湖南省永州市寧遠(yuǎn)縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三第三次模擬練習(xí)數(shù)學(xué)試題理試題含解析_第1頁
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湖南省永州市寧遠(yuǎn)縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三第三次模擬練習(xí)數(shù)學(xué)試題理試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.木匠師傅對(duì)一個(gè)圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個(gè)三視圖如圖所示的新木件,則該木件的體積()A. B. C. D.2.已知為圓:上任意一點(diǎn),,若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡方程為()A. B.C.() D.()3.已知函數(shù),方程有四個(gè)不同的根,記最大的根的所有取值為集合,則“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.5.已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.46.已知i是虛數(shù)單位,則1+iiA.-12+32i7.已知復(fù)數(shù)滿足,則=()A. B.C. D.8.已知條件,條件直線與直線平行,則是的()A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件9.為了得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度10.設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線的右支上,且點(diǎn)不共線.若的周長(zhǎng)的最小值為,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.11.如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為176,320,則輸出的a為()A.16 B.18 C.20 D.1512.設(shè)函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,若是的共軛復(fù)數(shù),則____________.14.設(shè)為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),(為常數(shù)),若,則實(shí)數(shù)的值為______.15.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷:一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%.①當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促銷活動(dòng)中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為__________.16.隨著國力的發(fā)展,人們的生活水平越來越好,我國的人均身高較新中國成立初期有大幅提高.為了掌握學(xué)生的體質(zhì)與健康現(xiàn)狀,合理制定學(xué)校體育衛(wèi)生工作發(fā)展規(guī)劃,某市進(jìn)行了一次全市高中男生身高統(tǒng)計(jì)調(diào)查,數(shù)據(jù)顯示全市30000名高中男生的身高(單位:)服從正態(tài)分布,且,那么該市身高高于的高中男生人數(shù)大約為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖:在中,,,.(1)求角;(2)設(shè)為的中點(diǎn),求中線的長(zhǎng).18.(12分)設(shè)函數(shù)(其中),且函數(shù)在處的切線與直線平行.(1)求的值;(2)若函數(shù),求證:恒成立.19.(12分)已知橢圓的焦點(diǎn)為,,離心率為,點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),且的面積最大值為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn),為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)為多少時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.20.(12分)已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸,與有兩個(gè)交點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為.(Ⅰ)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;(Ⅱ)若過點(diǎn),延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn),四邊形能否為平行四邊形?若能,求此時(shí)的斜率,若不能,說明理由.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知圓,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線平分圓M的周長(zhǎng).(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程;(2)過原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,其中與圓M交于O,A兩點(diǎn),與圓M交于O,B兩點(diǎn),求面積的最大值.22.(10分)已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),若,在線段上取點(diǎn),使,求證:點(diǎn)在定直線上.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

由三視圖知幾何體是一個(gè)從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為,底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為,圓錐的高,圓錐母線,截去的底面弧的圓心角為120°,底面剩余部分的面積為,故幾何體的體積為:.故選C.本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,難度一般.2.B【解析】

如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,,故軌跡為雙曲線,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,故,故軌跡為雙曲線,,,,故,故軌跡方程為.故選:.本題考查了軌跡方程,確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.3.A【解析】

作出函數(shù)的圖象,得到,把函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與在(2,4]上有交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,即可求得的取值范圍,再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖,由圖可知,,函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),即有兩個(gè)不同的根,也就是與在上有2個(gè)交點(diǎn),則的最小值為;設(shè)過原點(diǎn)的直線與的切點(diǎn)為,斜率為,則切線方程為,把代入,可得,即,∴切線斜率為,∴k的取值范圍是,∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的充分不必要條件,故選A.本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程,試題有一定的綜合性,屬于中檔題.4.D【解析】

先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式,從而得出的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是,所以,即,所以,的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)解析式為,由于其圖象關(guān)于軸對(duì)稱,所以,又,所以,所以,所以,因?yàn)榈倪f增區(qū)間是:,,由,,得:,,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().故選:D.本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性,對(duì)稱性,單調(diào)性,圖象的平移,在進(jìn)行圖象的平移時(shí),注意自變量的系數(shù),屬于中檔題.5.C【解析】

將直線方程代入拋物線方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值.【詳解】F(1,0),故直線AB的方程為y=x﹣1,聯(lián)立方程組,可得x2﹣6x+1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=6,x1x2=1.由拋物線的定義可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故選C.本題考查了拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.6.D【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)得出結(jié)果【詳解】1+i故選D本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題。7.B【解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,所以,.故選:B.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】

先根據(jù)直線與直線平行確定的值,進(jìn)而即可確定結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行,所以,解得或;即或;所以由能推出;不能推出;即是的充分不必要條件.故選C本題主要考查充分條件和必要條件的判定,熟記概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.9.D【解析】

通過變形,通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象,故答案為D.本題主要考查三角函數(shù)的平移變換,難度不大.10.A【解析】

依題意可得即可得到,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍;【詳解】解:依題意可得如下圖象,所以則所以所以所以,即故選:A本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于中檔題.11.A【解析】

根據(jù)題意可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù).【詳解】輸入的a,b分別為,,根據(jù)流程圖可知最后計(jì)算的結(jié)果為的最大公約數(shù),按流程圖計(jì)算,,,,,,,易得176和320的最大公約數(shù)為16,故選:A.本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),難度較易.12.D【解析】

根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得,由函數(shù)的對(duì)稱軸及單調(diào)性即可確定的值,進(jìn)而確定函數(shù)的解析式,即可求得的值.【詳解】函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),則,所以.又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可得,,即,,由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知,,即,綜上,則,.故選:D本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,由對(duì)稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù),屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由于,則.14.1【解析】

根據(jù)為定義在上的偶函數(shù),得,再根據(jù)當(dāng)時(shí),(為常數(shù))求解.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù),所以,又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以,所以實(shí)數(shù)的值為1.故答案為:1本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.15.130.15.【解析】

由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用,然后分類討論,將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景,創(chuàng)設(shè)問題情境,考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué),考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).16.3000【解析】

根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求出,進(jìn)而可求出身高高于的高中男生人數(shù).【詳解】解:全市30000名高中男生的身高(單位:)服從正態(tài)分布,且,則,該市身高高于的高中男生人數(shù)大約為.故答案為:.本題考查正態(tài)曲線的對(duì)稱性的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】

(1)通過求出的值,利用正弦定理求出即可得角;(2)根據(jù)求出的值,由正弦定理求出邊,最后在中由余弦定理即可得結(jié)果.【詳解】(1)∵,∴.由正弦定理,即.得,∵,∴為鈍角,為銳角,故.(2)∵,∴.由正弦定理得,即得.在中由余弦定理得:,∴.本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,屬于中檔題.18.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo)得到,解得答案.(2)變形得到,令函數(shù),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到,,得到證明.【詳解】(1),,解得.(2)得,變形得,令函數(shù),,令解得,當(dāng)時(shí),時(shí).函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,,即,即,恒成立.本題考查了根據(jù)切線求參數(shù),證明不等式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力,綜合應(yīng)用能力.19.(1);(2)當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.【解析】

(1)的面積最大時(shí),是短軸端點(diǎn),由此可得,再由離心率及可得,從而得橢圓方程;(2)在直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元()后應(yīng)用韋達(dá)定理得,注意,一是計(jì)算,二是計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離,兩者比較可得結(jié)論.【詳解】(1)因?yàn)樵跈E圓上,當(dāng)是短軸端點(diǎn)時(shí),到軸距離最大,此時(shí)面積最大,所以,由,解得,所以橢圓方程為.(2)在時(shí),設(shè)直線方程為,原點(diǎn)到此直線的距離為,即,由,得,,,所以,,,所以當(dāng)時(shí),,,為常數(shù).若,則,,,,,綜上所述,當(dāng)=0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值.本題考查求橢圓方程與橢圓的幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力.解題方法是“設(shè)而不求”法.在直線與圓錐曲線相交時(shí)常用此法通過韋達(dá)定理聯(lián)系已知式與待求式.20.(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)能,或.【解析】試題分析:(1)設(shè)直線,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理求根與系數(shù)的關(guān)系,并表示直線的斜率,再表示;(2)第一步由(Ⅰ)得的方程為.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,直線與橢圓方程聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo),第二步再整理點(diǎn)的坐標(biāo),如果能構(gòu)成平行四邊形,只需,如果有值,并且滿足,的條件就說明存在,否則不存在.試題解析:解:(1)設(shè)直線,,,.∴由得,∴,.∴直線的斜率,即.即直線的斜率與的斜率的乘積為定值.(2)四邊形能為平行四邊形.∵直線過點(diǎn),∴不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是,由(Ⅰ)得的方程為.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.∴由得,即將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得,因此.四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分,即∴.解得,.∵,,,∴當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí),四邊形為平行四邊形.考點(diǎn):直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用【一題多解】第一問涉及中點(diǎn)弦,當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí),點(diǎn)是弦的中點(diǎn),(1)

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