特訓03 平面向量、解三角形的幾何應用 壓軸題（七大題型）（解析版）

特訓03平面向量、解三角形的幾何應用壓軸題（七大題型）目錄：題型1：求模長的應用題型2：平面向量線性、數(shù)量積運算，基本定理綜合題型3：平面向量坐標表示的應用題型4：解三角形有關的化簡、求值等題型5：解三角形求最值問題題型6：設角化角求最值綜合題題型7：題型1-4綜合題題型1：求模長的應用1．如圖，圓C的半徑為3，其中A，B為圓C上兩點.(1)若，當k為何值時，與垂直？(2)若G為的重心，直線l過點G交邊AB于點P，交邊AC于點Q，且，求最小值.(3)若的最小值為1，求的值.【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和數(shù)量積的關系即可求出結果；（2）由向量的線性運算和共線的條件得到，即可得到，再用基本不等式計算；（3）由向量的數(shù)量積的定義得到，再由模長的計算得到，結合二次函數(shù)的性質(zhì)解出即可.【解析】（1）因為，所以由余弦定理得，即，所以.若與垂直，則，所以，所以，解得，即時，與垂直；（2）因為為的重心，所以，又因為，所以，由于三點共線，所以存在實數(shù)使得，所以化簡為，所以，所以.顯然，則，當且僅當時，即時，取最值.則的最小值為2.（3）設與的夾角為，在中，，所以，又，所以當時，有最小值，所以，解得，即取最小值1時，．【點睛】知識點點睛：本題考查了余弦定理解三角形,向量垂直和數(shù)量積的關系,向量的線性運算和共線的條件，基本不等式計算最值，二次函數(shù)的性質(zhì).綜合性特別強，轉化能力要求高，屬于難題2．在直角梯形中，已知，，，，，動點、分別在線段和上，和交于點，且，，．(1)當時，求的值；(2)當時，求的值；(3)求的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)﹒【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根據(jù)幾何關系求出∠ABC和BC長度，當AE⊥BC時，求出BE長度，從而可得；(2)設，，以為基底用兩種形式表示出，從而可得關于x、y的方程組，解方程組可得；(3)以為基底表示出、，從而表示出，求出的范圍即可求出的范圍．【解析】（1）在直角梯形中，易得，，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，故；（2），當時，，設，，則，，∵不共線，∴，解得，即；（3）∵，，∴，＝，由題意知，，∴當時，取到最小值＝，當時，取到最大值，∴的取值范圍是．題型2：平面向量線性、數(shù)量積運算，基本定理綜合3．如圖，在中，，，點為和的交點，設，．(1)設，求，的值；(2)若，，，求；(3)若在上，，且，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）設，，根據(jù)向量的線性運算法則可得，，從而構造關于和的方程組，可得，得解；（2）先利用三角形的面積公式求得的值，再由，即可得解；（3）設，與的夾角為，其中，利用，結合平面向量的基本定理與數(shù)量積的運算法則，推出，再由，求出的取值范圍即可．【解析】（1）設，，則，，所以，，所以，解得，所以，又，所以，．（2），由（1）知，，所以．（3）由（1）知，，所以，設，與的夾角為，其中，則，而，因為，所以，即，所以，所以，因為，所以，所以，解得，所以的取值范圍為．【點睛】本題考查平面向量在幾何中的應用，熟練掌握平面向量的線性運算和數(shù)量積的運算法則是解題的關鍵，考查學生邏輯推理能力和運算能力．4．在中，，，．點為所在平面上一點，滿足（、且）．(1)若，用，表示；(2)若點為的外心，求、的值；(3)若點在的角平分線上，當時，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)，；(3)【分析】（1）可化簡，化簡后可用表示，表示，代入即可；.（2）由點為的外心，可得，利用這兩個關系式可求、的值；（3）設為的平分線，則，利用平面向量基本定理和共線向量定理可得：，再根據(jù)平面向量基本定理可得，求出的范圍后利用數(shù)量積可得，從而可得的取值范圍.【解析】（1）因為，所以，化簡后可得，所以，若，則.（2）如圖，設的中點分別為，連接，則，又，同理，又，即，同理，整理得到，解得；（3）如圖，為的平分線，則，所以，設，.故，因為不共線，故，所以，因為，所以，故.又,所以，所以.故的取值范圍為.【點睛】本題考查平面向量基本定理、向量的數(shù)量積，解題時注意根據(jù)外心、角平分線等幾何性質(zhì)實現(xiàn)向量計算時的轉化，本題屬于難題.5．如圖1所示，在中，點在線段上，滿足，是線段上的點，且滿足，線段與線段交于點.

(1)若，求實數(shù)，的值；(2)若，求實數(shù)的值；(3)如圖2，過點的直線與邊，分別交于點，，設，設的面積為，四邊形的面積為，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運算法則及平面向量基本定理計算可得；（2）由共線定理及平面向量基本定理得到方程組，解答即可；（3）由題意可得，根據(jù)共線定理得到，根據(jù)三形的面積公式可得，再結合，將轉化為的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【解析】（1）因為，所以，所以，又，且、不共線，所以，；（2）因為、、三點共線，所以存在實數(shù)使得，所以，因為，即，所以，又因為，即，又、不共線，所以，解得，所以．（3）根據(jù)題意．同理可得：，由（2）可知，，所以，因為，，三點共線，所以，化簡得，根據(jù)題意，，，所以，又，則，所以，所以，易知，當時，有最大值，又因為，所以.題型3：平面向量坐標表示的應用6．如圖，點分別是矩形的邊上的兩點，，.

(1)若是線段靠近的三等分點、是的中點，求；(2)若，求的范圍；(3)若，連接交的延長線于點為的中點，試探究線段上是否存在一點，使得最大.若存在，求的長；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，.【分析】（1）建立平面直角坐標系，利用坐標法計算可得夾角余弦值即可；（2）根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，結合的范圍計算可得；（3）建立平面直角坐標系，求出點坐標，設，則，利用兩角差的正切公式、銳角三角函數(shù)及基本不等式計算可得.【解析】（1）以點為坐標原點，、所在的直線為軸?軸建立直角坐標系，

則，，，，所以，，，.（2）由，，故，則，所以，由，故.（3）同（1）問建立相同直角坐標系，

則可得，即，假設存在點，使得最大，由，即有最大，設，當時，角度為，此時不可能最大，故，所以，則，當且僅當，即時，等號成立，即存在，且.7．如圖，設是平面內(nèi)相交成的兩條射線，分別與同向的單位向量，定義平面坐標系為仿射坐標系，在仿射坐標系中，若，則記.(1)在仿射坐標系中①若，求；②若，且與的夾角為，求；(2)如上圖所示，在仿射坐標系中，分別在軸，軸正半軸上，分別為中點，求的最大值.【答案】(1);(2)【分析】（1）①由題意，，將其兩邊平方后利用向量數(shù)量積的運算律計算即得；②利用（1）得到的模長公式，求得和，再計算，再將條件代入公式，列出方程，即可求出的值.（2）設出點用表示出，利用正弦定理，經(jīng)過三角恒等變換，化簡成正弦型函數(shù)，求得其最大值.【解析】（1）①由可得，，則，即；②依題意，將代入（1）得到的模長公式即得，，，，因與的夾角為，則由可得，，解得，.（2）依題意，設，因是的中點，則，是的中點，則，故因，，則，在中，由余弦定理，，即，代入上式可得，，由正弦定理，，設，則，于是，其中，則.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查新定義的仿射坐標系中的向量的運算，屬于難題.解決第（2）題的關鍵在于，設出的坐標，，求得的表達式，運用正弦定理，三角恒等變換化成正弦型函數(shù)是解決該題的關鍵.8．定義函數(shù)的“源向量”為，非零向量的“伴隨函數(shù)”為，其中為坐標原點．(1)若向量的“伴隨函數(shù)”為，求在的值域；(2)若函數(shù)的“源向量”為，且以為圓心，為半徑的圓內(nèi)切于正（頂點恰好在軸的正半軸上），求證：為定值；(3)在中，角的對邊分別為，若函數(shù)的“源向量”為，且已知，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)“伴隨函數(shù)”定義可得，可得值域；（2）利用向量的坐標運算即可求得；（3）由余弦定理并利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的“源向量”為，所以，所以函數(shù)的值域為（2）因為，則，則，又，所以），且，從而，，則；因此可得為定值．（3）如下圖所示：函數(shù)的“源向量”為，則，則則則又，即，所以，因為，即，當且僅當時取等號，又因為當頂點無限接近頂點，邊無限接近0，即無限接近0，綜上所述，令，則從而，其中，所以，即的取值范圍．【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于理解“源向量”和“伴隨函數(shù)”的定義，并能寫出“源向量”的伴隨函數(shù)以及某函數(shù)的“源向量”，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)、平面向量運算法則求得結果.題型4：解三角形有關的化簡、求值等9．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求角A；(2)已知，，點P，Q是邊上的兩個動點（P，Q不重合），記.①當時，設的面積為S，求S的最小值：②記，.問：是否存在實常數(shù)和k，對于所有滿足題意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)①；②存在，，【分析】（1）先由正弦定理邊角互化，由三角恒等變換、三角函數(shù)化簡得解；（2）①先找到，設，，在和中，由正弦定理得，，從而由得解.②假設存在實常數(shù)，k合題，由和差化積，積化和差化簡可得：，由，是定值，整理化簡得到：，故而,進而得解.【解析】（1）因為，所以由正弦定理可得，所以，所以，所以，因為，，所以或或，即或（舍去）或（舍去），又，所以；（2）①因為，所以，又，，所以，.如圖，設，，

則在中，由正弦定理，得，所以在中，由正弦定理，得，所以，，因為，所以，故當，即時，；②假設存在實常數(shù)，k，對于所有滿足題意的，，都有成立，則存在實常數(shù)，k，對于所有滿足題意的，，都有，由題意，是定值，所以，是定值，對于所有滿足題意的，成立，故有,因為，從而，即，因為，為的內(nèi)角，所以，從而，.【點睛】關鍵點睛：含參數(shù)的等式恒成立問題，只需通過參數(shù)整理，此題的關鍵是得到，則，變量多，技巧性較強.10．射影幾何學中，中心投影是指光從一點向四周散射而形成的投影，如圖，光從點出發(fā)，平面內(nèi)四個點經(jīng)過中心投影之后的投影點分別為.對于四個有序點，若，，定義比值叫做這四個有序點的交比，記作.(1)當時，稱為調(diào)和點列，若，求的值；(2)①證明：；②已知，點為線段的中點，，，求，.【答案】(1)；(2)①證明見解析；②，【分析】（1）設，，結合可整理得到，由此可得的值；（2）①根據(jù)，，，，結合三角形面積公式和角之間的等量關系可整理得到結論；②根據(jù)可整理得到，由和可構造方程組求得結果.【解析】（1）由知：兩點分屬線段內(nèi)外分點，不妨設，，則，，由知：，，，即.（2）①在中，，，則在中，，，則，又，，即；②，，即，又點為線段的中點，即，則，又，則，，設，，且，由可知：，即，整理可得：；在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得，，且，則，即，由得：或（舍），即，.題型5：解三角形求最值問題11．在中，角，，所對的邊分別是，，，其面積記為，且滿足(1)求角；(2)為邊上一點，，且求的最小值.(3)圓是外接圓，是圓外一點，，分別切圓于點，，若，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由三角形的面積公式及余弦定理，輔助角公式可得的值，再由角的范圍，可得角的大??；（2）由題意可得為角平分線，再由等面積法可得，由基本不等式可得的范圍，進而求出三角形的面積的最小值；（3）由正弦定理可得三角形外接圓的半徑，再由向量的運算及基本不等式可得的最小值．【解析】（1）由及，可得，所以，由余弦定理可得，所以，即，因為，所以，即；（2）在中，由正弦定理可得：，即，在中，由正弦定理可得：，即，且與互為補角，可得，即，又，且，即，所以，又，所以，所以為的角平分線，所以，由可得，所以，解得，當且僅當時取得等號，即的最小值為，所以；即的面積的最小值為；（3）設圓半徑為，則，設，，則，，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．【點睛】關鍵點點睛：本題第三問解答的關鍵是設，，從而得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義將轉化為關于的式子.12．已知是直線外一點，點，在直線上（點，與點，任一點均不重合）.我們稱如下操作為“由點對施以視角運算”：若點在線段上，記；若點在線段外，記.并且，記.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，，是射線上一點，現(xiàn)由點對施以視角運算，得到.(1)若，求.(2)射線上的點滿足.①求；②求的最小值.【答案】(1)(2)①；②的最小值為【分析】（1）根據(jù)所給定義及條件得為的角平分線，在中，由余弦定理求出，再由正弦定理求出，最后根據(jù)角的范圍即可求解；（2）①根據(jù)所給定義及條件計算，結合（1）問的得，然后化簡求值即可；②由及面積公式得，再由基本不等式計算即可.【解析】（1）因為，所以點在線段上，如圖①所示，又，所以由，得，所以為的角平分線，又，所以，在中，，由余弦定理得，解得，由正弦定理得，即，解得，又是最大邊，所以.（2）記.①因為，所以點在線段的延長線上，如圖②所示，即所以，化簡得，解得，，且，所以.②因為，所以，即，所以，當且僅當時，等號成立，此時，.故的最小值為.

【點睛】關鍵點點睛：由推出，并結合基本不等式求解.13．在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c.(1)已知，，.①求；②若的平分線交于點，求線段的長；(2)若是銳角三角形，為（1）中所求，H為的垂心，且，求的取值范圍；(3)若，令，試求的最大值.【答案】(1);(2)(3)【分析】（1）①利用同角三角函數(shù)基本關系和正弦定理以及余弦定理即可得到答案；②根據(jù)余弦定理得，再利用三角形面積公式即可得到答案；（2）設，將表示為角的三角函數(shù)，再利用二倍角公式，轉化為關于的函數(shù)，即可求出范圍；（3）利用余弦定理和正弦定理得，再將其平方轉化為關于的函數(shù)，再配湊即可求出最值.【解析】（1）①因為，所以，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，因為，所以；②又因為，所以，即，解得，設邊上的角平分線長為，則，即，即，解得，即邊上的角平分線長為；（2）延長交于，延長交于，設，所以，在Rt中，，在中，，所以，在Rt中，，同理可得在Rt中，，所以，因為，所以，所以，所以，即的取值范圍為．（3）由余弦定理，，所以，所以，，所以．當且僅當，即時，．【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是將邊轉化為關于角的三角函數(shù)，再利用二倍角公式即可求出最值.題型6：設角化角求最值綜合題14．如圖1，某景區(qū)是一個以C為圓心，半徑為3km的圓形區(qū)域，道路，成60°角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道AB，點A，B分別在和上，修建的木棧道AB與道路，圍成三角地塊OAB．（注：圓的切線長性質(zhì)：圓外一點引圓的兩條切線長相等）．

(1)當為正三角形時求修建的木棧道AB與道路，圍成的三角地塊OAB面積；(2)若的面積，求木棧道AB長；(3)如圖2，設，①將木棧道AB的長度表示為的函數(shù)，并指定定義域；②求木棧道AB的最小值．【答案】(1)(2)(3)①，②【分析】（1）運用等面積法可求得等邊三角形的邊長，進而求得等邊三角形的面積.（2）方法1：運用內(nèi)切圓性質(zhì)及三角形面積公式可求得結果.方法2：運用兩個三角形面積公式可得，的值，再結合余弦定理可得，聯(lián)立可求得AB的長.（3）①運用內(nèi)切圓性質(zhì)可得，進而運用直角三角形中的正切公式可表示出AB.②方法1：運用分離常數(shù)法、“1”的代換及基本不等式可求得結果.方法2：運用切化弦、和角公式、積化和差公式化簡AB表達式，再結合三角函數(shù)在區(qū)間上求最值即可.方法3：運用切化弦、和差角公式、二倍角公式、輔助角公式化簡，再結合三角函數(shù)在區(qū)間上求最值即可.【解析】（1）如圖所示，

設三角地塊面積為S，等邊△OAB邊長為，所以由等面積法得：，解得，所以.故修建的木棧道與道路，圍成的三角地塊面積為平方千米.（2）方法1：設圓C分別與、、相切于點N、E、M，如圖所示，

則，，，所以在中，，所以，設，，所以，解得：，即：.故木棧道AB長為.方法2：設三角地塊面積為S，，，，，由等面積法可得：，即：，所以①，②，在△中，由余弦定理得，即：③，由①②③解得：.故木棧道AB長為.（3）如圖所示，

①由題意知，，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，，設直線和圓相切點，，則，因為，解得：，又因為，，所以，，所以.即：.②方法1：，當且僅當時等號成立，故木棧道的長度最小值為.方法2：因為，所以，所以，所以，故木棧道的長度最小值為.方法3：，因為，所以，所以，所以，故木棧道的長度最小值為.【點睛】方法點睛：解三角形的應用問題的要點（1）從實際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素；（2）利用正弦、余弦定理解三角形，得實際問題的解．解三角形中最值（范圍）問題的解題策略利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡整理，構造關于某一個角或某一邊的函數(shù)或不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值（范圍）．15．如圖，E為線段AD的中點，C為DA延長線上的一點，以A為圓心，AE長度為半徑作半圓，B為半圓上一點，連接BC，BD．(1)若，以BD為邊作正三角形BFD，求四邊形ABFD面積的最大值；(2)在中，記的對邊分別為a，b，c，且滿足①求證：；②求的最小值．【答案】(1)(2)證明見解析；.【分析】（1）設邊長及角，應用余弦定理把面積轉化為函數(shù)，再應用輔助角求出最值即可；（2）①應用已知結合余弦定理求出邊的關系得出角的關系；應用正弦定理邊化角把分式化簡最后應用基本不等式求出最小值.【解析】（1）設,在中，由余弦定理得,，當時，.（2）①在中，由余弦定理,所以，再由正弦定理得,,,,,所以，.②設，則由正弦定理可得,所以,所以.當時，的最小值為.【點睛】方法點睛：最值問題可以通過轉化未知量轉化為函數(shù)，結合三角函數(shù)的值域或者基本不等式求解即可.16．在面積為的中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)若為銳角三角形，是關于的方程的解，求的取值范圍；(2)若且的外接圓的直徑為8，分別在線段上運動（包括端點），為邊的中點，且，的面積為．令，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由結合三角形面積公式，正弦定理和余弦定理得，由為銳角三角形得出，由是關于的方程的解，整理得，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性及的范圍即可求出的取值范圍；（2）由和得出為正三角形，由的外接圓的直徑為8得出，則，設，，在BDE和ADF中，由正弦定理表示出和，進而表示出，代入，化簡整理，由基本不等式即可得出最小值．【解析】（1）在中，由三角形面積公式得，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，又，故，因為為銳角三角形，所以，，所以，所以，因為，所以，所以，故．（2）由，得，所以，由（1）得，所以為正三角形，所以，因為為邊的中點，所以，設，，在BDE和ADF中，由正弦定理得，，化簡得，，，因為，所以，則因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以最小值為．

題型7：題型1-4綜合題17．在平面四邊形中，對角線和交于點，分別延長和交于點，連接并延長交于點.(1)如圖（1），若四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，，（i）求