示的可行域,平移直線,找出直線在軸上的截距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示.由,得,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),該直線在軸上的截距最大,此時(shí)取最大值,即.故選:C.本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題,考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值,一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

過點(diǎn)作,可得出點(diǎn)為的中點(diǎn),由可求得的值,可計(jì)算出的值,進(jìn)而可得出,結(jié)合可知點(diǎn)為的中點(diǎn),可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點(diǎn)),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點(diǎn)作,設(shè)該雙曲線的右焦點(diǎn)為,連接.,.,,,為的中點(diǎn),,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.本題考查雙曲線離心率的求解,解題時(shí)要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.10.A【解析】

化簡(jiǎn)集合,,按交集定義,即可求解.【詳解】集合,,則.故選:A.本題考查集合間的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】

采用排除法:通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A;通過判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)排除選項(xiàng)D和選項(xiàng)C即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)椋潢P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故選A排除;對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?故選項(xiàng)D排除;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;故選:B本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)并判斷其函數(shù)值符號(hào)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.12.B【解析】

解不等式確定集合,然后由補(bǔ)集、并集定義求解.【詳解】由題意或,∴,.故選:B.本題考查集合的綜合運(yùn)算,以及一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.C【解析】

根據(jù)確定是異面直線與所成的角,利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得.因?yàn)椋允钱惷嬷本€與所成的角,記為,故.故選:.本題考查了異面直線夾角,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.14.【解析】

求解占圓柱形容器的的總?cè)莘e的比例求解即可.【詳解】解:由題意可得:取出了帶麥銹病種子的概率.故答案為:.本題主要考查了體積類的幾何概型問題,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可解得.【詳解】解:,,,,,,,,,,,.故答案為:.本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

由,解得,進(jìn)而求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)椋?,解得,所以,所以向量與的夾角的大小為.都答案為:.本題主要考查平面向量的運(yùn)算,平面向量垂直,向量夾角等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】試題分析:(1)由條件可先求水平方向每根支條長(zhǎng),豎直方向每根支條長(zhǎng)為,因此所需木料的長(zhǎng)度之和L=(2)先確定范圍由可得,再由面積為130cm2,得,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù),令,則在上為增函數(shù),解得L有最小值.試題解析:(1)由題意,水平方向每根支條長(zhǎng)為cm,豎直方向每根支條長(zhǎng)為cm,菱形的邊長(zhǎng)為cm.從而,所需木料的長(zhǎng)度之和L=cm.(2)由題意,,即,又由可得.所以.令,其導(dǎo)函數(shù)在上恒成立,故在上單調(diào)遞減,所以可得.則=.因?yàn)楹瘮?shù)和在上均為增函數(shù),所以在上為增函數(shù),故當(dāng),即時(shí)L有最小值.答:做這樣一個(gè)窗芯至少需要cm長(zhǎng)的條形木料.考點(diǎn):函數(shù)應(yīng)用題18.(1),;(2)證明見解析.【解析】分析:(1)設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意可設(shè).結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為.半徑,則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)的斜率為,則其方程為,由弦長(zhǎng)公式可得.聯(lián)立直線與拋物線的方程有.設(shè),利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得.則.即.詳解:(1)設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則.已知在直線上,故可設(shè).因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱,所以解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.因?yàn)榕c軸相切,故半徑,所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)的斜率為,那么其方程為,則到的距離,所以.由消去并整理得:.設(shè),則,那么.所以.所以,即.點(diǎn)睛:(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題,要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn),若過拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點(diǎn),則必須用一般弦長(zhǎng)公式.19.(1)(2),.【解析】

(1)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系式,即求解數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可得,利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和裂項(xiàng)法,求得,結(jié)合題意,即可求解.【詳解】(1)由題意,當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),可得,即,顯然當(dāng)時(shí)上式也適合,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)可得,所以.因?yàn)閷?duì)恒成立,所以,.本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,以及裂項(xiàng)法求和的應(yīng)用,其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,以及合理利用“裂項(xiàng)法”求和是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.20.(1);(2)或【解析】

(1)先由題意得出,可得出與的等量關(guān)系,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程,可求出與的值,從而得出橢圓的方程;(2)對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可求出,然后進(jìn)行檢驗(yàn);當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn),先由直線與圓相切得出與之間的關(guān)系,再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理,利用弦長(zhǎng)公式并結(jié)合條件得出的值,從而求出直線的傾斜角.【詳解】(1)由題可知圓只能經(jīng)過橢圓的上下頂點(diǎn),所以橢圓焦距等于短軸長(zhǎng),可得,又點(diǎn)在橢圓上,所以,解得,即橢圓的方程為.(2)圓的方程為,當(dāng)直線不存在斜率時(shí),解得,不符合題意;當(dāng)直線存在斜率時(shí),設(shè)其方程為,因?yàn)橹本€與圓相切,所以,即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立,得:,判別式,即,設(shè),則,所以,解得,所以直線的傾斜角為或.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡(jiǎn),然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決,往往會(huì)更簡(jiǎn)單.21.(1)當(dāng)時(shí),沒有極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有一個(gè)極小值點(diǎn).(2)【解析】試題分析:(1),分,討論,當(dāng)時(shí),對(duì),,當(dāng)時(shí),解得,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)。所以,當(dāng)時(shí),沒有極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有一個(gè)極小值點(diǎn).(2)原命題為假命題,則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內(nèi)有解。設(shè),所以,設(shè),則,且是增函數(shù),所以。所以分和k>1討論。試題解析:(Ⅰ)因?yàn)?,所以,?dāng)時(shí),對(duì),,所以在是減函數(shù),此時(shí)函數(shù)不存在極值,所以函數(shù)沒有極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),,令,解得,若,則,所以在上是減函數(shù),若,則,所以在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí),取得極小值為,函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn),所以當(dāng)時(shí),沒有極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),有一個(gè)極小值點(diǎn).(Ⅱ)命題“,”是假命題,則“,”是真命題,即不等式在區(qū)間內(nèi)有解.若,則設(shè),所以,設(shè),則,且是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,所以在上是增函數(shù),,即,所以在上是增函數(shù),所以,即在上恒成立.當(dāng)時(shí),因?yàn)樵谑窃龊瘮?shù),因?yàn)?,?/p>

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