第二章 專題四 動態(tài)平衡問題 平衡中的臨界、極值問題

第二章相互作用專題四動態(tài)平衡問題平衡中的臨界、極值問題題型1動態(tài)平衡問題題型2平衡中的臨界、極值問題03練習幫練透好題精準分層CContents02點擊此處添加小標題點擊此處添加正文目錄01點擊此處添加小標題點擊此處添加正文核心考點五年考情命題分析預測動態(tài)平衡問題2022：河北T7；2021：湖南T5；2019：全國ⅠT19，

上海T7動態(tài)平衡問題是高考考查的重點，一般以選擇

題形式出現(xiàn)，要求用相互作用觀念及科學思維

中的科學推理、科學論證等要素，分析求解動

態(tài)平衡問題.預計動態(tài)平衡問題仍是2025年高考

中考查的熱點，在對共點力的平衡條件進行考

查的過程中可能涉及臨界和極值問題.平衡中的臨界、極值問題2022：浙江1月T5；2020：山東T8；2019：全國ⅡT16題型1動態(tài)平衡問題

1.動態(tài)平衡：通過控制某些物理量，使物體的狀態(tài)緩慢地變化，而在這個過程中物

體又始終處于一系列的平衡狀態(tài)，在問題的描述中常出現(xiàn)“緩慢”等字眼.2.基本思路：受力分析

畫不同狀態(tài)平衡圖構造矢量三角形

方法1：解析法

優(yōu)點：定量分析常用于可以較簡捷列出平衡方程或者正交分解力的情況.①先受力分析，得出物體受哪幾個力而處于平衡狀態(tài).(如圖1)

③分析方程中的變量有哪些(通常是夾角變化)，分析題目信息得到這些物理量是如

何變化的.(α增大)④把分析得到的變化的物理量代入方程，得到平衡條件下的受力動態(tài)變化情況.(T與

F均變大)方法2：圖解法

優(yōu)點：直觀、便于比較常用于三力作用下的動態(tài)平衡三角形圖解法適用于物體所受的三個力中，有一個力的大小、方向均不變(通常為

重力，也可能是其他力)，另一個力的方向不變、大小變化，第三個力則大小、方

向均發(fā)生變化的問題.①先正確分析物體的受力，畫出受力分析圖.(如圖2)圖2②構建矢量三角形.(如圖3)圖3③分析題目給出的信息，判斷物體受力的變化，把力的大小變化問題轉化為幾何三

角形邊長的大小變化問題進行討論，得出結論.(如圖4)圖4

方法4：外接圓法圖5物體在三個力作用下處于平衡狀態(tài)，且其中一個力是恒力，另外兩個力方向均發(fā)生變化，但兩者的夾角不變.作出不同狀態(tài)的矢量三角形，利用兩力夾角不變，結合正弦定理列式求解，也可以作出動態(tài)圓，恒力為圓的一條弦，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化，如圖5所示.方法5：相似三角形法圖6特征：一個恒力，兩個變力，找出幾何三角形.

命題點1

解析法的應用1.[2021湖南]質量為M的凹槽靜止在水平地面上，內壁為半圓柱面，截面如圖所

示，A為半圓的最低點，B為半圓水平直徑的端點.凹槽恰好與豎直墻面接觸，內有

一質量為m的小滑塊.用推力F推動小滑塊由A點向B點緩慢移動，力F的方向始終沿圓

弧的切線方向，在此過程中所有摩擦均可忽略，下列說法正確的是(

C

)A.推力F先增大后減小B.凹槽對滑塊的支持力先減小后增大C.墻面對凹槽的壓力先增大后減小D.水平地面對凹槽的支持力先減小后增大C

命題拓展命題情境拓展：凹槽→半圓柱若題中凹槽變?yōu)榘雸A柱工件，且放置在粗糙水平地面上，工件曲面光滑，截面為半

圓，如圖所示，A為半圓水平直徑的端點，B為半圓的最高點，小滑塊仍在推力作用

下由A向B緩慢移動，其他條件不變，則(

C

)CA.作用力F先增大后減小B.工件對滑塊的支持力先減小后增大C.水平地面對工件的摩擦力先增大后減小D.水平地面對工件的支持力先增大后減小

命題點2

圖解法的應用2.[多選]如圖，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪.一細繩跨

過滑輪，其一端懸掛物塊N，另一端與斜面上的物塊M相連，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài).現(xiàn)

用水平向左的拉力緩慢拉動N，直至懸掛N的細繩與豎直方向成45°.已知M始終保持靜

止，則在此過程中(

BD

)A.水平拉力的大小可能保持不變B.M所受細繩的拉力大小一定一直增加C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D.M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加BD[解析]

解法1：圖解法對N進行受力分析如圖所示，因為N的重力與水平拉力F的

合力和細繩的拉力T是一對平衡力，從圖中可以看出水平拉力的大小逐漸增大，細

繩的拉力也一直增大，選項A錯誤，B正確；M的質量與N的質量的大小關系不確

定，設斜面傾角為θ，若mNg≥mMgsinθ，則M所受斜面的摩擦力大小會一直增大，

若mNg＜mMgsinθ，則M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增大，選項D正確，C

錯誤.

命題拓展命題條件不變，設問拓展判斷下列說法的正誤.(1)斜面對地面的壓力一直不變.

(

√

)[解析]對系統(tǒng)整體受力分析可知，豎直方向受到的地面的支持力始終等于系統(tǒng)所

受的重力，故正確.(2)斜面所受地面的摩擦力一定增加.(

√

)[解析]

對整體受力分析，可知斜面所受地面摩擦力一定增大，故正確.√√命題點3

正弦定理法的應用3.[2024河北邯鄲開學聯(lián)考]《大國工匠》節(jié)目中講述了王進利用“秋千法”在1

000kV的高壓線上帶電作業(yè)的過程.如圖所示，絕緣輕繩OD一端固定在高壓線桿塔

上的O點，另一端固定在兜籃D上.另一絕緣輕繩跨過固定在桿塔上C點的定滑輪，一

端連接兜籃，另一端由工人控制.身穿屏蔽服的王進坐在兜籃里，緩慢地從C點運動

到處于O點正下方E點的電纜處.繩OD一直處于伸直狀態(tài)，兜籃、王進及攜帶的設備

總質量為m，可看作質點，不計一切阻力，重力加速度大小為g.關于王進從C點緩慢

運動到E點的過程中，下列說法正確的是(

D

)DA.繩OD的拉力一直變小B.工人對繩的拉力一直變大C.OD、CD兩繩拉力的合力小于mg

命題點4

外接圓法的應用4.[2024湖南懷化雅禮實驗學校質檢/多選]如圖，傾角為30°的斜面體放置于粗糙水平

地面上，物塊A通過跨過光滑定滑輪的柔軟輕繩與小球B連接，O點為輕繩與定滑輪

的接觸點.初始時，小球B在水平向右的拉力F作用下，使輕繩OB段與水平拉力F的夾

角θ＝120°，整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài).現(xiàn)將小球向右上方緩慢拉起，并保持夾角θ不

變，從初始到輕繩OB段水平的過程中，斜面體與物塊A均保持靜止不動，則在此過

程中(

AD

)ADA.拉力F逐漸增大B.輕繩上的張力先增大后減小C.地面對斜面體的支持力逐漸增大D.地面對斜面體的摩擦力先增大后減小[解析]小球B受重力mg、輕繩OB的拉力FT和拉力F，由題意可知，三個力的合力始

終為零，由于重力不變，且FT與F之間的夾角θ不變，因此矢量三角形的三個頂點在

同一外接圓上，如圖所示.在FT轉至水平的過程中，輕繩OB的拉力FT逐漸減小，拉

力F逐漸增大，故選項A正確，選項B錯誤；整體(含斜面體、物塊A和小球B)受向下

的重力、向上的支持力、向左的摩擦力以及拉力四個力的作用，根據(jù)對小球的受力

分析可知，拉力F的豎直方向分力逐漸增大，水平方向分力先增大后減小，所以地

面對斜面體的支持力逐漸減小，地面對斜面體的摩擦力先增大后減小，故選項C錯

誤，選項D正確.題型2平衡中的臨界、極值問題

1.臨界問題當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)

“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”

等.臨界問題常見的種類：(1)由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力.(2)繩子恰好繃緊，拉力F＝0.(3)剛好離開接觸面，支持力FN＝0.2.極值問題平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題.3.解題方法(1)物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分

析，利用平行四邊形定則進行動態(tài)分析，確定最大值與最小值.(2)數(shù)學分析法：根據(jù)物體的平衡條件列方程，在解方程時利用數(shù)學知識求極值.通

常用到的數(shù)學知識有二次函數(shù)求極值、三角函數(shù)求極值以及幾何法求極值等.(3)極限法：首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極

值點；臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態(tài)來研究臨界問題，而要

把某個物理量推向極端，即極大或極小.命題點1

物理分析法5.如圖所示，一輕質光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質量分別為m和2m的物塊A、

B，通過不可伸長的輕繩跨過滑輪連接，A、B間的接觸面和輕繩均與木板平行.A與B

間、B與木板間的動摩擦因數(shù)均為μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.當木板與水

平面的夾角為45°時，物塊A、B剛好要滑動，則μ的值為(

C

)C

命題點2

數(shù)學分析法6.[2022浙江1月]如圖所示，學校門口水平地面上有一質量為m的石礅，石礅與水平

地面間的動摩擦因數(shù)為μ.工作人員用輕繩按圖示方式勻速移動石礅時，兩平行輕繩

與水平面間的夾角均為θ，則下列說法正確的是(

B

)C.減小夾角θ，輕繩的合拉力一定減小D.輕繩的合拉力最小時，地面對石礅的摩擦力也最小B

命題點3

極限法7.如圖所示為兩個擋板夾一個小球的縱截面圖，每個擋板和豎直方向的夾角均為θ.

擋板與小球間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，小球靜止不動.小球的質量為m，與

兩擋板之間的動摩擦因數(shù)均為μ(μ＜tanθ)，重力加速度為g.則每個擋板的彈力N的范

圍為多少？

1.[平衡中的臨界問題/2024吉林長春質量監(jiān)測]如圖，質量為m的光滑球體夾在豎直

墻壁和斜面體之間，斜面體的質量為2m，傾角θ＝37°，設斜面體與地面間的最大靜

摩擦力等于滑動摩擦力，若斜面體恰好不滑動，則斜面體與水平地面間的動摩擦因

數(shù)μ為(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(

A

)A12

圖1

圖2122.[動態(tài)平衡問題]如圖(a)所示，小球系在細繩的一端，放在傾角為α＝30°的光滑斜

面體上，細繩的另一端固定在天花板上，開始細繩沿豎直方向，現(xiàn)用力將斜面體在

水平桌面上緩慢向左推動.(1)如果斜面體足夠高，小球緩慢地沿斜面運動的過程中，細繩的拉力與小球所受

的支持力如何變化？(圖解法)[答案]

細繩的拉力先減小后增大，小球所

受的支持力一直增大.

12[解析]

將斜面體在水平桌面上緩慢地向左推動，小球始終處于平衡狀態(tài)，對小

球進行受力分析，由平衡條件得支持力FN和拉力FT的合力大小F'＝mg，即兩者合力

的大小和方向均不發(fā)生變化，當斜面體在水平桌面上緩慢地向左移動時，細繩與豎

直方向的夾角逐漸變大，F(xiàn)T的方向發(fā)生變化，根據(jù)平行四邊形定則作圖如圖1所

示，由圖可看出，拉力先減小后增大，支持力一直增大.圖112(2)如果細繩與斜面平行，細繩的拉力為多大？(正交分解法)

圖2圖212(3)如果細繩與斜面成15°角，細繩的拉力為多大？(正弦定理法)

圖3圖312(4)如果將斜面體換為固定的光滑半圓柱體，如圖(b)所示，放在半圓柱體上的小球

被一繞過定滑輪的繩用力F拉著由半圓柱體的底端緩慢地到頂端的過程中，分析繩

的拉力F及半圓柱體對小球的支持力F支的變化情況.(相似三角形法)[答案]

F減小，F(xiàn)支不變.

圖4圖4121.[2024黑龍江雞西實驗中學?？糫建筑工人用如圖所示的方式將重物從平臺緩慢下

放到地面上，固定重物的光滑圓環(huán)套在輕繩上，輕繩的一端固定在豎直墻上，工人

手握的部分有足夠長的繩子，工人站在平臺上的位置保持不變，緩慢釋放手中的繩

子，重物緩慢下降，則在重物下降的過程中(

D

)A.繩對圓環(huán)的作用力逐漸減小B.工人對繩的拉力不變C.平臺對工人的支持力逐漸增大D.平臺對工人的摩擦力逐漸減小D123456789101112

1234567891011122.[2024遼寧鞍山模擬]如圖所示，裝卸工人利用斜面將一質量為m、表面光滑的油桶

緩慢地推到汽車上.在油桶上移的過程中，人對油桶推力的方向由與水平方向成60°

角斜向上逐漸變?yōu)樗较蛴?，已知斜面的傾角為θ＝30°，重力加速度為g，則關于工

人對油桶的推力大小，下列說法正確的是(

D

)A.不變B.逐漸變小C.逐漸變大D123456789101112

1234567891011123.[設問創(chuàng)新/2024湖北武漢部分學校調研]某裝備矢量發(fā)動機(其噴口可以偏轉，以產

生不同方向的推力)的戰(zhàn)斗機沿水平方向飛行.已知戰(zhàn)斗機的質量為m，升阻比(升力

與阻力之比，升力主要由機翼上下表面空氣流速不同產生，垂直機身向上，阻力平

行機身向后)為k，重力加速度取g.戰(zhàn)斗機勻速巡航時，該發(fā)動機提供的最小推力為

(

D

)A.mgD123456789101112

1234567891011124.重慶南開中學為增強學生體魄，組織學生進行多種體育鍛煉.在某次鍛煉過程

中，一學生將鉛球置于兩手之間，其中兩手之間夾角為60°，保持兩手之間夾角不

變，將右手由圖示位置緩慢旋轉60°至水平位置.不計一切摩擦，則在轉動過程中，

下列說法正確的是(

B

)A.右手對鉛球的彈力增加B.右手對鉛球的彈力先增加后減小C.左手對鉛球的彈力增加D.左手對鉛球的彈力先增加后減小B123456789101112[解析]對鉛球受力分析，右手對鉛球的彈力為F1，左手對鉛球的彈力為F2，受力

分析如圖甲所示.F1與F2夾角為120°保持不變，故可以用動態(tài)圓求解如圖乙所示.從圖

乙可看出F1先增大后減小，F(xiàn)2一直減小.故選B.圖甲

圖乙1234567891011125.[2024湖南常德一中開學考]如圖所示，質量均為m的鐵球和木塊通過輕繩a連接，

輕繩b一端拴接在鐵球上，另一端連接在彈簧測力計的掛鉤上，通過彈簧測力計牽

引鐵球和木塊一起沿水平方向做勻速直線運動.當輕繩b與水平方向成30°角時彈簧測

力計示數(shù)最小.已知重力加速度為g，則(

D

)A.木塊與地面間的動摩擦因數(shù)為0.5D.彈簧測力計示數(shù)最小時，輕繩a與豎直方向的夾角為60°D123456789101112

1234567891011126.[回歸教材/2024山西大同一中階段練習/多選]如圖所示，木板B放在粗糙水平地

面上，O為光滑鉸鏈.輕桿一端與鉸鏈O固定連接，另一端固定連接重為G的小球A.

現(xiàn)

將輕繩一端拴在小球A上，另一端通過光滑定滑輪O'由力F牽引，定滑輪位于O的正

上方，整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài).現(xiàn)改變力F的大小使小球A和輕桿從圖示位置緩慢運

動到O點正上方，木板始終保持靜止，則在小球A運動過程中(

AD

)A.牽引力F逐漸減小B.輕桿對小球的作用力先減小后增大C.地面對木板的支持力逐漸減小D.地面對木板的摩擦力逐漸減小AD123456789101112

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7.拖把是常用的勞動工具，假設拖把與水平地面接觸端的質量為m，其他部分質量

可忽略，接觸端與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ，如圖所示，人施加沿桿方向的力

F(圖中未畫出)，推著接觸端在水平地面上勻速滑行，桿與水平地面的夾角為α，重

力加速度為g，則(

D

)A.夾角α越大，推動拖把越輕松B.接觸端受到的支持力大小為FsinαC.接觸端受到地面的摩擦力大小為μmgD.接觸端受到地面的摩擦力與支持力的合力方向不變D123456789101112

1234567891011128.[情境創(chuàng)新/2024江蘇蘇州實驗中學?？糫某建筑工地用一可以移動的升降機來吊

裝重物，如圖所示，輕繩穿過下方吊著重物的光滑圓環(huán)，A、B兩點分別固定在建筑

和升降機上，下列說法正確的是(

A

)A.升降機緩慢上升時，繩中的張力大小不變B.升降機緩慢向左移動時，繩中的張力變小C.升降機緩慢上升時，地面對升降機的摩擦力變小D.升降機緩慢向左移動時，升降機對地面的壓力變大A123456789101112

1234567891011129.[2022河北]如圖，用兩根等長的細繩將一勻質圓柱體懸掛在豎直木板的P點，將

木板以直線MN為軸向后方緩慢轉動直至水平，繩與木板之間的夾角保持不變，忽略

圓柱體與木板之間的摩擦，在轉動過程中(

B

)A.圓柱體對木板的壓力逐漸增大B.圓柱體對木板的壓力先增大后減小C.兩根細繩上的拉力均先增大后減小D.兩根細繩對圓柱體的拉力不變B123456789101112

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12345678910111210.一般教室門上都安裝一種暗鎖，這種暗鎖由外殼A、骨架B、彈簧C(勁度系數(shù)為

k)、鎖舌D(傾角θ＝30°)、鎖槽E以及連桿、鎖頭等部件組成，如圖甲所示.設鎖舌D

的側面與外殼A和鎖槽E之間的動摩擦因數(shù)均為μ，最大靜摩擦力Ffm由Ffm＝μFN(FN

為正壓力)求得.有一次放學后，當某同學準備關門時，無論用多大的力，也不能將

門關上(這種現(xiàn)象稱為自鎖)，此刻暗鎖所處