離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用-第2版 第3-5章部分習(xí)題解答

第3章部分習(xí)題解答1.列出下列集合的元素.{x|x是小于5的非負(fù)整數(shù)}{x|x是大于0的偶數(shù)}{x|（x是整數(shù)）（2x10）}(4){x|xN?t(t{2,3}?x=2t)}(5){x|xR?x2-1=0?x>3}解：（1）{0,1,2,3,4}（2）{2,4,6，…，}（3）{3,4,5,6,7,8,9}（4）{4,6}（5）2.判斷下列集合是否相等。{1,2,1,3,1,2},{2,3,1}{{1}},{1,{1}}

,{}解：（1）相等（2）不相等（3）不相等3.假定A,B,和C是集合，若AB且BC.

證明AC.證明：對(duì)任意xA，因?yàn)锳B，有xB，又因?yàn)锽C，有xC，所有AC.4.判定下列各題的正確與錯(cuò)誤：（1）a{{a}}；（2）{a}{a，b，c}；（3）{}；（4）{a，b，c}；(5)；（6）；（7）{{a}，1，3，4}{{a}，3，4，1}；（8）{a，b}{a，b，c，{a，b}}；（9）{a，b}{a，b，{a，b}}；（10）{a，b}{a，b，{{a，b}}}。解：正確：2、3、4、6、8、9錯(cuò)誤：1、5、7、105.設(shè)E={a,b,c,d,e},A={a,d},B={a,b,e}和C={b,d}.試求出下列的集合：(1)(2)(3)(4)（AC)B(5)ABC解：（1）9vrp1lr（2）{a,e}(3){b,c,d,e}(4)(5){e}6.給定自然數(shù)集合N的下列子集：A={1,2,7,8}B={i|ii<50}C={i|i可被3整除且0i30}D={i|i=2k,kI,0<k<6}試求出下列集合：(1)A(B(CD))(2)A(B(CD))(3)B-(AC)(4)(~AB)D（5）AB解：(1){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,18,,,30}(2){(3){4,5}(4){0,2,3,4,5,6,8,10}(5){0,3,4,5,6,8}7.給定正整數(shù)集合的下列子集：A={n|n<12}B={n|n8}C={n|n=2k,k}D={n|n=3k,k}F={n|n=2k-1,k}試用集合A,B,C,D和F表達(dá)下列集合：(1){2,4,6,8}(2){3,6,9}(3){10}(4){n|n是偶數(shù)，n>10}(5){n|n是正偶數(shù)且n10，或n是正奇數(shù)且n>=9}解：（1）B?C(2)AD(3)(A-B)C(4)C-A（5）（CA）（F-B）8.設(shè)A,B和C是全集E的子集，下列關(guān)系是否成立？(AB)~(BC)A~B解：成立(AB)~(BC)A~B9.設(shè)A,B是全集E的子集，證明下列恒等式：(1)(AB)(A~B)=A(2)B~((~AB)A)=E（3）（A~B）（~AB）=（AB）（~A~B）。證明：（1）(AB)(A~B)=A（B~B）=AE=A(2)B~((~AB)A))=B(~(~AB)~A)=B((A~B)~A)=B((A~A)（~B~A）)=B（~B~A）=E（3）證明：左式=A∪～B∩～A=A∩～A=[F（AB）][（~A~B）]=右式10.求下列集合的冪集:(1){a,b,c}(2){1,{2,3}}(3){{1,{2,3}}}(4){,{}}(5){{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}解答：P({a,b,c})={，{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}P({1,{2,3}})={，{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}P({{1,{2,3}}})={，{{1,{2,3}}}}P({,{}})={，{},{{}},{,{}}}P({{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}})=P({{1,2}})={，{{1,2}}}11.分別用空集構(gòu)成集合A和B，使得AB和AB。解：（答案不唯一）A={},B={，{}}12.設(shè)A，B是兩個(gè)集合，A={1，2，3}，B={1，2}，請(qǐng)計(jì)算P（A）–P（B）。解：P(A)-P(B)={{1,3},{1,2,3},{2,3},{3}}13.化簡(jiǎn)下列集合表達(dá)式：(清華98,99)（1）（（AB）B）-(AB)（2）（AB）(A-B)（3）（（ABC）-(BC)）A（4)(ABC)(~ABC)(AB~C)解答：(2)（AB）(A-B)=（AB）(A~B)=A（4）(ABC)(~ABC)(AB~C)=((A~A)(BC))((AB)(C~C))=(BC)(AB)=B(CA)14.設(shè)A,B,C,D是任意集合，判斷下面的命題的真假，如果為真，給出證明；如果為假，請(qǐng)舉出一個(gè)反例。（1）AB?BCAC（清華P10030）（2）A≠B?B≠CA≠C（清華P10030）（3）AB?CDACBD（清華P10043）（4）AB?CDACBD（清華P10043）（5）AB?BCAC（清華P10030）解：（1）真（2）假如：A={1,2}B={1,2，3}C={1,2}（3）真（4）假如：A={1,2}B={1,2，3}C={3,4}D={2,3,4}（5）假A={1}B={{1},1}，C={{1},1,2}15.設(shè)A,B是任意集合，證明：（1）（A-B）（B-A）=（AB）-（AB）（2）A（B~A）=BA證明：（1）左邊=AA∩～BA∪B∩（2）左邊=A∩B∪～A=16.設(shè)A,B,C是任意集合，證明：CA?CBCAB（清華10037）證:CA?CBx((x∈Cx∈A)?(x∈Cx∈B))x(((x∈C)x∈A)?(((x∈C)x∈B))x(((x∈C)((x∈A)?x∈B))x((x∈C)x∈A?B)CAB17.設(shè)A，B是任意集合，證明：（清華1004445）（1）ABP(A)P(B)(2)P(A)P(B)=P(AB)(3)P(A)P(B)P(AB)解：(1)設(shè)對(duì)任意X，XP(A)，則XA，又AB，有XB，則XP(B)，所以P(A)P(B)。(2)設(shè)對(duì)任意X，X(P(A)P(B))X(P(A))(X(P(B)(XA)(XB)X(AB)XP(AB)所以P(A)P(B)=P(AB)(3)設(shè)對(duì)任意X，X(P(A)P(B))X(P(A))(X(P(B)(XA)(XB)X(AB)XP(AB)所以P(A)P(B)P(AB)第4章部分習(xí)題解答設(shè)集合A={0,1}和B={a,b}，試給出下列集合：(1)AB(2)A{2}B(3)BA解：(1)AB={(0,a),(1,a),(0,b),(1,b)}(2)A{2}B={(0,2,a),(0,2,b),(1,2,a),(1,2,b)}(3)BA={(a,0),(a,1),(b,0),(b,1)}設(shè)A={1，2}，試給出下列集合AP(A)。解：AP(A)={(1,),(1,{1}),(1,{2}),(1,{1,2}),(2,),(2,{1}),(2,{2}),(2,{1,2})}設(shè)A、B、C和D是四個(gè)任意的集合，下列各式哪些成立，哪些不成立，為什么？請(qǐng)舉例說(shuō)明。(1)(AB)(CD)=(AC)(BD)(2)(AB)(CD)=(AC)(BD)(3)(A?B)(C?D)=(AC)?(BD)(4)(AB)(CD)=(AC)(BD)(5)(AB)C=(AC)(BC)解：成立不成立A={1,2}B={2,3}C={1,2}D={2,3}，(AB)(CD)(AC)(BD)不成立A={1,2}B={2,3}C={1,2}D={2,3}，(A?B)(C?D)(AC)?(BD)不成立A={1}B={2}C={1}D={2}，(AB)(CD)={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}(AC)(BD)={(1,1),(2,2)}故不成立（5）成立設(shè)A,B,是任意的集合，證明：若AB=BA，則A=B證明：設(shè)任意xA,yB,（x,y）AB,則xAyB。若AB=BA，則有（x,y）BA,則xByA。所以A=B對(duì)于下列各種情況，試求出從集合A到B的關(guān)系S的各元素：(1)A={0,1,2}，B={0,2,4}，S={<x,y>|x,yAB}(2)A={1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，S={<x,y>|xy}解答：（1）S={（0,0），（2,2），（0,2），（2,0）}（2）S={（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），（5,2）.（5,3）}從m元集合到n元集合有多少個(gè)不同的二元關(guān)系。解答：2mn給定集合A={0,1,2,3}，并且有A上的關(guān)系R={<0,1>,<1,0>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>}畫(huà)出R的關(guān)系圖寫(xiě)出R的關(guān)系矩陣。設(shè)集合A={1，2，3，4，5}，試求A上的模2同余關(guān)系R的關(guān)系矩陣和關(guān)系圖。解：關(guān)系矩陣：關(guān)系圖：已知A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，R是A到B的二元關(guān)系，并且R={(x，y)|xA且yB且2x+y4}，畫(huà)出R的關(guān)系圖，并寫(xiě)出關(guān)系矩陣。用L表示“小于或等于”關(guān)系；用D表示“整除”關(guān)系；xDy意味著“x整除y”。L和D都定義于集合S={1,2,3,6}。試把關(guān)系L和D表示成序偶集合，并且求出LD，LD，LD，LD。解：L={(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(2,2),(2,3),(2,6),(3,3),(3,6),(6,6)}D={(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(2,2),(3,3),(6,6),(2,6),(3,6)}LD={(1,1),(2,2),(1,2),(1,3),(1,6),(3,3),(6,6),(2,6),(3,6)}，LD={(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(2,2),(2,3),(2,6),(3,3),(3,6),(6,6)}，LD={(2,3)}，LD={(2,3)}給定集合X={a,b,c,d}，且X中有二元關(guān)系：R={<a,a>,<a,b>,<b,d>}S={<a,b>,<b,c>,<b,d>,<c,d>}(1)求出復(fù)合關(guān)系RoS。表示關(guān)系R，S和RoS的關(guān)系矩陣MR，MS，MRoS。解答：（1）RoS={<a,d>} (2)對(duì)以下整數(shù)集上的關(guān)系R和S，確定RoS。(1)R={<x,y>|y=x+1}，S={<x,y>|y=3x-2}(2)R={<x,y>|y=x2}，S={<x,y>|x=y2}(3)R={<x,y>|y=2x}，S={<x,y>|y=log2x}設(shè)R1，R2和R3是集合X中的二元關(guān)系。證明如果有R1R2，那么：(1)R1oR3R2oR3(2)R3oR1R3oR2證明：(1)∵R1R2，則對(duì)任意<x,y>,<x,y>R1，則<x,y>R2對(duì)任意y,z,<z,y>R1oR3x(<z,x>R3<x,y>R1)x(<z,x>R3<x,y>R2)<z,y>R2oR3∴R1oR3R2oR3（2）∵R1R2，則對(duì)任意<x,y>,<x,y>R1，則<x,y>R2對(duì)任意x,z,<x,z>R3oR1y(<x,y>R1<y,z>R3)y(<x,y>R2<y,z>R3)<z,y>R3oR2∴R3oR1R3oR2給定關(guān)系R={<i,j>|(i,jI)(j-i=1)}。分別寫(xiě)出關(guān)系R和Rn的關(guān)系矩陣。設(shè)R是A上的關(guān)系,證明RoIA=R=IAoR。整數(shù)集上的關(guān)系R={<x,y>|xy}和S={<x,y>|x整除y}，求R-1，S-1。解答：R-1={<x,y>|x>y},S-1={<x,y>|y整除x}給定集合S={1,2,...10}和S中的關(guān)系R={<x,y>|(x,yS)(xy2)}試問(wèn)關(guān)系R具有哪幾種性質(zhì)？解答：反自反，反對(duì)稱(chēng)，傳遞是否存在既是對(duì)稱(chēng)的又是反對(duì)稱(chēng)的關(guān)系？若存在請(qǐng)舉出一例。解答：A={1,2}，A上的關(guān)系R={（1,1），（2,2）}19.是否存在既不是對(duì)稱(chēng)的又不是反對(duì)稱(chēng)的關(guān)系？若存在請(qǐng)舉出一例。解答：A={1,2}，A上的關(guān)系R={（1,2）}20.如果關(guān)系R和S都是自反的，試證明或反駁下面的論斷。關(guān)系RS是自反的。關(guān)系RS是自反的。關(guān)系RS是反自反的。關(guān)系RS是自反的。解答：1），2）3）是，4）不是（1）是。證：對(duì)任意x∈A,因?yàn)椋?）是。證：對(duì)任意x∈A,因?yàn)閤,x(3)是。證：對(duì)任意x∈A,因?yàn)椋?）不是。證：假設(shè)A={1,2,3}R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)}S={(1,1),(2,2),(3,3)}R,S均是A上的自反關(guān)系，但R–S={(2,3)},顯然不是集合A上的自反關(guān)系。21下列關(guān)系是否是可傳遞的？試給出證明。(1)R1={<1,1>}(2)R2={<1,2>,<2,2>}(3)R3={<1,2>,<2,3>,<1,3>,<2,1>}(4)R4={<1,2>,<3,4>}解答：（1）（2）（4）是，（3）不是22給定集合X，且R是X上的二元關(guān)系。證明RoRR，當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)系R是可傳遞的。證明：證明充分性。對(duì)任意的x,z∈R°R,根據(jù)關(guān)系復(fù)合運(yùn)算的定義，則存在y∈X,使得(x,y∈R并且再證明必要性：對(duì)任意x,y,z∈A，若x,y∈R并且y,z∈R,則x,z∈R°R.因?yàn)榫C上所述，RoRR，當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)系R是可傳遞的。23設(shè)R1和R2是集合X上的任意二元關(guān)系。證明或反駁下列命題：(1)如果R1和R2是自反的，則R1oR2也是自反的。(2)如果R1和R2是反自反的，則R1oR2也是反自反的。(3)如果R1和R2是對(duì)稱(chēng)的，則R1oR2也是對(duì)稱(chēng)的。(4)如果R1和R2是反對(duì)稱(chēng)的，則R1oR2也是反對(duì)稱(chēng)的。(5)如果R1和R2是可傳遞的，則R1oR2也是可傳遞的。解答：真命題假命題，R1={<2,1>}，R2={<1,2>}，R1oR2={<1,1>}不是反自反假命題，R1={<2,1>，<1,2>}，R2={<3,2>，<,2,3>}，R1oR2={<3,1>}不是對(duì)稱(chēng)的假命題，R1={<2,1>，<1,3>}，R2={<3,2>，<1,1>}，R1oR2={<3,1>,<1,3>}不是反對(duì)稱(chēng)的假命題，R1={<2,3>，<4,4}，R2={<1,2>，<3,4>}，R1oR2={<1,3>,<3,4>}不是傳遞的24證明：(1)如果關(guān)系R是自反的，則R的逆關(guān)系也是自反的。(2)如果關(guān)系R是反自反的，則R的逆關(guān)系也是反自反的。(3)如果關(guān)系R是對(duì)稱(chēng)的，則R的逆關(guān)系也是對(duì)稱(chēng)的。(4)如果關(guān)系R是反對(duì)稱(chēng)的，則R的逆關(guān)系也是反對(duì)稱(chēng)的。(5)如果關(guān)系R是可傳遞的，則R的逆關(guān)系也是可傳遞的。證明：（3）設(shè)（x,y）R-1,則（y,x）R，由于關(guān)系R是對(duì)稱(chēng)的，則（x，y）R，因而（y，x）R-1,所以R的逆關(guān)系也是對(duì)稱(chēng)的。（5）設(shè)（x,y）R-1,（y,z）R-1,則（y,x）R，（z，y）R，由于關(guān)系R是可傳遞的，則（z，x）R，因而（x，z）R-1,所以R的逆關(guān)系也是可傳遞的。25設(shè)集合A={a，b，c，d}，R1，R2都是A上的二元關(guān)系，R1={(a，b)，(b，c)，(c，a)}，R2=，試求R1和R2的自反閉包，對(duì)稱(chēng)閉包和傳遞閉包。解答：R1自反閉包：{(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c),(c,a),(d,d)}R1對(duì)稱(chēng)閉包：{(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,a),(a,c)}R1傳遞閉包：{(a,b),(b,c),(a,c),(b,a),(c,b),(c,a),(a,a),(b,b),(c,c)}R2自反閉包：{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}R2對(duì)稱(chēng)閉包：R2傳遞閉包：26求正整數(shù)集合上的關(guān)系R={(a，b)|ab}自反閉包和對(duì)稱(chēng)閉包。解答：關(guān)系R={(a，b)|ab}自反閉包為r(R)={(a，b)|ab}對(duì)稱(chēng)閉包s(R)={(a，b)|ab}27求包含關(guān)系{(1，2)，(1，4)，(3，3)，(4，1)}的最小關(guān)系R，使得：R具有自反性和傳遞性；R具有對(duì)稱(chēng)性和傳遞性；R具有自反性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性。解答：(1){(1,1),(1,2),(2,2),(1,4),(3,3),(4,1),(4,4)}(2){(1,2),(1,4),(3,3),(4,1),(2,1),(1,1),(4,2),(4,4),(2,2),(2,4)}(3){(1,2),(1,4),(3,3),(4,1),(2,1),(2,2),(1,1),(4,4),(2,4),(4,2)}28證明：R是集合A上的二元關(guān)系，則R是反自反的當(dāng)且僅當(dāng)RIA=。證明：先證明充分性：因?yàn)镽∩IA=?,再證明必要性：因?yàn)镽是反自反的，隨意對(duì)任意的x有：x∈A→x,x?R,又IA29設(shè)R是集合A上的一個(gè)具有自反和傳遞性質(zhì)的關(guān)系，T是A上的關(guān)系，使得(a，b)T(a，b)R且(b，a)R，證明T是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。證明：1）對(duì)任意aA,由于R是集合A上的自反關(guān)系，則有(a，a)R，(a，a)R且(a，a)R(a，a)T,因而T是自反的。2）設(shè)任意(a，b)T,由(a，b)T(a，b)R且(b，a)R，則有(b，a)R且(a，b)R(b，a)T,因而T是對(duì)稱(chēng)的。3）設(shè)任意(a，b)T,(b，c)T,由(a，b)T(a，b)R且(b，a)R，(b，c)T(b，c)R且(c，b)R，由于R是傳遞的，由(a，b)R和(b，c)R，則(a，c)R，由(b，a)R和(c，b)R，則(c，a)R，則有(a，c)R且(c，a)R(a，c)T,因而T是傳遞的。綜上所述，T是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。30設(shè)R是集合A上的一個(gè)自反的關(guān)系，證明R是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，當(dāng)且僅當(dāng)若(a，b)R，(a，c)R則(b，c)R。31設(shè)R1和R2都是集合X上的等價(jià)關(guān)系。證明R1R2也是集合X中的一種等價(jià)關(guān)系。再證明，R1R2不一定是集合X中的一種等價(jià)關(guān)系。證明：由題意得，R1，R2是自反，對(duì)稱(chēng)和傳遞的。對(duì)任意x?X，(x,x)?R1，(x,x)?R2，則(x,x)?R1R2，R1R2是自反的。對(duì)任意(x,y)?R1R2，則(x,y)?R1，(x,y)?R2，由于R1，R2是對(duì)稱(chēng)的，有(y,x)?R1，(y,x)?R2，因而有(y,x)?R1R2，R1R2是對(duì)稱(chēng)的。對(duì)任意(x,y)?R1R2，(y,z)?R1R2，則(x,y)?R1，(x,y)?R2，(y,z)?R1，(y,z)?R2，由于R1，R2是傳遞的，有(x,z)?R1，(x,z)?R2，因而有(x,z)?R1R2，R1R2是傳遞的。綜上，R1R2是集合X中的一種等價(jià)關(guān)系。R1R2不一定為X上等價(jià)關(guān)系。例如：R1={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3)} R2={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}R1R2并不傳遞。因?yàn)橛性?1,2),(2,3)屬于R1R2，但元素(1,3)不屬于R1R232給定一個(gè)集合X，并且R是X中的一種關(guān)系。對(duì)于所有的xi、xj、xkX來(lái)說(shuō)，如果xiRxj和xjRxk蘊(yùn)含xkRxi,則稱(chēng)R是個(gè)循環(huán)關(guān)系。證明：R是一種等價(jià)關(guān)系，當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)系R是自反的和循環(huán)的。證明：（必要性）若R是一種等價(jià)關(guān)系，則R是自反的，對(duì)稱(chēng)的和傳遞的。如果xiRxj和xjRxk，由于R是傳遞的，有xiRxk，又由于R是對(duì)稱(chēng)的，有xkRxi,則稱(chēng)R是循環(huán)的。（充分性）假設(shè)xiRxj，若R是自反的，則有xjRxj，由于R是循環(huán)關(guān)系，xiRxj和xjRxj蘊(yùn)含xjRxi,所以R是對(duì)稱(chēng)的。假設(shè)xiRxj和xjRxk，由于R是循環(huán)關(guān)系，有xkRxi,又由于R是對(duì)稱(chēng)的，因而有xiRxk,所以R是傳遞的。R是自反、對(duì)稱(chēng)和傳遞的，所以R是等價(jià)關(guān)系。33設(shè)A={a，b，c，d}，R1，R2是A上的關(guān)系，其中R1={(a，a)，(a，b)，(b，a)，(b，b)，(c，c)，(c，d)，(d，c)，(d，d)}，R2={(a，b)，(b，a)，(a，c)，(c，a)，(b，c)，(c，b)，(a，a)，(b，b)，(c，c)}。畫(huà)出R1和R2的關(guān)系圖判斷它們是否為等價(jià)關(guān)系，是等價(jià)關(guān)系的求A中各元素的等價(jià)類(lèi)34設(shè)R1和R2都是集合X上的等價(jià)關(guān)系。證明：劃分C1中的每一個(gè)等價(jià)類(lèi)都包含于劃分C2的某一個(gè)等價(jià)類(lèi)之中，當(dāng)且僅當(dāng)有R1R2。證明：證明必要性設(shè)R1，R2造成的劃分為：C1={c11,c12對(duì)任意的c1i∈C1i=1,2…n,在C2中都存在某一個(gè)c2j(j=1,2,…,m)并且c1i?c2j。對(duì)于任意的x,y∈c1i再證充分性：設(shè)R1?R2，于是對(duì)于任意的x,y∈c1i∈C1i=1,2…n,有<x,y>∈R1則<35設(shè)集合A={A1,A2,...,An}是集合S的劃分，并且B是一個(gè)任意集合且AiB。試證明集合{A1B,A2B,...AnB}是集合SB的劃分。證明：(1)由題設(shè)，Ai∩B≠?(2)因?yàn)锳i為S的一個(gè)劃分塊，所以Ai∩Aj(3)對(duì)于任意的x,x∈B∩S,則xB且xS。因?yàn)锳1∪A2∪…∪An=S,所以必存在i,使得xAi，因而對(duì)于任意的x,x∈i=1n(Ai∩B),存在i,使得x∈(Ai∩B)，因而xB且xAi，因?yàn)锳1∪A所以i=1綜上，由劃分的定義，原命題成立。36把n個(gè)元素的集合劃分成兩個(gè)類(lèi)，共有多少種不同的方法？解：2n-1-137.A={1，2，3}{1，2，3，4}，A中關(guān)系R定義為：(x，y)R(u，v)，當(dāng)且僅當(dāng)|x-y|=|u-v|，證明R是等價(jià)關(guān)系，并確定由R對(duì)集合A的劃分。證明：1）設(shè)(x,y)A，則|x-y|=|x-y|(x-y)R(x-y)，R是自反的2）設(shè)(x,y)R(u,v)，則|x-y|=|x-y|，因而|u-v|=|x-y|，(u,v)R(x，y),R是對(duì)稱(chēng)的3）設(shè)(x,y)、(u,v)、(t,w)，若(x,y)R(u,v),(u,v)R(t,w)，則|x-y|=|u-v|，|u-v|=|t-w|，因而|x-y|=|t-w|，R是傳遞的因此，R是等價(jià)的關(guān)系。由R對(duì)集合A的劃分（A）={{（1,1），（2,2），（3,3）}，{（1,2），（2,1），（2,3），（3,2），（3,4）}，{（1，3），（3,1），（2,4）}，{（1,4）}}38已知集合A1={1，2，3}，A2={4，5}，A3={6}是集合S={1，2，3，4，5，6}的一個(gè)劃分，求由該劃分產(chǎn)生的等價(jià)關(guān)系R。解答：R=A1A1A2A2A3A3={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(6,6)}39設(shè)集合A={1,2,3}。求出A中這樣的等價(jià)關(guān)系R1和R2，使得復(fù)合關(guān)系R1oR2也是個(gè)等價(jià)關(guān)系。解答：R1={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}R2={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}復(fù)合關(guān)系R1oR2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}（注：此題答案不唯一）40試給出一種關(guān)系，它既是集合中的偏序關(guān)系，又是等價(jià)關(guān)系。解答：集合A={1,2,3}，A上的關(guān)系R={（1,1），（2,2），（3,3）}41Z是整數(shù)集，下面哪些是偏序集？1)(Z，=)2)(Z，)3)(Z，)4)(Z，|)解答：1)是(相等關(guān)系既是對(duì)稱(chēng)也是反對(duì)稱(chēng))、2)否、3)是、4)否（因?yàn)檎麛?shù)集中整除關(guān)系不是自反的，0不能整除0）42確定由下面的0-1矩陣表示的關(guān)系是否為偏序？解答：1）不是2）是3）不是43畫(huà)出集合A={3，5，9，15，24，45}的整除關(guān)系的哈斯圖，回答下列問(wèn)題。求出A的極大元素和極小元素。A中存在最大元素和最小元素嗎？找出{3，5}的所有上界和最小上界。找出{15，45}的所有下界和最大下界。解答：(1)極大元：45,24，極小元：3,5(2)不存在(3)上界：45和15最小上界：15(4)下界：3,5,15最大下界：1544設(shè)集合A={a，b，c，d，e}，A上的二元關(guān)系R為R={(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，e)，(c，e)，(d，e)}èIA寫(xiě)出R的關(guān)系矩陣，畫(huà)出R的關(guān)系圖；證明R是A上的偏序關(guān)系，畫(huà)出其哈斯圖；指出A的最大元，最小元，極大元，極小元，最小上界和最大下界。acbed解：R={(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，e)，(c，e)，(d，e)acbed證明：因?yàn)镮A?R,所以R是自反的。R-1={(b，a)，(c，a)，(d，a)，(e，a)，(e，b)，(e，c)，(e，d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e)}R?R-1íIA,所以R是反對(duì)稱(chēng)的RoR=R,即RoRíR,所以R是傳遞的。綜上，R為A上的偏序關(guān)系。bbacde哈斯圖：最小元、極小元、最大下界：a最大元、極大元、最小下界：e 45下列關(guān)系中哪一些能夠構(gòu)成函數(shù)?(1)R1={<x,y>|(x,yN)(x+y<10)}(2)R2={<x,y>|(x,yR)(y=x2)}(3)R3={<x,y>|(x,yR)(y2=x2)}解答：（1）（3）不是，（2）是46設(shè)Z是整數(shù)集合，Z+是正整數(shù)集合，函數(shù)f:ZZ+為f(x)=|2x|+1。試求出函數(shù)f的值域。解答：正奇數(shù)集合47下列映射中哪些是滿射，哪些是單射，哪些是雙射？(1)(2)(3)(4)(5)(6)解答：(1)（3）（5）映射，不是單射，不是滿射（2）滿射（4）雙射（6）單射48設(shè)|A|=n,|Y|=m，從A到B有多少個(gè)不同的函數(shù)？當(dāng)m和n滿足什么條件時(shí)，存在單射函數(shù)？有多少不同的單射函數(shù)?當(dāng)m和n滿足什么條件時(shí)，存在滿射函數(shù)？有多少不同的滿射函數(shù)?當(dāng)m和n滿足什么條件時(shí)，存在雙射函數(shù)？有多少不同的雙射函數(shù)?解答：mnnm時(shí)存在單射函數(shù)，有個(gè)不同的單射函數(shù)。nm時(shí)存在滿射函數(shù)，有個(gè)不同的滿射函數(shù)。n=m時(shí)存在雙射函數(shù)，有n!個(gè)不同的雙射函數(shù)。49設(shè)f：AB，g：BC，是函數(shù)，證明：如果gof是滿射且g是單射，則f是滿射。如果gof是單射且f是滿射，則g是單射。證明：(1)若f：AB，g：BC，對(duì)任意bB，因?yàn)間是函數(shù)，所以存在cC，使得g(b)=c，由于gof是滿射函數(shù)，則對(duì)c，必存在aA，使得gof(a)=c，所以gof(a)=g(f(a))=c.因而有g(shù)(f(a))=g(b)=c，由