數(shù)列 2025山東各地市一模數(shù)學(xué)試題分類匯編

數(shù)列-山東各地市2025屆高三數(shù)學(xué)一模模擬試題匯編3.（2025·山東濰坊·一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A12 B.14 C.42 D.84【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)先求出，再根據(jù)求和公式可求.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，所以.所以.故選：C11.（2025·山東濰坊·一模）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，，則（）A. B.為定值C.數(shù)列為等比數(shù)列 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推公式以及首項(xiàng)，可得第二項(xiàng)，可得A的正誤；根據(jù)題意整理，可得B的正誤；根據(jù)等比數(shù)列的定義，由遞推公式整理，可得C的正誤；由C寫出通項(xiàng)，利用作差法，可得D的正誤.【詳解】由，，則，故A正確；由，則顯然非常數(shù)，故B錯(cuò)誤；由，又，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故C正確；則，即，由，則，故D正確.故選：ACD.3.（2025·山師附中·一模）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.31 B.32 C.63 D.65【答案】C【解析】【分析】先求得公比，再由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算．【詳解】數(shù)列的公比為，則由，，得，解得（舍去，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列），所以，故選：C．8.（2025·山東青島·一模）設(shè)是關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根.記，其中表示不超過的最大整數(shù)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，分析該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得出，可得出，對(duì)為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類討論，討論的取值，結(jié)合并項(xiàng)求和法以及等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】令，則函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在定理可得，則，當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，則，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，則，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于利用零點(diǎn)存在定理得出的取值范圍，并由此討論的取值，結(jié)合數(shù)列求和求解.19.（2025·山東青島·一模）若數(shù)列滿足：①；②；③當(dāng)整數(shù)時(shí)，存在正整數(shù)及，，…，，使得；④對(duì)于任意正整數(shù)及，，…，，都有.則稱數(shù)列“非零可表”.（1）若數(shù)列滿足，判斷是否“非零可表”，并說明理由；（2）若數(shù)列滿足，，證明：數(shù)列“非零可表”；（3）證明：存在滿足的數(shù)列“非零可表”.【答案】（1）不“非零可表”，理由見解析；（2）證明過程見解析；（3）證明過程見解析【解析】【分析】（1）舉出反例，得到不“非零可表”；（2）構(gòu)造法求出，滿足①②，，，顯然滿足要求，當(dāng)時(shí)，，，綜上，滿足③，假設(shè)存在，使得，推出矛盾，從而滿足④，數(shù)列“非零可表”；（3）構(gòu)造：，，其中為的前項(xiàng)和，滿足①②③④，證明出結(jié)論.【小問1詳解】不“非零可表”，理由如下：中，則當(dāng)，，不滿足④，故不“非零可表”；【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，，則，所以，，故，，又，所以，，時(shí)，，，所以，滿足①②，，，顯然滿足要求，當(dāng)時(shí)，，顯然，，綜上，滿足③，假設(shè)存在，使得，則，，其中，即，顯然矛盾，故不存在，使得，滿足④，綜上，數(shù)列“非零可表”；【小問3詳解】，定義為小于等于的最大整數(shù)，取數(shù)列：，，其中為的前項(xiàng)和，顯然是嚴(yán)格遞增的正整數(shù)列，滿足①②，，，假設(shè)對(duì)，都有，則，，故，下面證明滿足③④，若存在正整數(shù)以及，，…，，有，故，所以滿足④，若整數(shù)，不妨設(shè)，則由，取，則有，取，則有，③成立，綜上，構(gòu)造的數(shù)列：，，其中為的前項(xiàng)和，“非零可表”.【點(diǎn)睛】新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.12.（2025·山東淄博·一模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，首項(xiàng)和為，若，則公比______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的定義以及等比數(shù)列的定義，建立方程，可得答案.【詳解】由，則，由，，則，整理可得，分解因式可得，解得或（舍去）.故答案為：.11.（2025·山東泰安·一模）已知無窮數(shù)列，若對(duì)，都有，則稱與“伴隨”，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則與“伴隨”B.若的前項(xiàng)和為，則與“伴隨”C.若的前5項(xiàng)為與“伴隨”，設(shè)集合，則中元素個(gè)數(shù)為4或5D.若是公差為的等差數(shù)列，且所有的“伴隨”數(shù)列都是遞增數(shù)列，則【答案】BCD【解析】【分析】賦值法可判斷A；利用定義可得，可判斷B；對(duì)于C，計(jì)算的范圍，考慮相等的情況可判斷C；由已知可得，結(jié)合單調(diào)性可得，計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故與不是“伴隨”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，所以與“伴隨”，故B正確；對(duì)于C：因與“伴隨”，故，故，因?yàn)榈那?項(xiàng)為，所以，，，，，故可能和相等，和相等，但不能同時(shí)成立，與不相等，故中元素的個(gè)數(shù)為4或5，故C正確；對(duì)于D，是公差為的等差數(shù)列，所以，因?yàn)榕c“伴隨”，故，故，又因?yàn)閿?shù)列都是遞增數(shù)列，所以，所以，，所以，解得，故D正確.故選：BCD.2.（2025·山東日照·一模）已知等差數(shù)列中，，則（）A.15 B.9 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，利用已知條件求出的值，進(jìn)而求出所要求的式子的值.【詳解】在等差數(shù)列中，已知，所以，即，那么.

同樣根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，所以.則.把代入可得.故選

：B17.（2025·山東日照·一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足．（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若數(shù)列滿足，且數(shù)列前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知等式應(yīng)用等差數(shù)列的基本量運(yùn)算得出，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算求和；（2）先應(yīng)用，再結(jié)合解得，得出，最后計(jì)算得出.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，由，則，由，則，所以等差數(shù)列的公差為，所以，故故數(shù)列的前項(xiàng)和．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，將代入上式，則，綜上所述，．，可得，又因?yàn)椋瑒t，由方程，可得，解得，由，則等差數(shù)列的公差為3，所以，由，則．8.（2025·山東臨沂·一模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足時(shí)，的最小值為（）A.49 B.50 C.99 D.100【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的關(guān)系求出的表達(dá)式，進(jìn)一步解不等式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，即，此時(shí)，也滿足該式，故，若，解得，故所求為100.故選：D.9.（2025·山東濟(jì)寧·一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列，且，記集合中元素的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知條件求出等比數(shù)列的公比，得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由已知條件求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求出集合中元素的個(gè)數(shù)，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】對(duì)于A，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，兩式相減得，即所以，又，解得，所以，正確；對(duì)于B，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以，正確；對(duì)于C，由，得，則集合中元素的個(gè)數(shù)為，即，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，正確．故選：ABD17.（2025·山東濟(jì)寧·一模）已知數(shù)列和滿足．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）分析可知數(shù)列為常數(shù)列，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知：，利用裂項(xiàng)相消法求，進(jìn)而分析證明.【小問1詳解】因?yàn)?，可得，即，可知?shù)列為常數(shù)列，則，所以；又因?yàn)椋瑒t有：若，可得；若，則，兩式相減得；且符合上式，所以.【小問2詳解】由（1）可知：，可得，顯然，所以.18.（2025·山東菏澤·一模）定義正方形數(shù)陣滿足，其中i，.（1）若，求數(shù)陣所有項(xiàng)的和T；（2）若m，n，p，，求證：也是數(shù)陣中的項(xiàng)；（3）若，，且，求的值為奇數(shù)的概率.【答案】（1）0（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)確定的所有取值情況，通過分析的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)以及，從而得出數(shù)陣所有項(xiàng)的和為.（2）對(duì)進(jìn)行展開變形，再根據(jù)數(shù)陣的定義，證得結(jié)論成立.（3）先根據(jù)以及與具有相同奇偶性，得出為奇數(shù)時(shí)與一奇一偶，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，分別計(jì)算的取值情況數(shù)，進(jìn)而計(jì)算出概率.小問1詳解】若，則的所有取值情況為：故數(shù)陣共99項(xiàng)，由知：，，所以.【小問2詳解】由知，，故，所以也是數(shù)陣中的項(xiàng).【小問3詳解】若知：，由與具有相同的奇偶性知要使的值為奇數(shù)，需使與都是奇數(shù)，即i與j必定一奇一偶，當(dāng)時(shí)，的取值情況有4種，故；當(dāng)時(shí)，的取值情況有8種，故；當(dāng)時(shí)，的取值情況有12種，故；當(dāng)且n為奇數(shù)時(shí)，中有個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，故的取值情況有種，故；當(dāng)且n為偶數(shù)時(shí)，中有個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，故的取值情況有種，故；綜上所述，當(dāng)且n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)且n為偶數(shù)時(shí)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求滿足特定條件的數(shù)陣所有項(xiàng)的和，先確定數(shù)陣中元素的組成情況，再通過分析元素之間的關(guān)系（如本題中的對(duì)稱關(guān)系與）來簡化求和過程.證明一個(gè)式子是數(shù)陣中的項(xiàng)，通常對(duì)式子進(jìn)行代數(shù)變形，使其符合數(shù)陣元素的定義形式，再結(jié)合數(shù)陣中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷.求概率問題，先分析事件發(fā)生的條件（如本題中為奇數(shù)時(shí)與的奇偶性要求），然后根據(jù)條件計(jì)算滿足條件的情況數(shù)以及總情況數(shù)（利用排列組合知識(shí)），最后根據(jù)概率公式計(jì)算概率.當(dāng)參數(shù)有不同取值情況（奇數(shù)或偶數(shù)）時(shí)，要進(jìn)行分類討論.19.（2025·山東聊城·一模）若各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列滿足：對(duì)于都有，其中為非零常數(shù)，則稱數(shù)列為“平方等差數(shù)列”.（1）判斷無窮數(shù)列和是否是“平方等差數(shù)列”，并說明理由；（2）若是“平方等差數(shù)列”.（?。┳C明：存在正整數(shù)，使得不等式成立；（ⅱ）證明：存在正整數(shù)，使得.【答案】（1）數(shù)列是“平方等差數(shù)列”，數(shù)列不是“平方等差數(shù)列”，理由見詳解.（2）（i）證明見詳解；（ii）證明見詳解.【解析】【分析】（1）由定義分別驗(yàn)證兩個(gè)數(shù)列是否滿足定義，即可得結(jié)果；（2）（i）由新定義“平方等差數(shù)列”得到數(shù)列通項(xiàng)公式，由放縮法得到，從而得到，然后由的單調(diào)性即可得證；（ii）由通項(xiàng)公式得到，由放縮法得，然后由列項(xiàng)相消得到的結(jié)果，然后由函數(shù)的單調(diào)性即可得證.【小問1詳解】數(shù)列中，，所以數(shù)列是“平方等差數(shù)列”；數(shù)列中，，所以數(shù)列不是“平方等差數(shù)列”；【小問2詳解】（i）∵，設(shè)，當(dāng)時(shí)，一定存在使得，不成立，故∴，則，∵，∴，∵函數(shù)隨的增大而減大，故存在使得，即得證.（ii）由（2）得，故，即，∴由隨的增大而增大，且時(shí)，，故對(duì)任意的，總存在正整數(shù)使，存在正整數(shù)，使得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是通過放縮法結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和以表示出與有關(guān)不等式.2.（2025·山東煙臺(tái)·一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B. C.5 D.15【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式得解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可知，，又，解得或，當(dāng)時(shí)，，所以，故，當(dāng)時(shí)，，所以，故，綜上，，故選：D19.（2025·山東煙臺(tái)·一模）設(shè)是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，其中每一項(xiàng)均為集合中的元素.定義數(shù)列如下：若，則，其中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且.（1）若數(shù)列，求數(shù)列；（2）若存在，對(duì)任意，均有數(shù)列與為同一數(shù)列，則稱為數(shù)列組的一個(gè)周期.（i）若，求數(shù)列組的最小正周期；（ii）若數(shù)列組存在周期，求的所有可能取值.【答案】（1）；（2）（i）3；（ii）的所有可能取值為且.【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義，依次求出，進(jìn)而確定；（2）（i）注意，各不相同，有，依此研究在各不同情況下的周期，即可得最小正周期；（ii）討論的奇偶性，注意為奇數(shù)情況下證明時(shí)，即可得結(jié)論.【小問1詳解】由，對(duì)于，則，同理，，所以，對(duì)于，則，同理，，所以，依上的過程，易知；【小問2詳解】（i）若，，則，記，若，，則，記，若，，則，記，令，各不相同，則，若，則，，，顯然，即是周期；若，則，，，顯然，即是周期；若，則，即是周期；（注意為正整數(shù)），綜上，對(duì)任意，為數(shù)列組周期，最小正周期是3；（ii）當(dāng)為偶數(shù)，不妨設(shè)，則，為正整數(shù)，此時(shí)不存在正整數(shù)，使得數(shù)列與同一數(shù)列，即數(shù)列組不存在周期；當(dāng)為奇數(shù)，由的每一項(xiàng)均為中元素，所以至多有個(gè)，對(duì)于給定的，總存在，，使得，下證：若時(shí)，，事實(shí)上，設(shè)表示除以的余數(shù)，由數(shù)列到的變換結(jié)果，知，，不妨設(shè)，，由，則，，所以，即，結(jié)合為奇數(shù)，，，可得，則，同理可證：對(duì)任意，均有，所以，以此類推，有，，，所以，對(duì)于任意均存在整數(shù)，使得，在變化時(shí)，所有的最小公倍數(shù)，即為數(shù)列組的一個(gè)周期，綜上，數(shù)列組均存在周期時(shí)，的所有可能取值為且.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，一小問，注意，各不相同，有，二小問，討論的奇偶性，其中為奇數(shù)的情況下證明時(shí)，為關(guān)鍵.5.（2025·山東齊魯名校大聯(lián)考·一模）雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化成標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；【詳解】雙曲線的方程可化為，所以漸近線方程為．故選：B6.（2025·山東齊魯名校大聯(lián)考·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn).等軸雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與的右支交于點(diǎn)P，Q.設(shè)與的內(nèi)切圓圓心分別是M，N，直線，的斜率分別是，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，得到內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為然后利用直線的傾斜角，表示出內(nèi)切圓的半徑，即可求出.【詳解】如圖所示，設(shè)的內(nèi)切圓和三邊分別相切于點(diǎn),則且設(shè)直線的傾斜角為，則,同理，,等軸雙曲線知，,故選：A7.（2025·山東齊魯名校大聯(lián)考·一模）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列滿足，所以，解得，又，所以，故選：B8.（2025·山東齊魯名校大聯(lián)考·一模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.20 B.30 C.35 D.40【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)列方程求解【詳解】由等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：也成等比數(shù)列，，得，解得.故選：B.19.（2025·山師附中·一模）已知雙曲線的離心率為，其虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)與右頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積為2.（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)，若點(diǎn)在雙曲線上，在點(diǎn)處的切線與兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且.（i）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式;（ii）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.求證:對(duì).(其中表示不超過的最大整數(shù)，