立體幾何 2025山東各地市一模數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編

立體幾何-山東各地市2025屆高三數(shù)學(xué)一模模擬試題匯編4.（2025·山師附中·一模）已知高為4的圓臺(tái)存在內(nèi)切球，其下底半徑為上底半徑的4倍，則該圓臺(tái)的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】借助圓臺(tái)軸截面及內(nèi)切圓的性質(zhì)，求出圓臺(tái)的兩底半徑及母線長(zhǎng)，進(jìn)而求得表面積.【詳解】依題意，圓臺(tái)的軸截面截其內(nèi)切球得球的大圓，且該大圓是圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓，等腰梯形為圓臺(tái)軸截面，其內(nèi)切圓與梯形切于點(diǎn)，其中分別為上、下底面圓心，如圖，設(shè)圓臺(tái)上底半徑為，則下底半徑為，，而等腰梯形的高，因此，解得，所以該圓臺(tái)的表面積為.故選：D13.（2025·山師附中·一模）已知球的半徑等于4，，是球的某內(nèi)接圓柱的上下底面圓心，，是球的直徑（點(diǎn)在上，點(diǎn)在上），為的中點(diǎn)，若四邊形是圓的內(nèi)接矩形，，是圓柱的母線，且平面平面，則______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)球的截面圖可得，，設(shè)利用空間向量法，求出平面和平面的法向量分別為令，，，根據(jù)平面平面，得，進(jìn)而得，再結(jié)合，可得，進(jìn)而可得.【詳解】如圖為過(guò)球、圓柱的上下底面圓心、與的截面，因球半徑等于4，，故，故圓柱底面半徑為,因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，故，，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于,的線為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由題意，則，故，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，則，令，得，故，令，得，故，因平面平面，故，得，又，故，故故答案：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)圓柱和球的位置關(guān)系，得到的位置和圓柱底面的半徑，設(shè)后，在圓柱中利用空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面平面，可得，即得.17.（2025·山師附中·一模）如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，平面，，，，分別是線段和上的動(dòng)點(diǎn)，且，.（1）若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若直線與線段交于點(diǎn)，于點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)幾何關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的平行關(guān)系，即可求解；（2）首先求向量和平面的法向量，代入線面角的向量公式，即可求解；（3）設(shè)，利用空間向量基本定理以及三點(diǎn)共線的充要條件得出，利用向量模長(zhǎng)公式以及導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算最值即可.【小問(wèn)1詳解】由于四邊形是菱形，且，取中點(diǎn)，則，即，又平面，故可以以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，由，，可知，，∴，易知，因?yàn)?，所以，得到，得?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，，則，由于，，共線，不妨設(shè)，易知，又，則有，所以，則，則，即，記，則，令，得到，在上，在上，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取到極小值，此時(shí)的長(zhǎng)度最小，此時(shí).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是關(guān)于為關(guān)于的函數(shù)，再一個(gè)關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理，得到.10.（2025·山東濰坊·一模）已知圓臺(tái)的高為2，其母線與底面所成的角為，下底面半徑是上底面半徑的2倍，則（）A.該圓臺(tái)的上底面半徑為2B.該圓臺(tái)的體積為C.該圓臺(tái)外接球（圓臺(tái)的上、下底面的圓周均在球面上）的表面積為D.用平面截該圓臺(tái)，若所截圖形為橢圓，則橢圓離心率取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，可求出圓臺(tái)的上下底半徑，進(jìn)而可求圓臺(tái)體積與外接球的表面積，可判斷ABC的真假；再求截面橢圓的離心率，判斷D的真假.【詳解】如圖：設(shè)圓臺(tái)上底半徑為，則下底半徑為，有題意，即圓臺(tái)的上底面半徑為，故A錯(cuò)誤；圓臺(tái)的體積為：，故B正確；因?yàn)槟妇€，，所以為等邊三角形，所以，所以該圓臺(tái)外接球的球心就是下底面圓心，所以該圓臺(tái)外接球半徑為：，所以其外接球表面積為：，故C正確；用平面截該圓臺(tái)，若所截圖形為橢圓，離心率最大時(shí)，截面可以是過(guò)，的截面，此時(shí)對(duì)橢圓：，因?yàn)閳A臺(tái)中截面半徑為，所以橢圓中，所以，所以.所以橢圓離心率的取值范圍為：，故D正確.故選：BCD9.（2025·山東青島·一模）在正三棱柱中，為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.存在，使得 D.存在，使得平面【答案】AD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直及平行計(jì)算判斷A，B，C，求出法向量法結(jié)合位置關(guān)系求解判斷D.【詳解】取的中點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)底面邊長(zhǎng)為2，則，所以，所以，A.當(dāng)時(shí)，，，，所以，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，，，所以不成立，故B錯(cuò)誤；C.，，故C錯(cuò)誤；D.因?yàn)?，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，使得平面，所以，所以，，符合，故D正確；故選：AD.16.（2025·山東青島·一模）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，、是底面半徑，，為劣弧上的動(dòng)點(diǎn).（1）若為劣弧的中點(diǎn)，證明：平面；（2）若圓錐底面半徑為，體積為，當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接，證明出四邊形為菱形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）利用圓錐的體積求出的長(zhǎng)，設(shè)，利用三角恒等變換結(jié)合三角函數(shù)的基本性質(zhì)求出四邊形面積的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)?，則和均為等邊三角形，所以，，故四邊形為菱形，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平?【小問(wèn)2詳解】由題意可知，底面，圓錐的體積為，可得，設(shè)，則，其中，四邊形的面積為，因?yàn)?，則，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，可得，，則，所以，，因此，當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，平面與平面夾角的余弦值為.10.（2025·山東威?！ひ荒＃┰O(shè)為三個(gè)平面，且，則（）A.若∥，則∥B.若∥，則∥C.若，則D.若與所成的角相等，則【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椤?，，根?jù)面面平行的性質(zhì)定理可得：∥，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椤危?，，由線面平行的性質(zhì)定理可得∥，同理可得∥，所以∥，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋瑒t存在，使得，又因?yàn)?，則∥，且，，可得∥，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：例如正四面體，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知平面與平面、平面所成的角相等，且平面平面，但與平面不垂直，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.17.（2025·山東威?！ひ荒＃┤鐖D，在以為頂點(diǎn)的多面體中，平面平面，為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的大小為.若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，【解析】【1】連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，在平面內(nèi)，以過(guò)點(diǎn)垂直于的方向?yàn)檩S正方向，以的方向分別為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得，令，則，假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使得直線與平而所成角的大小為，設(shè)，因?yàn)?，則，又因?yàn)椋?，則，化簡(jiǎn)得，解得，因?yàn)?，所以，所以在棱上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的大小為，此時(shí).4.（2025·山東淄博·一模）已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)扇形弧長(zhǎng)求底面半徑，再代入圓錐的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則，解得，所以該圓錐的表面積為.故選：C10.（2025·山東淄博·一模）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱，棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則三棱錐的體積為定值C.若，則直線與直線所成角的最小值為60°D.若動(dòng)點(diǎn)在三棱錐外接球的表面上，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可證明判斷A，若，點(diǎn)在直線，可得體積為定值判斷B；上求得直線與直線所成角的最小值判斷C；確定外接球的球心，進(jìn)而軌跡的周長(zhǎng)判斷D.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，所以，即

，所以，又，所以，所以，所以，故A正確；因，，所以點(diǎn)在直線上，又因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，所心，又平面，平面，所以平面，所以到平面的距離為定值，又的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；點(diǎn)為的中點(diǎn)，坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

，向量，向量，設(shè)直線與直線所成角為，，又因?yàn)?，?dāng)

時(shí)，，即直線與直線所成角的最小值為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槿忮F即為三棱錐，又底面是直角三角形，過(guò)的中點(diǎn)作平面，是三棱錐外接球的球心，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以三棱錐外接球的半徑，因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，又在三棱錐外接球的表面上，所以

的軌跡是平面截三棱錐外接球的截面圓，又易得到平面的距離為1，所以截面圓的半徑為，所以

的軌跡的周長(zhǎng)為

，故D正確.故選：ABD.17.（2025·山東淄博·一模）如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)在上，且．（1）點(diǎn)在線段上，且平面，證明：為線段的中點(diǎn)；（2）若平面與平面所成的角的余弦值為，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）的長(zhǎng)度為或【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，由線面平行的性質(zhì)定理證明，即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出直線的方向向量和平面的法向量，由線面角的向量公式即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，又因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以為線段的中點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】連接，因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，因?yàn)槠矫嫠云矫嬗忠驗(yàn)?，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，，所以，所以與平面所成的角的余弦值為，所以與平面所成的角的正弦值為，即，所以，化簡(jiǎn)可得：，解得：或，即或，所以或.16.（2025·山東泰安·一模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，取的中點(diǎn)E，連接，即可證明四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及平面夾角的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接中，分別為中點(diǎn)，且，又正方形中，為中點(diǎn)，，且，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面；【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)中點(diǎn)為，連接，中，，，平面平面平面，平面平面，平面，又四邊形為正方形，，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，設(shè)平面與平面的夾角為，則.8.（2025·山東日照·一模）已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和4，高為．若該圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，則該球的表面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，作出圓臺(tái)軸截面，分析可知，當(dāng)球與相切時(shí)，其表面積最大，再結(jié)合條件求得球的半徑，得到結(jié)果即可.【詳解】如圖，作出圓臺(tái)的軸截面，要使球的表面積最大，則球需要與相切，設(shè)圓的半徑為，則，因?yàn)?，所以，作，，因?yàn)?，所以，而，由勾股定理得，則，且，而，即得到，解得，則該球的表面積的最大值為，故B正確.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是判斷出表面積最大時(shí)的情況，然后利用勾股定理建立方程，得到球的半徑，進(jìn)而得到所要求的表面積即可．19.（2025·山東日照·一模）已知在四面體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，如圖所示．（1）證明：平面；（2）若兩兩垂直，則稱(chēng)四面體為“斜垂四面體”．①在斜垂四面體中，若，求直線與平面所成角的正弦值；②在空間直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)有橢圓，直線與交于兩點(diǎn)．為空間中一點(diǎn)，若為斜垂四面體，求其外接球表面積的最小值，并求出此時(shí)的直線方程．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①；②最小值為，直線方程為【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定推理得證.（2）①利用“斜垂四面體”的定義，將四面體補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量法求解；②由①可得，再聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理用的函數(shù)表示，進(jìn)而求出最小值.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，由分別是棱的中點(diǎn)，得，又平面平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】①由（1）知，平行且等于平行且等于，得與平行且相等，則四邊形為平行四邊形，又，則四邊形為菱形，，而，則，同理，如圖，將該三棱錐補(bǔ)全為一個(gè)長(zhǎng)方體，并建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以直線與平面所成角的正弦值為.②由①知將補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)寬高分別設(shè)為，則外接球半徑為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)的一半即：，，，則，在平面內(nèi)設(shè)，由，得，顯然，則，，，于是，，在中，，則為銳角，因此，即，則，解得，又，則當(dāng)最大時(shí)，最小，不妨令，則，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，所以的最小值為，此時(shí)直線方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由“斜垂四面體”的定義推理并將四面體補(bǔ)形成長(zhǎng)方體是求解第2問(wèn)的關(guān)鍵.10.（2025·山東臨沂·一模）圓柱軸截面是正方形，分別是上、下底面的圓心，是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，是母線，若圓柱的側(cè)面積為，則（）A.圓柱的體積是B.圓柱內(nèi)切球的表面積是C.D.點(diǎn)到直線距離的最大值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圓柱體積公式、側(cè)面積公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、點(diǎn)到線距離公式逐一判斷即可.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，所以母線為，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為，所以.因?yàn)閳A柱的體積是，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)閳A柱的底面半徑為2，所以母線為4，所以圓柱內(nèi)切球的半徑為，所以圓柱內(nèi)切球的表面積是，因此選項(xiàng)B不正確；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，，，所以選項(xiàng)C正確；設(shè)，直線的單位方向向量為，所以點(diǎn)到直線距離為，由題意，所以當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)D不正確，故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求點(diǎn)到直線距離的最大值的關(guān)鍵是利用點(diǎn)到直線距離的向量公式寫(xiě)出表達(dá)式，根據(jù)正弦函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.18.（2025·山東臨沂·一模）在中，，如圖將沿翻折至.（1）證明：平面平面；（2）若二面角大小為.（i）求與平面所成角的正弦值；（ii）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（i）（ii）存在點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)滿足題意【解析】【分析】（1）只需證明平面，注意到，故只需證明平面，由即可證明；（2）（i）由題意得即二面角的平面角，結(jié)合解三角形知識(shí)求解即可；（ii）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)，將平面與平面的法向量表示出來(lái)，結(jié)合平面與平面所成角的余弦值為列出關(guān)于的方程，判斷該方程的解的情況即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?wèn)2詳解】（i）在四棱錐中，由（1）知即二面角的平面角，故，因?yàn)?，所以，從而，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，又因?yàn)椋傻闷矫?，與平面所成角即為.在中，由余弦定理可得：，由等面積法，，所以與平面所成角的正弦值為；（ii）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，可得，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，，即，令，可得，，即，令，可得，設(shè)平面與平面的夾角為，，解得或，所以存在點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)滿足題意.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則①兩異面直線所成的角為，；②直線與平面所成的角為，；③二面角的大小為，.13.（2025·山東濟(jì)寧·一模）已知正四棱臺(tái)的高為3，其頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的半徑為5，球心在正四棱臺(tái)的一個(gè)底面上，則該正四棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____．【答案】122【解析】【分析】根據(jù)題意求出上下底面的邊長(zhǎng)，再利用棱臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】因?yàn)榍蛐脑谡睦馀_(tái)的一底面上，設(shè)球心所在底面為下底面，正四棱臺(tái)的高為3，球半徑為5，連接球心與正四棱臺(tái)上底面一頂點(diǎn)，以及球心與上底面中心，構(gòu)成直角三角形，設(shè)上底面邊長(zhǎng)為，則上底面中心到頂點(diǎn)距離為根據(jù)勾股定理，即，解得，因?yàn)榍蛐脑谙碌酌?，下底面中心到頂點(diǎn)距離就是球半徑5，設(shè)下底面邊長(zhǎng)為，則，解得，根據(jù)正四棱臺(tái)體積公式（其中是高，是下底面積，是上底面積），下底面積，上底面積，已知高，則體積故答案為：12216.（2025·山東濟(jì)寧·一模）底面為菱形的四棱錐中，與交于點(diǎn)，平面平面，平面平面．（1）證明：平面；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到⊥，⊥，故平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，根據(jù)線面角的正弦值得到方程，求出，求出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)面面角夾角余弦公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅螢榱庑危浴?，因?yàn)槠矫嫫矫?，為交線，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)槠矫嫫矫?，為交線，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以平面；小?wèn)2詳解】由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，，設(shè)，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，令得，故，直線與平面所成角的正弦值為，即，化簡(jiǎn)得，負(fù)值舍去，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，，所以平面與平面夾角余弦值為.10.（2025·山東菏澤·一模）若從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若這四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積都相等B.這四點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐的個(gè)數(shù)為58C.若正方體棱長(zhǎng)為a，則這四點(diǎn)能構(gòu)成的所有三棱錐中表面積的最大值為D.若這四點(diǎn)分別記為A，B，C，D，則直線與所成的角不可以為30°【答案】BCD【解析】【分析】舉例說(shuō)明A是錯(cuò)誤的；利用組合數(shù)公式求三棱錐的個(gè)數(shù)，判斷B的真假；找出表面積最大的三棱錐判斷C的真假；找出連接正方體頂點(diǎn)的兩條直線所成角的最小值可判斷D的真假.【詳解】如圖：對(duì)A：設(shè)，則，，所以A不正確；對(duì)B：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)的選法有中，其中不能構(gòu)成三棱錐的有：①四個(gè)點(diǎn)在正方體的一個(gè)面上，即所選四點(diǎn)為：,，，，，共6個(gè)；②所選四個(gè)點(diǎn)在正方體的相對(duì)棱上，即所選的四點(diǎn)為：，，，，，，共6個(gè).所以所選的四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成三棱錐的個(gè)數(shù)為：個(gè)，故B正確；對(duì)C：正方體棱長(zhǎng)為a，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選3個(gè)，構(gòu)成三角形，其中面積最大的就是象這樣的等邊三角形，其邊長(zhǎng)為，面積為，所以四點(diǎn)能構(gòu)成的所有三棱錐中表面積的最大的就是三棱錐這樣的正四面體，其表面積為，故C正確；對(duì)D：在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)，連成兩條直線，所成的角最小的就是形如直線與的所成的角，設(shè)為，則，所以，故D正確.故選：BCD14.（2025·山東菏澤·一模）如圖，在中，，，E是的中點(diǎn)，D是邊上靠近A的四等分點(diǎn)，將沿翻折，使A到點(diǎn)P處（P點(diǎn)在平面上方），得到四棱錐.則①的中點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_____；②四棱錐外接球表面積的最小值為_(kāi)_____.【答案】①.②.【解析】【分析】因?yàn)榈街悬c(diǎn)的距離等于（定值），且點(diǎn)在平面上方，所以的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，進(jìn)而可求周長(zhǎng)；確定四棱錐底面外接圓的圓心及半徑，當(dāng)該點(diǎn)為球心時(shí)，四棱錐外接球的表面積最小.【詳解】因?yàn)榈街悬c(diǎn)的距離等于，且點(diǎn)在平面上方，所以的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，所以的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為；因?yàn)樗倪呅蔚耐庑臑榈闹悬c(diǎn)，所以四邊形的外接球的半徑所以四棱錐外接球的球心在過(guò)四邊形的外心且垂直平面的直線上，設(shè)四棱錐外接球的半徑為，設(shè)球心到四邊形的外心的距離為，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以四棱錐外接球表面積的最小值為.故答案為：；.16.（2025·山東菏澤·一模）如圖，在四棱錐中，，，，，，，F(xiàn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)M，連結(jié)，證明四邊形為平行四邊形即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量，利用空間向量求空間角即可.【小問(wèn)1詳解】由，，，易求取的中點(diǎn)M，連結(jié)，F(xiàn)為的中點(diǎn)所以，，所以，所以四邊形為平行四邊形.所以，，又平面，平面所以平面【小問(wèn)2詳解】由，，所以所以，又平面平面，所以平面以E為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)E與垂直的直線為軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為設(shè)與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為8.（2025·山東聊城·一模）在四棱錐中，，、分別為、的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的平面交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且平面，為等邊三角形，，，則經(jīng)過(guò)、、、四點(diǎn)的球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，根據(jù)線面位置關(guān)系與向量的關(guān)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)球心為，由可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可求出球的半徑，即可得解.【詳解】因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，直線的一個(gè)方向向量為，則，取，可得，設(shè)，所以，，因?yàn)槠矫?，則，解得，所以，，即點(diǎn)，設(shè)經(jīng)過(guò)、、、四點(diǎn)的球的球心為，由可得，解得，故球半徑為，因此，經(jīng)過(guò)、、、四點(diǎn)的球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.16.（2025·山東聊城·一模）在三棱錐中，為等邊三角形，，，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求出的值，利用正弦定理得到，進(jìn)而得到為的中點(diǎn)，再利用線線平行即可證明線面平行；（2）取中點(diǎn)，連接，利用勾股定理證明，建系，利用線面角的向量求法求解即可.【小問(wèn)1詳解】因，，，所以，所以，在中，根據(jù)正弦定理得，又，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以為中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，即，所以，因?yàn)闉榈冗吶切危?，所以，，又，所以，所以，以為原點(diǎn)，分別以為軸的正向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.10.（2025·山東煙臺(tái)·一模）如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則B.直線與底面所成角的正弦值為C.若點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為的中心，則D.若三棱錐的體積為2，則三棱柱的體積為6【答案】ACD【解析】【分析】由題意確定一組基底，對(duì)于A，由基底表示向量，根據(jù)垂直垂直向量的數(shù)量積，建立方程，可得其正誤；對(duì)于B，由題意作圖，根據(jù)幾何性質(zhì)明確垂足的位置，進(jìn)而可得線面角，利用向量的夾角公式，可得其正誤；對(duì)于C，由B所得三角函數(shù)值，根據(jù)等邊三角形的幾何性質(zhì)，可得其正誤；對(duì)于D，根據(jù)等積變換，結(jié)合三棱錐的體積公式以及其與同底等高的三棱柱的體積關(guān)系，可得其正誤.【詳解】設(shè)，，，由題意可得，，，對(duì)于A，由圖可得，，由，則，即，化簡(jiǎn)可得，解得，故A正確；對(duì)于B，由題意取的中點(diǎn)，連接，過(guò)作平面，垂足為，連接，如下圖：由題意可知，則，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以，則，可得，所以為直線與平面的夾角，由A可得，，在等邊中，易知，則，所以直線與平面所成角的正弦值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意取的中點(diǎn)，連接，過(guò)作平面，垂足為，如下圖：易知點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，即點(diǎn)為等邊的中心，易知，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，由B可知，在中，，故C正確；對(duì)于D，由題意作圖如下：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，的面積為，則三棱錐的體積，平行四邊形中，易知的面積，則三棱錐的體積，由圖可知三棱柱的體積，故D正確.故選：ACD.16.（2025·山東煙臺(tái)·一模）如圖，點(diǎn)在以為直徑的半圓的圓周上，，且平面，（1）求證：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面夾角的余弦值為？【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或.【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)有，由圓的性質(zhì)易得，再由線面垂直的判定和性質(zhì)證明結(jié)論；（2）若為的中點(diǎn)，即為半圓的圓心，作面，在面內(nèi)作，構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值，結(jié)合已知列方程求參數(shù)即可.【小問(wèn)1詳解】由平面，平面，則，又點(diǎn)在以為直徑的半圓的圓周上，則，由且都在面內(nèi)，則面，由面，故；【小問(wèn)2詳解】若為的中點(diǎn)，即為半圓的圓心，作面，在面內(nèi)作，由，，則，故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，由，故，可得，所以，，，若，分別為面、面的一個(gè)法向量，則，取，，，取，，所以，整理得，則，可得或19.（2025·山東齊魯名校大聯(lián)考·一模）如圖，在正三棱臺(tái)中，，三棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則（）A.B.三棱臺(tái)的體積為C.球的表面積為D.平面截球所得截面圓的周長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，通過(guò)，進(jìn)而可判斷；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)在底面上的投影為，連接，由可判斷；對(duì)于C，設(shè)與平面的交點(diǎn)為，球的半徑為，連接，由，求解即可；對(duì)于D，取的中點(diǎn)為，連接，過(guò)點(diǎn)作的平行線交直線于點(diǎn)，可知平面．求得，再由求得截得的圓面的半徑為，即可判斷；【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．因?yàn)?，所以為的中位線．因?yàn)椋?，則，所以，同理可得．因?yàn)?，都在平面?nèi)，所以平面，同理可得平面．又平面，所以，即，故A正確；設(shè)點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)與平面的交點(diǎn)為，球的半徑為，連接，則．因?yàn)椋?dāng)球心在棱臺(tái)內(nèi)部時(shí)，，解得，不滿足題意，當(dāng)球心在平面下方時(shí)，①，且②．由①②解得，所以球的表面積為，故C正確；對(duì)于D，取的中點(diǎn)為，連接，過(guò)點(diǎn)作的平行線交直線于點(diǎn)，則平面．因，所以，所以，所以球被平面截得的圓面的半徑為，所以截面圓的周長(zhǎng)為，故D正確．故選：ACD20.（2025·山東齊魯名校大聯(lián)考·一模）在直平行六面體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且四點(diǎn)均在球的球面上，則（）A.平面B.存在點(diǎn)，使平面C.存在點(diǎn)，使的周長(zhǎng)為D.球的表面積為【答案】BD【解析】【分析】連接，交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷A；根據(jù)平面平面，即可判斷B；將平面與平面沿展平，求出周長(zhǎng)的最小值即可判斷C；設(shè)為的外心，連接，由，求出球心坐標(biāo)，即可求出球的半徑，從而可判斷D.【詳解】由題意知直平行六面體的底面為菱形，且為等邊三角形，如圖，連接，交于點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，．因?yàn)?，平面，所以與平面不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，同理，又平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，所以?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面，故B正確；將平面與平面沿展平，可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小值為，所以周長(zhǎng)的最小值為，故C錯(cuò)誤；設(shè)為的外心，連接，則底面，設(shè)，則由，得，解得，所以球的半徑為，所以球的表面積為，故D正確．故選：BD.29.（2025·山東齊魯名校大聯(lián)考·一模）如圖所示的多面體是由正四棱臺(tái)和正四棱柱（正四棱柱下底面與正四棱臺(tái)上底面重合）構(gòu)成．已知，是上一動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）法一：連接，由條件證得平面．