彈性力學(xué)教材習(xí)題及解答

1-1.選擇題

a.下列材料中._D_屬于各向同性材料。

A.竹材；

B.纖維增強(qiáng)復(fù)合材料；

C.玻璃鋼；

D.瀝青。

b.關(guān)于彈性力學(xué)的正確認(rèn)識是_A_。

A.計(jì)算力學(xué)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的中作用日益重要；

B.彈性力學(xué)從微分單元體入手分析彈性體，因此與材料力學(xué)不同，不需要對問題作假設(shè)；

C.任何彈性變形材料都是彈性力學(xué)的研究對象；

D.彈性力學(xué)理論像材料力學(xué)一樣，可以沒有困難的應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)分析。

c.彈性力學(xué)與材料力學(xué)的主要不同之處在于_B_。

A.任務(wù)；

B.研究對象；

C.研究方法；

D.基本假設(shè)。

d.所謂“完全彈性體”是指_B_。

A,材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足朗克定律；

B.材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載時間歷史無關(guān)；

C.本構(gòu)關(guān)系為非線性彈性關(guān)系；

D.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足線性彈性關(guān)系。

2-1.選擇題

a.所謂“應(yīng)力狀態(tài)”是指_B_。

A,斜截面應(yīng)力矢量與橫截面應(yīng)力矢量不同；

B.一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力隨著截面方位變化而改變；

C.3個主應(yīng)力作用平面相互垂直；

D.不同截面的應(yīng)力不同，因此應(yīng)力矢量是不可確定的。

2-2.梯形橫戳面墻體完全置于水中，如圖所示。已知水的比重為《試寫出墻體橫截面邊

界44,AB.BB的面力邊界條件。

MFsS*

3=——y

橫戳面的應(yīng)力分量為1%=7

試檢驗(yàn)上述分析結(jié)果是否滿足平衡微分方程和面力邊界條件。

q

q

得一一獷5%-2“

由此，只有當(dāng)確定。材料力學(xué)中所得到的解答才能滿足平衡方程和邊界

條件，即為滿足彈性力學(xué)基本方程的解。

2-4.單位厚度的楔形體，材料比重為％楔形體左側(cè)作用比重為M的液體，如圖所示。試

寫出楔形體的邊界條件。

-o,xcosa-%sina=//cosa,

-%cosa-%sina=九ysina.

cos尸一sin。=0,

cos?一sin￡=0.

y

2-5.已知球體的半杼為匚材料的密度為o,球體在密度為。(。>。)的液體中漂源,如

圖所示。試寫出球體的面力邊界條件。

沉入液體部分(z<Zo)面力F=-p2g(z0-z),邊界條件為

x(0x-產(chǎn))+尸7戶+(z-=0,

xr?一尸)+(z-r)%=0,

x%黑+(z-r)(az-F)=00

未沉入液體中的部分(z0<z<2r),邊界條件為

x%+萬戶+(z-r)7=0,

x%+^+(z-r)rv=0,

x匯四+丁丁*+(z一/)與=0。

2-6.矩形橫截面懸臂梁作用線性分布載荷，如圖所示。試根據(jù)材料力學(xué)應(yīng)力解答

rry

—言

_鬻（入4嚴(yán)

4hI

3-1.選擇題

a.切應(yīng)力互等定理根據(jù)條件_B_成立。

A.純剪切；

B.任意應(yīng)力狀態(tài)；

C.三向應(yīng)力狀態(tài)；

D.平面應(yīng)力狀態(tài)；

b,應(yīng)力不變量說明一D._c

A.應(yīng)力狀態(tài)特征方程的根是不確定的；

B.一點(diǎn)的應(yīng)力分量不變；

C.主應(yīng)力的方向不變；

D.應(yīng)力隨著截面方位改變，但是應(yīng)力狀態(tài)不變。

3-2.已知彈性體內(nèi)部某點(diǎn)的應(yīng)力分量分別為

a.◎尸-a,。尸a,以戶0,Tyz=O,匕戶-a；

b.o*=50a,。產(chǎn)0,Qz=-30a,1^=50,xyz=-75<9,3=80a；

c.Qx=100<3,6=50a,CTz=-10a,以產(chǎn)40a3=30aTa=-2Qa；

試求主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。

a.Ol=2c/,02=0,a3=-c/,T<na<=1.5c/

b.6=99.6ab2=58.6a^3=-138.2<3,^=118.943

c.Oi=122.2a,6=49.5a,Q3=-31.7a,Tn?,=77.0a

3-3,已知物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力分量為

gr產(chǎn)“0,Cz=200ayrHlOOa

試求該點(diǎn)的主應(yīng)力和主平面方位角。5=27"“=°，6=-73”

3-4.試根據(jù)彈性體內(nèi)某點(diǎn)的主應(yīng)力和主平面方位寫出最大切應(yīng)力，以及作用面的表達(dá)式。

3-5,已知彈性體內(nèi)部某點(diǎn)的應(yīng)力分量為

G=500a,o產(chǎn)0,Qz=-300a,T>y=500a,3=-750a3=800a

III

—,wi=一，〃=7

平面的正直力和切應(yīng)力。

試求通過該點(diǎn)，法線方向?yàn)镴?

3-4.3-5

以,

Pa=1117.7o\=260,3a,ix=1087.0a0

方向余弦如下表所示.

100±10

72"72

+2_

m0±100

M±10040

主切應(yīng)力為八=±1(叼-o-3),r2=±-(<T3-5),f3=±-(Ci-b?)

222

4-1,選擇題

a.關(guān)于應(yīng)力狀態(tài)分析，_D_是正確的。

A.應(yīng)力狀態(tài)特征方程的根是確定的，因此任意截面的應(yīng)力分量相同；

B.應(yīng)力不變量表示主應(yīng)力不變；

C.主應(yīng)力的大小是可以確定的，但是方向不是確定的；

D,應(yīng)力分量隨著截面方位改變而變化，但是應(yīng)力狀態(tài)是不變的。

b.應(yīng)力狀態(tài)分析是建立在靜力學(xué)基礎(chǔ)上的，這是因?yàn)開D_。

A.沒有考慮面力邊界條件；

B.沒有討論多連域的變形；

C.沒有涉及材料本構(gòu)關(guān)系；

D.沒有考慮材料的變形對于應(yīng)力狀態(tài)的影響。

4-2.已知彈性體內(nèi)部某點(diǎn)的應(yīng)力張量為

(a01.5。

<7,,=02a-1.5a

-1.5a0

試將上述應(yīng)力張量分解為應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量，并求解應(yīng)力偏張量的第二不變量。

/

a00、，001.5a、

二0a0十0a-1.5a

<00巴J.5a-1.5a

2

J2=-5,5a

4-3,已知物體內(nèi)某點(diǎn)的主應(yīng)力分別為

a.QI=50<3,Q2=-505,a3=75^；

b.Oi=70.7a,6=0,a3=70.7a

試求八面體單元的正應(yīng)力和切應(yīng)力。a6=25ac8=54abc8=0,n=70.7a

4-4,已知物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力分量

6=50ad產(chǎn)80s,a.--70a,%=-20a%=60a3=a

試求主應(yīng)力和主平面方位角。

應(yīng)力不變量為

I[=q+嗎+q=6M,

2

k=4%+ayaz+qq-工J-=-9100<2,

k=4叫?+2G“％--叫弓2_qrJ=-432000?3。

根據(jù)特征方程

a3-60aa2-9100a2a+432000a3=&

cr1=107.3。,%=44.1?,%=-91.4白。

求得?i-0.31(%--2.3657!--0.900,--0.970^--0.30S

同樣可得其余兩組方向余弦為(0.948,11282,(1146);(-0.048。三37,-11940).

4-5,已知物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力分量

6=100ad=200a,az=300<3,ixy=-50a,7片Q=0

試求該點(diǎn)的主應(yīng)力、主切應(yīng)力、八面體切應(yīng)力和主平面方位角。

5=300,0a,a2=220.7a,cr3=-79.3a;

q=70,7(J,r2=110,4a,r3=39.7%

r0=91.知

(0,0,1),(0.333,0,924,0),(0.924,0.383,0)

5-1,選擇題

a.下列關(guān)于幾何方程的敘述，沒有錯誤的是_C_。

A.由于幾何方程是由位移導(dǎo)數(shù)組成的,因此，位移的導(dǎo)數(shù)描述了物體的變形位移；

B.幾何方程建立了位移與變形的關(guān)系，因此，通過幾何方程可以確定一點(diǎn)的位移。

C.幾何方程建立了位移與變形的關(guān)系，因此，通過幾何方程可以確定一點(diǎn)的應(yīng)變分量。

D.幾何方程是一點(diǎn)位移與應(yīng)變分量之間的唯一關(guān)系。

5-2.已知彈性體的位移為

w=10xl(r3+0.1x1(尸xy40.05x1(尸z

3-5

v=5xl0--0.05xl0\r+0.lxl0^

w=10xl0^-O.lxIO^xyz

試求力(1,1,1)和6(0.5,-1,0)點(diǎn)的主應(yīng)變&。

A點(diǎn)主應(yīng)變。

51=0.1264X10-3^=0.0767X12空=-0.1031XI*

最大伸長的絕對值為0.1264X哈

B點(diǎn)主應(yīng)變「

￡1=0.0832X10-3^=-0.0287X10-3玲=_0」045XI2

最大伸長的絕對值為0.1045X10^

5-3.試求物體的剛體位移即應(yīng)變?yōu)榱銜r的位移分量.

u=Cj+C2z+%

v=-Cxx+C^z+v0

w=-C2x-C7y+a。

或?qū)懗?/p>

〃=

V=嗎X-Q\Z+4

W=￡Dxy-叼x+5

式中%、%、為物體的測性移動分量；嗎、叼、q大剛性轉(zhuǎn)動分量.

5-4.已知兩組位移分量分別為

22

“?=%+a/+aj%="+b.x+bj+bAx+b5x）'+bby

22

匕=4+a/+a（tyv2=b7+bKx+b9y+bl0x+bxixy+bny

H|=0w2=0

其中a和八為常數(shù)，試求應(yīng)變分量，并且指出上述位移是否滿足變形協(xié)調(diào)條件。

應(yīng)變分量為

與=%，Sy=以6，J=0

%=%+%%=及=0

號=%+2b&x+b5y,sy=b9+6nx+2自少，與=0

Yxy-3+以8）+（%+2%,+（2b6+2%）乂G-左■0

所得應(yīng)變分量為常數(shù)或者為八y的線性函數(shù)，顯然能夠荷足變形協(xié)調(diào)條件.

5-5.已知彈性體的位移為

U=v）+Az'+DzyA-ay-flz-k-u

v=/,（v,Bz'-Dxz-ax-yz-￥b

w=/?G，j）-（2/k+2坊+C）z+fix+/>+C

其中4B,Ca,b,c,a,仇y為常數(shù)，試求應(yīng)變分量.

%況

+笠

4=心-

獲

8%X

延

一

弓

=&-后

獷-Dx

q=-（24+2陟+C）,及=弟+0

6-1.選擇題

a.下列關(guān)于“剛體轉(zhuǎn)動”的描述，認(rèn)識正確的是_A_。

A.剛性轉(zhuǎn)動描述了微分單元體的方位變化，與齷形位移一起構(gòu)成彈性體的變形；

B.剛性轉(zhuǎn)動分量描述的是一點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動位移，因此與彈性體的變形無關(guān)；

C.剛性轉(zhuǎn)動位移也是位移的導(dǎo)數(shù)，因此它描述了一點(diǎn)的變形；

D.剛性轉(zhuǎn)動分量可以確定彈性體的剛體位移。

b.下列關(guān)于應(yīng)變狀態(tài)的描述，錯誤的是_A_。

A.坐標(biāo)系的選取不同，應(yīng)變分量不同,因此一點(diǎn)的應(yīng)變是不可確定的。

B.不同坐標(biāo)系下，應(yīng)變分量的值不同,但是描述的一點(diǎn)變形的應(yīng)變狀態(tài)是確定的。

C.應(yīng)變分量在不同坐標(biāo)系中是變化的,但是其內(nèi)在關(guān)系是確定的。

D.一點(diǎn)主應(yīng)變的數(shù)值和方位是不變的。

6-2,已知物體內(nèi)部某點(diǎn)的應(yīng)變分量為

&=10：&=5x10",歷=10：加=8x10、勿=6x10',-4x10

試求該點(diǎn)的主應(yīng)變和最大主應(yīng)變G的方位角。

戔=0.00122,4=0.000495%=-0.000317

A=0.862,梏=0.5032=0.058

6-3,平面應(yīng)變狀態(tài)下，如果已知0°,60。和120°方向的正應(yīng)變，試求主應(yīng)變的大小和方向。

=￡。三歿15印上寺』&-%0丫+西加）+（520-0）

3

紇2%=）（氣2。一版）

2q一包一52。

6-4,圓截面桿件兩端作用扭矩，如圖所示，其位移分量為

u^-（pzy+ay-^bz+c

v=cpzx+ez-dx+f

w=-bx-ey+k

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)。位移固定,試按照下列轉(zhuǎn)動位移邊界條件分別確定待定系數(shù)a、bcde、f和匕

a.微分線段dz在xOz和yOz平面內(nèi)不能轉(zhuǎn)動；

c.微分線段dx和dy在XON平面內(nèi)不能轉(zhuǎn)動。

a=b=c=e=j=k=Q

6-5,等截面柱體，材料比重為匕在自重作用下的應(yīng)變分量為

其中為材料彈性常數(shù)，試檢驗(yàn)上述應(yīng)變分量是否滿足變形協(xié)調(diào)條件和邊界條件。

應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)條件，位移分量為

解：首先計(jì)算應(yīng)變不變量，并解三次方程，求簿主應(yīng)變值為

*=0.15x10-3,與=o0433x10-3,與=-0.0833xl0~3

為求解主應(yīng)變方向，利用下列方程組:

乙乙

；7,+；7聲庫+（與一5卜二0

乙乙

將￡=￡】代入上式，第一式自然滿足，其余兩個方程式為

-0.19切1+0.062=0

0.06切1-0.15力1=0

以上兩式的唯一解為加1?陽?0?為滿足？+”彳+后-1，則有即出的方向

余弦為（1，0,0）.

將￡=巧代入前面方程式，得

0.10674=0

-0.083刎+0.06力2=0

0.06m-0.043犯=0

由第一式得，2=0.由第二、三式可得勺=1388%.再由『；+時+屈=1得

^+1388?滋=1,由該式求得溶②=。,585,而力=1.388加2=0811。即與的方向余統(tǒng)

為(0,0.585,0.811).

同樣可求得與的方向余弦為(0,-0.811,0.585).

7-1.選擇題

a.變形協(xié)調(diào)方程說明_B_0

A.幾何方程是根據(jù)運(yùn)動學(xué)關(guān)系確定的，因此對于彈性體的變形描述是不正確的；

B.微分單元體的變形必須受到變形協(xié)調(diào)條件的約束；

C.變形協(xié)調(diào)方程是保證所有彈性體變形協(xié)調(diào)條件的必要和充分條件；

D,變形是由應(yīng)變分量和轉(zhuǎn)動分量共同組成的。

7-2.如果物體處于平面應(yīng)變狀態(tài)，幾何方程為

試證明對于單連域物體，位移的單值條件為應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程

證：由所給出的幾何方程可求得

猛d3u抑齊，曲

鏟8?ydxdydx2dydxdy2

骸

近+也以

dy2dxdy

上a舐?為姚協(xié)調(diào)條件,由此可知，幾何方程的成泌胸導(dǎo)出協(xié)調(diào)方程(必要性.)

為證明其充分性，應(yīng)協(xié)調(diào)條件成立，則必定存在八v，而且在域內(nèi)是單值連續(xù)函數(shù).

在求“時，需先求上和也，而上可由幾何方程得到.為求生，沿通過坐標(biāo)原點(diǎn)。與點(diǎn)外,村的某一樨鈿行積分,

dxdydxdy

并應(yīng)用幾何方程，則得

右=(d本+g=f[—(—)^+T-+C1

dydy的女?dydy

乙d.du...dyd.du..-

=~石笈心+丁-諉爾切HG

=6倍梃警-冬加G

$dydydx.

這使上式的積分在單連域內(nèi)與路徑無關(guān)，必須滿足

色陽=色也當(dāng)

dydydydy也

上式即為協(xié)調(diào)條件，亦即滿足協(xié)調(diào)條件時包■可以唯一地被確定.因此，可以計(jì)算“，即

.du,..

u=融+%=儲dx+-—dy)+Uf,

3

同樣，為由，史■唯一地確定〃，即與積分路徑無關(guān)，必須滿足

dxdy

2(包)=2(%)

dydx,dx.dy

對于連續(xù)函數(shù)，求導(dǎo)致0r與微分順序無關(guān)，故上式是滿足的,因此，可以唯一地確定〃.

用同樣的方法可以證明，只要滿足變形協(xié)調(diào)條件，可以唯一地確定射(充分性).

由以上證明可知，變形協(xié)調(diào)條件是確定〃(X,)、Mx，)有解的必要與充分條件.

7-3.已知物體某點(diǎn)的正應(yīng)變分量&,e和&,試求其體積應(yīng)變。

6=4+邑+%

7-4.已知物體某點(diǎn)的主應(yīng)變分量&,&和氏試求其八面體單元切應(yīng)力表達(dá)式。

后=|[(￡i-與y+(與-53》+(與一馬)“

7-5.已知物體變形時的應(yīng)變分量為

￡?=A+A(V+y)+x+yC=4

￡廣合+8("+/)+4+/A,__

冷=+/+G)/十R歷-7JR=NU

而系數(shù)4、B。、Co可為任意常數(shù).

歷=加二打7~0

試求上述待定系數(shù)之間的關(guān)系。

7-6.已知橢圓截面柱體在扭矩作用下產(chǎn)生的應(yīng)變分量為

27

%=-訴、

2MT

4=j二%=%=（）

試證明上述應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程。

8-1,選擇題

a.各向異性材料的彈性常數(shù)為_D_。

A.9個;

B.21個;

C.3個；

D.13個；

b.正交各向異性材料性質(zhì)與下列無關(guān)的是_R_。

A.拉壓與剪切、以及不同平面的剪切變形之間沒有耦合作用；

B.具有3個彈性對稱面；

C.彈性常數(shù)有9個；

D.正交各向異性材料不是均勻材料。

8-2.試推導(dǎo)軸對稱平面應(yīng)力（5=0）和軸對稱平面應(yīng)變問題（&=0）的胡克定律。

8-3,試求體積應(yīng)力。與體積應(yīng)變〃得關(guān)系。

8-4,試證明對于均勻材料，獨(dú)立的彈性常數(shù)只有21個。

8-5,試?yán)谜襟w單元證明，對于不可壓縮材料，泊松比丫=0.5。

8-2

軸對稱平面應(yīng)力問題的胡克定律為

1/、

%=豆⑸-叼）

軸對稱平面應(yīng)變問題的胡克定律為

vQjq）］

%qa-v?+%）］

a

1

E

8-3

9-1,選擇題

a.對于各向同性材料，與下列性質(zhì)無關(guān)的是一D_。

A.具有2個彈性常數(shù)；

B.材料性質(zhì)與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)；

C.應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合；

D.彈性常數(shù)為3個。

9-2.試?yán)美窂椥猿?shù)入和G表示彈性模量￡泊松比而體積彈性模量工

9-3.試?yán)脩?yīng)力轉(zhuǎn)軸公式和胡克定律推導(dǎo)軸對稱問題的胡克定律。

9-4.鋼制圓柱體直徑為d=10。01但，外套一個厚度6=5mm的鋼制圓筒，如圖所示。圓柱

體受軸向壓力尸=250kN作序，已知鋼的彈性模量￡=210GPa,泊松比v=0.3,試求圓筒應(yīng)

力。

9-5.已知彈性體某點(diǎn)x和y方向的正應(yīng)力為o,=35MPa,6=25MPa,而z方向的應(yīng)變

￡/=0,試求該點(diǎn)的其它應(yīng)力分量

9-2

2

K-A+-G

3

E_―-G-(3-A-+-2-@

2+G

X

12(2+Q)

9-3

軸對稱問題的胡克定律為

%，[展F'+bj]

s—(q+嗅)]

9-4

ax=ay=8.922V7叩/

9-5

a=ISiV/ww2?c.=HO.SxlO^s=45.5xIO-45

各z不嚴(yán)E

10-1.半無限彈性體表面作用集中力￡試用應(yīng)力函數(shù)

,1

_/c2+z2)2.z

%=CjZInp+C^(p2+z2)2+C,zIn---------j--

(p2+z2)2+z

求解應(yīng)力和位移分量“F

%=—^(1-2^)---(p2+Z2)-1-3爐2(°2+Z。尸

2冗pp

(1-2〃)-3+方面+i尸+Z(02+z2尸一

%=一三那(。2+/尸.

L元

(1*)(1+〃*

Z(/+z2尸.]+人心(02+，尸

2萬即

(1+〃*

+22+2(12

V=--------尸一〃()02+Z)

2屈

10-2.圓柱體的側(cè)面作用均勻壓力，兩個端面作用均勻壓力，如圖所示。試用應(yīng)力函數(shù)

0儲z+CzF求解圓柱體的應(yīng)力分星，并且計(jì)算圓柱體的體積改變。

10-3,半無限空間物體，材料的比重為％在水平表面作用均勻分布的壓力g,如圖所示。

試用位移法求解半無限體的應(yīng)力和位移。八八

u=0,v=0,

III門！II_W=[加(/—/)+2#-2)]

-□----1~:~1-------*。4G。-〃)

7

U/、

i4."";----('+囪)，

____________I___1-P，

?=-(??+謝，

工9=匯尸==°-

10-4.設(shè)函數(shù)6=應(yīng)+yA(Vi+Wx)可以作為求解平面問題的應(yīng)力函數(shù)，試求待定函數(shù)A(M

和伙M。

工=axx+bxx+qx,

ZJ=以27+瓦―。

10-5.單位厚度的桿件兩端作用均勻壓力0,在看土力的邊界為剛性平面約束，如圖所示。

已知桿件的位移為

I-------H------

應(yīng)力分量為

q=-p

by=W

=0

"%=%

應(yīng)力分量在邊界上應(yīng)滿足邊界條件，即

斤x=⑸)7=-，

x=l處,

Fy=3)7=0

，從五》=（q）i=_p,

kT處，尸/、n

Fy=（%）I=。

『=±力處，①）卜±友=0

11-1.選擇題

a.彈性力學(xué)解的唯一性定理在_D_條件成立。

A.具有相同體力和面力邊界條件；

B.具有相同位移約束；

C.相同材料；

D.上述3條同時成立。

b.對于彈性力學(xué)的基本解法，不要求條件_D_。

A.基本未知量必須能夠表達(dá)其它未知量；

B.必須有基本未知量表達(dá)的基本方程；

C.邊界條件必須用基本未知量表達(dá)；

D.基本未知量必須包括所有未知函數(shù)。

C.下列關(guān)于彈性力學(xué)基本方程描述正確的是#_。

A.幾何方程適用小變形條件；

B.物理方程與材料性質(zhì)無關(guān)；

C.平衡微分方程是確定彈性體平衡的唯一條件；

D.變形協(xié)調(diào)方程是確定彈性體位移單值連續(xù)的唯一條件；

d.關(guān)于彈性力學(xué)的疊加原理，應(yīng)用的基本條件不包括一D_。

A.小變形條件；

B.材料變形滿足完全彈性條件；

C.材料本構(gòu)關(guān)系滿足線性彈性條件；

D.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性完全彈性體。

e,下列關(guān)于應(yīng)力解法的說法正確的是

A.必須以應(yīng)力分量作為基本未知量；

B.不能用于位移邊界條件；

C.應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程是唯一的基本方程；

D.必須使用應(yīng)力表達(dá)的位多邊界條件。

f.彈性力學(xué)的基本未知量沒有_C_。

A.應(yīng)變分量；

B.位移分量；

C.面力；

D.應(yīng)力。

g.下列關(guān)于圣維南原理的正確敘述是_c_。

A.邊界等效力系替換不影響彈性體內(nèi)部的應(yīng)力分布；

B.等效力系替換將不影響彈性體的變形；

C.等效力系替換主要影響載荷作用區(qū)附近的應(yīng)力分布，對于遠(yuǎn)離邊界的彈性體內(nèi)部的影

響比較??；

D.圣維南原理說明彈性體的作用載荷可以任意平移。

11-2.設(shè)有半空間彈性體，在邊界平面的一個半徑為3的圓面積上作用均勻分布壓力Q.

如圖所示。試求圓心下方距邊界為力處的鉛直正應(yīng)力，并計(jì)算圓心處的沉陷。

12-1.懸掛板，在。點(diǎn)固定，若板的厚度為L寬度為2a,長度為/,材料的比重為7,如圖

所示。試求該板在自重作用下的應(yīng)力分量和位移分量。

Up=不卜1-2〃)--—(p2+Z2)2-3p2z(p2+z2)2k

工用pp

(1-2〃)口+~^(Q2+z2尸+Z(02+z2尸

P

「一父；^尸，

2元

%,一歹8-Z?)"3.

3

-

2

2元Ep

(1+4)斤

2汽E

7=(嘰o

12-2.等厚度板沿周邊作用者均勻壓力g,若。點(diǎn)不能移動和轉(zhuǎn)動，試求板內(nèi)任意點(diǎn)的位

移分量。

12-3.已知直角六面體的長度力比寬度和高度匕大的多，將它放置在絕對剛性和光滑的基

礎(chǔ)上，在六面體的上表面作用均勻壓力/試求應(yīng)力分量與位移分量。

u=0,v=0,

2

w=二[儂曲-Z)+2(7(/2-Z)]

4G(1-〃)

%=by=+囪)，

q=_(q+㈤，

%=%=%=0

12-4.單位厚度的矩形截面梁，在片c處作用著集中載荷尸=1,如圖所示。試寫出該梁上

下兩個面上的邊界條件。

應(yīng)力分量為

%--P

by=~VP

=0

TO=%MT.

應(yīng)力分量在邊界上應(yīng)滿足邊界條件，即

尸x=(b*)z=-p,

X=1處,

4==o

Fx=9x)x1=_p，

x=-i處,

4=(%)-=°

J=±力處，W)y-±k=0

13-1.選擇題

a.下列關(guān)于應(yīng)力函數(shù)的說法，正確的是_C_。

A.應(yīng)力函數(shù)與彈性體的邊界條件性質(zhì)相關(guān)，因此應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)，自然滿足邊界條件；

B.多項(xiàng)式函數(shù)自然可以作為平面問題的應(yīng)力函數(shù)；

C.一次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)不產(chǎn)生應(yīng)力,因此可以不計(jì)。

D.相同邊界條件和作用載茍的平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題的應(yīng)力函數(shù)不同。

13-2,簡支梁僅承受自身重量，材料的比重為％試檢給函數(shù)

仍+歹+C/+Dx2y

當(dāng)＞1=TB時可做為應(yīng)力函數(shù).

是否可以作為應(yīng)力函數(shù)，并且求各個待定系數(shù)。

T停尸-雪

h382

14y2

%=2

2斜

13-3,建筑在水下的墻體受水壓，軸向壓力廠和側(cè)向力尸作用，如圖所示。已知墻體的端

部與水平面等高，水的比重為人側(cè)向力與水平面距離為2萬,設(shè)應(yīng)力函數(shù)為

(p^Ay+Bx+Cxy^Dxy+Ex根據(jù)邊界條件

試求墻體截面的應(yīng)力分量，

在工=±2處，CFy

X-vy,A=

6

3o

在工=±2處，0,C=--Dh\

2。4

_F_

在y=0處，良4dx=一凡B

12k'

￡_4F

在y=0處，Ruyxdx=2Fh,EK

在y=0處，=ACh+Dh3--4F□

2F3F

所以DC=--

2k

應(yīng)力分量為

F12F24?

q二一。，-方方的百

3產(chǎn)6F2

O=-一「TXo

2hh3

墻體軸線在r方向的位移表達(dá)式為

LlZfi與卜3+6處2—63〃2丁+108/3).

Eh

13-4,已知如圖所示單位厚度的矩形薄板，周邊作用著均勻剪力q。試求邊界上的

dx/并求其應(yīng)力分量（不計(jì)體力）。

13-5.已知函數(shù)（p^A（x-y）試檢查它能否做為應(yīng)力函數(shù)？如果可以，試用上述應(yīng)力函

數(shù)求解圖示矩形薄板的邊界面力。

14-1.矩形截面柱側(cè)面受均4栽荷q的作用，如圖所示。試求應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量（不計(jì)

體力）。

14-2.如圖所示懸臂梁，承受均布載荷g的作用，試檢驗(yàn)函數(shù)％:皿

能否做為應(yīng)力函數(shù)。如果可以，求各個待定系數(shù)及懸臂梁應(yīng)力分量，

當(dāng)&=-5月時可做為應(yīng)力函數(shù)。

一方。■島上十一條

q=￡11"2+6/一”2卜，

__<7，+3y_4/

廠一51萬一戶

3丫1-絲

02

14-3.矩形截面柱體承受偏心載荷作用，如果不計(jì)柱體自身重量，則若應(yīng)力函數(shù)為

心二加+以試求：

a.應(yīng)力分量和應(yīng)變分量；

b.假設(shè)。點(diǎn)不動，且該點(diǎn)截面內(nèi)的任意微分線段不能轉(zhuǎn)動，求其位移分量；

3PP

4/2a

1任第+￡)?

El4a22a

13P\(3PP

+-----，v2=-

ESa2E4a

1

1』,

14-4.已知懸臂梁如圖所示，如果懸臂梁的彎曲正應(yīng)力⑦由材料力學(xué)公式給出，試由平衡

方程式求出5?及出，并檢驗(yàn)計(jì)算所得的應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程。

▽"bx+%)=-筆D,即應(yīng)力分量不滿足協(xié)調(diào)方程式.

14-5,三角形懸臂梁，承受自重作用，如圖所示。已知材料的比重為了、試確定應(yīng)力函數(shù)

及應(yīng)力分量。

設(shè)應(yīng)力函數(shù)為

Wt=Ax3+Bx2y+Czy2+Dy31,

(

JX=yxcota-2yycota>(jy=-yy,=-yycc^a.

15一L選擇題

a.下列關(guān)于軸對稱問題的敘述，正確的是一B_。

A.軸對稱應(yīng)力必然是軸對稱位移；

B.軸對稱位移必然是軸對稱應(yīng)力；

C.只有軸對稱結(jié)構(gòu)，才會導(dǎo)致軸對稱應(yīng)力；

D.對于軸對稱位移，最多只有兩個邊界條件。

b.關(guān)于彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解，下列說法正確的是，_。

A.坐標(biāo)系的選取，從根本上改變了彈性力學(xué)問題的性質(zhì)“

B.坐標(biāo)系的選取，改變了問題的基本方程和邊界條件描述；

C.對于極坐標(biāo)解，平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題沒有任何差別；

D.對于極坐標(biāo)解，切應(yīng)力互等定理不再成立。

15-2,厚壁圓筒內(nèi)徑為&夕噂為。厚壁圓筒內(nèi)承受內(nèi)壓"作用，外面施加絕對剛性的約

束，如圖所示，試求厚壁筒的應(yīng)力和位移。

邊界條件為(嗅)…=-pir(%%=0.

22

位移為Up=2[(1-2v\pia-pb)p-O-

a[b~a)p

厚壁筒應(yīng)力為

15-3.已知曲桿的截面為狹長矩形，其內(nèi)側(cè)面與外側(cè)面均不受載荷作用，僅在兩端面上作

用力矩而，如圖所示。試求曲桿應(yīng)力。

設(shè)

0(Q)=Ap2+Bp2Inq+Clnp+D.

的應(yīng)力分量為

*=2』+8(21n。+1)+二，

P

Up=24+B(21np+3)-二，

P

%=°-

根據(jù)邊界條件

工=爺粒2——+2(/ln3-—lna)],

n2M,22、

B=-------(b-a),

N

c4M2,21b

C=------abIn—.

Na

式中N=-a)-4a%2(ln2)2.

a

15-4.已知厚壁圓筒的內(nèi)徑為8外徑為小厚壁圓筒只承受內(nèi)壓？作用，求厚壁圓筒在內(nèi)

壓作用下內(nèi)徑的增加量。如果厚壁圓筒只承受外壓D作用，求厚壁圓筒在外壓作用下外徑

的減小增加量。

曲桿中的應(yīng)力為

4M.a2b2.b,?p2,

b=―---(———In—+^>22ln—+a2ln—

。Np1abp

AM,a2b23,2,Q2,以，22、

a=------(-7-I1n—+2>2ln—+a2ln—+Z>2-a2),

〃oN1戶abp

Jpp=0-

Pi作用時，內(nèi)半徑的噌大量為：

馬白(1-玲產(chǎn)+M+V

-