2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型專題18 新定義問題在五種題型中的應(yīng)用

專題18新定義問題在五種題型中的應(yīng)用

壓軸題密押

通用的解題思路：

新定義類坐標(biāo)系內(nèi)代數(shù)綜合問題，是在已有的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上，從坐標(biāo)、代數(shù)式、或者函數(shù)圖象以及幾何

圖象出發(fā)，給出一個新定義，要求學(xué)生理解并應(yīng)用這個定義來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。它突出考查自主學(xué)習(xí)

能力、數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)抽象概括能力以及對新定義的實際應(yīng)用能力。

解答此類問題，首先，認真閱讀題目，結(jié)合簡單示例，理解題干新定義的核心特征，如位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)

系、變化運動特征等;其次，要根據(jù)題意，畫出輔助圖形，完成文字語言、符號語言和圖象語言的互化，讓

語言互化走在思維的最前端;最后，注意歸納結(jié)論，為后續(xù)問題做好指向。

此類新定義，名字新，但是內(nèi)容一般是由我們學(xué)過的知識按照一種新的模式進行的組合，這就需要在分析

的基礎(chǔ)上進行轉(zhuǎn)化。將新定義轉(zhuǎn)化為熟悉的知識和熟悉的方法，才能有效地解決問題。

壓軸摩預(yù)測

題型一：數(shù)與式中的新定義問題

1.(2024?宣化區(qū)一模)對于三個實數(shù)4,b,c,用b?c}表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用〃〃力{a,b,

c}表示這三個數(shù)中最小的數(shù).例如:A/{1,2,9}=1+：9=4,min{\,2,-3)=-3,加〃{3,1,1}=1.請

結(jié)合上述材料，解決下列問題：

(1)加〃{sin30°,cos600,tan45°}；

(2)若A/{-2x,x123,3}=2,求x的值.

【分析】(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，以及定義的新運算，即可解答;

(2)根據(jù)定義的新運算可得^^二2=2,然后進行計算即可解答.

【解答】解:(1)mzw{sin30°,cos60°,tan45°}

.J1

=mm{—>—,1n1

1

=-5

2

(2)-M{-2xfx,3}=2,

—2x++3

二.------------=2,

3

整理得：X2-2X-3=0,

(x-3)(x+1)=0?

X-3=0B￡.V+1=0,

x=3或x=-1,

的值為3或-1.

【點評】本題考查了一元二次方程的解，實數(shù)大小比較，特殊角的三角函數(shù)值，理解定義的新運算是解題

的關(guān)鍵.

2.(2023?章貢區(qū)校級模擬)給出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對①",c)叫做關(guān)于x的二次多項式加+瓜+。

的特征系數(shù)對，把關(guān)于x的二次多項式〃/+公+c叫做有序?qū)崝?shù)對(a,b,c)的特征多項式.

(1)關(guān)于x的二次多項式3/+2x-l的特征系數(shù)對為_(3二--1)_；

(2)求有序?qū)崝?shù)對(1,4,4)的特征多項式與有序?qū)崝?shù)對(1,4,4)的特征多項式的乘積；

(3)若有序?qū)崝?shù)對(p,q,-1)的特征多項式與有序?qū)崝?shù)對(〃?，〃，-2)的特征多項式的乘積的結(jié)果為

2X4+X3-10X2-X+2,直接寫出(4p-2q-1)(2“-〃-1)的值為.

【分析】(1)根據(jù)特征系數(shù)對的定義即可解答；

(2)根據(jù)特征多項式的定義先寫出多項式，然后再根據(jù)多項式乘多項式進行計算即可；

(3)根據(jù)特征多項式的定義先寫出多項式，然后再令x=-2即可得出答案.

【解答】解：(1)關(guān)于x的二次多項式3/+2x-1的特征系數(shù)對為(3,2,-1),

故答案為：(3,2?-1)；

(2)?.?有序?qū)崝?shù)對(1,4,4)的特征多項式為：,d+4x+4,

有序?qū)崝?shù)對(1，-4,4)的特征多項式為：X2-4X+4,

/.(x2+4x+4)(x2-4x+4)

=X4-4X3+4x2+4x3-16x2+16x+4,-16x+16

=A4-8X2+I6；

(3)根據(jù)題意得(px2+qx-1)(Z?LV2+tix-2)=2x4+x3-1Ox2-x+2,

令x=-2,

則（4〃一2q—1）（4〃？一2〃-2）=2x16-8-10x4+2+2,

2

/.(4p-2^-l)(4m-2M-2)=32-8-40+2+2，

(4〃-2夕一1)(4〃？一2〃-2)=-12,

(4p-21-1)(2/〃一〃-I)=-6,

故答案為：-6.

【點評】本題考查了多項式乘多項式，新定義問題，給x賦予特殊值-2是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?湘潭縣校級模擬)閱讀下列材料，并解決相關(guān)的問題.

定義：如果一個數(shù)的平方等于-1,記為產(chǎn)=-1,這個數(shù)，?叫做虛數(shù)單位.那么形如a+4(q,b為實數(shù))的

數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，。叫這個復(fù)數(shù)的實部，Z)叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加I,減，乘

法運算類似.例如計算：(2+J)+(3-4/)=5-3Z.

(1)填空：z3『=一;

(2)計算：

①(2+i)(2-j)；

②(2+i)2.

(3)試一試：請利用以前學(xué)習(xí)的有關(guān)知識將火化簡成a+4■的形式.

1-/

【分析】(1)根據(jù)產(chǎn)=7,進行計算即可解答；

(2)①利用平方差公式，進行計算即可解答；

②利用完全平方公式，進行計算即可解答；

(3)分子和分母同時乘(1+i),進行計算即可解答.

【解答】解：(1)v?=-l,

/'=Z2?/=-1-/=—/>iA=(/'2)2=(—I)2=1,

故答案為：-i,1；

(2)?(2+0(2-0

=4-產(chǎn)

=4-(-1)

=4+1

=5；

②(2+/尸

3

=4+4i+產(chǎn)

=4+4/+(-l)

=3+4i；

(3)U("?

1-i(1-/)(1+/)

1+2/+Z*2*B

I-/2

_l+2/+(-l)

1-(-1)

2/

=--

2

=i.

【點評】本題考查了整式的混合運算，實數(shù)的運算，理解定義的新運算是解題的關(guān)鍵.

4.(2022?沙坪壩區(qū)模擬)如果一個三位自然數(shù).M的各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0,且滿足百位上的數(shù)字等

于十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和，則稱這個數(shù)為“沙磁數(shù)”.

例如：M=321,?.?3=2+1,「.321是“沙磁數(shù)”.

又如：A/=534,=5=3+4,.,.534不是“沙磁數(shù)”.

(1)判斷853,632是否是“沙磁數(shù)”？并說明理由；

(2)若M是一個“沙磁數(shù)”，將M的十位數(shù)字放在”的百位數(shù)字之前得到一個四位數(shù)力，在M的末位

之后添加數(shù)字1得到一個四位數(shù)字若力-B能被11整除，求出所有滿足條件的

【分析】(1)根據(jù)新定義進行解答；

(2)設(shè)加=必(〃-力)，求得力、B,再根據(jù)當(dāng)臺為整數(shù)求得八b的值，便可得出結(jié)果.

【解答】解:(1)???8=5+3,

.?.853是“沙磁數(shù)”；

?.?643+2,

.?.632不是“沙磁數(shù)”；

(2)設(shè)歷二〃伙方),!lWA=hab(a-b)=\000/)+100t7+10/>+6/-Z)=101t?+l00%,

B=ab(a-/>)1=lOOOr/+100/7+10f/-10/7+1=lOlOtz+90/?+1,

/-6=-909。+919〃-1,

??F-"能被11整除，

4

—9D9a+9196—1。?—7a+6b—1曰g％

--------------=-82a+83b+----------------是整數(shù)，

1111

-7a+68-1是整數(shù),

11

L9,a、b為整數(shù),

:.a=7,6=1或。=4,6=3或。=8,6=4或。=9,6=7,

.?.”=716或431或844或972.

【點評】本題考查了新定義，學(xué)生的閱讀理解能力以及知識的遷移能力，解題的關(guān)鍵是理解“沙磁數(shù)”的

定義.

5.（2022?渝中區(qū)校級模擬）材料1：若一個數(shù)各個數(shù)位上數(shù)字之和能被9整除，則這個數(shù)本身也能被9整

除；

材料2：如果一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位正整數(shù)機可以被9整除，且〃?的百位上的數(shù)字比十位

上的數(shù)字大2,則稱m為“夠二數(shù)”；將〃?的千位數(shù)字與個位數(shù)字交換，百位數(shù)字與十位數(shù)宅交換，得到

的數(shù)為加‘，+1818,例如：小=8424,?.?8+4+2+4=18=9x2,4-2=2,二8424是''夠

999

二數(shù)，，，雁424）=8424-4248+⑻8港

999

（1）判斷1314,6536是否是“砥二數(shù)”，請說明理由，如果是“夠二數(shù)”，請計算尸（〃?）的值；

（2）若一個四位正整數(shù)〃=疝是“夠二數(shù)”，且二一為5的倍數(shù)，請求出所有的“夠二數(shù)”〃的值.

【分析】（1）根據(jù)新定義“夠二數(shù)”進行解答便可：

（2）根據(jù)新定義“夠二數(shù)”及數(shù)學(xué)推理解.

【解答】解：（1）1314是“夠二數(shù)”，6536不是“夠二數(shù)”.理由如下:

vl+3+l+4=9=9xl,3-1=2,

.?.1314是“夠二數(shù)”，

???6+5+3+6=20=9x2+2,

.?.6536不是“夠二數(shù)”，

1314-4131+1818

產(chǎn)(1314)=

999

（2）???一個四位正整數(shù)〃=abed是“夠二數(shù)”，

a+b+c+d=9.v,其中x是正整數(shù)，且xwO,則Z?-c=2,

：.b=c+2,貝lj1<c<7,

/.n'=deba,

5

〃一〃'+1818

尸(〃)=

999

_abed-deba=1818

999

1000a4-100/74-10c4-4/-100(W-100c-l()/)-</+1818

999

_9994+90力-9()c—999,+1818

999

111a十10Z>-10c-lll〃十202

=----------------------------------------------9

111

將b=c+2代入?

11la-1lid+222

.Si，其中y是整數(shù),

F(n)~a-d+2~''

c—5?/?—7?

--------------=5y

/.?a-d+2'

a+2c+2+d=9x

：.(a-d+2)y=1,

■.?『是整數(shù)，

a-d+2=±\,即。="一1或。=4一3,

當(dāng)a=d-1?

a=d

其中XHO,且是整數(shù),

a+d+12=9x

?.?a+d+12=9x,a,4是整數(shù)，

x^\，

5

當(dāng)x=2時，F(xiàn);”二解得2,不符合題意舍去.

nJ+12=18,7

+a=—

2

〃；^Z//3ZI(1ZZ/

當(dāng)x=3時，",解得，符合題意，此時〃=7758.

a+d+12=271d=8

同理，當(dāng)白=〃-3,w=6759.

【點評】本題考查了數(shù)的運算和數(shù)學(xué)推理，根據(jù)條件進行推理是解題的關(guān)鍵

6.(2024?興寧區(qū)校級模擬)廣西是全國水果大省，是能實現(xiàn)水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大產(chǎn)區(qū).2024

6

年伊始，伴隨廣西11車沙糖桔運往哈爾濱，i場特殊的“投桃報李”引發(fā)全國關(guān)注，沙糖桔一躍成為春節(jié)

期間的網(wǎng)紅水果.小明爸爸開的水果店準(zhǔn)備購進一批沙糖桔，有兩個商家可供選擇，上初三的小明讓爸爸

各買一箱，標(biāo)記為力，△，準(zhǔn)備運用所學(xué)的統(tǒng)計知識幫助爸爸進行選擇.小明在力，4兩箱水果中各隨機

取10個，逐一測量了它們的直徑，測量結(jié)果如下(單位0〃)：

數(shù)據(jù)統(tǒng)計表

抽取序號12345678910

/箱沙糖桔直徑4.54.44.64.54.44.54.64.64.54.4

8箱沙糖桔直徑4.44.34.44.74.44.84.54.24.84.5

統(tǒng)計量平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)

A4.5b4.5

Ba4.4C

根據(jù)題目信息，回答下列問題:

(1)a=4.5>b=?

(2)由折線圖可知，s：—4；(填“>”“二”或)

(3)爸爸告訴小明沙糖桔一級果外觀要求：大小均勻，直徑在?5cm之間.請幫助小明月合適的統(tǒng)計

量評價這兩箱沙糖桔是否符合一級果要求，以及選擇哪箱沙糖桔更好，并寫出依據(jù).

折線統(tǒng)計圖

【分析】(1)。=4.4+4.3+4.4+4.7+4.4+4.8+4.5+4.2+4.8+4.5,力箱抽取的］()個砂糖桔測得的直徑

1()

數(shù)值哪個出現(xiàn)次數(shù)最多，即為b,對8箱抽取的10個砂糖桔測得的直徑從大到小排列，取最中間兩數(shù)的平

均值，即為c；

(2)由折線圖可知，/箱砂糖桔直徑比8箱砂糖桔直徑波動小，所以力箱砂糖桔直徑的方差比8箱砂糖桔

7

直徑的方差?。?/p>

(3)力、8兩箱砂糖桔直徑均在4c?〃??5cM之間，符合一級果要求，比較方差，選擇方差小的，直徑相差

較小.

■依'/1\4.4+4.3+4.4+4.7+4.4+4.8+4.5+4.2+4.8+4.5

［解答】用4：(1)a=-------------------------------------------------------------------------=4.5,

1()

6=4.5,

4.4+4.5...

------------=4.45,

2

故答案為：4.5,4.5,4.45；

(2)由折線圖可知，力箱砂糖桔直徑比8箱砂糖桔直徑波動小，即S；＜S3

故答案為：＜；

(3)4、8兩箱砂糖桔直徑均在4cm?5cm之間，符合一級果要求，

.?.選擇“箱砂糖桔更好，直徑相差較小.

【點評】本題考查了折線統(tǒng)計圖、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，關(guān)鍵是掌握平均數(shù)公式.

7.(2023?豐潤區(qū)二模)一個三位數(shù)，若它的十位數(shù)字等于個位數(shù)字與百位數(shù)字的和，那么稱這個三位數(shù)

為“和諧數(shù)”.

(1)最小的三位“和諧數(shù)”是110,最大的三位“和諧數(shù)”是一：

(2)若一個“和諧數(shù)”的個位數(shù)字為a(a..O),十位數(shù)字為人的」，力＞。且。、b都是自然數(shù))，請用含〃，

方的代數(shù)式表示該“和諧數(shù)”；

(3)判斷任意一個三位“和諧數(shù)”能否被11整除，若能，請說明理由，若不能，請舉出反例.

【分析】(1)設(shè)個位數(shù)字為工(工.0),百位數(shù)字為MJf。)，則十位數(shù)字為x+y,則“和諧數(shù)”為：

100y+10(x+y)+x=H0y+llx,由此可得結(jié)論；

(2)按題意列代數(shù)式即可；

(3)由110y+llx=ll(10y+x)可得結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)個位數(shù)字為x(x..O),百位數(shù)字為y(y＞0),則十位數(shù)字為x+y,

“和諧數(shù)”為：100y+10(x+y)+x=110p+llx,

當(dāng)，=0,y=I時，有最小的三位“和諧數(shù)”是110,

當(dāng)x=0,＞，=9時，有最大的三位“和諧數(shù)”是990,

故答案為：110，990；

8

(2)IOO(6-a)+IO/?+a=lOO/>-100a+IO/?+a=110/)-99a,

???該“和諧數(shù)”為：110〃-99。；

(3)能，理由：

由(1)得“和諧數(shù)”為：100y+10(x+y)+x=U0y+llx,

?/11Oy+1lx=11(1Oy+x),

二.任意一個三位“和諧數(shù)”能被11整除.

【點評】本題屬于新定義問題，涉及到列代數(shù)式、整式加減等問題，正確理解新定義是解決本題的關(guān)鍵.

8.(2022?九龍坡區(qū)校級模擬)對于任意一個四位數(shù)加，若滿足千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是百位

上的數(shù)字與十位.卜?的數(shù)字之和的2倍，則稱這個四位數(shù)根為“倍和數(shù)”、例如：

6=6132,???6+2=2x(l+3),.\6132是倍和數(shù)”；

陽=1374,???l+4w2x(3+7),.7374不是“倍和數(shù)”；

(1)判斷1047和4657是否為“倍和數(shù)”？并說明理由.

(2)當(dāng)一個，，倍和數(shù)”，〃千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字不相等，且千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和等

于8時，記這個“倍和數(shù)”機的千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之差的絕對值為「(/〃)，記百位上的數(shù)字與

十位上的數(shù)字之差的絕對值為&加)，令G(m)=工㈣，當(dāng)G(〃?)能被3整除時，求出滿足條件的所有“倍和

R0")

數(shù)”m.

【分析】根據(jù)新概念判斷即可

【解答】(1)^=1047,

vl+7=2x(0+4),

.?.1047是0”倍和數(shù)”

m=4657,

:4+7工2x(6+5),

.?.4657不是”倍和數(shù)”

(2)設(shè)“倍和數(shù)"m=ab(4-b)(.S-a),(其中L&8,Q.兒4且a,/)為整數(shù)).

F(m)=\2a-S\,R(m)=\2b-4\t6(〃?)=誓=乎土，

R(m)\b-2\

千位數(shù)上的數(shù)字與個位上的數(shù)不相等，

...a工4,

能被3整除,

9

.?。0〃)=仁3=34也為整數(shù))，

|6-2|

la-41..,..

-----=-k\b-2\,

./La,8,

.?.0<|"4|”4,

.?.|"4|=3,

，Q=1或7,

:.K\b-2\=\,

.?.|6-2|=1,

.,.b=l或3,

故滿足條件的所有“倍和數(shù)”加為：1137,1317,7131,7311

【點評】本題考查了代數(shù)式中的新題型，結(jié)合概念的整除即可解答

9.(2022?兩江新區(qū)模擬)材料一：若一個兩位數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字之和的4倍，則稱這個兩位數(shù)為

“巧數(shù)”.

材料二：?個四位數(shù)N=兩滿足各個數(shù)位數(shù)字都不為0,且它的千位數(shù)字與百位數(shù)字組成的兩位數(shù)7，

以及十位數(shù)字與個位數(shù)字組成的兩位數(shù)不均為“巧數(shù)”，則稱這個四位數(shù)為“雙巧數(shù)”.若p=標(biāo)-瓦i,

q-ad-be>則記F(N)=q-p.

(1)請任意寫出兩個“巧數(shù)”，并證明任意一個“巧數(shù)”的個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍；

(2)若s,/都是“雙巧數(shù)”，其中s=3010+100x+10y+z,r=1100w+400+10/7+2r?(Lx,z,n.9?

L%8,L典，5,L,々4,且x,y,z,m，n,r均為整數(shù))，規(guī)定K(s,f)=&,當(dāng)尸(s)+尸(。=12

F?)

時，求K(s,/)的最大值.

【分析】(1)設(shè)出兩位數(shù)，根據(jù)這個兩位數(shù)是“巧數(shù)”得出y=2x,最后根據(jù)這個兩位數(shù)是完全平方數(shù)，

即可得出結(jié)論；

(2)先根據(jù)這個兩位數(shù)是“巧數(shù)”得出加=2〃，進而表示出新的兩位數(shù)和三位數(shù)，再根據(jù)這個三位數(shù)與這

個兩位數(shù)的差為一個完全平方數(shù)得出10(9c+s)是完全平方數(shù)，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)兩位數(shù)的個位數(shù)字為y,十位數(shù)字為“,(Lx.9,LN，9),

則這個兩位數(shù)為(10x+y),

?.?這個兩位數(shù)是“巧數(shù)”，

10

/.4(x+y)=\Ox+y,

y—2x,

即：這個兩位數(shù)為1()戈+y=1Ox+2x=12x,

當(dāng)工=2時，y=4,這個兩位數(shù)是24：

當(dāng)x=3時，y=6,這個兩位數(shù)為36；

(2)5=3010+100.r+10y+z=3000+100x+10(j-+1)+z,

Pi=(3O+y+l)—(10x+z)=31+y-10x—z>

%=(30+z)-(10x+y+l)=29+z-l()x-y,

/(S)=/-P[=(29+z-1Ox-y)-(31+y-1Ox-z)=-2+2z-2y；

/=11OOw+400+10〃+2r=1000”?+100(4+〃?)+10〃+2〃，

p2=(1Om+〃)-(40+1Om+2r)=?-40-2r?

q、=(10/z;+2r)—(40+10?n+/:)=2r—40—zz?

f(l)=q「p?=(2/--40-n)-(/?-40-2r)=4r-2n,

—需蜜冷老

???/(S)+/(/)=12,up-2+2z-2y+4r-2n=\2,解得2/?—〃=?一z+y,

■/s都是“雙巧數(shù)”，

.?.10(y+])+z=4(y+l+z),解得2y+2=z,

.*八/⑸z-y-12y+2-y-ly+\-6

..A(5,t)=-----=-----------=-----------------=------=-14-------

/(/)1-z+y7-2y-2+y5-y5

若要使K(s,/)最大，

則其分母最小，分子最大.

L9，

3,且y為正整數(shù)，

”取3,

K(s,f)的最大值為2.

【點評】此題主要考查了數(shù)字問題，兩位數(shù)和三位數(shù)的表示，新定義，掌握新定義“巧數(shù)”得出y=2x是

解本題的關(guān)鍵.

10.(2022?江津區(qū)一模)一個三位數(shù)〃?，將機的百位數(shù)字和十位數(shù)字相加，所得數(shù)的個位數(shù)字放在〃?之后，

11

得到的四位數(shù)稱為利的''如虎添翼數(shù)”，將〃?的“如虎添翼數(shù)”的任意?個數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到

四個新的三位數(shù)，把四個新的三位數(shù)的和與3的商記為尸(加).例如：加=297,?-2+9=11,二297的“如

虎添翼數(shù)”〃是2971,將2971的任意一個數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到四個新的三位數(shù)：971、271、291、

297,則尸(〃)=971+271291+297-6。

(1)258的“如虎添翼數(shù)”是2587,F(258)=：

(2)證明任意一個十位數(shù)字為。的三位數(shù)M,它的“如虎添翼數(shù)”與用的個位數(shù)字之和能被II整除；

(3)一個三位數(shù)s=100x+10y+103(x..y且x+y...9),它的“如虎添翼數(shù)”/能被17整除，求F(s)的最大

值.

【分析】(1)根據(jù)概念進行計算從而作出判斷；

(2)令A(yù)/=100a+6,然后根據(jù)概念并結(jié)合整式的加減運算進行分析證明；

(3)將s=100x+l()y+103變形為s=l0()(x+l)+10y+3,然后結(jié)合概念表示出s的如虎添翼數(shù)，并結(jié)合整

除的概念及x,y的取值范圍分析其最值.

【解答】解：(1)-/2+5=7,

258的如虎添翼數(shù)為2587,

將2587的任意一個數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到新的三位數(shù)：587；287；257；258；

一、-。\587+287+257+258

F(258)=-------------------------------=463?

故答案為：2587：463：

(2)令也=100。+如”"9,0..b,.9,且a,b均為整數(shù))，則百位數(shù)字和十位數(shù)字的和為a,

：.M的如虎添翼數(shù)為1000a+106+a=1001a+106，

/.其如虎添翼數(shù)和其個位數(shù)字之和為1001a+106+6=1001a+1比，

.?.(10014+116)+11=914+/),且a,均為整數(shù)，

???任意一個十位數(shù)字為0的三位數(shù)M,它的“如虎添翼數(shù)”與W的個位數(shù)字之和能被11整除；

(3)s=100A-+10^+103=100(X4-1)+10^+3,

百位數(shù)字和十位數(shù)字相加得x+y+1,

當(dāng)工+y+L」0時，

s的如虎添翼數(shù)為：

/=1000(%+1)+lOOy+30+x++1-10

=W0Lv+101y+1021

12

二17(59x+6y+60)-2x-y+l,

VA在千位,

.??X對尸(5)的大小影響較大，

.?.X應(yīng)取更大值，

由、是個三位數(shù)，則x+L9,

「.X,8,即x最大取8,

?.?x=g時，s的如虎添翼數(shù)能被17整除，貝Ij2x+y—l=2x8+y-l=15+y能被17整除，

/.)=2,

/.5=IOOx+lOy+103=100x8+10x2+103=923,

??.s的如虎添翼數(shù)為9231,

?、231+931+921+923

/.F(s)=-------------------------=1002,

即F(s)的最大值為1002.

【點評】本題屬于新定義題目，理解新定義概念，掌握整式加減的運算法則是解題關(guān)鍵.

11.(2022?開州區(qū)模擬)一個自然數(shù)能分解成片x8,其中4,8均為兩位數(shù)，力的十位數(shù)字比8的十位

數(shù)字少I,且力，8的個位數(shù)字之和為10,則稱這個自然數(shù)為“雙十?dāng)?shù)”.

例如：v4819=61x79,6比7小I,1+9=10,二4819是“雙十?dāng)?shù)”；

又如：?.?1496=34x44,3比4小1,4+4工10,1496不是“雙十?dāng)?shù)”.

(1)判斷357,836是否是“雙十?dāng)?shù)”，并說明理由：

(2)自然數(shù)N=4x8為“雙十?dāng)?shù)”，將兩位數(shù)月放在兩位數(shù)5的左邊，構(gòu)成一個新的四位數(shù)M.例如：

4819=61x79,"=6179,若力與4的十位數(shù)字之和能被5整除，且A/能被7整除，求所有滿足條件的自

然數(shù)N.

【分析】(1)直接利用題目中的解題方法進行求解即可；

(2)首先表示出利用彳與8的十位數(shù)字之和能被5整除，將力與8的十位數(shù)字所有情況列出來，再

利用M能被7整除來排除，從而得到所有滿足條件的自然數(shù)N.

【解答】解：(1)v357=17x21,

1比2小1,7+1=8,

「.357不是雙十?dāng)?shù).

836=22x38,

2比3d、1,2+8-10,

13

836是雙十?dāng)?shù).

(2)?.?自然數(shù)N=/x8,兩位數(shù)力放在兩位數(shù)4的左邊構(gòu)成一?個新的四位數(shù)M,

設(shè)火的十位數(shù)字為“，個位數(shù)字為力，

.?.3的十位數(shù)字為。+1,個位數(shù)字為10-6,

Z與8的十位數(shù)字之和能被5整除，

。+。+1=5或。+。+1=10或。+。+1=15,

①當(dāng)a+〃+1=5時，

(7=2,

.?J的十位數(shù)字為2,〃的十位數(shù)字為3,

能被7整除,

僅當(dāng)8=4時，，"=2436時滿足條件，

N=24x36=864,

②當(dāng)a+a+l=10時，

。不滿足條件，

.?.這種情況舍去，

③當(dāng)a+a+1=15時，

a=7,

??J的十位數(shù)字為7,4的十位數(shù)字為8,

vM能被7整除，

當(dāng)6=1時，M=7189時滿足條件,

N=71X89=6319,

當(dāng)1=8時，A/=7882時滿足條件,

N=78x82=6396,

綜上，滿足條件的自然數(shù)N的值為864,6319,6396.

【點評】本題主要考查數(shù)與式里的新定義問題，解題的關(guān)鍵是明確題干所給條件，利用己知條件進行推理

排除即可求解.

12.(2022?重慶)對于一個各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)N,若N能被它的各數(shù)位上的數(shù)字之和

機整除，則稱N是〃?的“和倍數(shù)”.

例如：?.?247+(2+4+7)=247+13=19,247是13的“和倍數(shù)”.

14

乂如：?.?214+(2+1+4)=214+7=30……4,214不是“和倍數(shù)”.

(1)判斷357,441是否是“和倍數(shù)”？說明理由：

(2)三位數(shù)力是12的“和倍數(shù)”，a,b,。分別是數(shù)力其中一個數(shù)位上的數(shù)字，且在〃，b,

c中任選兩個組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)記為尸(A),最小的兩位數(shù)記為G(A),若"”)+34)為

16

整數(shù)，求出滿足條件的所有數(shù)力.

【分析】(I)根據(jù)“和倍數(shù)”的定義依次判斷即可；

(2)根據(jù)“和倍數(shù)”的定義表示/(A)和G(A),代入、《)+G(4)中,根據(jù)尸(4)+G(4)為整數(shù)可解

1616

答.

【解答】解:(1)???357+(3+5+7)=357+15=23……12,

「.357不是“和倍數(shù)”；

?.?441+(4+4+1)=441+9=49,

.?.441是9的“和倍數(shù)”；

(2)由題意得：a+b+c=\2,a>b>c,

由題意得：F(A)=ah>G(A)=cb>

.F(4)+G(m正+工l()a+b+l0c+bl()(a+c)+26

…16~16-16-I6-

i尸(")+G(")系i政新

a+c=12-/9?-----------------為整數(shù)，

16

F(A)+G(A)\0(i2-b)+2b120-8/?112+8-8/7,1

..-----------------=--------------------=-----------=---------------=74—(1-u),

161616162

-\<h<9,

b=3?5,7,

a+c=9,7,5,

a=8a=7

①當(dāng)b=3,a+c=9時，,b=3〔舍)，■b=3,

c=Ic=2

則4=732或372；

a=6

②當(dāng)8=5,a+c=7時，?b=5,

c=1

則4-516或156；

15

③當(dāng)8=7,o+c=5時，此種情況沒有符合的值；

綜上，滿足條件的所有數(shù)/為：732或372或516或156.

【點評】本題考查了新定義問題，根據(jù)新定義問題進行計算是解題關(guān)鍵.

13.(2022?銅梁區(qū)模擬)對于任意一個四位數(shù)N,如果N滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同.且個位數(shù)字不

為0,N的百位數(shù)字與十位數(shù)字之差是千位數(shù)字與個位數(shù)字之差的2倍，則稱這個四位數(shù)N為“雙減數(shù)”，

對于一個“雙減數(shù)"N=%?,將它的千位和百位構(gòu)成的兩位數(shù)為瓦，個位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)為五，

規(guī)定：尸(川)=藝芹.

例如：＞=7028.因為0—2=2x(7-8),所以7028是一個“雙減數(shù)”則尸(7028)=專絲=-1.

(1)判斷3401,5713是否是“雙減數(shù)”，并說明理由；如果是，求出產(chǎn)(N)的值；

(2)若“雙減數(shù)”M的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被11整除，旦尸(M)是3的倍數(shù)，求加的值.

【分析】(1)根據(jù)“雙減數(shù)”的定義判斷并求值即可；

(2)設(shè)M=1000a+100b+10c+d,根據(jù)“雙減數(shù)”的性質(zhì)可推導(dǎo)得：a=d+3,b=c+6,再分兩種情況

討論即可：①當(dāng)“+b+c+4=ll時，②當(dāng)a+b+c+d=22時.

【解答】解：⑴V4-0=4=2X(3-1),7-1=6工2x(5-3),且滿足各個位上的數(shù)字互不相等，且個位

數(shù)字不為0,

??.3401是“雙減數(shù)，5713不是“雙減數(shù)”.

34-10

/.廣(3401)=2=2.

v7-l=6,5-3=2,不滿足“雙減數(shù)”的定義,

.?.5713不是“雙減數(shù)”.

(2)設(shè)M=1000〃+100/)+10c+d,由題意可知：尸(“)是3的倍數(shù),且M各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被11

整除，且懺位數(shù)與十位數(shù)之差是千位數(shù)與個位數(shù)之差的兩倍.

.?.F(A/)=M1g=34伏均為整數(shù))①，G+人+c+d=15(〃為正整數(shù))②，b-c=2(a-d)@.

v-10＜一。＜10,

.，?-5<a—d<5,

由①知，10a+"-(10d+c)=36A,

：.\0(a-d)+(h-c)=3()k,

：.\2(a-d)=36k,

16

d=3k

：.k=-\^k=\,即a-"=-3或a-d=3.

當(dāng)a-d=-3時，b-c=-6?

，a=4-3,b=c-6?

代人②得，"-3+c-6+c+d=ll〃，

當(dāng)a-d=3時，b-c=6?

a="+3,b=c+6,

代人②得，d+3+c+6+c+d=ll〃，

根據(jù)“雙減數(shù)”的性質(zhì)可得：a+6+c+d的最大值為30,最小值為6,

.*.6.a+b+c+d,.30,

:.a+b+c+d只能取11或22.

當(dāng)“十〃十c十〃=11時,可得"十c=l或〃+c=10；

當(dāng)d+c=l時，”與c的值可能為d=:1，（d=0（舍去），

c=0[c=\

d=\

「?彳9

c=0

a=1+3=4,=0+6=6,

/.M=4601；

當(dāng)d+c=10時，a+b=\,則=1或（舍去），

b=0b=\

,止匕時，c=6,4=4.

b=0

/.M=1064；

當(dāng)a+/,+c+d=26時，可得d+c=^（舍）或"+c=U（舍）.

22

.?."=4601或1064.

【點評】此題考查了新定義下的實數(shù)運算問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義的運算規(guī)則求解.

14.（2022?大足區(qū)模擬）對任意一個四位正整數(shù)〃?，如果加的百位數(shù)字等于個位數(shù)字與十位數(shù)字之和，〃?

的千位數(shù)字等于十位數(shù)字的2倍與個位數(shù)字之和，那么稱這個數(shù)機為“和諧數(shù)”.例如：加=7431,滿足

1+3=4,2x3十1二7,所以7431是“和諧數(shù)”.例如：川二6413,滿足1十3-4,但2x1+3-546,所

17

以6413不是“和諧數(shù)”.

（1）判斷8624和9582是不是“和諧數(shù)”，并說明理由;

（2）若小是“和諧數(shù)”，且加與22的和能被13整除，求滿足條件的所有“和諧數(shù)”加.

【分析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義直接進行判斷即可；

（2）設(shè)〃?的個位數(shù)為。，十位數(shù)為6,根據(jù)“是“和諧數(shù)”，則〃?的百位數(shù)為千位數(shù)為26+。，再

根據(jù)m與22的和能被13整除,即可解答.

【解答】解：（I）?.“=8624,6=2+4,8=2x2+4,

.?.8642是“和諧數(shù)”；

,/m=9582,5H8+2,

.?.9582不是“和諧數(shù)”；

（2）設(shè)機的個位數(shù)為。，0?9,十位數(shù)為3Q.兒9,且。、b為整數(shù),

?.?，〃是“和諧數(shù)”，

：.m的百位數(shù)為a+a+b”9）,千位數(shù)為2b+a（0<2b+a、9）,

/.m=1000（2b+a）+（00（a+b）+.0b+a=\\0\a+2\\0b,

與22的和能被13整除,

.?.1101a+2110〃+22=13（84。+1626）+9a+48+22能被13整除，

.?.%+4Z>+22能被13整除,

v2/;+a.9,且。、人為整數(shù)，

.,.Q只能取0，1，2,3,4,

.?.6=1時，”=0或b=2時，”=1或6=3時，”=2或力=4,。=3或6=5,a=4或6=6,a=5（不合題

意舍去）或力=7,a=6（不合題意舍去）或b=8,a=7（不合題意舍去）或b=9,a=8（不合題意舍

去），

:.a+b=\>2b+a=2或a+6=3,2力+a=5或a+b=5,26+。=8或〃+/）=7,26+a=11（不合題意舍

去）或4+8=9,26+0=14（不合題意舍去），

加的值為2110或5321或8532.

【點評】本題是?道新定義題目，考查了有理數(shù)整除的相關(guān)性質(zhì)，利用代數(shù)式的值進行相關(guān)分類討論，得

出結(jié)果，解題的關(guān)鍵是能夠理解定義.

15.（2022?南川區(qū)模擬）對于一個三位數(shù)的正整數(shù)『，滿足各個數(shù)位上的數(shù)字都不為零，它的百位數(shù)字減

18

去十位數(shù)字的差等于十位數(shù)字減去個位數(shù)字的差，那么稱這個數(shù)月為“平衡數(shù)”，對于任意一個“平衡數(shù)”,

將它的前兩位數(shù)加上后兩位數(shù)所得的和記為加；將它的百位數(shù)字和個位數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)加上交換這個兩

位數(shù)所得到的新兩位數(shù)的和記為〃；把“與〃的差除以9所得結(jié)果記為：F[P}.例如P=246,因為

2-4=4-6?所以246是一個"平衡數(shù)"，所以〃?=24+46=70,“=26+62=88,則8——=—2.

9

(D計算:戶(258),尸(741)；

(2)若s、/都是“平衡數(shù)”其中s=10x+y+502,，=10a+b+200,(LX.9),L.%7,L.a.9,L,9,

x、y、a、。都是整數(shù))，規(guī)定％=",當(dāng)2a5)+尸(/)=—1時，求k的最小值.

F⑴

【分析】(1)根據(jù)新定義進行計算即可.

(2)根據(jù)新定義，結(jié)合已知條件，用一個字母表達左，再根據(jù)這個字母的取值范圍即可得出答案.

【解答】解：(1)[258)=25+58；(28+82)=一？,

“(741)=74+4、⑺+⑺力

(2);s=10x+y+502,t=\Oa-b+200?(L,x,9,L.y,7,La,9,L.6,9,x,y,a,方都是整數(shù)),

50+x+10x+y+2—(52+j+10y+25)lUOy—25

廣⑶=

、20+a+10a+/)—(20+/)+106+2)Ila—106—2

r(/)=------------------------------=-----------

99

v2F(5)+F(/)=-l,

22x-20y-501la-10/?-2,

99

整理得22x-2()j，+lla-10/?=43,

即】1。-106-2=41-22x+20y,

尸⑺

?k,__U_x_-__l_Ov：__-_2_5__llx-10，_y_-_2_5_

1la-106-2-4l-22x+20^

???s是“平衡數(shù)”，

:.5-x=x-y-2t

y=2x-7?

lLv-10(2x-7)-25—9x+451

火IJ夕L=----------------=-------=-----

41-22x+20(2x-7)18x-991

x-5

L為7,

19

L2x-7?7,

解得4,x.7,

???x為整數(shù),且力5,

x=4或6或7,

二.當(dāng)x=6H■寸，4取得最小值為一1.

【點評】本題考查新定義題型、列代數(shù)式、有理數(shù)的混合運算，能根據(jù)題干中所給的新定義及運算規(guī)則完

成計算是解答本題的關(guān)鍵.

16.（2024?唐山一模）數(shù)學(xué)課上老師給出規(guī)定：如果兩個數(shù)的平方差能被4整除，我們稱這個算式是“佳

偶和諧式”.

小亮寫出如下算式：82-62=7X4；142-122=13X4；1062-1042=105x4.

發(fā)現(xiàn)：任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”.

（1）驗證：22、-202是，，佳偶和諧式”；

（2）證明：任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”；

（3）小紅通過小亮的結(jié)論推廣得到一個命題：任意兩個偶數(shù)的平方差都能被4整除，他們的算式都是“佳

偶和諧式”，直接判斷此命題是真命題還是假命題.

【分析】（1）直接根據(jù)“佳偶和諧式”的定義，即可求解；

（2）設(shè)這兩個連續(xù)偶數(shù)分別為〃+2,再根據(jù)平方差公式，以及“佳偶和諧式”的定義，即可求解；

（3）設(shè)任意兩個偶數(shù)分別為九,