四川省內江市資中縣球溪高級中學2024-2025學年高一上學期期末考試（火箭班）數(shù)學試題

球溪高級中學學年（上）高一期末考試（火箭班）數(shù)學考生注意：．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題紙上．．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．回答非選擇題時，將答案寫在答題紙上．寫在本試卷上無效．．考試結束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性求出集合，解不等式求出集合，再根據(jù)集合交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以，所以，又，所以.故選：B.2.已知函數(shù)有且僅有3個零點，則的最大值為（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】由題可得函數(shù)為奇函數(shù)，在上有且只有1個零點，然后利用零點存在定理可得不合題意，當時利用數(shù)形結合可得適合題意，進而即得答案.【詳解】因為第1頁/共17頁所以，故為奇函數(shù)，且為的零點，所以在上有且只有1個零點，又，，，故零點均位于區(qū)間內，當時，，，故存在使得，又，故存在使得，所以在上至少存在兩個零點，故不符合題意；當時，由，可得，作出函數(shù)與函數(shù)的大致圖象，由圖形可知函數(shù)與函數(shù)的有3有且僅有3個零點，適合題意，所以的最大值為4.故選：C．3.已知，且，則“”是“函數(shù)在上單調遞增”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】第2頁/共17頁【分析】先由在R上單調遞增求得的取值范圍，再利用充分條件，必要條件的定義即得.【詳解】由在上單調遞增，得，解得，故“”是“函數(shù)在上單調遞增”的充分不必要條件.故選：A.4.數(shù)學上用“”表示連乘運算，例如：.設函數(shù)，記，，則使成立的m的最小值為（）A.8B.9C.10D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得的表達式，然后根據(jù)，利用對數(shù)運算等知識求得正確答案.【詳解】，，，，即，解得或，又，所以使成立的m的最小值為9.故選：B.5.函數(shù)的大致圖象是（）第3頁/共17頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷B、D，再根據(jù)函數(shù)在上的單調性排除C.【詳解】函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)定義域為，故排除B、D；當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故排除C.故選：A6.設的外心為最大時，的外接圓半徑為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設外接圓半徑為，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律結合重心的性質與二倍角的余弦公式得，再利用導數(shù)求出極大值點即可.【詳解】設外接圓半徑為，第4頁/共17頁則根據(jù)重心向量公式有，則，令，此時，當時，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減；故當最大時，的外接圓半徑為.故選；D7.已知為定義在上的奇函數(shù)，當時，，則方程實數(shù)根的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求出的解析式，進而解方程即可.【詳解】因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，當時，，，當時，，，第5頁/共17頁綜上，當時，令無解；當時，令解得；當時，令無解；當時，令解得；當時，令，解得，綜上實數(shù)根的個數(shù)為個，故選：C8.函數(shù)的部分圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，再證明當時，，由此確定正確選項.【詳解】函數(shù)定義域為，定義域關于原點對稱，因為，第6頁/共17頁，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，當時，，，故，選項ABD都不同時符合以上所有特征，選項C符合以上特征，故函數(shù)的部分圖象大致為選項C的圖象.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.函數(shù)（且）的圖象恒過定點B.函數(shù)與表示同一個函數(shù)C.函數(shù)的最小值為3D.若關于x的不等式的解集為或，則【答案】AB【解析】AB斷C，根據(jù)二次不等式的解集及韋達定理求解即可判斷D.【詳解】對于A，因（且）恒過定點，故函數(shù)的圖象恒過定點，故A正確；對于B，函數(shù)與的定義域為，且，，故它們?yōu)橥粋€函數(shù)，故B正確；第7頁/共17頁對于C，，當且僅當時取等號，但方程無解，等號不成立，故C錯誤；對于D，依題意關于x的方程有兩根為和2，故必有解得所以，故D錯誤．故選：AB10.下列選項正確的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A，利用作差法即可判斷；對于B，利用指數(shù)運算即可判斷；對于C，利用指數(shù)函數(shù)單調性，并借助中間量1，即可判斷；對于D，利用指數(shù)、對數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)的性質可判斷.【詳解】對于A，因為，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，即，故B正確；對于C，因為，，所以，故C正確；對于D，因為，又，所以，即，所以，即，故D正確.故選：BCD.第8頁/共17頁在天文觀測中，某恒星的亮度隨時間，單位：百年）的變化曲線可以用函數(shù)來描述．觀測發(fā)現(xiàn)在和時，該恒星的亮度均為，而在時，恒星處于最亮狀態(tài)，則下列說法正確的有（）A.在區(qū)間內，恒星亮度變化曲線的對稱軸一定是奇數(shù)條B.在區(qū)間內，恒星的亮度為的次數(shù)一定是偶數(shù)次C.在區(qū)間內，恒星達到最暗的次數(shù)一定是奇數(shù)次D.在區(qū)間內，恒星達到最暗的次數(shù)一定是偶數(shù)次【答案】BC【解析】【分析】對取特殊即可排除A選項和D選項；由三角函數(shù)的對稱性及最值判斷B選項和C選項；【詳解】當時，在區(qū)間內恒星亮度變化曲線有2條對稱軸，故A錯誤；由于時，恒星處于最亮狀態(tài)，即函數(shù)取最大值，可解得，故，則是函數(shù)的對稱軸，區(qū)間關于對稱，故恒星的亮度為的次數(shù)一定是偶數(shù)次，B正確；因為當和時，該恒星的亮度均為，且時恒星處于最亮狀態(tài)，，故，則，即時取最小值，在內，恒星達到最暗的次數(shù)一定是偶數(shù)次，在內，由于區(qū)間關于對稱，且時取最小值，故恒星達到最暗的次數(shù)一定是奇數(shù)次，故在區(qū)間內，恒星達到最暗的次數(shù)一定是奇數(shù)次，故C正確；當時，，在區(qū)間內恒星達到最暗的次數(shù)只有1次，故D錯誤．故選：BC．【點睛】方法點睛，本題重點考查的內容是三角函數(shù)的圖像及性質，通過三角函數(shù)的最值及對稱性來解決本題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．第9頁/共17頁12.已知某個扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的半徑為__________.【答案】2【解析】【分析】將圓心角轉化為弧度制后借助弧長公式計算即可得.【詳解】rad，故.故答案為：2.13.若函數(shù)有且僅有兩個零點，則實數(shù)b的一個取值為______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)零點概念對兩段進行計算，分析，結合指數(shù)函數(shù)性質得解.【詳解】令，當時，由0，得，即為函數(shù)的一個零點，故當時，有一解，即有一解，得.則.故答案為：（答案不唯一,都可以）.14.設函數(shù)的定義域為為的導函數(shù)，，則_______．【答案】89【解析】【分析】由題設可得且函數(shù)的值.【詳解】由，則，所以，則，即，且，第10頁/共17頁則．故答案為：89四、解答題：本題共5小題，共分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合.（2）已知，求的值;（3）已知，且，求的值.【答案】（1）①，②；（2）；（3）.【解析】1）根據(jù)任意角的概念和陰影部分表示的角，數(shù)形結合求出答案；（2）利用齊次化求出，再利用齊次化化簡，代入求值即可；（3）兩邊平方，結合同角三角函數(shù)關系求出，平方求出，并根據(jù)，得到，，求出.1第11頁/共17頁，②；（2），故，解得，；（3）兩邊平方得，故，所以，，因，所以，由于，故，所以，故.16.已知集合.（1）若A中有且僅有1個元素，求實數(shù)m的值；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】1）分類討論當、時方程根的個數(shù)，即可求解；（2、結合m的取值范圍.【小問1詳解】若，方程化為，此時方程有且僅有一個根；第12頁/共17頁若，則當且僅當方程的判別式，即時，方程有兩個相等的實根，此時集合中有且僅有一個元素，所以實數(shù)m的值為或；【小問2詳解】，因為，所以，由（1）知時，，不符合，當時，若，解得，此時，符合，若，解得，此時方程的根為，集合，符合，若，由，則可得，此時有且，無解，綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為.17.已知函數(shù)．（1）求的最小值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）2（2）【解析】1）利用基本不等式的性質，利用取等條件，得到答案.（2）利用函數(shù)單調性，得到不等式進行計算，得到答案.【小問1詳解】，當且僅當即時取等號，故的最小值為2，第13頁/共17頁【小問2詳解】易知在上單調遞增，因為，故，整理得，即，解得，故所求．18.漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為，為了保證魚群的生長空間，實際養(yǎng)殖量小于，以便留出適當?shù)目臻e量．已知魚群的年增長量和實際養(yǎng)殖量與空閑率（空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值）的乘積成正比，比例系數(shù)為．（1）寫出y關于x的函數(shù)關系式，并求魚群年增長量y的最大值；（2）當魚群年增長量y達到最大值時，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】1y關于x值；（2）由題意得，即，結合，即可得到結果.【小問1詳解】由題意，空閑率為，關于x的函數(shù)關系式是：，，則函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，當時，．第14頁/共17頁【小問2詳解】由（1）知,當魚群年增長量y達到最大值時，，由題意有，即，，又，的取值范圍為．19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的奇偶性；（2）記，若與在有兩個互異的交點，交點橫坐標分別為，且，求證：.【答案】（1）時，為偶函數(shù)；時，為非奇非偶函數(shù)；（2）證明見解析.【解析】1時，（2）求得在上解析式，并分析其單調性，結合題意，求得的范圍以及之間的關系；證明.【小問1詳解】易知定義域為，關于原點對稱；又，故，故當時，，為偶函數(shù)；當時，，且，故此時為非奇非偶函數(shù).小問2詳解】第15頁/共1