2024年海南省臨高縣中考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

2024年海南省臨高縣中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.2024的倒數(shù)是（）

A.2024B.-2024C.募D.1

2024

2.據(jù)報(bào)道，今年國(guó)際圓周率日（3月14日），計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)公司發(fā)布聲明稱，該公司已將圓周率（兀）計(jì)

算到小數(shù)點(diǎn)后約105萬(wàn)億位，打破此前100萬(wàn)億位的世界紀(jì)錄.數(shù)據(jù)105萬(wàn)億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.105x1012B.10.5x1013C.1.05x1013D.1.05x1014

3.如圖是由5個(gè)大小相同的小正方體擺成的立體圖形，它的俯視圖是（）

TF面

4.估計(jì)■的值應(yīng)在（）

A.3.5和4之間B.4和4.5之間C.4.5和5之間D.5和5.5之間

fx4-1>0

5.不等式組無(wú)-1-1的解集是()

A.-1<%<1B.-1<x<1C.-1<x<3D.-1<x<3

6.將進(jìn)行因式分解，正確的是（）

A.u(u2b—b)B.ub(u-I)2C.ab(a+l)(u—1)D.ub(u2—1)

7.為了豐富校園生活，培養(yǎng)學(xué)生特長(zhǎng)，學(xué)校開(kāi)展了特色課程.小明與小華從感興趣的“花樣跳繩”“天文地

理”“藝術(shù)插花”“象棋博弈”4門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí).小明與小華恰好選中同一門課程的概率為

)

A，—16建

8.如圖所示，在A/IBC中，CD1AB,垂足為點(diǎn)D,DE//AC,交BC于點(diǎn)E.若A

〃=50。，則aDE的度數(shù)是()

A.25°

B.40。

C.45°

D.50°

9.如圖，點(diǎn)力在函數(shù)y=：(x>0)的圖象上，點(diǎn)8在函數(shù)y=

比48〃x軸，BClx軸于點(diǎn)C,則四邊形力8C0的面積為()

A.1

B.2

C.3

D.4

10.已知銳角乙4。8=40。，如圖，按下列步驟作圖：①在。4邊取一點(diǎn)D,以。

為圓心，OD長(zhǎng)為半徑畫(huà)須，交CB于點(diǎn)C,連接CD.②以。為圓心，D。長(zhǎng)為半

徑畫(huà)⑸，交。8于點(diǎn)E,連接DE.則乙CDE的度數(shù)為()

A.20°B.30°C.40°D.50°

11.如圖,AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為力8(0,-2)、6(1,0),點(diǎn)P(0,2)

繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)180。得點(diǎn)A，點(diǎn)心繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)180。得點(diǎn)尸2，點(diǎn)02繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得

點(diǎn)23，點(diǎn)「3繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)尸4…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)22024的坐標(biāo)為

()

A.(-2,0)

B.(0,2)

C.(2,-4)

D.(-2,-2)

12.如圖，正方形48CD的邊長(zhǎng)為4,Z.BCM=30°,點(diǎn)E是直線CM上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，連接BE,線段BE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到B心連接DF,則線段。廠長(zhǎng)

度的最小值等于()

A.472-4

B.2/2-2

C.2/6-2/3

D.2<6-73

二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。

13.若“=合一1,則代數(shù)式/-1的值為_(kāi)___.

14.分式方程？J=0的解為―.

XX-1

15.如圖，直線48與半徑為8的。。相切于點(diǎn)。，點(diǎn)。在。0上，連接CO、DE,

Z.EDC=30°,弦￡尸//力8,則EF的長(zhǎng)為_(kāi)____.

16.如圖，在菱形A8C0中，，8力。=60。，點(diǎn)￡在邊BC上，將△K8E沿直線AE

翻折，得到AAB'E,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)夕,若ABUBD,BE=2,則

乙BAB'=_____。，8夕的長(zhǎng)是.

三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.(本小題8分)

(1)計(jì)算：2x(-i)-/8+(-2)-2

O

(2)計(jì)算:(x+2y)(x-2y)-y(3-4y).

18.(本小題10分)

臨高縣漁業(yè)資源豐富.某商家銷咎/、3兩種臨高縣盛產(chǎn)的鯨魚(yú)，如果購(gòu)買1箱A種觥魚(yú)和2箱3種觥魚(yú)需花費(fèi)

1300元；如果購(gòu)買2箱/種鯨魚(yú)和3箱B種毓魚(yú)需花費(fèi)2300元.每箱4種就魚(yú)和每箱B種毓魚(yú)各是多少元？

19.(木小題13分)

為落實(shí)“雙減”政策，優(yōu)化作業(yè)管理，某中學(xué)從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，調(diào)查他們每天完成書(shū)面作

業(yè)的時(shí)間t(單位：分鐘).按照完成時(shí)間分成五組：4組“t<45”，B組“45<t<60"，C組“60<t<

75”，。組“75VCW90"，￡組'”>90”.將收集的數(shù)據(jù)整理后，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

(1)這次調(diào)查的樣本容量是______，請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，8組的圓心角是度，本次調(diào)杳數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在組內(nèi)；

(3)若該校有1800名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校每天完成書(shū)面作業(yè)不超過(guò)90分鐘的學(xué)生人數(shù).

每天完成書(shū)而作業(yè)時(shí)間條形統(tǒng)計(jì)圖每天完成書(shū)而作業(yè)時(shí)間扇形統(tǒng)計(jì)圖

20.(本小題13分)

為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動(dòng).如圖，力點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)

檢查點(diǎn)，分別為8點(diǎn)和C點(diǎn)，行進(jìn)路線為4tBTCT4B點(diǎn)在力點(diǎn)的南偏東25。方向3，1射八處，C點(diǎn)在4點(diǎn)

的北偏東80。方向，行進(jìn)路線和BC所在直線的夾角Z4BC為45。.

⑴求行進(jìn)路線BC和&4所在直線的夾角48CA的度數(shù);

(2)求檢查點(diǎn)B和C之間的距離(結(jié)果保留根號(hào)).

B

21.(木小題13分)

(1)［問(wèn)題探究］

如圖1,在正方形4BCD中，對(duì)角線力C、BD相交于點(diǎn)。.點(diǎn)P是線段4。上一點(diǎn)(與點(diǎn)力、0不重合)，連結(jié)PD、

①求證：APDgAPBC；

②將線段。P繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)。落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處當(dāng)點(diǎn)P在線段力。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4DPQ的大小

是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由;

③浜究AQ與OP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)［遷移探究］

如圖2,將正方形48C0換成菱形4RCD,且NA8C=60。，其他條件不變.試探究4Q與CP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)

明理由.

22.(本小題15分)

1

X2

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=2-+bx+c與％軸交于\4、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是

(-1,0).(5,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,過(guò)點(diǎn)C作CD〃x軸交拋物線于點(diǎn)。，點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過(guò)點(diǎn)P作PQ〃力。交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q,當(dāng)PQ=4。時(shí)，求m的值；

(3)設(shè)以。、C、D、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S,當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)的拋物線上時(shí)，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系

式；

(4)M是％軸上的一點(diǎn)，若以4、C、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：2024的倒數(shù)是焉；

2024

故選：C.

根據(jù)乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)解答即可.

本題考查了倒數(shù)，掌握倒數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

2.【答案】D

【解析】解：105萬(wàn)億=1050000000000=1.05X1014,

故選：0.

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為QXion的形式，其中14回<10,九為整數(shù).確定n的值時(shí)，要看把原來(lái)的數(shù),

變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，ri的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值N10時(shí)，n是正數(shù);

當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值VI時(shí)，幾是負(fù)數(shù)，據(jù)此解答即可.

本題考查了科學(xué)記數(shù)法，確定a與ri的值是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖.

根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【解答】

解：從上邊看第一列是兩個(gè)小正方形，第二列是一個(gè)小正方形，第三列是一個(gè)小正方形，

故選D.

4.【答案】C

【解析】解:???4W=20.25,52=25,

且20.25<23<25,

?0?4.5<V23<5,

故選：C.

運(yùn)用算術(shù)平方根的知識(shí)進(jìn)行估算、求解.

此題考查了無(wú)理數(shù)的估算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用算術(shù)平方根進(jìn)行求解.

5.【答案】D

x+1>0@

【解析】解：由題意，x-l1石「，

.?.由①得，x>-1；由②得，x<3.

.?.原不等式組的解集為：-1WX<3.

故選:D.

依據(jù)題意，分別解出組成不等式組的兩個(gè)不等式的解集，進(jìn)而可以得解.

本題主要考查一元一次不等式組的解集，解題時(shí)需要熟練掌握并能準(zhǔn)確計(jì)算.

6.【答案】C

【解析】解：a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+l)(a-1),

故選：C.

多項(xiàng)式Mb-附有公因式ab,首先考慮用提公因式法提公因式砧，提公因式后，得到多項(xiàng)式再

利用平方差公式講行分解.

此題主要考查了提公因式法和平方差公式綜合應(yīng)用.

7.【答案】B

【解析】解：將“花樣跳繩”“天文地理"''藝術(shù)插花”“象棋博弈”4門課程分別記為4B,C,D,

畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

共有16種等可能的結(jié)果，其中小明與小華恰好選中同?門課程的結(jié)果有4種，

.?.小明與小華恰好選中同一門課程的概率為2=1.

164

故選:B.

畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明與小華恰好選中同一門課程的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出

答案.

本題考查列表法與樹(shù)狀圖法，熟練掌握列表法與樹(shù)狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】解：-DE//AC,NA=50。，

???乙BDE=^A=50°,

,:CD1AB,

二乙CDB=90°,

乙CDE=乙CDB一乙BDE=90°-50°=40°.

故選：B.

首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得NBDE=〃=50%再根據(jù)垂直的定義得匕。。8=90%進(jìn)而根據(jù)乙COE=

乙CDB-Z80E即可得出答案.

此題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)，垂直的定義是解答此題的關(guān)鍵.

9.【答案】B

【解析】解：延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)D,

???48〃》軸，

DA1y軸，

???點(diǎn)A在函數(shù)y=|(x>0)的圖象上，

SMDO=/2=1,

???8。1%軸于點(diǎn)。，。81丫軸，點(diǎn)8在函數(shù)丫=：。>0)的圖象上,

S矩形OCBD=3

??加邊形48C。的面積等于S矩施C8D-S4ADO=3-1=2；

故選:B.

延長(zhǎng)力交軸于點(diǎn)根據(jù)反比例函數(shù)上值的幾何意義得到根據(jù)四邊形

ByD,S-0o=；x2=1,S^CBD=3,

48。。的面積等于S型強(qiáng)C8D一SxADO,即可得解.

本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用.熟練掌握反比例函數(shù)中上的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】B

【解析】解：由作法得?！?gt;=OC,DO=DE,

???OD=OC,

:.WCD="DC=\(180°-乙COD)=1x(180°-40°)=70°,

DO=DE,

:.乙DEO=乙DOE=40°,

VLOCD=乙COE十乙DEC,

Z.CDE=70°-40°=30°.

故選:B.

由作法得。。=OC,DO=DE,利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出ZOE。=乙DOE=40°,

“CD=乙ODC=70°,然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算aDE的度數(shù).

本題考查/作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性

質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合兒何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作

圖拆解成基本作圖，逐步操作.

11.【答案】C

【解析】解：畫(huà)圖可知:Pi(-2,0),P2(2,-4),P3(0,4),P4(-2,-2),P5(2,-2),P6(0,2),

故選：C.

觀察圖形可知”與。重合，6次一個(gè)循環(huán)利用規(guī)律即可得出答案.

本題考查了圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型-點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】B

【解析】解：連接8D,在BD上取BG=8C,

:ABGFdBCE,

BD=4/2,

:?乙BGF=LBCE,=30°,

4DGP=30°,

???G為定值，乙BGF=30。為定角,

??.F在定直線/上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)。尸山于尸'時(shí),DF最小,

此時(shí)DG=BD-BG=4/2-4,

vZ.DGF1=30°,

1

DG22

--

2V2

故選：B.

當(dāng)B,F,。三點(diǎn)共線時(shí)，。尸最小，此時(shí)E與C重合，求出80即可解答.

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，確定何時(shí)DF最小是解題關(guān)鍵.

13.【答案】2-2/2

【解析】解：

vX=72-l,

x-t-1=y/~2,x—1=>/~2—2,

:.x2-1=(x+l)(x-1)=/2x(/2-2)=2-2/2,

故答案為：2-2/2.

根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.

本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟知二次根式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】x=3

【解析】解：|-^=0,

去分母得：3(x-l)-2x=0,

去括號(hào)得：3%-3-2%=0,

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：x=3,

檢驗(yàn)：把％=3代入%(%-1)=3x(3-1)=6*0,

???%=3是原方程的解.

故答案為：x=3.

先變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對(duì)方程的解法行檢驗(yàn).

本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用.

15.【答案】8/3

【解析】解：如圖，連接OE和OC,且。C與EF的交點(diǎn)為M.

vLEDC=30°,

:.乙COE=60°.

???力8與O。相切，

OC1AB,

乂??-EF//AB,

GC1EF,即AEOM為直角三角形.

在戊△EOM中,EM=sni60°xOf=苧x8=4/3，

???EF=2EM,

AEF=8/3.

故答案為：84.

如圖，連接。。與。區(qū)根據(jù)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，可知NEOC的度數(shù)；再根據(jù)切

線的性質(zhì)定理，圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，可知0C_L4B；又E/7/48,可知。最后解直角

三角形可將E尸的長(zhǎng)求出.

本題主要考查切線的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】30272

【解析】解：???菱形A8CD,

；.AB=AD,AD//BC,

v/.BAD=60°,

A/.ABC=120°,

?：ABfLBD,

????8'=*4。=30。，

???將△48E沿直線AE翻折，得到△A8'E,

：.BE=B'E,AB=AB',

:.匕ABB'=|x(180°-30°)=75°,

???乙EBB'=乙ABE-乙ABB'=120°-75°=45°,

，乙EB'B=乙EBB'=45°,

:.乙BEB'=90°,

在股△BEQ中，由勾股定理得：

BB'=\/22+22=2/2,

故答案為：30：2/2.

根據(jù)菱形/BCD中，4B4)=60?？芍狝/BD是等邊三角形，結(jié)合三線合一可得力B'=30。，求出

乙ABB'=75°,可得上EB'B=4EBB'=45。,則△8EB'是直角三角形,借助勾股定理求出BB'的長(zhǎng)即可.

本題考查了翻折的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、以及勾股定理等知識(shí)，掌握其性質(zhì)定理是解決

此題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：(1)原式=一；一2，^+9=-2心；

(2)原式=x2-4y2-3y+4y2=x2-3y.

【解析】(1)利用算術(shù)平方根的定義以及負(fù)整數(shù)指數(shù)索化簡(jiǎn)計(jì)算即可；

(2)根據(jù)平方差公式，以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)以及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：設(shè)每箱4種魚(yú)的價(jià)格是工元，每箱B種魚(yú)的價(jià)格是y元，

由題意得,黑乳，解得憂裝，

答：每箱力種魚(yú)的價(jià)格是700元，每箱B種魚(yú)的價(jià)格是300元.

【解析】設(shè)每箱A種魚(yú)的價(jià)格是％元，每箱8種魚(yú)的價(jià)格是y元，依據(jù)購(gòu)買1箱A種觥魚(yú)和2箱8種鰥魚(yú)需花費(fèi)

1300元；購(gòu)買2箱4種毓魚(yú)和3箱5種鯨魚(yú)需花費(fèi)2300元列出方程組即可求解.

本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系列出二元一次方程.

19.【答案】(1)100；

。組的人數(shù)為：100-10-20-25-5=40(人)，補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示:

每天完成書(shū)面作業(yè)時(shí)間條形統(tǒng)計(jì)圖

(2)72；C；

(3)1800X喘=1710(人)，

答：估計(jì)該校每天完成書(shū)面作業(yè)不超過(guò)90分鐘的學(xué)生有1710人.

【解析】解：(1)這次調(diào)查的樣本容量是：25+25%=100,

故答案為：100；補(bǔ)全圖形見(jiàn)答案；

(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，8組的圓心角是：360。x器=72。，

???本次調(diào)查了100個(gè)數(shù)據(jù)，第50個(gè)數(shù)據(jù)和51個(gè)數(shù)據(jù)都在C組，

.??中位數(shù)落在C組，

故答案為：72；C；

(3)見(jiàn)答案.

(1)根據(jù)C組的人數(shù)和所占的百分比，可以計(jì)算出本次調(diào)查的人數(shù)，然后即可計(jì)算出。組的人數(shù)，從而可以

將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出8組的圓心角的度數(shù)，以及中位數(shù)落在哪一組；

(3)根據(jù)題意和統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)?，可以計(jì)算出該校每天完成書(shū)面作業(yè)不超過(guò)90分鐘的學(xué)生人數(shù).

本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)

合的思想解答.

20.【答案】解：(1)由題意得：/M4c=80。，=。AS=25。,

:.LCAB=180°-乙NAC-LBAS=75°,

一ABC=45°,

Z.ACB=180。一乙CAB-LABC=60°,

.??行進(jìn)路線8c和C4所在直線的夾角“S的度數(shù)為60。：

(2)過(guò)點(diǎn)A作40_LBC,垂足為D,

在Rt△A80中，AB=3>J~2km^Z-ABC=45°,

AD=AB-sin45°=3V~2x=3(km)，

BD=AB-cos450=3/2x等=3(km)，

在ACA/OC中，^.ACB=60°,

吁箴=尋C(川)，

???BC=BD+CD=(3+6)km，

???檢查點(diǎn)8和。之間的距離(3+yT3)km.

【解析】(1)根據(jù)題意可得：^NAC=80°,N84s=25。，從而利用平角定義可得z_a4B=75。，然后利用

三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)過(guò)點(diǎn)A作/D1BC,垂足為D,在Rt△力BD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出4。和BD的長(zhǎng)，再在R￡△

4DC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，然后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題

的關(guān)鍵.

21.【答案】(1)①證明：?.?四邊形4BCD是正方形，

CD=CB,/-DCA=Z.BCA=45°,

???CP=CP,

???△「/)小△CPB(SAS)；

②解：乙DPQ的大小不發(fā)生變化，乙DPQ=90。；

證明：作PM1A8,PNLAD,垂足分別為點(diǎn)M、N,如圖1,

???匹邊形48。。是正方形，

Z.DAC=/-BAC=45°,^DAB=90°,

PM=PN,

???匹邊形AMPN是正方形,

:.乙MPN=90°,

???PD=PQ,PM=PN,

:.Rt△DPN/Rt△QPM(HL),

:.乙DPN=“PM,

???“PN+“PM=90°,

:.乙QPN+乙DPN=90。，即4PQ=90°；

③解：AQ=>[2OPz

證明：作PE_L4。交于點(diǎn)E,作EF_L08于點(diǎn)F,如圖,

???匹邊形/BCD是正方形，

A/.BAC=45°,/-AOB=90°,

Z.AEP=45°,四邊形OPEF是矩形，

.?.Z.PAE=/-PEA=45°,EF=OP,

:.PA=PE,

vPD=PB,PD=PQ,

PQ=PB,

作PM1于點(diǎn)M,則QM=BM,AM=EM,

AQ=BE,

?:乙EFB=90°,4EBF=45°,

BE=sE45。=凡

:.AQ=y[2OPx

DC

QAMEB

圖1.2

(2)解：AQ=CP；

證明：?.?四邊形力BCD是菱形，^ABC=60°,

AB=BC?AC1BD,DO=BO,

.?.△ABC是等邊三角形，AC垂直平分BD,

???LBAC=60°,PD=PB,

PD=PQ,

APQ=PB,

作PE〃BC交AB于點(diǎn)、E,EG/A4c交BC于點(diǎn)G,如圖,則四邊形PEGC是平行四邊形，如圖2,

DC

J

QAMEB

圖2

乙GEB=Z-BAC=60°,^AEP=LABC=60°,

EG=PC,AAPE,△BEG都是等邊三角形，

???BE=EG=PC,

作PM1AB于點(diǎn)M,則QM=M8,AM=EM,

:，QA=BE,

?.AQ=CP.

【解析】(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)證明ADCPgaBCP,即可得到結(jié)論；

@^PMLAB,PNLAD,垂足分別為點(diǎn)M、N,如圖，可得PM=PN,證明四邊形力MPN是矩形，推出

乙MPN=90。,證明/^△DPNgR￡AQPM(HL),得出乙CPN=△QPM,進(jìn)而可得結(jié)論：

③作PE1力。交AB于點(diǎn)E,作￡T10B于點(diǎn)F,如圖，證明AQ=