2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 三角函數(shù) 1.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（教師用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（教師用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄新人教A版必修4主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課內(nèi)容選自新人教A版必修4第1章三角函數(shù)1.4.3，主要圍繞正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象展開(kāi)。通過(guò)學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握正切函數(shù)的定義、性質(zhì)以及如何繪制其圖象，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過(guò)正切函數(shù)性質(zhì)與圖象的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠抽象出三角函數(shù)的一般特征，提升邏輯推理能力；通過(guò)圖象繪制，鍛煉數(shù)學(xué)建模和直觀想象能力；在計(jì)算中應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的準(zhǔn)確性和效率。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.正切函數(shù)的定義域和值域。

2.正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性。

3.正切函數(shù)的周期性。

難點(diǎn)：

1.正切函數(shù)圖象的繪制和理解。

2.正切函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用。

解決辦法：

1.對(duì)于正切函數(shù)的定義域和值域，通過(guò)實(shí)例演示和公式推導(dǎo)，幫助學(xué)生理解。

2.通過(guò)幾何直觀和函數(shù)性質(zhì)的分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性。

3.利用周期函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象分析，幫助學(xué)生理解和繪制正切函數(shù)的圖象。

4.通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，如求正切函數(shù)的零點(diǎn)、解三角方程等，幫助學(xué)生綜合應(yīng)用正切函數(shù)的性質(zhì)。

5.針對(duì)難點(diǎn)，采用分組討論、小組合作等方式，鼓勵(lì)學(xué)生互相學(xué)習(xí)，共同突破。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都備有新人教A版必修4教材，以便課堂學(xué)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備正切函數(shù)圖象的相關(guān)圖片、圖表，以及教學(xué)視頻，幫助學(xué)生直觀理解。

3.實(shí)驗(yàn)器材：準(zhǔn)備繪圖工具，如坐標(biāo)紙、直尺等，以便學(xué)生繪制正切函數(shù)圖象。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，以便學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)；在教室前端放置多媒體設(shè)備，以便展示教學(xué)資源。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)正切函數(shù)的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過(guò)程：

開(kāi)場(chǎng)提問(wèn)：“同學(xué)們，你們?cè)趯W(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，是否對(duì)正切函數(shù)感到好奇？它在我們生活中有哪些應(yīng)用呢？”

展示一些與正切函數(shù)相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景，如建筑設(shè)計(jì)、物理運(yùn)動(dòng)等，讓學(xué)生初步感受正切函數(shù)的魅力。

簡(jiǎn)短介紹正切函數(shù)的基本概念和重要性，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.正切函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解正切函數(shù)的基本概念、組成部分和原理。

過(guò)程：

講解正切函數(shù)的定義，包括其主要組成元素或結(jié)構(gòu)，如角度、鄰邊、對(duì)邊等。

詳細(xì)介紹正切函數(shù)的組成部分或功能，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解正切函數(shù)與直角三角形的關(guān)系。

3.正切函數(shù)案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過(guò)具體案例，讓學(xué)生深入了解正切函數(shù)的特性和重要性。

過(guò)程：

選擇幾個(gè)典型的正切函數(shù)案例進(jìn)行分析，如計(jì)算物體的加速度、求解三角方程等。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解正切函數(shù)在數(shù)學(xué)和物理中的應(yīng)用。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對(duì)實(shí)際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用正切函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問(wèn)題的能力。

過(guò)程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與正切函數(shù)相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論，如“正切函數(shù)在幾何中的應(yīng)用”或“正切函數(shù)在工程計(jì)算中的角色”。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)正切函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解。

過(guò)程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問(wèn)和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)正切函數(shù)的重要性和意義。

過(guò)程：

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括正切函數(shù)的基本概念、組成部分、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)正切函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活或?qū)W習(xí)中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用正切函數(shù)。

7.課后作業(yè)布置（5分鐘）

目標(biāo)：鞏固學(xué)習(xí)效果，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

過(guò)程：

布置課后作業(yè)，要求學(xué)生完成以下任務(wù)：

（1）復(fù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，繪制正切函數(shù)圖象。

（2）選擇一個(gè)生活中的場(chǎng)景，應(yīng)用正切函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

（3）撰寫(xiě)一篇關(guān)于正切函數(shù)應(yīng)用的小論文，展示你的理解和思考。知識(shí)點(diǎn)梳理1.正切函數(shù)的定義

-正切函數(shù)是三角函數(shù)的一種，表示直角三角形中，對(duì)邊與鄰邊的比值。

-定義域：所有實(shí)數(shù)，即所有角度的終邊在單位圓上的點(diǎn)。

-值域：所有實(shí)數(shù)，正切函數(shù)可以取到任何實(shí)數(shù)值。

2.正切函數(shù)的性質(zhì)

-單調(diào)性：正切函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)都是單調(diào)遞增的。

-奇偶性：正切函數(shù)是奇函數(shù)，即f(-x)=-f(x)。

-周期性：正切函數(shù)的周期是π，即f(x+π)=f(x)。

3.正切函數(shù)的圖象

-圖象特征：正切函數(shù)的圖象是波浪狀的，具有無(wú)窮多個(gè)漸近線。

-漸近線：正切函數(shù)的垂直漸近線是y=kπ（k為整數(shù)），水平漸近線不存在。

-周期性：圖象在每個(gè)周期內(nèi)重復(fù)，周期長(zhǎng)度為π。

4.正切函數(shù)的圖象繪制

-選擇關(guān)鍵點(diǎn)：繪制圖象時(shí)，選擇關(guān)鍵點(diǎn)如x=kπ/2（k為整數(shù)）的值，因?yàn)檫@些點(diǎn)是函數(shù)值發(fā)生變化的點(diǎn)。

-連接點(diǎn)：將關(guān)鍵點(diǎn)連成平滑的曲線，注意曲線在漸近線處應(yīng)該無(wú)限接近但不接觸。

5.正切函數(shù)的對(duì)稱性

-正切函數(shù)是奇函數(shù)，因此它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

6.正切函數(shù)的極限

-當(dāng)x趨近于kπ時(shí)，正切函數(shù)的極限不存在（即函數(shù)值趨于無(wú)窮大或無(wú)窮?。?。

-當(dāng)x趨近于kπ/2時(shí)，正切函數(shù)的極限不存在。

7.正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

-正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是正切函數(shù)的斜率，即f'(x)=sec2(x)。

8.正切函數(shù)的應(yīng)用

-在幾何學(xué)中，正切函數(shù)用于計(jì)算直角三角形的未知角度或邊長(zhǎng)。

-在物理學(xué)中，正切函數(shù)用于描述物體的運(yùn)動(dòng)，如加速度和速度。

-在工程學(xué)中，正切函數(shù)用于設(shè)計(jì)和分析機(jī)械系統(tǒng)。

9.正切函數(shù)與其它三角函數(shù)的關(guān)系

-正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系：tan(x)=sin(x)/cos(x)。

-正切函數(shù)與余切函數(shù)的關(guān)系：cot(x)=1/tan(x)。

10.正切函數(shù)在三角方程中的應(yīng)用

-正切函數(shù)在解三角方程中起到關(guān)鍵作用，如解tan(x)=a的方程。

-利用正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象，可以找到方程的解集。課堂課堂評(píng)價(jià)是教學(xué)過(guò)程中不可或缺的一部分，它有助于教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，確保教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。以下是針對(duì)本節(jié)課的課堂評(píng)價(jià)方法：

1.提問(wèn)評(píng)價(jià)

提問(wèn)是課堂評(píng)價(jià)的重要手段，通過(guò)提問(wèn)可以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)正切函數(shù)知識(shí)的掌握程度。以下是一些具體的提問(wèn)評(píng)價(jià)方法：

-知識(shí)點(diǎn)提問(wèn)：針對(duì)正切函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象等基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行提問(wèn)，如“正切函數(shù)的定義是什么？”“正切函數(shù)的周期性如何體現(xiàn)？”等。

-應(yīng)用題提問(wèn)：設(shè)計(jì)一些實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生運(yùn)用正切函數(shù)知識(shí)進(jìn)行解答，如“如何利用正切函數(shù)計(jì)算直角三角形的未知邊長(zhǎng)？”

-分析題提問(wèn)：針對(duì)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行提問(wèn)，如“正切函數(shù)的圖象具有哪些特點(diǎn)？”“正切函數(shù)的奇偶性如何？”

-比較題提問(wèn)：將正切函數(shù)與其他三角函數(shù)進(jìn)行比較，如“正切函數(shù)與余弦函數(shù)有何異同？”

通過(guò)提問(wèn)評(píng)價(jià)，教師可以了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的困惑和不足，并進(jìn)行針對(duì)性的講解和指導(dǎo)。

2.觀察評(píng)價(jià)

觀察是課堂評(píng)價(jià)的重要手段之一，教師可以通過(guò)觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)來(lái)了解其學(xué)習(xí)狀態(tài)。以下是一些具體的觀察評(píng)價(jià)方法：

-注意力觀察：觀察學(xué)生在課堂上的注意力集中程度，如是否認(rèn)真聽(tīng)講、積極參與討論等。

-思考觀察：觀察學(xué)生在課堂上的思考過(guò)程，如是否能獨(dú)立思考、提出問(wèn)題等。

-合作觀察：觀察學(xué)生在小組討論中的表現(xiàn)，如是否能與他人合作、分享觀點(diǎn)等。

-實(shí)踐觀察：觀察學(xué)生在實(shí)際操作中的表現(xiàn)，如是否能熟練運(yùn)用正切函數(shù)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算等。

通過(guò)觀察評(píng)價(jià)，教師可以了解學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)能力，為后續(xù)的教學(xué)提供參考。

3.測(cè)試評(píng)價(jià)

測(cè)試是課堂評(píng)價(jià)的重要手段，通過(guò)測(cè)試可以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)正切函數(shù)知識(shí)的掌握程度。以下是一些具體的測(cè)試評(píng)價(jià)方法：

-課堂小測(cè)驗(yàn)：在課堂教學(xué)中，適時(shí)進(jìn)行小測(cè)驗(yàn)，如選擇題、填空題等，以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況。

-課堂練習(xí)：布置一些課堂練習(xí)題，讓學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成，以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用能力。

-課堂展示：讓學(xué)生在課堂上展示自己的學(xué)習(xí)成果，如繪制正切函數(shù)圖象、解答實(shí)際問(wèn)題等，以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用能力。

通過(guò)測(cè)試評(píng)價(jià)，教師可以了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，確保教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

4.反饋評(píng)價(jià)

課堂評(píng)價(jià)的最終目的是為了促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，因此反饋評(píng)價(jià)至關(guān)重要。以下是一些具體的反饋評(píng)價(jià)方法：

-課堂點(diǎn)評(píng)：在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)及時(shí)對(duì)學(xué)生的回答、展示和作業(yè)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，肯定學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)，指出學(xué)生的不足，并提出改進(jìn)建議。

-作業(yè)反饋：對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改和點(diǎn)評(píng)，及時(shí)反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)努力。

-個(gè)別輔導(dǎo)：針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的困難，教師應(yīng)進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，幫助學(xué)生克服困難，提高學(xué)習(xí)成績(jī)。

通過(guò)反饋評(píng)價(jià)，教師可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。課后作業(yè)1.繪制正切函數(shù)y=tan(x)在區(qū)間[-π/2,π/2]內(nèi)的圖象，并標(biāo)注出其漸近線。

答案：在坐標(biāo)系中，從x=-π/2開(kāi)始，正切函數(shù)的圖象從負(fù)無(wú)窮大逐漸上升至0，然后從0下降至正無(wú)窮大，直到x=π/2。漸近線為垂直于x軸的直線x=-π/2和x=π/2。

2.計(jì)算下列角度的正切值：

a)45°

b)135°

c)225°

答案：

a)tan(45°)=1

b)tan(135°)=-1

c)tan(225°)=-1

3.設(shè)tan(α)=2，求α的值（結(jié)果用弧度表示）。

答案：α=arctan(2)，由于tan(α)在第二象限也為正值，所以α=π+arctan(2)。

4.已知tan(θ)=3/4，求sin(θ)和cos(θ)的值。

答案：由于tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)，我們可以設(shè)sin(θ)=3k和cos(θ)=4k，其中k是一個(gè)常數(shù)。由sin2(θ)+cos2(θ)=1，得9k2+16k2=1，解得k2=1/25，因此k=±1/5。由于tan(θ)>0，sin(θ)和cos(θ)同號(hào)，取k=1/5，得到sin(θ)=3/5，cos(θ)=4/5。

5.解下列三角方程：

a)tan(x)=2

b)tan(x)=-1

c)tan(x)=1/2

答案：

a)x=arctan(2)+kπ，其中k為整數(shù)。

b)x=π/4+kπ，其中k為整數(shù)。

c)x=arctan(1/2)+kπ，其中k為整數(shù)。

6.在直角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，求斜邊AC的長(zhǎng)度，如果對(duì)邊BC的長(zhǎng)度為3。

答案：由于∠A=30°，在30°-60°-90°的直角三角形中，對(duì)邊BC是斜邊AC的一半，因此AC=2*BC=2*3=6。

7.一個(gè)物體在水平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為a=5m/s2。求物體在時(shí)間t=2秒內(nèi)的位移s。

答案：使用公式s=1/2*a