2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)選擇題“瓶頸”突破練文含解析

PAGE1-選擇題“瓶頸”突破練1．已知x＞0，y＞0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值為()A．4 B．9 C．8 D．10解析：依題意，得a·b＝x＋y－1＝0?x＋y＝1.eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\f(x＋y,x)＋eq\f(4（x＋y）,y)＝5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥9.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(y,x)＝eq\f(4x,y)，即x＝eq\f(1,3)，且y＝eq\f(2,3)時(shí)取等號(hào)．答案：B2．在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中b2＝ac，且sinC＝eq\r(2)sinB，則其最小內(nèi)角的余弦值為()A．－eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),4) C.eq\f(5\r(2),8) D.eq\f(3,4)解析：sinC＝eq\r(2)sinB，得c＝eq\r(2)b.又b2＝ac，所以b＝eq\r(2)a，則c＝2a.角A是△ABC的最小內(nèi)角，則cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2a2＋4a2－a2,4\r(2)a2)＝eq\f(5\r(2),8).答案：C3．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與直線y＝x＋3只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓的離心率為eq\f(\r(5),5)，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1 D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1解析：把y＝x＋3代入橢圓的方程，得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由于只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以Δ＝0，得a2＋b2＝9，又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,5)，解得a2＝5，b2＝4.答案：B4．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差不為0，其前n項(xiàng)和為Sn，若(a2－1)3＋(a2－1)＝2024，(a2024－1)3＋(a2024－1)＝－2024，則S2024＝()A．0 B．2 C．2024 D．4038解析：設(shè)f(x)＝x3＋x，易知f(x)在R上的奇函數(shù)，且單調(diào)遞增．又f(a2－1)＝2024，f(a2024－1)＝－2024，所以a2－1＋a2024－1＝0，則a1＋a2024＝a2＋a2024＝2.故S2024＝eq\f(2024（a1＋a2024）,2)＝2024.答案：C5．已知三棱錐PABC的全部頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC滿意AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，PA為球O的直徑且PA＝4，則點(diǎn)P究竟面ABC的距離為()A.eq\r(2) B．2eq\r(2) C.eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：取AB的中點(diǎn)O1，連接OO1，如圖，在△ABC中，AB＝2eq\r(2)，∠ABC＝90°.所以小圓O1是以AB為直徑的圓，則O1A＝eq\r(2)，且OO1⊥AO1.又球O的直徑PA＝4，所以O(shè)A＝2.則OO1＝eq\r(OA2－O1A2)＝eq\r(2)，且OO1⊥底面ABC.故點(diǎn)P到平面ABC的距離為2OO1＝2eq\r(2).答案：B6．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜φ＜\f(π,2)))，且f(0)＝1，若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝eq\f(4,9)π對(duì)稱，則ω的取值可以是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：因?yàn)閒(x)＝2sin(ωx＋φ)，所以由f(0)＝1，得sinφ＝eq\f(1,2).又因?yàn)?＜φ＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，則f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6))).又因?yàn)閒(x)關(guān)于x＝eq\f(4,9)π對(duì)稱，所以ω·eq\f(4,9)π＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，ω＝eq\f(3,4)＋eq\f(9,4)k，令k＝1，則ω＝3.答案：C7．若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的中心為O，過(guò)C的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別作垂直于x軸的直線，交C的漸近線于A，B和M，N，若△OAB與△OMN的面積比為1∶4，則C的漸近線方程為()A．y＝±x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±2x D．y＝±3x解析：依題可知△AOB與△MON相像，由三角形面積比等于相像比的平方，得eq\f(1,4)＝eq\f(a2,c2)，所以eq\f(c,a)＝2，即eq\f(a2＋b2,a2)＝4，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3).所以C的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.答案：B8．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)，則()A．f(x)在x＝e處取得微小值eq\f(1,e)B．f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)C．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱D．f(4)＜f(π)＜f(3)解析：易得f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)(x＞0)，令f′(x)＝0，得x＝e.所以當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，f′(x)＜0.故f(x)在(0，e)上是增函數(shù)，在(e，＋∞)上是減函數(shù)，而4＞π＞3＞e，故f(3)＞f(π)＞f(4)．答案：D9．已知三個(gè)村莊A，B，C構(gòu)成一個(gè)三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．為了便利市民生活，現(xiàn)在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)M建一大型生活超市，則M到A，B，C的距離都不小于2千米的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5) C．1－eq\f(π,15) D.eq\f(π,15)解析：易知AC2＝AB2＋BC2，則△ABC是以B為直角的直角三角形，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×BC＝eq\f(1,2)×5×12＝30.又分別以A、B、C為圓心，以2為半徑與△ABC相交的三個(gè)扇形的面積S＝eq\f(1,2)×22×π＝2π.所以所求事務(wù)的概率P＝1－eq\f(S,S△ABC)＝1－eq\f(2π,30)＝1－eq\f(π,15).答案：C10．(2024·湖南師大附中模擬)已知平面α∩平面β＝直線l，點(diǎn)A、C∈α，點(diǎn)B、D∈β，且A、B、C、D?l，點(diǎn)M、N分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．當(dāng)|CD|＝2|AB|時(shí)，M、N不行能重合B．M、N可能重合，但此時(shí)直線AC與l不行能相交C．當(dāng)直線AB、CD相交，但AC∥l時(shí)，BD可與l相交D．當(dāng)直線AB、CD異面時(shí)，MN可能與l平行解析：對(duì)于A，當(dāng)|CD|＝2|AB|時(shí)，若A、B、C、D四點(diǎn)共面且AC∥BD時(shí)，則M、N兩點(diǎn)能重合，故A不對(duì)；對(duì)于B，若M、N兩點(diǎn)可能重合，則AC∥BD，故AC∥l，此時(shí)直線AC與直線l不行能相交，故B對(duì)；對(duì)于C，當(dāng)AB與CD相交，直線AC平行于l時(shí)，直線BD可以與l平行，故C不對(duì)；對(duì)于D，當(dāng)AB、CD是異面直線時(shí)，MN不行能與l平行，從而D不對(duì)．答案：B11．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)，且漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1 B.eq\f(x2,2)－y2＝1C.eq\f(y2,\f(11,3))－eq\f(x2,11)＝1 D.eq\f(y2,11)－eq\f(x2,\f(11,3))＝1解析：設(shè)雙曲線的方程為mx2－ny2＝1(mn＞0)．將點(diǎn)(2，1)代入上式方程，得4m－n＝1，①雙曲線的漸近線方程為eq\r(\f(m,n))x±y＝0.又圓x2＋(y－2)2＝1與漸近線相切，所以eq\f(2,\r(1＋\f(m,n)))＝1，即eq\f(m,n)＝3.②由①②聯(lián)立得m＝eq\f(3,11)，n＝eq\f(1,11)，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1.答案：A12．已知變量x，y滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,y≤x，,3x－y≤6，))則z＝x2＋y2的最小值是()A．1 B.eq\r(2) C．2 D．4解析：作不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．由x＋y＝2與y＝x聯(lián)立得點(diǎn)A(1，1)，因?yàn)橹本€x＋y＝2與y＝x垂直，所以點(diǎn)A(1，1)到原點(diǎn)O的距離最小，因此z＝x2＋y2的最小值為|OA|2＝2.答案：C13．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asinA－bsinB＝4csinC，且cosA＝－eq\f(1,4)，則eq\f(b,c)＝()A．6 B．5 C．4 D．3解析：因?yàn)閍sinA－bsinB＝4csinC，所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝b2＋4c2.由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－（4c2＋b2）,2bc)＝eq\f(－3c2,2bc)＝－eq\f(1,4)，因此eq\f(b,c)＝6.答案：A14．設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)＞0，且?x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2))).則下列選項(xiàng)中不肯定正確的一項(xiàng)是()A．f(2)＜f(e)＜f(π)B．f′(π)＜f′(e)＜f′(2)C．f(2)＜f′(2)－f′(3)＜f(3)D．f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)解析：由f′(x)＞0，知f(x)在R上單調(diào)遞增，A正確．?x1，x2∈R(x1≠x2)，恒有eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，所以y＝f(x)的圖象是向上凸起的，如圖所示．因?yàn)閒′(x)反映了函數(shù)f(x)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由圖象可知f′(π)＜f′(e)＜f′(2)，B正確．f(3)－f(2)＝eq\f(f（3）－f（2）,3－2)，表示點(diǎn)A(2，f(2))與B(3，f(3))連線的斜率，由圖可知f′(3)＜kAB＜f′(2)，故D項(xiàng)正確，只有C項(xiàng)無(wú)法推斷，不肯定正確．答案：C15．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，拋物線y2＝2px(p＞0)與雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1的漸近線的交點(diǎn)(除原點(diǎn)外)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為8，則p等于()A．1 B．2 C．4 D．6解析：因?yàn)闄E圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率為eq\f(1,2)，所以eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(2\r(3),3).雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1的漸近線為y＝±eq\f(2\r(3),3)x，代入y2＝2px中，得x＝0(舍去)或x＝eq\f(3,2)p.由題意得eq\f(3p,2)＋eq\f(p,2)＝8，解得p＝4.答案：C16．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α與棱AB，AC，A1C1，A1B1分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且直線AA1∥平面α.有下列三個(gè)命題：①四邊形EFGH是平行四邊形；②平面α∥平面BCC1B1；③平