離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用-第2版 第1-2章部分習(xí)題答案

PAGE12PAGE第1章習(xí)題答案說明下列語句哪些是命題及命題的真值？（1）(2)(5)(7)(8)(9)(10)(11)是命題，其中（1）（5）（8）（10）是真命題，（9）的真值現(xiàn)在不知道。將下列命題符號化。其中小王聰明，小王用功。其中天氣很冷，下雪。其中晚上有英語課，晚上有數(shù)學(xué)課。其中你年滿14歲，你身高超過1.4米，你坐過山車。，其中產(chǎn)量上升，工資提高。，其中銷量下降，價格上漲。，其中你給我發(fā)個電子郵件，我有你的郵件地址。，其中兩個三角形全等，它們的三條對應(yīng)邊相等。其中陽光充足，在夏天，下雨，我去游泳。，其中熱帶風(fēng)暴來臨，下大雨。（1）小王至少會講漢語或英語的一種。（2）小王會講漢語和英語(3)小王會講漢語但不會英語（4）小王不會講漢語或不會講英語。（5）小王會講漢語。（6）小王既不會講漢語也不會講英語是不可能的。設(shè)命題p:天下雨，q：我去打球，r:我有空。用自然語言寫出下列命題。（1）如果我去打球，那么一定是我有空且天沒下雨；我有空且天沒下雨我就一定去打球。若天下雨或我有空我就去打球。(qr)?(rq)天下雨或我有空那是不可能的。設(shè)命題p:這個材料很有趣；q:這些習(xí)題很難；r:學(xué)生喜歡這門課。（1）（2）（3）（4）（5）構(gòu)造下列各題的真值表，寫出成真賦值和成假賦值。(pq)q的真值表pqqpq(pq)q00110010011011011011成真賦值為：01，11；成假賦值為00,10.pqr的真值表pqrpqrpqr000011001000010011011000100011101000110111111101成真賦值為000；010；100；110；111.成假賦值為001；011；101.(pq)(pq)的成真賦值pqppqpq(pq)(pq)001100011111100010110111成真賦值為01；11.成假賦值為：00；10.(pq)(q)(q(rp))((qp)r))pqrqqp(qp)rrpq(rp)q(rp))((qp)r000101101001100011010010111011011001100110100101111101110010111111011111成假賦值為100，成真賦值為001；010；011；101；110；111.設(shè)p、q的真值為0，r、s的真值為1，求下列命題的真值。p(q?r)(p?(rs))((pq)?(r?s))(pq)?(r?s)(p(q(r?p)))(rs)用真值表法或公式法證明下列等價關(guān)系式。（1）p(pq)p證明：真值表法;pqpqp(pq)p(pq)p00001010011001111111由于p(pq)p永真，所以p(pq)p。（2）p(qr)(pq)(pr)證明：列真值表pqrqrp(qr)pqpr(pq)(pr)0000000000110000010100000111000010000000101110111101110111111111由表中p(qr)和(pq)(pr)對應(yīng)的列知道，p(qr)(pq)(pr)。（3）(pr)(qr)(pq)r證明：(pr)(qr)(?p∨（4）pq(pq)(pq)證明：pq（5）(pq)pq證明：(pq)?(p∧?q∨?p∧q)?設(shè)A、B、C為任意的三個命題公式，下面的結(jié)論是否正確？（1）不成立，例如但不成立。（2）若A?CB?C，則AB（3）成立簡化下列命題公式。((pq)(qp))?r(p?q?r)(p?q?r)(p?q?r)(p?q?r)((pq)?p?r)r(pr)(pq)解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式=甲、乙、丙、丁4人中有且僅有2人參加羽毛球比賽。關(guān)于誰參加比賽，下列4種判斷都是正確的：甲和乙只有一人參加丙參加，丁必參加乙或丁至多參加一人丁不參加，甲也不參加問哪兩個人參加了比賽？解：設(shè)：P：甲，q:乙r：丙s：丁四個判斷符號化為：(pq)(pq)rsqssp(pq)(pq)(rs)(qs)(sp)(pq)(pq)(rs)(qs)(sp)（11xx,00xx,xx10,x1x1,1xx0）（1100,1101,1110,1111,0000,0001,0010,0011,0110,1010,0101,0111,1000,）（12,13,14,15,0,1,2,3,6,10,5,7,8）(4,9,11)(pqrs)(pqrs)(pqrs)因為僅有2人參加羽毛球比賽，所以pqrs為真，即甲和丁參加比賽。判斷下列命題公式的類型。((pq)(qr))(pr)(pq)pq(pr)(pq)((pq)r)((pr)(qr))(pq)(pq)解：((pq)(qr))(pr)證明：pqrpqqr(pq)(qr)pr((pq)(qr))(pr)0001111100111111010100110111111110001001101010111101000111111111從真值表看出，該公式是永真式。(pq)pq原式該公式是矛盾式。(pr)(pq)(pr)(pq)當(dāng)，公式真值為0；當(dāng)時，公式真值為1，該公式為可滿足式。((pq)r)((pr)(qr))永真式(pq)(pq)(pq)(pq)該公式為矛盾式。一個排隊線路，輸入為A，B，C，其輸出分別為FA，F(xiàn)B，F(xiàn)C。在同一時間內(nèi)只能有一個信號通過。如果同時有兩個或兩個以上信號通過時，則按A，B，C的順序輸出。例如，A，B，C同時輸入時，只能FA有輸出。寫出FA，F(xiàn)B，F(xiàn)C的邏輯表達式。解：FA=AFB=(?AùBù?C)ú(?AùBùC)FC=?Aù?BùC設(shè)計一個符合如下要求的室內(nèi)照明控制線路：在房間的門邊、門內(nèi)及床頭分別裝控制同一個電燈F的3個開關(guān)A，B，C。當(dāng)且僅當(dāng)一個開關(guān)的打開或3個開關(guān)都打開時電燈亮。寫出F的邏輯關(guān)系式，并畫出實現(xiàn)這個邏輯關(guān)系的最簡單的邏輯電路。解：設(shè)：開關(guān)開為“1”，關(guān)為“0”。電燈亮F為“1”。真值表為：ABCF00001001010111000011101001101111因此F的邏輯關(guān)系式為：F=(A??B??C)?(?A?B??C)?(?A??B?C)?(A?B?C)?A?(B?C)電路圖為：化簡為：F?A?(B?C)求下列命題公式的主析取范式和主合取范式。（1）(pq)(pr)解：(pq)(pr)所以，主合取范式為，主析取范式為。（2）(p(pr))(pq)解：(p(pr))(pq)主合取范式為，主析取范式為（3）(qr)(pq)解：(qr)(pq)主合取范式為，主析取范式為（4）主析取范式：=主合取范式：=（5）(pq)r解：(pq)r??(p主合取范式為主析取范式為證明下列蘊涵關(guān)系式成立。（1）p(pq)q解：p(pq)q所以，p(pq)q為永真式，p(pq)q。（2）(pq)(pr)(qr)r解：(pq)(pr)(qr)r所以，(pq)(pr)(qr)r。（3）(p(qr))(q(rs))p(qs)解：(p(qr))(q(rs))（p(qs)）m110xmx110m0xxxmx0xxmxxx11（4）(pq)pq證明：當(dāng)為1時，從而也是1，因此，(pq)pq。（5）(pq)(pq)當(dāng)pq為1時，從而pq=0，(pq)=1.因此，(pq)(pq)。證明sq是pq，pr，rs的有效結(jié)論。步驟公式理由1s附加前提2r前提3?r∨?s置換4?r1，35?p→r前提6p∨r置換7p4，68?p∨?q前提9?q用公式法驗證下列論斷是否有效。pq,r?s,qp?s不是P=F，S=Tp,qr,rsqs不是P=T，Q=T,r=T,S=F(p?q),qr,rp是q?r,p?r,qpr是pr,qs,r(s?p)sp不是證明前提“若天氣不下雨或天氣不起霧，則舉行游泳比賽和跳水表演；若舉行游泳比賽，則頒發(fā)獎品；沒有頒發(fā)獎品?！笨梢酝瞥鼋Y(jié)論：“天氣下雨”。證明;設(shè)若天氣下雨;天氣起霧;舉行游泳比賽;舉行跳水表演；頒發(fā)獎品；則前提：結(jié)論：證明：（1）p否定結(jié)論引入（2）pq附加（3）pq（rs）前提引入（4）rs（2）（3）假言推理（5）r（4）花簡（6）rt前提引入（7）t前提引入（8）r（6）（7）拒取矛盾。因此推論成立。20.符號化下面的論斷，并用構(gòu)造法驗證論斷是否有效。如果6是偶數(shù)，則2不能整除7；或者5不是素數(shù)，或者2整除7；5是素數(shù)，因此，6是奇數(shù)。證明;設(shè)p:6是偶數(shù)，q:2能整除7；r:5是素數(shù).則前提：pq,rq,r結(jié)論：p證明：（1）rq,前提引入（2）r前提引入（3）q(1)(2)(4)pq前提引入(5)p（3）（4）如果今天是星期六，我們就去公園或去爬山；如果公園人太多，我們就不去公園；今天是星期六，公園人太多，所以我們?nèi)ヅ郎?。證明;設(shè)p:今天是星期六;q:我們?nèi)ス珗@;r:我們?nèi)ヅ郎?；s:公園人太多.前提：：pqr;sq;s;p;結(jié)論：r.證明：（1）sq前提引入（2）s前提引入（3）q（1）（2）推理（4）pqr前提引入（5）p前提引入（6）pqr前提引入（7）qr（5）（6）推理（8）r(3)(7)推理第2章習(xí)題答案令P(x)表示“x5”，下列各式的真值是什么？（1）真值為假(2)真值為真(3)真值為真，若個體域是整數(shù)集，令P(x，y)表示x+y=0，下列公式中哪些公式的值為真？(1)真值為假(2)真值為真(3)真值為假(4)真值為真(5)真值為假(6)真值為假(7)真值為真(8)真值為真令L(x,y)表示"x喜歡y,"個體域為所有人的集合。用謂詞和量詞表示下面的命題。解：(1)xyP(x，y)(2)xyP(x，y)(3)xyP(x，y)(4)xP(x，a)(5)xyP(y，x)(6)yxP(x，y)(7)xyP(x，y)將下列命題用謂詞邏輯符號化。設(shè)聰明；用功；小王；則命題符號化為：設(shè)給發(fā)過電子郵件，給打過電話；小王；小李。則命題符號化為：.只要你給我發(fā)個電子郵件，我就有你的郵件地址。設(shè)給發(fā)電子郵件；有的地址。a:你b：我則命題符號化為：P(a,b)→Q(b,a)所有的人都要參加體育鍛煉。設(shè)參加體育鍛煉；是人。則命題符號化為：。這個班有些學(xué)生選修了計算機專業(yè)的一些課程。設(shè)是計算機專業(yè)；是這個班的；是學(xué)生；是課程；:選修課程。則命題符號化為：。并非所有的智能工作都能由計算機來完成。智能工作；能有計算機完成；則命題符號化為：。有些物品價格上漲，但不是所有物品的價格都上漲。設(shè)是物品；價格上漲；則命題符號化為：這個班有人給班上其他人都發(fā)過電子郵件。設(shè)是這個班的；；給發(fā)電子郵件；則命題符號化為：不是每個大于1的自然數(shù)都是某個自然數(shù)的平方。設(shè)大于；是自然數(shù)；是的平方；則命題符號化為：任何自然數(shù)都有唯一的后繼數(shù)。是自然數(shù)；不是是的后繼數(shù)；則命題符號化為：假定個體域為一個大學(xué)的所有學(xué)生的集合，令F(x)：“x是新生”,M(x)：“x是計算機專業(yè)的學(xué)生”.說明下面的每一個謂詞邏輯表達式表示了下列三個命題的哪一個？a)(3)b)(2)c)(3)d)(2)e)(1)f)(1)g)(3)h)(1)將下列命題符號化，個體域是實數(shù)集合R，指出各命題的真值。解答：真值為真。真值為假。真值為真。真值為真。真值為真。真值為假。真值為真。真值為真。假定命題函數(shù)P(x,y)的個體域是{1,2,3}.

用析取和合取聯(lián)結(jié)詞表示下列命題。P(1,2)P(2,2)P(3,2)P(3,1)P(3,2)P(3,3)P(1,1)P(1,2)P(1,3)P(2,1)P(2,2)P(2,3)P(3,1)P(3,2)P(3,3)P(1,1)P(1,2)P(1,3)P(2,1)P(2,2)P(2,3)P(3,1)P(3,2)P(3,3)[P(1,1)P(1,2)P(1,3)][P(2,1)P(2,2)P(2,3)][P(3,1)P(3,2)P(3,3)][P(1,1)P(2,1)P(3,1)][P(1,2)P(2,2)P(3,2)][P(1,3)P(2,3)P(3,3)]給定解釋I如下：個體域為實數(shù)集R；元素a=0R中特定的函數(shù)f(x,y)=x?y；R中特定的謂詞F(x,y)：x=y，G(x,y)：x<y。在解釋I下，求下列各式的真值。xG(f(a,x),a)xy(G(f(x,y),a)F(x,y))xy(F(x,y)G(x,y))xy(F(f(x,y),a)G(x,y))解答：（1）x((0-x)<0)，真值為0（2）xy((x-y<0)(x=y))真值為0（3）xy((x=y)(x<y))真值為1（4）xy((x-y=0)(x<y))真值為0給定解釋I如下：(屈68)個體域為D={-2,3,6}；D上特定謂詞：F(x)：x3，G(x)：x>5，R(x)：x7.在解釋I下，求下列各式的真值。x(F(x)?G(x))x(R(x)F(x))?G(5)x(F(x)G(x))解答：x((x3)?(x>5)),真值為0x((x7)(x3))?0,真值為0x((x3)(x>5)),真值為1判斷下列各式的類型。xyF(x,y)(G(x,y)xyF(x,y))該公式為永真式。x(F(x)F(x))y(G(y)?G(y))100該公式為永假式。yxF(x,y)xyF(x,y)證明：設(shè)I為任意的解釋，則若在I下，前件yxF(x,y)為假，yxF(x,y)xyF(x,y)在I下為真。若在I下，前件yxF(x,y)為真，則存在為真,必對于任意為真，為真，從而為真。由I的任意性，yxF(x,y)xyF(x,y)是永真式。xyF(x,y)xyF(x,y)證明：設(shè)為：整數(shù)集Z;F(x,y):.則在下，前件xyF(x,y)為真，而后件xyF(x,y)為假，xyF(x,y)xyF(x,y)在下為假。設(shè)為：整數(shù)集Z;F(x,y):.在下，前件xyF(x,y)為假，后件xyF(x,y)為假，xyF(x,y)xyF(x,y)在下為真。綜上所述，xyF(x,y)xyF(x,y)既不是永真式，也不是永假式，是可滿足式。xy(F(x,y)F(y,x))證明：（a）設(shè)為：整數(shù)集Z;F(x,y):.則在下，xy(F(x,y)F(y,x))為假。（b）設(shè)為：整數(shù)集Z;F(x,y):.則若在下，xy(F(x,y)F(y,x))為真。綜上所述，公式D既不是永真式，也不是永假式，它是可滿足式。(xF(x)yG(y))yG(y)證明:(xF(x)yG(y))yG(y)該公式為矛盾式。(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))證明：證明：(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))（a）設(shè)為：整數(shù)集Z;F(x):是偶數(shù)，是奇數(shù).則若在下，前件xF(x)xG(x)為真，后件為假，從而(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))為假。（不對，后件應(yīng)為真，公式真值為真）（2）設(shè)為：整數(shù)集z;F(x):.則若在下，前件為真，后件也真，因此(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))為真。這是永真式。(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))證明：（a）設(shè)為：整數(shù)集Z;F(x):是偶數(shù)，是奇數(shù).則若在下，前件xF(x)xG(x)為真，后件x(F(x)G(x))為假，從而(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))為假。（b）設(shè)為：;F(x):.則若在下，前件為真，后件也真，因此(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))為真。綜上所述，(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))既不是永真式，也不是永假式，它是可滿足式。證明xyP(x,y)和xyP(x,y)有相同的真值。證明:xyP(x,y)x(yP(x,y))xyP(x,y)證明xP(x)xQ(x)和x(P(x)Q(x))邏輯不等價。證明：設(shè)為：整數(shù)集Z;F(x):是偶數(shù)，是奇數(shù).則在解釋下，xP(x)xQ(x)的真值為真，而x(P(x)Q(x))的真值為假，因此，兩者不等價。證明xP(x)xQ(x)和xy(P(x)Q(y))是邏輯等價的。證明：xP(x)xQ(x)xP(x)yQ(y)x（P(x)yQ(y)）xy(P(x)Q(y))指出下列公式中每個量詞的作用域，并指出個體變量是約束變量還是自由變量。xy(P(x，y)Q(y，z))yR(x，y)解：量詞?x，?y量詞?y的作用域為Px,y∨Qy,z中x,y,R(x,y)中x是自由變元,yx(x=yx2+x5xz)x=5y2解：量詞?x的作用域是xx=y∧x2x=5y2求下列公式的前束范式。(1)xP(x)yQ(x，y)解：xP(x)yQ(x，y)xP(x)yQ(x，y)zP(z)yQ(x，y)zy[P(z)Q(x，y)]所以，zy[P(z)Q(x，y)]為所求的前束范式。(2)xP(x)xQ(x)解：xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)）x(P(x)Q(x)）為所求的前束范式。(3)xP(x)xQ(x)解：xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)xP(x)yQ(y)xy(P(x)Q(y))所以，xy(P(x)Q(y))為所求的前束范式。(4)x(P(x，y)Q(z))x(R(z)yS(x，y，z))解：x(P(x，y)Q(z))x(R(z)yS(x，y，z))u(P(u，y)Q(z))x(R(z)tS(x，t，z))uxt(P(u，y)Q(z)R(z)S(x，t，z))所以，uxt(P(u，y)Q(z)R(z)S(x，t，z))為所求的前束范式。(5)xP(x)y(P(y)Q(y，z))wR(y，z，w))解：xP(x)y(P(y)Q(y，z))wR(y，z，w))xP(x)u(P(u)Q(u，z))wR(y，z，w))xu(P(x)(P(u)Q(u，z)))wR(y，z，w))xuw[(P(x)(P(u)Q(u，z)))R(y，z，w))]所以，xuw[(P(x)(P(u)Q(u，z)))R(y，z，w))]為所求的前束范式。證明下列蘊含關(guān)系式成立。1)證明：（1）xP(x)前提引入(2)P(a)（1）EI(3)x(P(x)(Q(y)R(x))前提引入（4）P(a)Q(y)R(a)(1)UI(5)Q(y)R(a)(2)(4)假言推理（6）R(a)(5)化簡（7）P(a)R(a)（2）（6）合?。?）x(P(x)R(x))（7）EG2)證明：（1）x(P(x)Q(x))前提引入(2)P(a)Q(a)（1）UI(3)xQ(x)前提引入（4）Q(a)(3)UI(5)P(a)(2)(4)拒取式(6)xP(x)(5)EG3)xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x))證明：xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x))x(P(x)Q(x))4）證明:（1）xP(x)x((P(x)Q(x))R(x))前提引入（2）xP(x)前提引入(3)P(a)(2)EI(4)P(a)Q(a))(3)附加（5）x((P(x)Q(x))R(x))（1）（2）假言推理（6）(P(a)Q(a))R(a)(7)R(a)(4)(6)推理(8)xR(x)（7）EG（9）yR(y)（3）EG（10）xR(x)yR(y)(7)(8)合取(11)xy(R(x)R(y))(10)量詞的轄域擴大與收縮5)x(P(x)Q(x))y(R(y)S(y))，y(R(y)S(y))x(P(x)Q(x))證明：（1）y(R(y)S(y))前提引入（2）y(R(y)S(y))（1）等價（3）y(R(y)S(y))（2）等價（4）x(P(x)Q(x))y(R(y)S(y))前提引入（5）x(P(x)Q(x))（3）（4）拒取式（6）x(P(x)Q(x))（5）等價6）證明：利用CP規(guī)則（1）xP(x)附加前提（2）P(y)（3）UI(3)x(P(x)Q(x))前提引入(4)P(y)Q(y)（1）UI(5)Q(y)(2)(4)假言推理(6)xQ(x)（5）UG7)x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x)證明：因為xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)證明x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x)，即是證明x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x)證明：利用CP規(guī)則（1）xP(x)附加前提（2）xP(x)(1)等價（3）P(c)(2)EI（4）x(P(x)Q(x))前提引入（5）P(c)Q(c)（4）UI（6）Q(c)（3）（5）析取三段論（7）xQ(x)(6)EG8)xy(P(x)Q(y))xP(x)yQ(y)證明：xy(P(x)Q(y))x(P(x)yQ(y))xP(x)yQ(y)xP(x)yQ(y)指出下列推導(dǎo)中的錯誤，并加以改正。x(P(x)Q(yx))前提引入P(c)Q(c)（1）UIxP(x)前提引入P(c)（3）EIQ(c)（4）（2）假言推理xQ(x)（5）EG解：在第（4）步不能使用EI規(guī)則，因為c代入P(x)的P（c）不一定為真。改正為：xP(x)前提引入P(c)（1）EIx(P(x)Q(yx))前提引入P(c)Q(c)（3）UIQ(c)（2）（4）假言推理xQ(x)（5）EG構(gòu)造下列推理的證明。證明：（1）（2）（1）UI（3）前提引入（4）（3）UI（5）(6)(5)化簡（7）（5）化簡（8）（4）（7）合取(9)（8）EG(10)(6)(9)合取證明：利用cp規(guī)則證明。（1）附加前提（2）前提引入（3）(1)EI（4）（1）（2）假言推理（5）（4）UI（6）（3）附加（7）（6）（5）假言推理（8）（6）EG證明(3)：(1)前提引入（2）(1)EI(3)(4)（5）（2）（4）推理（6）（5）化簡（7）（2）（6）合?。?）（7）EG說明下列推理是否是邏輯有效的。所有的好書定價都高，沒有一本書定價高。所以沒有一本書是好書。解：設(shè)是好的；Q(x)：x是定價高；是書；則前提為：x(P(x)Q(x))，x(R(x)Q(x));結(jié)論是：x(P(x)R(x))用反證法證明，過程如下：x(P(x)R(x))否定結(jié)論引入P(c)R(c)(1)EIP(c)(2)化簡x(P(x)Q(x))前提引入(5)P(c)Q(c)(4)uI(6)Q(c)(3)(5)推理(7)R(c)（2）化簡(8)R(c)Q(c)(6)(7)合取（9）x(R(x)Q(x))（8）EG這里（9）與前提矛盾，所以，結(jié)論成立。推理是邏輯有效的（2）本班有人上網(wǎng)，所有上網(wǎng)的人都發(fā)過e-mail。所以本班有人發(fā)過e-mail。證明：設(shè)是本班的；Q(x)：x發(fā)e-mail；上網(wǎng)；則前提為：x(P(x)R(x)),x(R(x)Q(x));結(jié)論是：x(P(x)Q(x))證明：（1）x(P(x)R(x))前提引入（2）P(a)R(a)(1)EI(3)x(R(x)Q(x))前提引入（4）R(a)Q(a)（3）UI(5)R(a)(2)化簡(6)Q(a)(4)(5)假言推理（7）P(a)(2)化簡(8)P(a)Q(a)（6）（7）合取(9)x(P(x)Q(x))（8）EG推理是邏輯有效的（3）不是邏輯有效的。P(x):x是舞蹈者Q(x):x是學(xué)生M(x):x很有風(fēng)度條件：?x(Px→M(x))結(jié)論：?x(P顯然不能推出。符號化下列命題，并推證其結(jié)論。這個班的學(xué)生小李有電腦。每個有電腦的人都可以上網(wǎng)。所以這個班有學(xué)生上網(wǎng)。證明：設(shè)是本班的學(xué)生；Q(x)：x有電腦；上網(wǎng)；a:小李；則前提為：p(a)Q(a),x(Q(x)R(x));結(jié)論是：x(P(x)R(x))證明：（1）x(Q(x)R(x))前提引入（2）Q(a)R(a)(1)UI（3）p(a)Q(a)前提引入（4）Q(a)（3）化簡（5）p(a)（3）化簡(6)R(a)（2）（4）推理（7）p(a)R(a)(5)(6)合取(8)x(P(x)R(x))（7）EG這個班有個學(xué)生喜歡海洋生物，每個喜歡海洋生物的人都關(guān)心海洋污染。所以這個班有學(xué)生關(guān)心海洋污染。證明：設(shè)是這個班的學(xué)生；Q(x)：x喜歡海洋生物；關(guān)心海洋污染；a:某學(xué)生則前提為：p(a)Q(a),x(Q(x)R(x));結(jié)論是：x(P(x)R(x))證明：（1）x(Q(x)R(x))前提引入（2）Q(a)R(a)(1)UI（3）p(a)Q(a)前提引入（4）Q(a)（3）化簡（5）p(a)（3）化簡(6)R(a)（2）（4）推理（7）p(a)R(a)(5)(6)合取(8)x(P(x)R(x))（7）EG（3所有的自然數(shù)都是整數(shù)，某些自然數(shù)是偶數(shù)。所以某些整數(shù)是偶數(shù)。證明：設(shè)是自然數(shù)；Q(x)：x是整數(shù)；是偶數(shù)；則前提為：x(P(x)Q(x));x(P(x)R(x))結(jié)論是：x(Q(x)R(x))證明：(1)x(P(x)R(x))前提引入（2）p(a)R(a)（1）EI(3)x(P(x)Q(x))前提引入（4）p(a)Q(a)(1)UI（5）p(a)（2）化簡(6)Q(a)（4）（5）推理（7）R(a)（2）化簡（8）Q(a)R(a)(6)(7)合取(9)x(Q(x)R(x))（8）EG（4）所有的自然數(shù)都是整數(shù)，任一整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，并非每個自然數(shù)都是偶數(shù)。所以，某些自然數(shù)是奇數(shù)。證明：設(shè)是自然數(shù)；Q(x)：x是整數(shù)；是偶數(shù)；是奇數(shù)；則前提為：x(P(x)Q(x));x(Q(x)R(x)S(x))；x(P(x)R(x));結(jié)論是：x(P(x)S(x))證明：(1)x(P(x)R(x))前提引入(2)x(P(x)R(x))(1)等值演算（3）(P(a)R(a))（2）EI（4）(P(a)R(a))（3）等值演算(5)P(a)R(a)（4）等值演算(6)P(a)（5）化簡規(guī)則(7)x(P(x)Q(x))前提引入（8）p(a)Q(a)(7)UI(9)Q(a)（6）（8）假言推理(10)x(Q(x)R(x)S(x))前提引入(11)Q(a)R(a)S(a)（10）UI(12)R(a)S(a)（9）(11)假言推理(13）R(a)（5）化簡(14)S(a)（12）(13)析取三段