第十三講協(xié)方差相關(guān)系數(shù)和矩的概念

第十三講協(xié)方差相關(guān)系數(shù)和矩的概念問題對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布

這說明對(duì)于二維隨機(jī)變量,除了每個(gè)隨機(jī)變量各自得概率特性以外,相互之間可能還有某種聯(lián)系、問題就是用一個(gè)什么樣得數(shù)去反映這種聯(lián)系、數(shù)反映了隨機(jī)變量X,Y之間得某種關(guān)系協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)與矩第十三講一、協(xié)方差得定義與性質(zhì)1、定義稱為X,Y的協(xié)方差.記為1)若(X,Y)為離散型r、v、,則2)若(X,Y)為連續(xù)型r、v、,則2、協(xié)方差得簡(jiǎn)單性質(zhì)1）2）3）

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見,若X與Y獨(dú)立,Cov(X,Y)=0、3、計(jì)算協(xié)方差得一個(gè)簡(jiǎn)單公式由協(xié)方差得定義及期望得性質(zhì),可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即特別地若X1,X2,…,Xn兩兩獨(dú)立,,上式化為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4、隨機(jī)變量與得方差與協(xié)方差得關(guān)系協(xié)方差得大小在一定程度上反映了X與Y相互間得關(guān)系,但它還受X與Y本身度量單位得影響、例如:Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點(diǎn),對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化,這就引入了相關(guān)系數(shù)、二、相關(guān)系數(shù)得定義與性質(zhì)1、定義若D(X)>0,D(Y)>0,稱為X,Y得相關(guān)系數(shù),記為2、相關(guān)系數(shù)得性質(zhì)1）2）存在a(不為0)及b使P(Y=aX+b)=1注:1)得大小就是X,Y之間線性關(guān)系得一種度量。2)稱X,Y不相關(guān),不相關(guān)表示X,Y之間不存在線性關(guān)系,但不排除有其她關(guān)系。3)稱X,Y完全線性相關(guān)(詳細(xì)證明自瞧,見教材、)3）X,Y線性不相關(guān)X,Y相互獨(dú)立X,Y線性不相關(guān)即由并不一定能推出X和Y獨(dú)立.請(qǐng)瞧下例、大家學(xué)習(xí)辛苦了，還是要堅(jiān)持繼續(xù)保持安靜例設(shè)X服從(-1/2,1/2)內(nèi)得均勻分布,而Y=cosX,因而=0，即X與Y線性不相關(guān)、但X與Y不獨(dú)立、不難求得，Cov(X,Y)=0，事實(shí)上,X得密度函數(shù)但對(duì)下述情形,獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)前面,我們已經(jīng)瞧到:若X與Y獨(dú)立,則X與Y不相關(guān),但由X與Y不相關(guān),不一定能推出X與Y獨(dú)立、三、有關(guān)例題求Cov(X,Y),

XY10

pqXP10

pqYP例1已知

X,Y得聯(lián)合分布律為0<p<1p+q=1解10

pqXYPXY1010

p0

0

q例2

設(shè)

~U(0,2

),X=cos

,Y=cos(

+

),

就是給定得常數(shù),求

XY解若若有線性關(guān)系若線性不相關(guān)，但不獨(dú)立，沒有線性關(guān)系,但有函數(shù)關(guān)系例3設(shè)X,Y相互獨(dú)立,且都服從

N(0,

2),

U=aX+bY,V=aX-bY,a,b為常數(shù),且都不為零,求

UV解由而故例4設(shè)(X,Y)~N(1,4;1,4;0、5),Z=X+Y,

求

XZ解例3、2、2

隨機(jī)向量(