2025版高中數(shù)學(xué)第二講直線與圓的位置關(guān)系2.4弦切角的性質(zhì)練習(xí)含解析新人教A版選修4-1

PAGE2-四弦切角的性質(zhì)課時(shí)過(guò)關(guān)·實(shí)力提升基礎(chǔ)鞏固1如圖,已知AB是半圓O的直徑,C,D是半圓上的兩點(diǎn),半圓O的切線PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,∠PCB=25°,則∠ADC為()A.105° B.115° C.120° D.125°解析如圖,連接BD.∵PC與☉O相切,∴∠BDC=∠BCP=25°.∵AB是直徑,∴∠ADB=90°.∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+25°=115°.答案B2如圖,PQ為☉O的切線,A是切點(diǎn),若∠BAQ=55°,則∠ADB=()A.55° B.110° C.125° D.155°解析∵PQ是切線,∴∠C=∠BAQ=55°.∵四邊形ADBC內(nèi)接于圓,∴∠ADB=180°-∠C=180°-55°=125°.答案C3如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,EC切☉O于點(diǎn)C.若∠BOC=76°,則∠BCE等于()A.14° B.38° C.52° D.76°解析∵EC為☉O的切線,∴∠BCE=∠BAC=12∠BOC=答案B4如圖,四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,AB是直徑,MN是☉O的切線,C為切點(diǎn),若∠BCM=38°,則∠B等于()A.32° B.42° C.52° D.48°解析連接AC,如圖.∵M(jìn)N切☉O于點(diǎn)C,BC是弦,∴∠BAC=∠BCM.∵AB是直徑,∴∠ACB=90°.∴∠B+∠BAC=90°.∴∠B+∠BCM=90°,∴∠B=90°-∠BCM=52°.答案C5如圖,AD切☉O于點(diǎn)F,FB,FC為☉O的兩弦,請(qǐng)列出圖中全部的弦切角

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答案∠AFB,∠AFC,∠DFC,∠DFB6如圖,AB是☉O的直徑,直線CE與☉O相切于點(diǎn)C,AD⊥CE于D,若AD=1,∠ABC=30°,則☉O的面積是.

解析∵DE是切線,∴∠ACD=∠ABC=30°.又AD⊥CD,∴AC=2AD=2.∵AB是直徑,∴∠ACB=90°.又∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,∴OA=12AB=2∴☉O的面積為S=π·OA2=4π.答案4π7如圖,AB是☉O的弦,CD是經(jīng)過(guò)☉O上的點(diǎn)M的切線.求證:(1)假如AB∥CD,那么AM=MB;(2)假如AM=BM,那么AB∥CD.證明(1)∵CD切☉O于點(diǎn)M,∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B.∵AB∥CD,∴∠CMA=∠A,∴∠A=∠B,∴AM=MB.(2)∵AM=BM,∴∠A=∠B.∵CD切☉O于點(diǎn)M,∴∠CMA=∠B.∴∠CMA=∠A.∴AB∥CD.8如圖,四邊形ABED內(nèi)接于☉O,AB∥DE,AC切☉O于點(diǎn)A,交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.求證:AD∶AB=DC∶BE.分析求證成比例的四條線段在兩個(gè)三角形△ACD和△ABE中,所以只要證明△ACD∽△AEB即可.證明∵四邊形ABED內(nèi)接于☉O,∴∠ADC=∠ABE.∵AC是☉O的切線,∴∠CAD=∠AED.∵AB∥DE,∴∠BAE=∠AED.∴∠CAD=∠BAE,∴△ACD∽△AEB.∴AD∶AB=DC∶BE.9如圖,已知圓上的AC=BD,過(guò)點(diǎn)C的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.(1)∠ACE=∠BCD;(2)BC2=BE·CD.分析(1)證明這兩個(gè)角都等于∠ABC;(2)轉(zhuǎn)化為證明△BDC∽△ECB.證明(1)∵AC=BD,∴∠BCD=∵EC與圓相切于點(diǎn)C,∴∠ACE=∠ABC.∴∠ACE=∠BCD.(2)∵∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,∴△BDC∽△ECB.∴BCBE即BC2=BE·CD.10如圖,AB是半圓O的直徑,C是圓周上異于點(diǎn)A,B的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作圓O的切線l,過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線AD,垂足為點(diǎn)D,AD交半圓于點(diǎn)E.求證:CB=CE.分析轉(zhuǎn)化為證明∠CBE=∠CEB.證明(方法一)連接BE,如圖.因?yàn)锳B是半圓O的直徑,點(diǎn)E為圓周上一點(diǎn),所以∠AEB=90°,即BE⊥AD.又因?yàn)锳D⊥l,所以BE∥l.所以∠DCE=∠CEB.因?yàn)橹本€l是圓O的切線,所以∠DCE=∠CBE.所以∠CBE=∠CEB,故CE=CB.(方法二)連接AC,BE,在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F,如圖.因?yàn)锳B是半圓O的直徑,C為圓周上一點(diǎn),所以∠ACB=90°,即∠BCF+∠ACD=90°.因?yàn)锳D⊥l,所以∠DAC+∠ACD=90°,所以∠BCF=∠DAC.因?yàn)橹本€l是圓O的切線,所以∠CEB=∠BCF.又∠DAC=∠CBE,所以∠CBE=∠CEB.所以CE=CB.實(shí)力提升1如圖,AB是☉O的直徑,EF切☉O于點(diǎn)C,AD⊥EF于點(diǎn)D,若AD=2,AB=6,則AC的長(zhǎng)為()A.2 B.3 C.23 D.4解析連接BC,如圖.∵EF是☉O的切線,∴∠ACD=∠ABC.又AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.又AD⊥EF,∴∠ACB=∠ADC.∴△ADC∽△ACB.∴ABAC∴AC2=AD·AB=2×6=12,∴AC=23.答案C★2如圖,已知∠ABC=90°,O是AB上一點(diǎn),☉O切AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,B,連接DB,DE,OC,則圖中與∠CBD相等的角共有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)解析∵AB⊥BC,∴BC與☉O相切,BD為弦.∴∠CBD=∠BED.同理可得∠CDB=∠BED,∴∠CBD=∠CDB.連接OD.∵OD=OB,OC=OC,∴Rt△COD≌Rt△COB.∴CB=CD,∠DCO=∠BCO.∴OC⊥BD.又DE⊥BD,∴DE∥OC.∴∠BED=∠BOC,∴∠CBD=∠BOC.∴與∠CBD相等的角共有3個(gè).答案C3如圖,AB是☉O的直徑,PB,PE分別切☉O于點(diǎn)B,C,若∠ACE=40°,則∠P=.

解析如圖,連接BC,則∠ACE=∠ABC,∠ACB=90°.又∠ACE=40°,則∠ABC=40°.所以∠BAC=90°-∠ABC=90°-40°=50°,∠ACP=180°-∠ACE=140°.又AB是☉O的直徑,則∠ABP=90°.又四邊形ABPC的內(nèi)角和等于360°,所以∠P+∠BAC+∠ACP+∠ABP=360°.所以∠P=80°.答案80°4如圖,已知圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點(diǎn),BC=3,過(guò)點(diǎn)C作圓的切線l,過(guò)點(diǎn)A作l的垂線AD,垂足為點(diǎn)D,則線段CD的長(zhǎng)為.

解析∵直線l是圓O的切線,∴∠ACD=∠ABC.又AB是直徑,∴AC⊥BC.∵BC=3,AB=6,∴∠ABC=60°.∴AC=33.又∠ACD=∠ABC,∴∠ACD=60°.又AD⊥l,∴CD=ACcos60°=33答案35如圖,☉O和☉O'相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作兩圓的切線,分別交兩圓于C,D兩點(diǎn),若BC=2,BD=4,則AB的長(zhǎng)為.

解析∵AC,AD分別是兩圓的切線,∴∠C=∠BAD,∠D=∠BAC.∴△ACB∽△DAB.∴BCBA∴AB2=BC·DB=2×4=8.∴AB=22(負(fù)值舍去).答案226如圖,BA是☉O的直徑,AD是☉O的切線,切點(diǎn)為A,BF,BD分別交AD于點(diǎn)F,D,交☉O于點(diǎn)E,C,連接CE.求證:BE·BF=BC·BD.分析要證BE·BF=BC·BD,只需證BEBD=BCBF,即證明△BEC∽△BDF.由∠DBF為公共角,只需再找一組角相等,為此,過(guò)點(diǎn)B作證明如圖,過(guò)點(diǎn)B作☉O的切線BG,則AB⊥BG.又AD是☉O的切線,∴AD⊥AB,∴BG∥AD,∴∠GBC=∠BDF.∵∠GBC=∠BEC,∴∠BEC=∠BDF.又∠CBE=∠DBF,∴△BEC∽△BDF.∴BEBD=BCBF.∴BE7如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB=AC,直線MN切☉O于點(diǎn)C,弦BD∥MN,AC與BD相交于點(diǎn)E.求證:(1)△ABE≌△ACD;(2)BE=BC.分析(1)由已知,得∠ABE=∠ACD,只需證明∠BAE=∠CAD,轉(zhuǎn)化為證明∠BAE=∠CDB,∠CDB=∠DCN,∠DCN=∠CAD.(2)轉(zhuǎn)化為證明∠BEC=∠ECB.證明(1)∵BD∥MN,∴∠CDB=∠DCN.又∠BAE=∠CDB,∴∠BAE=∠DCN.又直線MN是☉O的切線,∴∠DCN=∠CAD.∴∠BAE=∠CAD.又∠ABE=∠ACD,AB=AC,∴△ABE≌△ACD.(2)∵∠EBC=∠BCM,∠BCM=∠BDC,∴∠EBC=∠BDC.∴CB=CD.∵∠BEC=∠EDC+∠ECD,∠ECD=∠ABE,∴∠BEC=∠EBC+∠ABE=∠ABC.又AB=AC,∴∠ABC=∠ECB.∴∠BEC=∠ECB.∴BE=BC.★8如圖,已知點(diǎn)P在☉O外,PC是☉O的切線,切點(diǎn)為C,直線PO與☉O相交于點(diǎn)A,B.(1)摸索究∠BCP與∠P的數(shù)量關(guān)系.(2)若∠A=30°,則PB與PA有什么關(guān)系?(3)∠A可能等于45°嗎?為什么?解(1)∵PC是切線,∴∠BCP=∠A.∵AB是直徑,∴∠ACB=90°.在△ACP中,∠A+∠P+∠ACP=180°,∴∠BCP+∠P+∠ACB