2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題之整體思想訓(xùn)練

2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題之整體思想訓(xùn)練1．【教材呈現(xiàn)】以下是湘教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材126頁的部分內(nèi)容．例1已知a+b＝5，求（a+b）2﹣4（a+b）的值．分析：將a+b看作一個(gè)整體，則問題就可迎刃而解了．解：（a+b）2﹣4（a+b）＝52﹣4×5＝5．“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種重要的思想方法，它在數(shù)與式、方程與不等式等方面都有廣泛的應(yīng)用．【解決問題】（1）已知（x﹣y）2＝5，求2（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2的值；（2）已知a2﹣2b＝4，求3a2﹣6b﹣21的值；（3）當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式mx2+nx+1的值是2025，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，求代數(shù)式﹣mx2+nx+1的值．2．【閱讀理解】在求代數(shù)式的值時(shí)，有些題目可以用整體求值的方法，化難為易．例：已知3x+2y+z=4①7x+4y+3z=10②，求2x+y+z解：②﹣①得：4x+2y+2z＝6③③×12得：2x+y+所以2x+y+z的值為3．【類比遷移】（1）已知x+2y+3z=105x+6y+7z=26，求3x+4y+5z【實(shí)際應(yīng)用】（2）某班級(jí)班委準(zhǔn)備把本學(xué)期賣廢品的錢給同學(xué)們買期中獎(jiǎng)品，根據(jù)商店的價(jià)格，若購(gòu)買3本筆記本、2支簽字筆、1支記號(hào)筆需要28元；若購(gòu)買7本筆記本、5支簽字筆、3支記號(hào)筆需要66元；本班共45位同學(xué)，則購(gòu)買45本筆記本、45支簽字筆、45支記號(hào)筆需要多少錢？3．已知x2+x﹣2＝0，求代數(shù)式(14．已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．（1）化簡(jiǎn)2A﹣3B；（2）當(dāng)x+y=67，xy＝﹣1，求2A﹣3（3）若2A﹣3B的值與y的取值無關(guān)，求2A﹣3B的值．5．閱讀下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．解：∵a2＝3﹣a，∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12，∵a2+a＝3，∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9∴a2（a+4）＝9．根據(jù)上述材料的做法，完成下列各小題：（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值；（2）已知x2﹣x﹣1＝0，求x3﹣2x+1的值；（3）已知x2+4x﹣1＝0，求代數(shù)值2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．6．?dāng)?shù)學(xué)中，運(yùn)用整體思想方法在求代數(shù)式的值中非常重要，例如：已知，a2+2a＝1，則代數(shù)式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×1+4＝6．請(qǐng)你根據(jù)以上材料解答以下問題：（1）若x2﹣3x＝4，則1+2（x2﹣3x）＝；（2）若代數(shù)式x2+x+2的值為10，求代數(shù)式﹣3x2﹣3x+5的值．（3）當(dāng)x＝2時(shí)，ax2+bx+7的值為9，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，求代數(shù)式﹣ax2+bx+8的值．【拓展探索】（4）把一個(gè)大正方形和四個(gè)相同的小正方形按圖①、②兩種方式擺放，已知a+b＝24，a﹣b＝8，請(qǐng)觀察圖形，求圖②中的陰影部分面積．7．[閱讀感悟]一些關(guān)于方程組的問題，若求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的式子的值，如以下問題：已知實(shí)數(shù)x，y滿足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本題的常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得式子的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．[解決問題]（1）已知二元一次方程組3x+y=4x+3y=12，則x﹣y＝，x+y＝（2）某班開展安全教育知識(shí)競(jìng)賽需購(gòu)買獎(jiǎng)品，買5支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買9支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購(gòu)買20支鉛筆、20塊橡皮、20本日記本共需多少元？（3）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：x※y＝ax+by+c，其中a，b，c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知1※4＝16，1※5＝21，求1※1的值．8．先化簡(jiǎn)，再求值：(x?3xx+1)÷x?2x2+2x+1，其中9．特殊值法，又叫特值法，是數(shù)學(xué)中通過設(shè)題中某個(gè)未知量為特殊值，從而通過簡(jiǎn)單的運(yùn)算，得出最終答案的一種方法．例如：已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，則：（1）取x＝0時(shí)，直接可以得到a0＝0；（2）取x＝1時(shí)，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；（3）取x＝﹣1時(shí)，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．（4）把（2），（3）的結(jié)論相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，結(jié)合（1）a0＝0的結(jié)論，從而得出a4+a2＝0．請(qǐng)類比上例，解決下面的問題：已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，求（1）a0的值；（2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；（3）a6+a4+a2的值．10．我們知道：4x+2x﹣x＝（4+2﹣1）x＝5x，類似地，若我們把（a+b）看成一個(gè)整體，則有4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）＝（4+2﹣1）（a+b）＝5（a+b）．這種解決問題的方法滲透了數(shù)學(xué)中的“整體思想”．“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種重要的思想方法，其應(yīng)用極為廣泛．請(qǐng)運(yùn)用“整體思想”解答下面的問題：（1）把（a﹣b）看成一個(gè)整體，合并3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+2（a﹣b）2；（2）已知：x2+2y＝6，求代數(shù)式﹣3x2﹣6y+21的值；（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣6，c﹣d＝10，求（a?12c）+（b﹣d）﹣（2b﹣11．對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積，就可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．（1）模擬練習(xí)：如圖，寫出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式；（2）解決問題：如果a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；（3）類比探究：如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積．12．若關(guān)于x、y的二元一次方程組2x+y=6a?1x+2y=?5（1）若x、y滿足方程x﹣y＝﹣4，求a的值；（2）若﹣2＜x+y≤1，求a的取值范圍．13．利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因?yàn)閍+b＝3，ab＝1，所以（a+b）2＝9，所以a2+b2+2ab＝9．所以a2+b2+2×1＝9．得a2+b2＝7．根據(jù)上面的解題愿路與方法，解決下列問題：（1）若x﹣y＝6，x2+y2＝40，求xy的值；（2）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，分別以AC，BC為直角邊向外作等腰直角三角形，其中AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝90°，若AB＝6，S△ACD+S△BCE＝12，求△ACE的面積．14．【閱讀理解】在學(xué)習(xí)第3章《代數(shù)式》過程中，我們?cè)?（x﹣2y）﹣3（2y﹣x）+8（2m+3n+1）﹣4（2m+4n）中的“x﹣2y”看成一個(gè)字母a，把“2m+3n”看成另一個(gè)字母b，將這個(gè)代數(shù)式簡(jiǎn)化為5a﹣3（﹣a）+8（b+1）﹣4（b+n）．在數(shù)學(xué)中，我們把這種方法稱為整體代換法，常常用這樣的方法把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題．【靈活運(yùn)用】應(yīng)用整體代換法解答下列問題：（1）已知t=?12，求代數(shù)式2（t2﹣t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）+3（t2﹣（2）已知x=?13，求代數(shù)式3（3x2+2x）+4（﹣3x2﹣2x+1）﹣（3x2+2（3）計(jì)算：2022×（1?12?23?315．對(duì)于有理數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：x∞y＝ax+by，x?y＝ax﹣by，其中a，b是常數(shù)．已知1∞1＝1，3?2＝8．（1）求a，b的值；（2）若關(guān)于x，y的方程組x∞y=4?mx?y=5m的解也滿足方程x+y＝5，求m（3）若關(guān)于x，y的方程組a1x∞b1y=c1a216．小明在解方程24?x?（24?x?8?x）（24?x+8?x）＝（24?x）2﹣（8?x）2＝（24﹣又有24?x?8?x=2，可得24?x+8?x=8，將這兩式相加可得24?x=5請(qǐng)你學(xué)習(xí)小明的方法，解下面的方程：（1）方程x2+46+（2）解方程4x2+6x?5參考答案1．【解答】解：（1）因?yàn)?（x﹣y）2﹣5（x﹣y）2+（x﹣y）2＝（2﹣5+1）（x﹣y）2＝﹣2（x﹣y）2，（x﹣y）2＝5，所以原式＝﹣2×5＝﹣10．（2）因?yàn)?a2﹣6b﹣21＝3（a2﹣2b）﹣21，a2﹣2b＝4，所以原式＝3×4﹣21＝﹣9．（3）當(dāng)x＝1時(shí)，mx2+nx+1＝m+n+1，所以m+n+1＝2025，所以m+n＝2024．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，﹣mx2+nx+1＝﹣m﹣n+1＝﹣（m+n）+1＝﹣2024+1＝﹣2023．2．【解答】解：（1）x+2y+3z=10①5x+6y+7z=26②①+②得：6x+8y+10z＝36③，③×12得：3x+4y+5∴3x+4y+5z的值為18；（2）設(shè)購(gòu)買1本筆記本需要a元，1支簽字筆需要b元，1支記號(hào)筆需要c元，由題意得：3a+2b+c=28①7a+5b+3c=66②②﹣①×2得：a+b+c＝10③，③×45得：45a+45b+45c＝450，答：購(gòu)買45本筆記本、45支簽字筆、45支記號(hào)筆需要450元錢．3．【解答】解：(=1+x?1=xx?1?=x(x+1)=x∵x2+x﹣2＝0，∴x2+x＝2，∴原式=24．【解答】解：（1）∵A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy，∴2A﹣3B＝2（3x2﹣x+2y﹣4xy）﹣3（2x2﹣3x﹣y+xy）＝6x2﹣2x+4y﹣8xy﹣6x2+9x+3y﹣3xy＝7x+7y﹣11xy；（2）當(dāng)x+y=67，2A﹣3B＝7x+7y﹣11xy＝7（x+y）﹣11xy＝7×6＝6+11＝17；（3）∵2A﹣3B＝7x+7y﹣11xy＝7x+（7﹣11x）y，∴若2A﹣3B的值與y的取值無關(guān)，則7﹣11x＝0，∴x=7∴2A﹣3B＝7×7=495．【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0∴a2﹣a＝10，∴2（a+4）（a﹣5）＝2（a2﹣a﹣20）＝2×（10﹣20）＝﹣20，∴2（a+4）（a﹣5）的值為﹣20；（2）∵x2﹣x﹣1＝0∴x2﹣x＝1，x2＝x+1，∴x3﹣2x+1＝x（x2﹣2）+1＝x（x+1﹣2）+1＝x2﹣x+1＝1+1＝2，∴x3﹣2x+1的值為2；（3）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1，x2＝1﹣4x，∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1＝2（1﹣4x）（1﹣2）﹣8x+1＝﹣2+8x﹣8x+1＝﹣1，代數(shù)值2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值為﹣1．6．【解答】解：（1）∵x2﹣3x＝4，∴1+2（x2﹣3x）＝1+2×4＝1+8＝9；故答案為：9；（2）∵x2+x+2＝10，∴x2+x＝8，∴﹣3x2﹣3x+5＝﹣3（x2+x）+5＝﹣3×8+5＝﹣24+5＝﹣19，∴代數(shù)式﹣3x2﹣3x+5的值為﹣19；（3）∵當(dāng)x＝2時(shí)，ax2+bx+7的值為9，∴4a+2b+7＝9，∴4a+2b＝2，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，﹣ax2+bx+8＝﹣4a﹣2b+8＝﹣（4a+2b）+8＝﹣2+8＝6；（4）設(shè)大正方形邊長(zhǎng)為x，四個(gè)相同的小正方形邊長(zhǎng)為y，則a＝x+2y，b＝x﹣2y，∵a+b＝24，a﹣b＝8，∴（x+2y）+（x﹣2y）＝24，（x+2y）﹣（x﹣2y）＝8，解得x＝12，y＝2，∴x2﹣4y2＝122﹣4×22＝144﹣16＝128，∴圖②中的陰影部分面積為128．7．【解答】解：（1）3x+y=4①x+3y=12②①﹣②得：2x﹣2y＝﹣8，∴x﹣y＝﹣4，①+②得：4x+4y＝16，∴x+y＝4，故答案為：﹣4，4；（2）設(shè)1支鉛筆x元，1塊橡皮y元，1本日記本z元，由題意得：5x+3y+2z=32①9x+5y+3z=58②①×2﹣②得：x+y+z＝6，∴20x+20y+20z＝20（x+y+z）＝20×6＝120，即購(gòu)買20支鉛筆、20塊橡皮、20本日記本共需120元；（3）∵x※y＝ax+by+c，∴1※4＝a+4b+c＝16①，1※5＝a+5b+c＝21②，②﹣①得：b＝5，∴a+c＝16﹣4b＝﹣4，∴a+b+c＝1，∴1※1＝a+b+c＝1．8．【解答】解：(x?=x(x+1)?3x=x=x(x?2)＝x（x+1）＝x2+x，∵x滿足x2+x﹣2024＝0，∴x2+x＝2024，∴原式＝2024．9．【解答】解：（1）當(dāng)x＝1時(shí)，a0＝4×1＝4；（2）當(dāng)x＝2時(shí)，可得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8；（3）當(dāng)x＝0時(shí)，可得a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝0①，由（2）得得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8②；①+②得：2a6+2a4+2a2+2a0＝8，∴2（a6+a4+a2）＝8﹣2×4＝0，∴a6+a4+a2＝0．10．【解答】解：（1）3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝﹣2（a﹣b）2；（2）﹣3x2﹣6y+21＝﹣3（x2+2y）+21，當(dāng)x2+2y＝6時(shí)，原式＝﹣3×6+21＝3；（3）∵a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣6，c﹣d＝10，∴a﹣c＝3+（﹣6）＝﹣3，2b﹣d＝﹣6+10＝4，∴（a?12c）+（b﹣d）﹣（2b﹣＝a﹣2b+12（2b﹣c）+c＝﹣3+1＝10．11．【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∵ab＝3，∴a2+b2＝19；（3）∵（8﹣x）+（x﹣2）＝6，∴[（8﹣x）+（x﹣2）]2＝36，∴（8﹣x）2+（x﹣2）2+2（8﹣x）（x﹣2）＝36，∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，∴（8﹣x）（x﹣2）＝8，∴長(zhǎng)方形的面積是8．12．【解答】解：（1）2x+y=6a?1①x+2y=?5②①﹣②得：x﹣y＝6a+4，∵x﹣y＝﹣4，∴6a+4＝﹣4，解得：a=?4（2）2x+y=6a?1①x+2y=?5②①+②得：3x+3y＝6a﹣6，∴x+y＝2a﹣2，∵﹣2＜x+y≤1，∴﹣2＜2a﹣2≤1，∴0＜a≤313．【解答】解：（1）∵x﹣y＝6，x2+y2＝40，∴（x﹣y）2＝36，x2﹣2xy+y2＝36，又∵x2+y2＝40，∴40﹣2xy＝36，解得：xy＝2；即xy的值是2；（2）設(shè)AC＝m，BC＝n，由題意可得：AC+BC＝AB，∴m+n＝6，又∵以AC，BC為直角邊向外作等腰直角三角形，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，∴AC＝CD＝m，B