二次函數(shù)與一元二次方程經(jīng)典教學(xué)案+典型例題

二次函數(shù)與一元二次方程經(jīng)典教學(xué)案+典型例題?1.理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。2.掌握通過二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解的方法。3.能夠運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決與一元二次方程相關(guān)的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和邏輯思維能力。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)明確二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，即二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），當(dāng)\(y=0\)時(shí)，就得到一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)。掌握利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程近似解的步驟和方法。2.教學(xué)難點(diǎn)理解二次函數(shù)圖象與\(x\)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程的解，以及如何通過圖象準(zhǔn)確地確定方程解的近似值。能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與一元二次方程的問題，并運(yùn)用相關(guān)知識進(jìn)行求解。三、教學(xué)方法講授法、直觀演示法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.回顧一元二次方程的一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）以及求解方法（配方法、公式法、因式分解法）。2.展示二次函數(shù)\(y=2x^23x2\)的圖象，提問學(xué)生：圖象與\(x\)軸有什么關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象與\(x\)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與方程\(2x^23x2=0\)的解之間的聯(lián)系，從而引出本節(jié)課的主題--二次函數(shù)與一元二次方程。（二）知識講解（20分鐘）1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系對于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），當(dāng)\(y=0\)時(shí)，就得到一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)。此時(shí)，二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖象與\(x\)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的解。當(dāng)\(\Delta=b^24ac>0\)時(shí)，一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖象與\(x\)軸有兩個交點(diǎn)。當(dāng)\(\Delta=b^24ac=0\)時(shí)，一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)有兩個相等的實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖象與\(x\)軸有一個交點(diǎn)。當(dāng)\(\Delta=b^24ac<0\)時(shí)，一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)沒有實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖象與\(x\)軸沒有交點(diǎn)。2.利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程近似解的方法步驟：畫出二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖象。觀察圖象與\(x\)軸的交點(diǎn)，確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大致范圍。在這個范圍內(nèi)，通過取\(x\)的值，計(jì)算對應(yīng)的\(y\)值，逐步逼近方程的解。例如，求方程\(x^22x3=0\)的近似解。首先，畫出二次函數(shù)\(y=x^22x3\)的圖象。將其化為頂點(diǎn)式\(y=(x1)^24\)，可知其對稱軸為\(x=1\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,4)\)。再取一些特殊點(diǎn)，如當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=3\)；當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(y=3\)；當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(y=0\)；當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y=0\)。然后，觀察圖象與\(x\)軸的交點(diǎn)為\((1,0)\)和\((3,0)\)，所以方程\(x^22x3=0\)的解為\(x_1=1\)，\(x_2=3\)。若要求近似解，比如精確到\(0.1\)，在\(x=1\)和\(x=3\)附近取值計(jì)算\(y\)值。在\(x=1\)附近，取\(x=0.9\)，\(y=(0.9)^22\times(0.9)3=0.81+1.83=0.39\)；取\(x=1.1\)，\(y=(1.1)^22\times(1.1)3=1.21+2.23=0.41\)。因?yàn)閈(y\)值在\(x=1\)兩側(cè)異號，所以\(x=1\)是方程的一個解。同理，在\(x=3\)附近，取\(x=2.9\)，\(y=2.9^22\times2.93=8.415.83=0.39\)；取\(x=3.1\)，\(y=3.1^22\times3.13=9.616.23=0.41\)，可得\(x=3\)是方程的另一個解。（三）典型例題講解（25分鐘）1.例1：已知二次函數(shù)\(y=x^24x+3\)，求當(dāng)\(y=0\)時(shí)\(x\)的值。解：當(dāng)\(y=0\)時(shí)，方程為\(x^24x+3=0\)。因式分解得\((x1)(x3)=0\)。則\(x1=0\)或\(x3=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=3\)。也可以通過二次函數(shù)圖象來求解。先將\(y=x^24x+3\)化為頂點(diǎn)式\(y=(x2)^21\)，其對稱軸為\(x=2\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,1)\)。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=3\)；當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y=0\)；當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(y=0\)；當(dāng)\(x=4\)時(shí)，\(y=3\)。畫出圖象，可直觀看到與\(x\)軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為\(1\)和\(3\)。2.例2：利用二次函數(shù)圖象求方程\(2x^23x2=0\)的近似解（精確到\(0.1\)）。解：先畫出二次函數(shù)\(y=2x^23x2\)的圖象。將其化為頂點(diǎn)式\(y=2(x\frac{3}{4})^2\frac{25}{8}\)，對稱軸為\(x=\frac{3}{4}\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{3}{4},\frac{25}{8})\)。取特殊點(diǎn)：當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=2\)；當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y=232=3\)；當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\(y=862=0\)。在\(x=2\)附近取值：取\(x=1.9\)，\(y=2\times1.9^23\times1.92=7.225.72=0.48\)；取\(x=2.1\)，\(y=2\times2.1^23\times2.12=8.826.32=0.52\)。因?yàn)閈(y\)值在\(x=2\)兩側(cè)異號，所以\(x=2\)是方程的一個近似解。在\(x=\frac{1}{2}\)附近取值：取\(x=0.6\)，\(y=2\times(0.6)^23\times(0.6)2=0.72+1.82=0.52\)；取\(x=0.7\)，\(y=2\times(0.7)^23\times(0.7)2=0.98+2.12=1.08\)。取\(x=0.8\)，\(y=2\times(0.8)^23\times(0.8)2=1.28+2.42=1.68\)。取\(x=0.9\)，\(y=2\times(0.9)^23\times(0.9)2=1.62+2.72=2.32\)。取\(x=1\)，\(y=2(3)2=3\)。取\(x=1.1\)，\(y=2\times(1.1)^23\times(1.1)2=2.42+3.32=3.72\)。取\(x=1.2\)，\(y=2\times(1.2)^23\times(1.2)2=2.88+3.62=4.48\)。取\(x=1.3\)，\(y=2\times(1.3)^23\times(1.3)2=3.38+3.92=5.28\)。取\(x=1.4\)，\(y=2\times(1.4)^23\times(1.4)2=3.92+4.22=6.12\)。取\(x=1.5\)，\(y=2\times(1.5)^23\times(1.5)2=4.5+4.52=7\)。取\(x=1.6\)，\(y=2\times(1.6)^23\times(1.6)2=5.12+4.82=7.92\)。取\(x=1.7\)，\(y=2\times(1.7)^23\times(1.7)2=5.78+5.12=8.88\)。取\(x=1.8\)，\(y=2\times(1.8)^23\times(1.8)2=6.48+5.42=9.88\)。取\(x=1.9\)，\(y=2\times(1.9)^23\times(1.9)2=7.22+5.72=10.92\)。因?yàn)閈(y\)值在\(x=\frac{1}{2}\)兩側(cè)異號，所以\(x=0.5\)是方程的另一個近似解。綜上，方程\(2x^23x2=0\)的近似解為\(x_1\approx2.0\)，\(x_2\approx0.5\)。3.例3：已知二次函數(shù)\(y=x^2+bx+c\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((1,0)\)和\((0,3)\)。（1）求\(b\)，\(c\)的值。（2）當(dāng)\(x\)取何值時(shí)，\(y>0\)？解：（1）把點(diǎn)\((1,0)\)和\((0,3)\)代入二次函數(shù)\(y=x^2+bx+c\)中，可得：\(\begin{cases}1+b+c=0\\c=3\end{cases}\)將\(c=3\)代入\(1+b+c=0\)，得\(1+b+3=0\)，解得\(b=2\)。（2）由（1）知二次函數(shù)為\(y=x^22x+3\)。當(dāng)\(y=0\)時(shí)，\(x^22x+3=0\)，即\(x^2+2x3=0\)，因式分解得\((x+3)(x1)=0\)，解得\(x_1=3\)，\(x_2=1\)。二次函數(shù)\(y=x^22x+3\)的圖象開口向下，所以當(dāng)\(3<x<1\)時(shí)，\(y>0\)。（四）課堂練習(xí)（15分鐘）1.已知二次函數(shù)\(y=3x^26x9\)，求當(dāng)\(y=0\)時(shí)\(x\)的值。2.利用二次函數(shù)圖象求方程\(x^2+2x5=0\)的近似解（精確到\(0.1\)）。3.已知二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((1,0)\)，\((3,0)\)和\((0,3)\)。（1）求\(a\)，\(b\)，\(c\)的值。（2）當(dāng)\(x\)取何值時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而增大？（五）課堂小結(jié)（5分鐘）1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），當(dāng)\(y=0\)時(shí)得到一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)，其圖象與\(