山東省濟寧市2024年中考數(shù)學試卷含真題解析

山東省濟寧市2024年中考數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。1．﹣3的絕對值是（）A．3 B． C．﹣3 D．【答案】A【解析】【解答】解：﹣3的絕對值是3.故答案為：A.【分析】利用負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，可求出已知數(shù)的相反數(shù).2．如圖是一個正方體的展開圖，把展開圖折疊成正方體后，有“建”字一面的相對面上的字是（）A．人 B．才 C．強 D．國【答案】D【解析】【解答】解：由正方體的展開圖可知設(shè)的對面是才，人的對面是強，建的對面是國.故答案為：D.【分析】正方體的表面展開圖，相對的一面一定相隔一個正方形，例如：設(shè)的對面是才.3．下列運算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A、不能計算，故A不符合題意；

B、，故B符合題意；

C、，故C不符合題意；

D、，故D不符合題意；故答案為：B.【分析】只有同類二次根式才能合并，可對A作出判斷；利用二次根式的乘法法則進行計算，可對B作出判斷；利用二次根式的除法法則，可對C作出判斷；然后利用二次根式的性質(zhì)：，可對D作出判斷.4．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AB的中點，連接OE．若OE＝3，則菱形的邊長為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB=90°，

∴△AOB是直角三角形，

∵E為AB的中點，

∴OE是AB邊的中線，

∴AB=2OE=2×3=6，

∴菱形的邊長為6.故答案為：A.【分析】利用菱形的對角線互相垂直，可證得AC⊥BD，可推出△AOB是直角三角形，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求出AB的長，即可得到菱形的邊長.5．為了解全班同學對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類節(jié)目的喜愛情況，班主任對全班50名同學進行了問卷調(diào)查（每名同學只選其中的一類），依據(jù)50份問卷調(diào)查結(jié)果繪制了全班同學喜愛節(jié)目情況扇形統(tǒng)計圖（如圖所示）．下列說法正確的是（）A．班主任采用的是抽樣調(diào)查B．喜愛動畫節(jié)目的同學最多C．喜愛戲曲節(jié)目的同學有6名D．“體育”對應(yīng)扇形的圓心角為72°【答案】D【解析】【解答】解：A、∵班主任對全班50名同學進行了問卷調(diào)查（每名同學只選其中的一類），依據(jù)50份問卷調(diào)查結(jié)果繪制了全班同學喜愛節(jié)目情況扇形統(tǒng)計圖（如圖所示），

∴班主任采用的是全面調(diào)查，故A不符合題意；

B、∵36％＞30％＞20％＞8％＞6％，

∴喜愛娛樂節(jié)目的同學最多，故B不符合題意；

C、最喜歡戲曲節(jié)目的人數(shù)為：50×6％=3人，故C不符合題意；

D、“體育”對應(yīng)扇形的圓心角為360°×20％=72°，故D符合題意.故答案為：D.【分析】根據(jù)題意可知班主任采用的是全面調(diào)查，可對A作出判斷；觀察扇形統(tǒng)計圖根據(jù)各部分所占的百分比，可對B作出判斷；用50×喜歡戲曲的人數(shù)所占的百分比，可求出喜愛戲曲節(jié)目的同學的人數(shù)，可對C作出判斷；用360°×喜愛體育的人數(shù)所占的百分比，列式計算可對D作出判斷.6．如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則它的內(nèi)切圓半徑為（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】【解答】解：連接OC，OB，過點O作OG⊥BC于點G，∴∠OGC=90°，CG=BC=1，

∵正六邊形ABCDEF，

∴∠BOC=×360°=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠OCG=60°，BC=OC=2，

在Rt△OGC中

OG=CG·tan∠OCG=1×tan60°=.

故答案為：D.【分析】連接OC，OB，過點O作OG⊥BC于點G，利用垂直的定義和垂徑定理可求出CG的長，∠OGC=90°，利用正六邊形的性質(zhì)可推出△OBC是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得到∠OCG=60°，BC=OC=2；在Rt△OGC中，利用解直角三角形求出OG的長，即可求解.7．已知點A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【答案】C【解析】【解答】解：∵反比例函數(shù)y（k＜0），

∴圖象經(jīng)過二、四象限，且在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，

∵A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函數(shù)y（k＜0）的圖象上，

∴y2＞y1＞0，y3＜0，

∴y3＜y1＜y2.故答案為：C.【分析】利用反比例函數(shù)y的性質(zhì)，當k＜0時在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；當k＞0時在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，利用三個點的橫坐標，可得到：y2＞y1＞0，y3＜0，據(jù)此可得到y(tǒng)1，y2，y3的大小關(guān)系.8．解分式方程時，去分母變形正確的是（）A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝5【答案】A【解析】【解答】解：將原方程組轉(zhuǎn)化為

去分母得：2（1-3x）+2=-5即2-6x+2=-5.故答案為：A.【分析】先將原方程變形，再在方程的同時乘以2（1-3x），去掉分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.9．如圖，分別延長圓內(nèi)接四邊形ABCD的兩組對邊，延長線相交于點E，F(xiàn)．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，則∠A的度數(shù)為（）A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'【答案】C【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，

∴∠A+∠BCD=180°，

∵∠BCD、∠EBC分別是△EBC和△ABF的一個外角，

∠EBC=∠A+∠F，∠BCD=∠E+∠EBC，

∴∠BCD=∠E+∠A+∠F，

∴∠A+∠E+∠A+∠F=180°，

∴2∠A+54°41'+43°19'=180°，

解之：∠A=41°.故答案為：C.【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補，可證得∠A+∠BCD=180°，利用三角形外角的性質(zhì)可推出∠BCD=∠E+∠A+∠F，然后代入可得到關(guān)于∠A的方程，解方程求出∠A的度數(shù)即可.10．如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形．第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形……按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個數(shù)為（）A．90 B．91 C．92 D．93【答案】B【解析】【解答】解：第一幅圖有12=1個正方形，

第二幅圖正方形的個數(shù)為1+22，

第三幅圖正方形的個數(shù)為1+22+32=14；

第四幅圖正方形的個數(shù)為1+22+32+42=30；

第n幅圖正方形的個數(shù)為1+22+32+42++n2；

∴第六幅圖正方形的個數(shù)為1+22+32+42+52+62=1+4+9+16+25+36=91；故答案為：B.【分析】觀察圖形中正方形的放置規(guī)律可知第一幅圖有1個正方形；第二幅圖正方形的個數(shù)為1+22；第三幅圖正方形的個數(shù)為1+22+32=14按此規(guī)律可得到第n幅圖正方形的個數(shù)，據(jù)此可求出第六幅圖正方形的個數(shù).二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。11．我國自主研發(fā)的口徑球面射電望遠鏡（）有“中國天眼”之稱，它的反射面面積約為．將數(shù)用科學記數(shù)法表示為．【答案】【解析】【解答】解：250000=2.5×105；故答案為：2.5×105.【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的表示形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值大于1與小數(shù)點移動的位數(shù)相同即可求解.12．已知a2﹣2b+1＝0，則的值是．【答案】2【解析】【解答】解：∵a2-2b+1=0，

∴a2+1=2b，

∴故答案為：2.【分析】將原方程轉(zhuǎn)化為a2+1=2b，然后整體代入求值即可.13．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA＝OC，請補充一個條件，使四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD【解析】【解答】解：若添加：OB=OD，

∵OB=OD，OA=OC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

若添加：AD∥BC，

∵AD∥BC，

∴∠DAO=∠BCO，

在△AOD和△COB中

∴△AOD≌△BCO（ASA）

∴OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

若添加AB∥CD，

∴∠BAO=∠DCO，

在△AOB和△COD中

∴△AOB≌△COD（ASA）

∴OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；故答案為：OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD.【分析】利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以添加：OB=OD；若添加：AD∥BC，利用平行線的性質(zhì)可推出∠DAO=∠BCO，利用ASA可證得△AOD≌△BCO，利用全等三角形的對應(yīng)邊線段，可證得OB=OD，據(jù)此可證得四邊形ABCD是平行四邊形；若添加AB∥CD，同理可證得四邊形ABCD是平行四邊形；綜上所述可得答案.14．將拋物線y＝x2﹣6x+12向下平移k個單位長度．若平移后得到的拋物線與x軸有公共點，則k的取值范圍是．【答案】k≥3【解析】【解答】解：y＝x2﹣6x+12=（x-3）2+3，

∵將拋物線y＝x2﹣6x+12向下平移k個單位長度，

∴平移后的函數(shù)解析式為y=（x-3）2+3-k=x2-6x+12-k，

∵若平移后得到的拋物線與x軸有公共點，

∴b2-4ac≥0即36-4（12-k）≥0

解之：k≥3.故答案為：k≥3.【分析】將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，可得到平移后的函數(shù)解析式為y=x2-6x+12-k，再根據(jù)平移后得到的拋物線與x軸有公共點，可證得b2-4ac≥0，據(jù)此可得到關(guān)于k的不等式，解方程求出k的取值范圍.15．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．⑴以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點E，F(xiàn)．⑵以點A為圓心，BE長為半徑畫弧，交AC于點G．⑶以點G為圓心，EF長為半徑畫弧，與（2）中所畫的弧相交于點H．⑷畫射線AH．⑸以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交射線AH于點M．⑹連接MC，MB．MB分別交AC，AD于點N，P．根據(jù)以上信息，下面五個結(jié)論中正確的是.（只填序號）①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN?MB．【答案】①②⑤【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ACB=（180°-90°）=45°，

∵AD平分∠BAC，

∴AD是△ABC的中線和高線，

∴AD=DB=DC=BC，故①正確；

∴∠ADC=90°，∠DAC=45°，

∵以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點E，F(xiàn)．以點A為圓心，BE長為半徑畫弧，交AC于點G．以點G為圓心，EF長為半徑畫弧，與（2）中所畫的弧相交于點H．

∴∠ABD=∠MAC=45°，

∴∠DAM=∠DAC+∠CAM=45°+45°=90°，

∴AM//BC.

∵以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交射線AH于點M．連接MC，MB．MB分別交AC，AD于點N，P．

∴BC=BM，

過點M作MS⊥BC于點S，

∴∠MSB=90°，

∴四邊形ADSM是矩形，

∴AD=MS，

∴MS=BM，

∴∠MBS=30°，

∴∠ABM=∠ABC-∠MBS=45°-30°=15°，故②正確；

在△BPD中，∠BDP=90°，∠PBD=30°，

∴∠APN=∠BPD=90°-30°=60°，

∵AM∥BC，

∴∠AMN=∠MBP=30°，

∴∠ANP=∠MAC+∠AMN=30°+45°=75°，

∴∠ANP≠∠APN，故③錯誤；

設(shè)AP=x，AD=y，則PD=y-x，

∴，

∴

解之：，

∴，故④錯誤

∵∠MAC=45°，∠AMB=30°，

∴∠CNM=∠MAN+∠AMB=45°+30°=75°，

∴∠CNM=∠CMN=75°=∠AMC=∠BCM，

∴MC=CN，

∴△BMC∽△CMN，

∴

∴MC2＝MN?MB．故⑤正確；

∴正確結(jié)論的序號為①②⑤.

故答案為：①②⑤.【分析】利用已知可證得△ABC是等腰直角三角形，可求出∠ABC的度數(shù)，同時可證得AD是△ABC的中線和高線，可得到AD=DB=DC=BC，∠ADC=90°，∠DAC=45°，可對①作出判斷；利用作圖可證得BC=BM，∠ABD=∠MAC=45°，可推出∠DAM=90°，過點M作MS⊥BC于點S，可證四邊形ADSM是矩形，利用矩形的性質(zhì)可推出AD=MS=BM，可證得∠MBS=30°，根據(jù)∠ABM=∠ABC-∠MBS，代入計算可求出∠ABM的度數(shù)，可對②作出判斷；再分別求出∠APN和∠ANP的度數(shù)，可對③作出判斷；設(shè)AP=x，AD=y，則PD=y-x，利用解直角三角形可表示出AM、PD的長，由此可得到AD的長，再求出AM與AD的比值，可對④作出判斷；然后證明CN=CM，△BMC∽△CMN，利用相似三角形的性質(zhì)可證得MC2＝MN?MB，可對⑤作出判斷；綜上所述可得到正確結(jié)論的序號.三、解答題：本大題共7小題，共55分。16．先化簡，再求值：x（y﹣4x）+（2x+y）（2x﹣y），其中x，y＝2．【答案】解：原式＝（xy﹣4x2）+（4x2﹣y2）＝xy﹣4x2+4x2﹣y2＝xy﹣y2，當，y＝2時，原式．【解析】【分析】利用單項式乘以多項式的法則和平方差公式，先去括號，再合并同類項；然后將x，y的值代入化簡后的代數(shù)式進行計算即可.17．如圖，△ABC三個頂點的坐標分別是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．（1）將△ABC向下平移2個單位長度得△A1B1C1．畫出平移后的圖形，并直接寫出點B1的坐標；（2）將△A1B1C1繞點B1逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△A2B1C2．畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求點C1運動到點C2所經(jīng)過的路徑長．【答案】（1）解：如圖，△A1B1C1即為所求．由圖可得，點B1的坐標為（3，2）．（2）解：如圖，△A2B1C2即為所求．點C1運動到點C2所經(jīng)過的路徑長為π．【解析】【分析】（1）利用點的坐標平移規(guī)律及已知條件，將△ABC向下平移2個單位長度可得到對應(yīng)點A1、B1、C1的位置，然后畫出△A1B1C1，并寫出點B1的坐標.

（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將△A1B1C1繞點B1逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得到對應(yīng)點A2、B1、C2的位置，然后畫出△A2B1C2；利用旋轉(zhuǎn)可知點C1運動到點C2所經(jīng)過的路徑是以點B1為圓心，B1C1為半徑的弧長，然后利用弧長公式進行計算.18．為做好青少年安全教育工作，某校開展了主題為“珍愛生命，牢記安全”的知識競賽（共20題，每題5分，滿分100分）．該校從學生成績都不低于80分的八年級（1）班和（3）班中，各隨機抽取了20名學生成績進行整理，繪制了不完整的統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖及分析表．【收集數(shù)據(jù)】八年級（1）班20名學生成績：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年級（3）班20名學生成績：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述數(shù)據(jù)】八年級（1）班20名學生成績統(tǒng)計表分數(shù)80859095100人數(shù)33ab3【分析數(shù)據(jù)】八年級（1）班和（3）班20名學生成績分析表統(tǒng)計量班級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差八年級（1）班mn9541.5八年級（3）班9190p26.5【應(yīng)用數(shù)據(jù)】根據(jù)以上信息，回答下列問題．（1）請補全條形統(tǒng)計圖；（2）填空：m＝，n＝；（3）你認為哪個班級的成績更好一些？請說明理由；（4）從上面5名得100分的學生中，隨機抽取2名學生參加市級知識競賽．請用列表法或畫樹狀圖法求所抽取的2名學生恰好在同一個班級的概率．【答案】（1）解：八年級（3）班20名學生成績：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．

90分的有7人，95分的有6人

補全條形統(tǒng)計圖，如圖所示：（2）91；92.5（3）我認為八年級（1）班成績更好一些，理由為：

八年級（3）班的眾數(shù)為90分，比較可知：平均數(shù)兩個班相同，中位數(shù)和眾數(shù)方面（1）班優(yōu)于（3）班，故八年級（1）班成績更好一些；（4）八年級（1）班三位滿分同學記作1，2，3，（3）班兩位同學滿分記作4，5，列表如下：123451﹣﹣﹣（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）﹣﹣﹣（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）﹣﹣﹣（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）﹣﹣﹣（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）﹣﹣﹣所有等可能的情況有20種，其中所抽取的2名學生恰好在同一個班級的情況有（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（4，5），（5，4）共8種，則P（所抽取的2名學生恰好在同一個班級）．【解析】【解答】解：（2）八年級（1）班20名學生成績從小到大排列：80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，100，100，100，

處于最中間的兩個數(shù)是90、95，

∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是n=（90+95）=92.5；

平均數(shù)m=

故答案為：91；92.5.

【分析】（1）利用已知八年級（3）班的學生的成績，可得到90分和95分的人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖.

（2）將八年級（1）班20名學生成績從小到大排列，可得到最中間的兩個數(shù)，然后求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；再利用加權(quán)平均數(shù)公式求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

（3）根據(jù)題意，列表，可得到所有的可能的結(jié)果數(shù)及所抽取的2名學生恰好在同一個班的情況數(shù)，然后利用概率公式進行計算.

（4）根據(jù)八年級（1）班三位滿分同學記作1，2，3，（3）班兩位同學滿分記作4，5，再列表，可得到所有等可能的結(jié)果數(shù)及所抽取的2名學生恰好在同一個班級的情況數(shù)，然后利用概率公式進行計算即可.19．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是BC上一點，AD＝AC．E是⊙O外一點，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，連接BE．（1）若AB＝8，求AE的長；（2）求證：EB是⊙O的切線．【答案】（1）解：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，即∠EAD＝∠BAC，又∵∠ADE＝∠ACB，AD＝AC，∴△ADE≌△ACB（ASA），∴AE＝AB，∵AB＝8，∴AE＝8；（2）證明：如圖，連接BO并延長交⊙O于點F，∵BF是⊙O的直徑，∴∠BAF＝90°，∴∠AFB+∠ABF＝90°，∵∠AFB＝∠ACB，∴∠ACB+∠ABF＝90°，在△ADC中，AD＝AC，∴∠ACB＝∠ADC，∴2∠ACB+∠CAD＝180°，由（1）知AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，∴2∠ABE+∠BAE＝180°，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠ACB＝∠ABE，∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠OBE＝90°，∵OB為半徑，∴EB是⊙O的切線．【解析】【分析】（1）利用∠BAE＝∠CAD可推出∠EAD＝∠BAC，利用ASA可證得△ADE≌△ACB，利用全等三角形的性質(zhì)可知AE=AB，即可求出AE的長.（2）連接BO并延長交⊙O于點F，利用直徑所對的圓周角是直角可證得∠BAF=90°，利用直角三角形的兩銳角互余，可證得∠AFB+∠ABF=90°，再利用圓周角定理可證得∠AFB=∠ACB，由此可推出∠ACB+∠ABF＝90°；再利用等邊對等角可推出2∠ACB+∠CAD＝180°，同時可證得2∠ABE+∠BAE＝180°，由∠BAE=∠CAD，可推出∠ACB=∠ABE，可證得∠ABE+∠ABF＝90°，即可推出∠OBE=90°，然后利用切線的判定定理可證得結(jié)論.20．某商場以每件80元的價格購進一種商品，在一段時間內(nèi)，銷售量y（單位：件）與銷售單價x（單位：元/件）之間是一次函數(shù)關(guān)系，其部分圖象如圖所示．（1）求這段時間內(nèi)y與x之間的函數(shù)解析式；（2）在這段時間內(nèi)，若銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件的銷售任務(wù)，當銷售單價為多少時，商場獲得利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）解：由題意，設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b，又過（100，300），（120，200），∴．∴．∴所求函數(shù)解析式為y＝﹣5x+800．（2）由題意得，，∴100≤x≤116．∵商場獲得的利潤＝（x﹣80）（﹣5x+800）＝﹣5x2+1200x﹣64000＝﹣5（x﹣120）2+8000，又﹣5＜0，100≤x≤116，∴當x＝116時，利潤最大，最大值為7920．答：當銷售單價為116時，商場獲得利潤最大，最大利潤是7920元．【解析】【分析】（1）由函數(shù)圖象可知此函數(shù)是一次函數(shù)，且圖象經(jīng)過（100，300），（120，200），設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b再將這兩點的坐標分別代入，可得到關(guān)于k，b的方程組，解方程組求出k，b的值，可得到y(tǒng)與x的函數(shù)解析式.（2）根據(jù)已知條件：銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件的銷售任務(wù)，可得到關(guān)于x的不等式組，求出不等式組的解集；再求出商場獲得的利潤與x的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求解.21．綜合與實踐某校數(shù)學課外活動小組用一張矩形紙片（如圖1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足夠長）進行探究活動．【動手操作】如圖2，第一步，沿點A所在直線折疊，使點D落在AB上的點E處，折痕為AF，連接EF，把紙片展平．第二步，把四邊形AEFD折疊，使點A與點E重合，點D與點F重合，折痕為GH，再把紙片展平．第三步，連接GF．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】根據(jù)以上操作，甲、乙兩同學分別寫出了一個結(jié)論．甲同學的結(jié)論：四邊形AEFD是正方形．乙同學的結(jié)論請分別判斷甲、乙兩同學的結(jié)論是否正確．若正確，寫出證明過程；若不正確，請說明理由．（2）【繼續(xù)探究】在上面操作的基礎(chǔ)上，丙同學繼續(xù)操作．如圖3，第四步，沿點G所在直線折疊，使點F落在AB上的點M處，折痕為GP，連接PM，把紙片展平．第五步，連接FM交GP于點N．根據(jù)以上操作，丁同學寫出了一個正確結(jié)論：FN?AM＝GN?AD．請證明這個結(jié)論．【答案】（1）解：甲同學和乙同學的結(jié)論都正確，證明如下，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝90°，∵折疊，∴∠D＝∠AEF＝90°＝∠DAE，AD＝AE，∴四邊形AEFD是矩形，∴四邊形AEFD是正方形；故甲同學的結(jié)論正確．作GK⊥AF，設(shè)AE＝2x，則AG＝EG＝x，∵四邊形AEFD是正方形，∴∠EAF＝45°，∴AF＝2x，AK＝KGAGx，∴FK＝AF﹣AKx，∴tan∠AFG；故乙同學的說法也正確．（2）證明：過G作GQ⊥PM交延長線于點Q，∵折疊，∴FP＝PM，F(xiàn)G＝GM，GH＝GQ，∠FPG＝∠MPG，PH＝PQ，∵AB∥CD，∴∠FPG＝∠PGM，∴∠PGM＝∠MPG，∴PM＝GM，∴PF＝GM＝PM＝FG，∴四邊形FGMP是菱形，∴∠FNG＝90°，∵∠GQP＝90°＝∠FNG，∠FGN＝∠GPQ，∴△GFN∽△PGQ，∴，∴FN?PQ＝GN?GQ，∵AM＝AG+GM＝HF+FP＝PH，∴AM＝PQ，∵GQ＝GH＝AD，∴FN?AM＝GN?AD．【解析】【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)可證得∠D=∠BAD=90°，再利用折疊的性質(zhì)可證∠D＝∠AEF＝90°＝∠DAE，AD＝AE，由此可推出四邊形AEFD是正方形，可對甲的結(jié)論作出判斷；作GK⊥AF，設(shè)AE＝2x，則AG＝EG＝x，利用正方形的性質(zhì)可證得∠EAF=45°，利用解直角三角形分別表示出AF，AK，F(xiàn)K的長，然后利用正切的定義可求出tan∠AFG的值，可對乙的結(jié)論作出判斷.

（2）過G作GQ⊥PM交延長線于點Q，利用折疊的性質(zhì)可證得FP＝PM，F(xiàn)G＝GM，GH＝GQ，∠FPG＝∠MPG，PH＝PQ，利用平行線的性質(zhì)去證明∠PGM=∠MPG，可推出PF＝GM＝PM＝FG，于是可證得四邊形FGMP是菱形，利用菱形的對角線互相垂直可得∠FNG＝90°，利用有兩組對應(yīng)角分別相等的兩三角形相似，可證得△GFN∽△PGQ，利用相似三角形的性質(zhì)可推出FN?PQ＝GN?GQ；再證明AM=PH，可推出AM=PQ，由GQ＝GH＝AD，可證得結(jié)論.22．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（0，﹣3），（﹣b，c）兩點，其中a，b，c為常數(shù)，且ab＞0．（1）求a，c的值；（2）若該二次函數(shù)的最小值是﹣4，且它的圖象與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點A，B的坐標；②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖象上有一動點P，過點P作x軸的垂線，垂足為D，與直線AC交于點E，連接PC，CB，BE．是否存在點P，