重慶一診數(shù)學試題及答案

重慶一診數(shù)學試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共30分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，則f(x)的圖像的對稱軸是：

A.x=2

B.x=-2

C.y=2

D.y=-2

2.在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)是：

A.75°

B.90°

C.105°

D.120°

3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=3，d=2，則S10等于：

A.100

B.105

C.110

D.115

4.已知復數(shù)z=1+i，則|z|的值是：

A.1

B.√2

C.2

D.√3

5.下列不等式中，正確的是：

A.2x+3>5x-1

B.3x-2<2x+1

C.4x+5>3x+4

D.5x-3<4x+2

二、填空題（每題5分，共25分）

6.已知函數(shù)f(x)=2x-3，若f(2)=1，則x的值為______。

7.在等腰三角形ABC中，AB=AC，若BC=5，則底角B的度數(shù)是______。

8.已知等比數(shù)列{an}的首項a1=2，公比q=3，則第5項an等于______。

9.已知復數(shù)z=1-2i，則z的共軛復數(shù)是______。

10.若不等式2x-3<5x+1成立，則x的取值范圍是______。

三、解答題（每題15分，共45分）

11.（1）已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的圖像的頂點坐標。

（2）求函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

12.（1）已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=30°，求∠A的度數(shù)。

（2）若等腰三角形ABC的周長為10，求底邊BC的長度。

13.（1）已知等比數(shù)列{an}的首項a1=2，公比q=3，求第n項an。

（2）求等比數(shù)列{an}的前n項和Sn。

四、解答題（每題15分，共45分）

14.（1）已知函數(shù)f(x)=√(x-2)+1，求f(x)的定義域。

（2）若f(x)在區(qū)間[2,4]上單調遞增，求k的取值范圍，其中f(x)=kx^2-4x+3。

15.（1）在三角形ABC中，AB=AC=6，∠B=60°，求三角形ABC的面積。

（2）若點D在邊AC上，且AD=DC，求三角形ABC中∠ADC的度數(shù)。

16.（1）已知等差數(shù)列{an}的首項a1=3，公差d=-2，求前n項和Sn。

（2）若等差數(shù)列{an}的前10項和為S10，求第10項an。

五、應用題（每題15分，共30分）

17.一輛汽車以每小時80公里的速度行駛，若要在2小時內到達目的地，請問汽車需要行駛的最短距離是多少？

18.一個長方形的長是寬的兩倍，若長方形的周長是48厘米，求長方形的面積。

六、證明題（每題15分，共30分）

19.證明：對于任意實數(shù)x，不等式x^2-4x+3≥0恒成立。

20.證明：在任意三角形ABC中，邊長a、b、c滿足a^2+b^2=c^2的充要條件是∠C是直角。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.A解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的對稱軸為x=-b/2a，代入a=1，b=-4，得x=2。

2.C解析：三角形內角和為180°，∠A+∠B+∠C=180°，代入∠A=60°，∠B=45°，得∠C=180°-60°-45°=75°。

3.A解析：等差數(shù)列前n項和公式為Sn=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=2，得S10=10(3+(3+9d))/2=100。

4.B解析：復數(shù)模長公式為|z|=√(a^2+b^2)，代入a=1，b=1，得|z|=√(1^2+1^2)=√2。

5.C解析：將不等式兩邊同時乘以x，得2x^2-5x+3>0，解得x<1/2或x>3/2，所以x的取值范圍是x<1/2或x>3/2。

二、填空題答案及解析：

6.2解析：代入f(2)=1，得2*2-3=1，解得x=2。

7.75°解析：等腰三角形底角相等，∠B=∠C，∠B=30°，所以∠C=75°。

8.162解析：等比數(shù)列第n項公式為an=a1*q^(n-1)，代入a1=2，q=3，得an=2*3^(n-1)，第5項an=2*3^4=162。

9.1+2i解析：復數(shù)共軛公式為z*=a-bi，代入a=1，b=-2，得z*=1+2i。

10.x<-2解析：將不等式兩邊同時減去2x，得-3x<4，解得x>-4/3，所以x的取值范圍是x<-2。

三、解答題答案及解析：

11.（1）頂點坐標為(2,-1)，解析：對稱軸為x=2，代入x=2，得f(2)=-1，所以頂點坐標為(2,-1)。

（2）最大值為1，最小值為-1，解析：函數(shù)在區(qū)間[1,3]上單調遞減，最大值在x=1時取得，最小值在x=3時取得。

12.（1）∠A=75°，解析：等腰三角形底角相等，∠B=∠C，∠B=30°，所以∠C=75°。

（2）BC=5，解析：等腰三角形底邊長度為BC，所以BC=5。

13.（1）an=2*3^(n-1)，解析：等比數(shù)列第n項公式為an=a1*q^(n-1)，代入a1=2，q=3，得an=2*3^(n-1)。

（2）Sn=2*(1-3^n)/(1-3)，解析：等比數(shù)列前n項和公式為Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，代入a1=2，q=3，得Sn=2*(1-3^n)/(1-3)。

四、解答題答案及解析：

14.（1）定義域為[2,+∞)，解析：根號內的表達式x-2必須大于等于0，所以x≥2。

（2）k的取值范圍為k<-1或k>3，解析：將不等式兩邊同時平方，得kx^2-4x+3<0，解得x<1/2或x>3/2，所以k的取值范圍為k<-1或k>3。

15.（1）三角形ABC的面積為9√3，解析：三角形面積公式為S=(1/2)*底*高，代入底BC=6，高為AB的平方根，得S=(1/2)*6*√3=9√3。

（2）∠ADC=30°，解析：等腰三角形底角相等，∠ADC=∠B=30°。

16.（1）Sn=-n^2+4n，解析：等差數(shù)列前n項和公式為Sn=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=-2，得Sn=-n^2+4n。

（2）an=3-2(n-1)，解析：等差數(shù)列第n項公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=-2，得an=3-2(n-1)。

五、應用題答案及解析：

17.汽車需要行駛的最短距離為80公里，解析：速度=距離/時間，代入速度80公里/小時，時間2小時，得距離=80*2=160公里，所以汽車需要行駛的最短距離為80公里。

18.長方形的面積為72平方厘米，解析：長方形面積公式為S=長*寬，代入長=2*寬，周長48厘米，得2*(2*寬+寬)=48，解得寬=6厘米，長=12厘米，所以面積S=12*6=72平方厘米。

六、證明題答案及解析：

19.證明：對于任意實數(shù)x，不等式x^2-4x+3≥0恒成立。

證明過程：將不等式左邊配方，得(x-2)^2-1≥0，因為平方總