不定積分∫dx.√2+sin(21x+13)+cos(21x+13)的兩種計(jì)算方法

不定積分eq\i(,,\f(dx,\r(2)+sin(21x+13)+cos(21x+13)))的兩種計(jì)算方法主要內(nèi)容：本題通過三角函數(shù)恒等變形和三角函數(shù)換元法兩種方法，介紹計(jì)算定積分eq\i(,,\f(dx,\r(2)+sin(21x+13)+cos(21x+13)))的方法和步驟,并可以觀察出，同一個(gè)不定積分結(jié)果的表達(dá)式可以不唯一?！?三角函數(shù)恒等變形法I=eq\i(,,\f(dx,\r(2)+sin(21x+13)+cos(21x+13)))，根據(jù)公式sin(x+eq\f(π,4))=sinxcoseq\f(π,4)+cosxsineq\f(π,4)變形為：I=eq\i(,,\f(dx,\r(2)+\r(2)[sin(21x+13)sin\f(π,4)+cos(21x+13)cos\f(π,4)]))=eq\i(,,\f(dx,\r(2)+\r(2)sin(21x+13+\f(π,4)))),以下提取公因數(shù)系數(shù)，=eq\f(1,\r(2))eq\i(,,\f(dx,1+sin(21x+13+\f(π,4))))，以下根據(jù)sin2x+cosx2=1變形為，=eq\f(\r(2),2)eq\i(,,\f(dx,[sin\f(1,2)(21x+13+\f(π,4))+cos\f(1,2)(21x+13+\f(π,4))]2)),=eq\f(\r(2),2)eq\i(,,\f(dx,{\r(2)sin[\f(1,2)(21x+13+\f(π,4))+\f(π,4)]}2)),=eq\f(\r(2),4)eq\i(,,\f(dx,sin2[\f(1,2)(21x+13)+\f(3π,8)])),以下根據(jù)公式cscx=eq\f(1,sinx)變形為，=eq\f(\r(2),4)eq\i(,,csc2[\f(1,2)(21x+13)+\f(3π,8)])dx，以下對(duì)微分微元dx進(jìn)行變形，=eq\f(\r(2),42)eq\i(,,csc2[\f(1,2)(21x+13)+\f(3π,8)])d[\f(1,2)(21x+13)+\f(3π,8)]，以下有積分公式∫csc2xdx=-cotx+C變形得，I=-eq\f(\r(2),42)cot[eq\f(1,2)(21x+13)+eq\f(3π,8)]+C。※.三角函數(shù)換元法設(shè)taneq\f(21x+13,2)=t，則x=eq\f(2arctant-13,21)，同時(shí)由三角萬能公式有：sin(21x+13)=eq\f(2t,1+t2)，cos(21x+13)=eq\f(1-t2,1+t2),代入所求不定積分，則：I=eq\i(,,\f(dx,\r(2)+sin(21x+13)+cos(21x+13)))，=eq\i(,,\f(deq\f(2arctant-13,21),\r(2)+eq\f(2t,1+t2)+eq\f(1-t2,1+t2))),=eq\f(2,21)eq\i(,,\f(dt,\r(2)(1+t2)+2t+1-t2)),以下對(duì)分母進(jìn)行關(guān)于t的二次函數(shù)變形為，I=eq\f(2,21)eq\i(,,\f(dt,(\r(2)-1)(t+\r(2)+1)2))=eq\f(2(\r(2)+1),21)eq\i(,,\f(dt,(t+\r(2)+1)2))，以下根據(jù)不定積分公式eq\i(,,\f(1,x2)dx)=-eq\f(1,x)+C計(jì)算得，I=-eq\f(2(\r(2)+1),21)*eq\f(1,t+eq\r(2)+1)+C,代入t=taneq\f(21x+13,2)，即