定價理論-第5章-期權(quán)定價理論

第5章期權(quán)定價理論

期權(quán)定價理論是繼資產(chǎn)組合理論、資本資產(chǎn)定價模型之后金融領(lǐng)域又一個獲得諾貝爾

經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的重要理論.1973年，Black和Scholes發(fā)表了《期權(quán)和公司債務(wù)的定價》(The

pricingofoptionsandcorporateIiabiIities)一文，提出了著名的期權(quán)定價理論.同

年，Merton給出了以支付連續(xù)紅利率股票為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價公式，并把Black-Scholes

期權(quán)定價公式推廣到無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)價格的變異性不是常數(shù)的重要情況.在本章，

我們將以Black-Scholes期權(quán)定價公式為主線介紹與期權(quán)相關(guān)的一些知識、股票價格的行

為模型、Black-Scholes偏微分方程、BIack-Scholes期權(quán)定價公式、B1ack-Schotes期權(quán)

定價公式的拓展模型(支付紅利妁股票歐式期權(quán)定價和美式看漲期權(quán)定價)等.

§5.1期權(quán)概述

5.1.1期權(quán)的概念

期權(quán)是賦予了其擁有者在未來的某時間以事先預(yù)定好的價格買賣某種金融資產(chǎn)的權(quán)利

的合約.從廣義上講，期權(quán)也可以指金融資產(chǎn)中含有的任何選擇權(quán).一般稱期權(quán)中規(guī)定的

金融資產(chǎn)為期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)，并稱對標(biāo)的資產(chǎn)的商定價格為行權(quán)價格.

根據(jù)交易的買賣類型，可以將期權(quán)分為看漲期權(quán)和看躍期權(quán).看漲期權(quán)是指在指定日

期以行權(quán)價格買入一定量的金融資產(chǎn)的合約.看跌期權(quán)是指可以在指定日期以行權(quán)價格賣

出一定量的金融資產(chǎn)的合約.期權(quán)中指定的日期稱為到期日.當(dāng)投資者認(rèn)為某種金融資產(chǎn)

的價格將要上漲時，就可以購置這種金融資產(chǎn)的看漲期權(quán)，或者出售這種金融資產(chǎn)的看跌

期權(quán).相反，如果認(rèn)為某種金融資產(chǎn)的價格將要下跌，那么可以采取相反的操作.

按期權(quán)允許的行權(quán)時間劃分，期權(quán)可分為歐式期權(quán)和美式期權(quán).歐式期權(quán)是指期權(quán)的

行權(quán)日期是事先指定的期權(quán)；美式期權(quán)是指可以在到期日之前的任何日期行權(quán)的朗權(quán).在

交易所交易的大局部期權(quán)是美式期權(quán).但是，歐式期權(quán)通常比美式期權(quán)更容易分析，并且

美式期權(quán)的一些性質(zhì)總是可以從歐式期權(quán)的性質(zhì)推導(dǎo)出來.

根據(jù)行權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)市場價格的關(guān)系，可將期權(quán)分為實(shí)值期權(quán)、虛值期權(quán)和平價

期權(quán)三種類型.對看漲期權(quán)而言，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格高于行權(quán)價格，期權(quán)的買方執(zhí)行期權(quán)

特有利可圖，此時為實(shí)值期權(quán).假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格低于行權(quán)價格，期權(quán)的買方格放棄執(zhí)行

期權(quán)，此時為虛值期權(quán).對看跌期權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)價格低于行權(quán)價格為實(shí)值期權(quán)；標(biāo)的

資產(chǎn)價格高于行權(quán)價格為虛值期權(quán).假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格等于行權(quán)價格，那么看漲期權(quán)和看

躍期權(quán)均為平價期權(quán).

從理論上說，實(shí)值期權(quán)的內(nèi)在價值為正，虛值期權(quán)的內(nèi)在價值為負(fù)，平價期權(quán)的內(nèi)在

價值為零.但實(shí)際上，無論是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，也無論期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的市場價格處

于什么水平，期權(quán)的內(nèi)在價值都必然大于零或等于零，而不可能為一負(fù)值.這是因?yàn)槠跈?quán)

賦予買方執(zhí)行期權(quán)與否的選擇權(quán)，而沒有規(guī)定相應(yīng)的義務(wù)，當(dāng)期權(quán)的內(nèi)在價值為負(fù)時，買

方可以選擇放棄期權(quán).

期權(quán)的內(nèi)在價值定義為期權(quán)本身所具有的價值，也就是期權(quán)的買方如果立即執(zhí)行該期

權(quán)所能獲得的收益.一種期權(quán)有無內(nèi)在價值以及內(nèi)在價值的大小，取決于該期權(quán)的行權(quán)價

格與標(biāo)的資產(chǎn)市場價格之間的關(guān)系.期權(quán)的時間價值是指期權(quán)的買方購置期權(quán)而實(shí)際支付

的價格超過該期權(quán)內(nèi)在價值的那局部，一般以期權(quán)的實(shí)際價格減去內(nèi)在價值求得.

在現(xiàn)實(shí)的期權(quán)交易中，各種期權(quán)通常是以高于內(nèi)在價值的價格買賣的，即使是平價期

權(quán)或虛值期權(quán)，也會以大于零的價格成交.期權(quán)的買方之所以愿意支付額外的費(fèi)用，是因

為希望隨著時間的推移和標(biāo)的資產(chǎn)市場價格的變動，該期權(quán)的內(nèi)在價值得以增加，使虛值

期權(quán)或平價期權(quán)變?yōu)閷?shí)值期權(quán)，或使實(shí)值期權(quán)的內(nèi)在價值進(jìn)一步提高.

買賣期權(quán)一般情況下有兩種動機(jī)：一種是出于投機(jī)賺取最大利泗的想法，因?yàn)槠跈?quán)價

格的波動將導(dǎo)致獲得更大收益的時機(jī).當(dāng)然，同時也面臨產(chǎn)生更大損失的風(fēng)險.另一種情

況是出于對沖風(fēng)險的考慮.因?yàn)槠跈?quán)的行使不是必須的(期權(quán)賦予了其投資者做某事的權(quán)

利，但持有者不一定必須行使該權(quán)利.這一特點(diǎn)使得朋權(quán)不同于遠(yuǎn)期、期貨等金融資產(chǎn).投

資者簽署遠(yuǎn)期和期貨合約時的本錢為零，但投資者購置一張期權(quán)合約必須支付期權(quán)費(fèi))，所

以期權(quán)作為投資策略的一個局部，在對沖風(fēng)險方面有更大的選擇余地.

期權(quán)定價就是對這種選擇權(quán)本身進(jìn)行定價,如果這種選擇權(quán)是可以獨(dú)立交易的，那么

這個價格是非常有現(xiàn)實(shí)意義的.如果這種選擇權(quán)不是單獨(dú)交易的(可能是含在產(chǎn)品中的，如

可轉(zhuǎn)換債券中的轉(zhuǎn)換權(quán)力)，通過定價也可以對這局部的價值有一定的了解，以便更好地掌

握金融資產(chǎn)價值變化的情況.

最早的場內(nèi)期權(quán)是股票期杈.芝加哥期貨交易所于1973年設(shè)立了一個新的交易所期權(quán)

交易所，從而拉開了期權(quán)交易的序幕.隨著國際金融市場的迅速開展，期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)逐漸

拓展到股票指數(shù)、利率和外匯等領(lǐng)域.目前，股票期權(quán)和股票指數(shù)期權(quán)在期權(quán)市場中所占

的比例最大.但是，并不是所有的期權(quán)都是在交易所中交易的，在金融機(jī)構(gòu)與大公司之間

直接進(jìn)行的期權(quán)交易也非常普遍，這種期權(quán)交易稱為場外期權(quán)交易.場外期權(quán)交易的主要

特點(diǎn)是金融機(jī)構(gòu)可以根據(jù)客戶的需要訂立期權(quán)合約.

5.1.2影響期權(quán)價格的因素

期權(quán)價格由內(nèi)在價值和時間價值構(gòu)成，因而但凡影響內(nèi)在價值和時間價值的因素，就

是影響期權(quán)價格的因素.大致包括以下幾種：

(1)行權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格.行權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格是影響期權(quán)價格的最主要因

索.這兩種價格的關(guān)系不僅決定了期權(quán)有無內(nèi)在價值及內(nèi)在價值的大小，而且還決定了有

無時間價值和時間價值的大小.一般而言，行權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格之間的差距越大，時

間價值越小；反之，那么時間價值越大.這是因?yàn)闀r間價值是市場參與者因預(yù)期標(biāo)的資產(chǎn)

價格變動引起其內(nèi)在價值變動而愿意付出的代價.當(dāng)一種期權(quán)處于極度實(shí)值或極度虛值時,

市場價格變動的空間已很小.只有在行權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格非常接近或?yàn)槠絻r期權(quán)時，

市場價格的變動才有可能增加期權(quán)的內(nèi)在價值，從們使時間價值隨之增大.

(2)權(quán)利期間.權(quán)利期間是指期權(quán)剩余的有效時間，即期權(quán)成交日至期權(quán)到期日的時

間.在其他條件不變的情況下，權(quán)力期間越長，期權(quán)價格越高：反之，期權(quán)價格越低.這

主要是因?yàn)闄?quán)利期間越長，期權(quán)的時間價值越大；隨著權(quán)利期間縮短，時間價值也逐漸減

少；在期權(quán)的到期日，權(quán)利期間為零，時間價值也為零.通常權(quán)利期間與時間價值存在同

方向但非線性的關(guān)系。

(3)利率.利率，尤其是短期利率的變動會影響期權(quán)的價格.利率變動對期權(quán)價格的影

響是復(fù)雜的：一方面，利率變化會引起期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價格變化，從而引起期權(quán)內(nèi)在價值的

變化；另一方面，利率變化會使期權(quán)價格的時機(jī)本錢變化；同時，利率變化還會引起對期

權(quán)交易的供求關(guān)系變化，因而從不同角度對期權(quán)價格產(chǎn)生影響.例如，利率提高，期權(quán)標(biāo)

的資產(chǎn)如股票、債券的市場價格將下降，從而使看漲期權(quán)的內(nèi)在價值下降，看躍期權(quán)的內(nèi)

在價值提高；利率提高，又會使期權(quán)價格的時機(jī)本錢提高，有可能使資金從期權(quán)市場流向

價格已下降的股票、債券等現(xiàn)貨市場，減少對期權(quán)交易的需求，進(jìn)而又會使期權(quán)價格下降.總

之，利率對期權(quán)價格的影響是復(fù)雜的，應(yīng)根據(jù)具體情況作具體分析.

(4)標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動性.標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動性越大，期權(quán)價格越高；波動性越小，

期權(quán)價格越低.這是因?yàn)椋瑯?biāo)的資產(chǎn)價格波動性越大，在期權(quán)到期時，標(biāo)的資產(chǎn)市場價格

漲至行權(quán)價格之上或躍至行權(quán)價格之下的可能性越大.因此，期權(quán)的時間價值，乃至期權(quán)

價格，都將隨標(biāo)的資產(chǎn)價格波動的增大而提高，隨標(biāo)的資產(chǎn)價格波動的縮小而降低.

(5)標(biāo)的資產(chǎn)的收益.標(biāo)的資產(chǎn)的收益將影響標(biāo)的資產(chǎn)的價格.在行權(quán)價格一定時，標(biāo)

的資產(chǎn)價格又必然影響期權(quán)的內(nèi)在價值，從而影響期權(quán)的價格.由于標(biāo)的資產(chǎn)分紅派息等

將使標(biāo)的資產(chǎn)價格下降，而行權(quán)價格并不進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，因此，在期權(quán)有效期內(nèi)，標(biāo)的資

產(chǎn)產(chǎn)生收益將使看漲期權(quán)價格下降，使看跌期權(quán)價格上升.

為了便于今后各章節(jié)的討論，我們做出如下假設(shè)

(1)市場是無套利的市場；

(2)市場中沒有交易費(fèi)用；

(3)所有交易利潤具有相同的稅率.

同時我們定義以下各字母的含義：

S:股票現(xiàn)價；

X：期權(quán)的行權(quán)價格；

T:期權(quán)的到期日；

t:現(xiàn)在時刻;

ST:在T時刻股票的價格；

r:在T時刻到期的投資的無風(fēng)險利率：

c:購置一股股票的歐式看張期權(quán)的價格；

P：出售一股股票的歐式看跌期權(quán)的價格；

C:購置一股股票的美式看張期權(quán)的價格；

P:出售一股股票的美式看跌期權(quán)的價格'

。：股票價格的波動率.

5.1.4期權(quán)價格的止下限

1.期權(quán)價格的上限

歐式看漲期權(quán)或者美式看張期權(quán)持有者有權(quán)按照某一確定的價格購置一股股票.在任

何情況下，期權(quán)的價值都不會超過股票的價格.所以，股票的價格應(yīng)該是期權(quán)價格的上限:

c<S,C<S[5.1.1)

如果這一關(guān)系不成立，將存在著套利時機(jī)，套利者將通過購置股票并賣出看漲期權(quán)獲得無

風(fēng)險收益.

歐式看跌期權(quán)或者美式看跌期權(quán)的持有者有權(quán)以行權(quán)價格X出售一股股票.無論股票

價格多低，期權(quán)的價格都不會超過X,所以有

p<X,P<X[5.1.2〕

由于歐式看跌期權(quán)在T時刻期權(quán)的價值不會超過X,所以現(xiàn)在期權(quán)的價格不會超過X

的現(xiàn)值

pWXeE[5.1.3)

如果上式不成立，將出現(xiàn)套利時機(jī)，套利者可出售期權(quán)并將收入所得以無風(fēng)險利率再

投資，獲得無風(fēng)險收益。

2.不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)下限

不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)的下限為

S-Xe-r<T-°〔5.1.4〕

為了討論這個問題，我們考慮以下兩個組合：

組合A:一個價格為c的歐式看漲期權(quán)加上金額為Xe-"TY)的現(xiàn)金；

組合B：一股標(biāo)的價格為S的股票.

如果將組合A中的現(xiàn)金按照無風(fēng)險利率投資，在T時刻將變?yōu)閄。在T時亥I,如果ST>X,

投資者就會行使期權(quán)，組合A的價值為S#如果ST〈X,期權(quán)到期值為0,組合A的價值

是X.所以，在T時刻組合A的價值為

在T時刻組合B的價值是S「所以在T時刻組合A的價值通常不會低于組合B的價值。

因此，在無套利條件下，我們有

c+Xe-r(T-0>S或c之S-Xc_r<T_,)

對于一個看漲期權(quán)來說，最壞的情況是在期權(quán)到期時價值為0,所以期權(quán)價值不能為

負(fù)，即cNO,從而有

c>max{S-Xc-,<T-o,0}[5.1.5〕

3.不支付紅利股票的歐式看跌期權(quán)下限

不支付紅利股票的歐式看跌期權(quán)的下限為

為了討論這個問題，考慮如下兩個組合：

組合A：一個價格為p的歐式看躍期權(quán)加上一股標(biāo)的價格為S的股票：

組合B：金額為XeFTR的現(xiàn)金.

如果ST<X,那么在T時刻組合A的期權(quán)將會被行權(quán)，組合價值為X;如果ST>X,

在期權(quán)到期時刻，其價值為0,組合A的價值是ST。所以，在T時刻組合A的價值是

假設(shè)現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資，那么在T時刻組合B的價值為X。所以在T時刻組合A

的價值總不會低于組合B的價值.在無套利條件下，組合A的價值不會低于組合B的現(xiàn)值,

即

p+S>Xe-"TF或p>Xe_r(I-0-S

對一個看跌期權(quán)來說，可能發(fā)生的最壞的情況是期權(quán)在到期時期權(quán)價格為0,所以

期權(quán)的價格必須為正值，即p>0,這意味著

p>nxix{Xe-r(T-°-S,0)[5.1.7〕

5.1.5看跌期權(quán)-看漲期權(quán)的平價關(guān)系

我們現(xiàn)在推導(dǎo)歐式看跌期權(quán)價格p與歐式看漲期權(quán)價格c之間的關(guān)系.考慮如下兩個

組合：

組合A：一個價格為c的歐式看漲期權(quán)加上金額為Xe-"Tf的現(xiàn)金；

組合B：一個價格為p的歐式看跌期權(quán)加上一股標(biāo)的價格為S的股票。

這兩個組合在到期時價值均為Max{SrX}。由于組合A和組合B中的期權(quán)均為歐式

期權(quán)，在到期日之前不能行權(quán)，因此兩組合在任意時刻t必須有同等的價值，就是說

c+Xe'r(T-°=p+S(5.1.8)

這一關(guān)系就是歐式看跌期權(quán)-歐式看漲期權(quán)的平價關(guān)系(Put-ca11parity).該公式說

明，歐式看法期權(quán)的價值可以由一個具有相同行權(quán)價格和到期日的看跌期權(quán)價值推導(dǎo)得來,

反之亦然.如果該式不成立的話，將存在著套利時機(jī).

看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間的平價關(guān)系僅適用于歐式朗權(quán)，但是也可以推導(dǎo)出不支付紅

利股票的美式看漲期權(quán)價格C與美式看跌期權(quán)價格P之間的關(guān)系.在這里，我們直接給出

不支付紅利股票的美式看漲期杈與美式看跌期權(quán)之間的關(guān)系為

S-X<C-P<S-Xe-r(T-l)[5.1.9)

5.1.6紅利對于期極的影響

1.對看漲期權(quán)與看跌期權(quán)下限的影響

為了討論紅利對于看漲期權(quán)的影響，我們構(gòu)造如下組合：

組合A：一個價格為c的歐式看漲期權(quán)加上數(shù)額為D+Xe-“TF的現(xiàn)金〔D表示在期

權(quán)有效期內(nèi)紅利的現(xiàn)值)；

組合B：一般價格是S的股票.

經(jīng)過類似式(5.1.4)的推導(dǎo)，我們有

c>S-D-Xe'r(T_,)(5.1.10)

為了討論紅利對于歐式看跌期權(quán)的影響，我們構(gòu)造如下組合：

組合A:一個價格為c的歐式看漲期權(quán)加上一股價格是S的股票：

組合B：數(shù)額為D+Xe-"TF的現(xiàn)金.

經(jīng)過類似式(5.1.6)的推導(dǎo)，我們有

p>D+Xe-r(T-,,-S(5.1.11)

2.對看漲期權(quán)-看跌期權(quán)平價關(guān)系的影響

在這里，我們直接給出以后各章將要用到的結(jié)果.當(dāng)存在紅利時，歐式看漲期權(quán)-看跌

期權(quán)之間的平價關(guān)系修正為

c+D+Xe-r<T-0=p+S〔5.1.12〕

對于美式看漲期權(quán)與看趺期權(quán)來說，紅利將使得S-X<C-PVS-XC-”TT),從而看漲

期權(quán)與看躍期權(quán)的平價關(guān)系修正為

S-D-X<C-P<S-Xer,T-,)〔5.1.13〕

5.1.7提前行權(quán)

在這里，我們直接給出在下面幾章經(jīng)常用到的結(jié)論：

結(jié)論5.1.1在期權(quán)到期日之前，不支付紅利股票的美式看漲期權(quán)提前行權(quán)不是最

優(yōu)的選擇。

結(jié)論5.1.2當(dāng)預(yù)期有紅利派發(fā)時，在除息日前立即執(zhí)行美式看漲期權(quán)是明智的選

擇.

結(jié)論5.1.3在期權(quán)到期日之前，不支付紅利股票的美式看跌期權(quán)提前行權(quán)可能是

明智的選擇.

§5.2股票價格的行為模型

股票價格的變化是不確定的，適合用隨機(jī)過程來描述.如果某變量以不確定的方式隨

時間變化，那么稱該變量遵循隨機(jī)過程.隨機(jī)過程分為離散時間隨機(jī)過程和連續(xù)時間隨機(jī)

過程兩種.一個離散時間隨機(jī)過程是指標(biāo)的變量只能在確定的時間點(diǎn)上變化，而一個連續(xù)

時間隨機(jī)過程是指標(biāo)的變量可以在任何時刻發(fā)生變化.隨機(jī)過程還可分為連續(xù)變量隨機(jī)過

程和離散變量隨機(jī)過程.在連續(xù)變量隨機(jī)過程中，該變量在某一范圍內(nèi)可以取任何值，而

在離散變量隨機(jī)過程中，變量只能取某些離散值。

在本節(jié)，我們將介紹與B1ack-Scho1es期權(quán)定價理論有關(guān)的一些預(yù)備知識.這些知識

主要是圍繞著股票價格的變化過程而展開的，內(nèi)容大致包括：維納過程、伊藤過程、伊藤

定理、幾何布朗運(yùn)動、對數(shù)正態(tài)分布等.這些內(nèi)容是理解期權(quán)定價和更加復(fù)雜的衍生證券

定價的根底.

在介紹維納過程之前，先簡單介紹一下馬爾可夫過程.馬爾可夫過程是一種特殊的隨

機(jī)過程，在該過程中，變量的變化僅依賴于該變量前一瞬間的狀態(tài).當(dāng)變量遵從馬爾可夫

過程時，變量在相鄰時間內(nèi)變化的方差具有可加性，但標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性.馬爾可夫過

程的重要特征是，變量的隨機(jī)變化是獨(dú)立同分布的。

維納過程是馬爾可夫過程的特殊形式.如果變量服從維納過程，那么該變量的期望值

為0,方差為1.股票價格模型通常用維納過程表達(dá).在物理學(xué)中，這種過程也稱為布朗運(yùn)

動.

如果變量z=z⑴服從維納過程，那么其增量Az必須滿足如下兩個根本性質(zhì)：

性質(zhì)5.2.1及與加之間滿足關(guān)系

Az=eVAt(5.2.1)

其中￡為從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個隨機(jī)值.

性質(zhì)5.2.2對任何兩個不同的時間間隔△1,Az的值相互獨(dú)立.

由性質(zhì)5.2.1,我們得出加服從期望值為0,方差為&,標(biāo)準(zhǔn)差為疝的正態(tài)分布.

性質(zhì)5.2.2意味著變量z=z(l)服從馬爾可夫過程.

再由性質(zhì)5.2.1,當(dāng)At->0時，Az的微分形式為

dz=cVdl〔5.2.2〕

5.2.2一般維納過程

變量x服從一般維納過程的定義如下：

dx=adt-f-bdz^(5.2.3)

其中a,5為常數(shù)”是一般維納過程的預(yù)期漂移率"，是波動率?

式(5.2.3)由兩項(xiàng)組成，如果不考慮6dz,則有

dx=adt或x=x04-af,

其中方為之在。時刻的值,經(jīng)過/時刻后，工的增加值為必.

如果僅考慮6小,則

dx=bdz.

4z可以看做是附加在變量Z軌跡上的噪聲或者波動，這些噪聲或波動是維納過程的方倍，5

.2.2一般維納過程

變量x服從一般維納過程的定義如下：

dx=adt+bdz〔5.2.3〕

式中a,b為常數(shù)，a是一般維納過程的預(yù)期漂移率，b是波動率.

式(5.2.3)由兩項(xiàng)組成，如果不考慮bdz,那么有

dx=adt或x=x0+at

其中x0為x在。時刻的值，經(jīng)過t時刻后，x的增加值為at.

如果僅考慮bdz,那么

dx=bdz,

bdz可以看做是附加在變量X軌跡上的噪聲或者波動，這些噪聲或波動是維納過程的b

倍a

將ad【和bdz一并來考慮，那么有

經(jīng)過時間增量At之后，x的增量值為

將式(5.2.1)代入上式，有

Ax=aAt+beVZt[5.2.4〕

如前所述，￡是取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中的隨機(jī)抽樣值，因此Ax眼從正態(tài)分布，其均值是aAt,

方差為b2At,標(biāo)準(zhǔn)差為bVZto

類似以上討論,我們可得出任意時間I后,x值的變化也服從均值是al.方差為b?t,

標(biāo)準(zhǔn)差為b&的正態(tài)分布.

5.2.3伊藤過程和伊藤引理

如果上面隨機(jī)過程中的a與b是x和t的函數(shù)，那么可得到伊藤過程

dx=a(x,l)dt+b(x,t)dz[5.2.5)

伊藤過程中的預(yù)期漂移率和波切率隨時間變化'

定理5.2.1(伊藤引理)假設(shè)變量x服從伊藤過程

其中dz是維納過程.設(shè)G=G(x,t)是x的二次連續(xù)可微函數(shù)，那么G(x,t)遵從如下過程：

2

_(dG3G15Gu2YcGulrco

dG=——a+——+—.—b-dl+——bdz[5.2.4)

[dxat2ax2r/ax

證明：由二元函數(shù)的泰勒展開公式有

dGAdG132Gg2G1d2G.

AG=——Ax+——At+----Ax-+-----AxAt+-----At-+....r(c5.o2.c5()

22

axat2axaxat2at

因?yàn)?/p>

Ax=a(x,t)At+b(x,t)eVAt〔5.2.6〕

由此得到

Ax2=b2E2At+o(At)[5.2.7〕

AxAt=a(x,t)At2+b(x,()8-^(At)3=o(At)⑸2.8)

將［5.2.6〕，(5.2.7)和［5.2.8〕代入式(5.2.5'),得

令0,得

前=爵立+普山+品券港(5.2.9)

再將d%=a(%")力+6(z,，)ck代人式(5.2.9),得

。6=翳+需+9答小+瓢，

證畢.

由伊藤定理可知，如果叫"服從伊藤過程，貝jl"的函數(shù)G也遵從伊藤過程，不過漂移

率和波動率分別為

?噂得,新和(豺?

△tf0得

/6GIdG,

dG=——dx+——dt+翳也[5.2.9〕

axat

再將dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz代入式〔5.2.9〕得

證畢〃

由伊藤定理可知，如果x(l)服從伊藤過程，那么x,l的函數(shù)G(x,l)也遵從伊藤過程,

不過飄逸率和波動率分別為

5.2.4不支付紅利股票價格的行為過程

如果假設(shè)股票價格服從一般維納過程，那么有不變的期望漂移率和波動率，這不符合

實(shí)際。所以，一般假設(shè)股票價格變化的比例dS/S服從一般維納過程，即

因此，股票價格S可用漂移率3和波動率oS的伊藤過程來描述，即

其離散形式為

dS=pSdt+cSdz〔5.2.10〕

其離散形式為

AS=pSAt+QSAZ〔5.2.11〕

如果N和。為常數(shù)，那么稱式(5.2.10)為幾何布朗運(yùn)動，幾何布朗運(yùn)動是最廣泛的描

繪股票價格行為的模型.

如果S服從伊藤過程，那么S和I的函數(shù)G(S,t)也服從伊藤過程：

(5.2.12)

注意，S和G都受dz得影響.

我們定義G=lnS,因?yàn)榭?~!"，吧=-[meg=O,那么式中[5.2.12〕簡化為

assas-S"放

[5.2.13〕

因?yàn)镽和。為常數(shù)，故式(5.2.13)也是維納過程，其漂移率是3-券)，波動率是0。

因此,lnS在，與丁時刻之間的變化服從正態(tài)分布，其期望值為卜一亨)(了一力，方差為

i(T一力.這意味著

InSr-InS?N((.-.)(?一力,J(T-t)〉

或者

lnST?N(lnS+6一介丁-力,}(5.2.14)

式中N(M,S)表示期望值為小方差為s的正態(tài)分布.

式(5.2.14)顯示JnSr服從正態(tài)分布.如果一個變鼠的對數(shù)服從正態(tài)分布，則該變量稱

為服從對數(shù)正態(tài)分布.

此，InS在t與T時刻之間的變化服從正態(tài)分布，其期望值為也-^)(T-1),方差為

Q2(T-t),這意味著

或者

/2X

ljnS-NlnS+(M--)(T-t),Q2(T-t)[5.2.14〕

TI2)

式中N(m,s)表示期望值為明方差為s的正態(tài)分布.

式(5.2.14)顯示，MST服從正態(tài)分布.如果一個變量的對數(shù)服從正態(tài)分布，那么

該變量稱為服從對數(shù)正態(tài)分布。

§5.3BIack—Scholes期權(quán)定價理論

5.3.1Black-Scholes偏微分方程

Black-Scholes微分方程是不支付紅利股票的衍生證券價格必須滿足的方程，它

是建立在如下假設(shè)根底上的：

(1〕股票價格遵循幾何布朗運(yùn)動；

(2)允許賣空衍生證券；

(3)沒有交易典用或稅收，且所有證券都是高度可分的；

(4)在衍生證券有效期內(nèi),標(biāo)的資產(chǎn)(股票)沒有紅利支付；

(5)不存在無風(fēng)險套利時機(jī)：

(6)證券交易是連續(xù)的;

(7)無風(fēng)險利率r是常數(shù)且對所有到期日都相同.

根據(jù)假設(shè)(1),有結(jié)果:

dS=pSdt+aSdz(5.3.1)

式中z是一個維納過程，曰為股票價格的預(yù)期收益率，o為股票價格的波動率。

假設(shè)衍生證券價格f依賴于標(biāo)的資產(chǎn)價格S,那么f一定是S和時間t的某個函數(shù)。

由伊藤引理得

df=匹df2+理+1”￡片dt+4cfsdz

(5.3.2)

(asat2as2JcSs

式⑸3.1)和⑸3.2)的離散形式分別為

AS=|4SAt+cSAz⑸3.3.)

Af=a(5.3.4)

[dSat23s2as

式中AS和△「分別是S和f在短時間間隔&后的變化量.由于f和S遵循相同的維納過

程，所以兩式中的Az應(yīng)該相同.這樣適當(dāng)?shù)剡x擇股票和衍生證券組合就可以消除不確

定項(xiàng)Az.

為了消除Az,我們構(gòu)建了一個包括1單位衍生證券空頭和更單位標(biāo)的證券多頭的

dS

組合，令n代表該資產(chǎn)組合的價值，那么有結(jié)果：

在Al時間后，該資產(chǎn)組合的價值變化為

Pf

An=-Af+—AS[5.3.5〕

CS

將AS和Af代入式(5.3.5),得

由于式(5.3.6)中不包含Az,所以在時間間隔&后該組合的價值必定無風(fēng)險，其在At

后的瞬時收益率一定等于無風(fēng)險利率.否那么，套利者就可以通過套利獲得無風(fēng)險收

益率，所以結(jié)果應(yīng)該是

△n=iTIAt[5.3.7)

將式(5.3.7)代入式(5.3.6)得

整理得到

2

afcadffi2c2af“

——+rS—+-o-S2—T=rf(5.3.8]

沅OS2OS2

式(5.3.8)就是著名的Black-Scholes偏微分方程.這個方程適用于價格取決于標(biāo)的

資產(chǎn)價格S的所有衍生證券定價.

5.3.2邊界條件

方程(5.3.8)對應(yīng)于所有標(biāo)的變量為S的衍生證券，該方程有很多解.為了保證它

有唯一的解，我們需要給出衍生證券所滿足的邊界條件.

對于歐式看漲期權(quán)來說，關(guān)鍵的邊界條件為

+

C(ST,T)=max{ST-X,0}=(ST-X),(5.3.9)

當(dāng)S(t)=O時，期權(quán)沒有價值，所以邊界條件為

c(O,t)-O;[5.3.10)

當(dāng)Sf+OO時，C(S,t)f+8,期權(quán)的價值變成了股票的價值，即

c(S,t)~S,Sf8[5.3.11〕

根據(jù)邊界條件式(5.3.9),式(5.3.10)和式(5.3.11),可以求解方程(5.3.8)

5.3.3Black-Scholes期權(quán)定價公式

歐式看漲期權(quán)價格滿足偏微分方程(5.3.8),于是有

(5.3.12)

沅OS2dS-

方程(5.3.12)類似擴(kuò)散方程，但它有更多的項(xiàng)

為了便于求解、令

方程［5.3.12〕變?yōu)?/p>

dSvz,八5vd、

—=(k-1)—+—T-(5.3.13〕

況dxdx2

其中k=r/d/)。此時，終止條件轉(zhuǎn)化為初始條件

2

注意到方程(5.3.13)中僅包含一個參數(shù)k.令

其中a和|3是待定的常數(shù).代入式(5.3.13)有結(jié)果

現(xiàn)在選擇a和p使其滿足

求解得到

這樣得到

式中u滿足

由偏微分方程知識有

作變換x=(x-s)/得到

這里

其中

是正態(tài)分布的累積分布函數(shù)；將(k+1)代換為*-1),得到

將L和I2代入式［5.3.15〕，再利用

整理后得到

其中

總結(jié)上述結(jié)論，我們有如下定理：

定理5.3.1(Black-Scholes歐式期權(quán)定價公式)到期時刻為T,行權(quán)價格為X,

標(biāo)的資產(chǎn)價格S服從幾何布朗運(yùn)動的股票歐式看漲期權(quán)的價格為

-r(T

c=SN(d1)-Xe-"N(d2)(5.3.16)

根據(jù)歐式看漲朗權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系，容易得出不支付紅利股票的歐式看跌

期權(quán)的定價公式：

r(T

p=Xe--*'N(-d2)-SN(-d,)(5.3.17)

在使用式(5.3.16)和式(5.3.17)之前首先要解決N(x)的計算問題.N(x))是標(biāo)

準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，可以由下面公式近似求得：

2345

N(x)=J-n(x)(a1k+a2k+a3k+a4k+a5k),x>0(53J8)

"(1-N(-x)x<0

其中

§5.4紅利的影響

在本節(jié)，我們將討論在權(quán)利期間內(nèi)股票支付紅利的情況.內(nèi)容包括支付紅利股票的歐

式期權(quán)定價和美式看漲期權(quán)定價.第一個問題比擬簡單，只要將Black-Scholes期權(quán)

定價公式稍加修改即可；第二個較為麻煩，我們將介紹Roll,Geske和Whaley提出的

一個近似的計算方法.

5.4.1歐式期權(quán)定價

在將有紅利支付的條件下，股票價格由支付己知紅利現(xiàn)值和股票價格兩局部決

定.紅利的發(fā)生將使股票價格在除息日下降，下降幅度為所支付紅利的現(xiàn)值.在有紅

利將要發(fā)生時，只要用股票價格減去在期權(quán)有效期間所有紅利按照無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的

現(xiàn)值，B1ack-Scho1es期權(quán)定價公式仍然運(yùn)用.

定理5.4.1(支付紅利股票的Black-Scholes歐式期權(quán)定價公式)設(shè)到期時刻

為T,行權(quán)價格為X,紅利的現(xiàn)值是V,那么標(biāo)的資產(chǎn)價格S滿足幾何布朗運(yùn)動的股票

歐式看漲期權(quán)的價格為

-r(T_,)

c=(S-V)N(d,)-XeN(d2)(5.4.1)

其中

根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系，容易得出相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的定價

公式：

p=XcTg，N(—d2)-(S-V)N(-d))(5.4.2)

其中d2的定義與式(5.4.1)中的相同.

分析：式(5.4.1)和式(5.4.2)分別用來計算支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)和看

跌期權(quán)價格.該兩式與(5.3.16)和式(5.3.17)的不同之處是多了一項(xiàng)支付紅利現(xiàn)

值.

5.4.2美式期權(quán)定價

美式看漲期權(quán)存在著提前行權(quán)問題，由討論5.1.2知.當(dāng)預(yù)期有紅利派發(fā)時，在除

息日前立即執(zhí)行美式看漲期權(quán)是明智的選擇.

在預(yù)期有紅利派發(fā)且存在提前什權(quán)的情況下，Roll,Geske和Whaley提出了一種美式看漲

期權(quán)定價公式，印

n

C=(S-D.e-")N(b,)+(S-D,e-')M(aI,bl;-Vv^)⑸4§

n-rT|

-XeM(a2-b2;-7VT)-(X-D1)eN(b2)

式中其他字母的含義是:

M(a,b;p):二維正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，這個二維正態(tài)分布的第一個變量小于a,

第二個變量小于b,兩變量之間的相關(guān)系數(shù)為p；

D,:最后支付的紅利；最后的除息日；

S:可通過解方程c(W,tJ=S+D]-X得出，其中c(8,tj是當(dāng)

8=5且1=t時，由Black-Scholes期權(quán)定價公式給出的期權(quán)價格。

當(dāng)存在多期紅利時，只有在最后一個除息日前執(zhí)行權(quán)才是明智的.因此，可以運(yùn)用

公式[5.4.3),其中S要減去除最后紅利之外所有紅利的現(xiàn)值，變量D1應(yīng)等于最后

的紅利，§為最后的除息日期.

分析：式(5.4.3)用來近似計算美式看漲期權(quán)的價格.該式計算有兩個難點(diǎn)：一是求解

dQ①，二是求解S值.求解M(a,b；0)的程序我們事先編譯好放在一個文件夾中，當(dāng)使

用的時候，在程序的開頭部分用指令“include”嵌入頭文件“normdist.h”，在計算美式看漲期

權(quán)的函數(shù)主體中直接調(diào)用即可.求解S值可調(diào)用函數(shù)option_price_call_blcak_scholes().

上述兩個問題得到解決之后，式(5.4.3)就是一個包含C++基本運(yùn)算的簡單問題.實(shí)現(xiàn)起來

就容易了.

分析：式(5.4.3)用來近似計算美式看漲期權(quán)的價格.該式計算有兩個難點(diǎn)：一是求

解M(a,b;p),二是求解S值.求解M(a,b;p)的程序我們事先編譯好放在一個文件夾中，

當(dāng)使用的時候，在程序的開頭局部用指令“include"嵌入頭文件“normdist.h,在計

算美式看漲期權(quán)的函數(shù)主體中直接調(diào)用即可.求解8值可調(diào)用函數(shù)

option_price_caIl_black_scholes(.).

上述兩個問題得到補(bǔ)決之后，式(5.4.3)就是一個包含C++根本運(yùn)算的簡單問題，實(shí)

現(xiàn)起來就容易了.

例5.4.2考慮一美式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)的價格是$100,行權(quán)價格是$100,年

無風(fēng)險利率是10%,年波動率是25%,權(quán)利期間還有1年，距離除息日有6個月的時

間，預(yù)計派發(fā)的紅利是$10.試求該期權(quán)的價格.

§5.5風(fēng)險對沖

風(fēng)險對沖是指通過投資或購置與標(biāo)的資產(chǎn)收益波動負(fù)相關(guān)的某種資產(chǎn)或衍生證

券，來沖銷標(biāo)的資產(chǎn)潛在損失的一種策略.在進(jìn)行風(fēng)險對沖時經(jīng)常用到的定量參數(shù)有:

DeIt,Gamma,vega,Theta和Rho.這些參數(shù)一般是某些變量變化對另外一些變量變

化的比率，反映了一些變量對另外一些變量的相對變化.根據(jù)這些參數(shù)的變化適時調(diào)

整頭寸，可在一定程度上到達(dá)風(fēng)險對沖的目的.在本章，我們不去討論對沖策略的實(shí)

施，而僅介紹上述對沖參數(shù)的概念和計算程序。

5.5.1Delta對沖

Delta定義為在其他變量不變的條件下期權(quán)價格變化Ac與標(biāo)的資產(chǎn)價格變化AS

的比率，即

Delta-—15.5.1〕

AS

Delta隨著標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化和時間的推移而不斷變化，因此在運(yùn)用Delta對沖風(fēng)

險時，需要定期調(diào)整對沖頭寸，否那么就要承當(dāng)頭寸風(fēng)險暴露的風(fēng)險.

不支付紅利的股票歐式看漲期權(quán)的Delta為

Delta=N(d,)(5.5.2)

根據(jù)該式，在對一個歐式看張期權(quán)的空頭進(jìn)行Delta對沖時，在任何時候需要同時持有

數(shù)量為N(dJ的標(biāo)的資產(chǎn)多頭.類似地，對一個歐式看漲期權(quán)的多頭進(jìn)行Delta對沖，

在任何時候需要問時持有數(shù)量為N(4)的標(biāo)的資產(chǎn)空頭.

不支付紅利的股票歐式看跌期權(quán)的Delta為

Delta=N(d()-l.(5.5.3)

由該式.Delta為負(fù)值.這意味著看跌期權(quán)的多頭應(yīng)該利用標(biāo)的資產(chǎn)的多頭頭寸來對沖

風(fēng)險，看跌期權(quán)的空頭應(yīng)該利用標(biāo)的資產(chǎn)的空頭頭寸來對沖風(fēng)險.

5.5.2Theta對沖

Theta定義為在其他變量不變時期權(quán)價格的變化相對于權(quán)力期間變化的比率，即T

Them-de(5.5.4)

a(T-t)

Theta一般是負(fù)值，它反映了期權(quán)價格隨著權(quán)力期間的減少而逐漸衰減的程度.因

此，我們不可能用對沖的方法消除時間變化對期權(quán)價格的影響.

不支付紅利的股票歐式看漲期權(quán)的Theta為

cc=-Sn(d,)^o-y==-rXe-r(T-nN(d)

Theta=2[5.5.5〕

c(T-t)

式中，

不支付紅利的股票歐式看跌期權(quán)的Theta為

5.5.3Gamma對沖

Gamma反映了期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價格變動對期權(quán)Delta變動的影響程度，即

5Dclta

Gamma=[5.5.6〕

as

Gnmma大小反映了為保持Delta中性而需要調(diào)整的頭寸〔當(dāng)價格變動時〕，Delta

中性是指Delta等于零的狀態(tài)(組合中性即組合沒有風(fēng)險〕.由于標(biāo)的資產(chǎn)和衍生證券

可以是多頭和空頭，所以Delta可大于零，也可小于零.如果組合內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)和衍生

證券數(shù)量匹配適當(dāng)，整個組合的Delta等于零.然而Delta并非固定不變，隨著標(biāo)的

資產(chǎn)價格或者權(quán)利區(qū)間的變化，Delta也在變化.因此，進(jìn)行風(fēng)險對沖時就必須不斷隨

著Delta的變化來調(diào)整頭寸，以保持Delta中性.在這種調(diào)整中，Gamma就是一個有用

的指標(biāo)，因?yàn)镚amma的大小正好反映了為保持Del飽中性而需要調(diào)整的頭寸.

不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的Gamma均為

Gan1g=邛2=⑸5.7)

SoVT^t

5.5.4Vega

vega定義為在其他變量保持不變的條