線性代數(shù)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)階段測試一

線性代數(shù)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)階段測試一?一、測試概述本次線性代數(shù)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)階段測試一是對學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)過程中前一階段所學(xué)知識的綜合考查。測試涵蓋了線性代數(shù)的多個重要知識點(diǎn)，包括行列式、矩陣、向量等內(nèi)容，旨在檢驗學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度、運(yùn)算能力以及運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力。

二、測試題目

（一）選擇題（每題3分，共15分）1.已知四階行列式$D$中第三列元素依次為1,2,0,1，它們的余子式依次為5,3,7,4，則$D=$（）A.15B.15C.0D.1【答案】A【解析】根據(jù)行列式按列展開定理：$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j}+a_{4j}A_{4j}$（$j$為列標(biāo)），這里$j=3$，所以$D=(1)\times(1)^{1+3}\times5+2\times(1)^{2+3}\times3+0\times(1)^{3+3}\times(7)+1\times(1)^{4+3}\times4=564=15$。

2.設(shè)$A$，$B$為$n$階方陣，滿足$AB=O$，則必有（）A.$A=O$或$B=O$B.$A+B=O$C.$|A|=0$或$|B|=0$D.$|A|+|B|=0$【答案】C【解析】因為$AB=O$，兩邊取行列式得$|AB|=|A|\times|B|=0$，所以$|A|=0$或$|B|=0$。

3.向量組$\alpha_1=(1,0,0)$，$\alpha_2=(0,0,1)$，當(dāng)$\alpha_3=$（）時，$\alpha_3$是$\alpha_1$，$\alpha_2$的線性組合。A.$(2,0,0)$B.$(3,0,4)$C.$(1,1,0)$D.$(0,1,0)$【答案】B【解析】設(shè)$\alpha_3=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$，對于選項B，設(shè)$\alpha_3=(3,0,4)=k_1(1,0,0)+k_2(0,0,1)$，即$\begin{cases}k_1=3\\k_2=4\end{cases}$，所以$\alpha_3$是$\alpha_1$，$\alpha_2$的線性組合。

4.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$，則$(AB)^T=$（）A.$\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$【答案】A【解析】根據(jù)矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)$(AB)^T=B^TA^T$，$A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$，$B^T=\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}$，所以$(AB)^T=B^TA^T=\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$。

5.設(shè)$A$為$n$階方陣，且$|A|=2$，則$|A^{1}|=$（）A.$\frac{1}{2}$B.2C.1D.4【答案】A【解析】因為$|A|\times|A^{1}|=1$，已知$|A|=2$，所以$|A^{1}|=\frac{1}{2}$。

（二）填空題（每題3分，共15分）1.排列45312的逆序數(shù)為______?！敬鸢浮?【解析】在排列45312中，4前面比4大的數(shù)有0個；5前面比5大的數(shù)有0個；3前面比3大的數(shù)有2個（4和5）；1前面比1大的數(shù)有3個（4、5、3）；2前面比2大的數(shù)有3個（4、5、3），所以逆序數(shù)為$0+0+2+3+2=7$。

2.已知三階行列式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=3$，則$\begin{vmatrix}3a_{11}&3a_{12}&3a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$______。【答案】9【解析】根據(jù)行列式的性質(zhì)，某一行（列）元素乘以一個數(shù)，行列式的值也乘以這個數(shù)，所以$\begin{vmatrix}3a_{11}&3a_{12}&3a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=3\times\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=3\times3=9$。

3.設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$，則$A+B=$______。【答案】$\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}$【解析】兩個矩陣相加，對應(yīng)元素相加，所以$A+B=\begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}$。

4.已知向量組$\alpha_1=(1,1,1)$，$\alpha_2=(1,2,3)$，$\alpha_3=(1,3,t)$線性相關(guān)，則$t=$______?！敬鸢浮?【解析】向量組線性相關(guān)，則對應(yīng)的行列式的值為0，即$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{vmatrix}=0$，計算行列式得$2t33+3t=0$，解得$t=5$。

5.設(shè)$A$為正交矩陣，則$|A|=$______?！敬鸢浮?\pm1$【解析】因為$A$為正交矩陣，所以$A^TA=E$，兩邊取行列式得$|A^TA|=|E|=1$，又因為$|A^TA|=|A^T|\times|A|=|A|^2$，所以$|A|^2=1$，即$|A|=\pm1$。

（三）計算題（每題10分，共50分）1.計算行列式$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1&3&6&10\\1&4&10&20\end{vmatrix}$?！窘馕觥渴紫葘π辛惺竭M(jìn)行變換：第二行減去第一行，第三行減去第一行，第四行減去第一行，得到$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&2&5&9\\0&3&9&19\end{vmatrix}$然后第三行減去第二行的2倍，第四行減去第二行的3倍，得到$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&1&3\\0&0&3&10\end{vmatrix}$接著第四行減去第三行的3倍，得到$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{vmatrix}$最后根據(jù)上三角行列式的值等于主對角線元素之積，可得該行列式的值為$1\times1\times1\times1=1$。

2.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}$，求$A^T$及$|A|$。【解析】$A^T=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}$計算$|A|$：對矩陣$A$進(jìn)行初等行變換，第二行減去第一行的2倍，第三行減去第一行的3倍，得到$\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$所以$|A|=0$。

3.設(shè)向量組$\alpha_1=(1,1,1)$，$\alpha_2=(1,2,3)$，$\alpha_3=(1,3,t)$，求向量組的秩，并判斷其線性相關(guān)性。【解析】構(gòu)造矩陣$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}$對矩陣$A$進(jìn)行初等行變換：第二行減去第一行，第三行減去第一行，得到$\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t1\end{pmatrix}$第三行減去第二行的2倍，得到$\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t5\end{pmatrix}$當(dāng)$t\neq5$時，矩陣的秩為3，向量組線性無關(guān)；當(dāng)$t=5$時，矩陣的秩為2，向量組線性相關(guān)。

4.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$，求$AB$?！窘馕觥扛鶕?jù)矩陣乘法規(guī)則：$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$

5.求解非齊次線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1+3x_2+2x_3=3\\3x_1+5x_2+3x_3=5\end{cases}$?！窘馕觥渴紫葘懗鲈鰪V矩陣$(A,b)=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&3&2&3\\3&5&3&5\end{pmatrix}$對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：第二行減去第一行的2倍，第三行減去第一行的3倍，得到$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&2&0&2\end{pmatrix}$第三行減去第二行的2倍，得到$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$由此可得方程組的同解方程組為$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_2=1\end{cases}$令$x_3=t$，則$x_1=t$，$x_2=1$，所以方程組的通解為$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\\1\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$，$t\inR$。

（四）證明題（每題10分，共20分）1.設(shè)$A$，$B$為$n$階方陣，且$AB=A+B$，證明$(AE)$可逆，并求其逆矩陣?！咀C明】由$AB=A+B$可得：$ABAB=0$$ABAB+E=E$$A(BE)(BE)=E$$(AE)(BE)=E$所以$(AE)$可逆，且$(AE)^{1}=BE$。

2.設(shè)向量組$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$線性無關(guān)，證明向量組$\alpha_1+\alpha_2$，$\alpha_2+\alpha_3$，$\alpha_3+\alpha_1$也線性無關(guān)?！咀C明】設(shè)存在一組數(shù)$k_1$，$k_2$，$k_3$，使得$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0$整理得$(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0$因為$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$線性無關(guān)，所以可得方程組$\begin{cases}k_1+k_3=0\\k_1+k_2=0\\k_2+k_3=0\end{cases}$解這個方程組，將第一個方程$k_1+k_3=0$移項得$k_1=k_3$，代入第二個方程得$k_3+k_2=0$，即$k_2=k_3$，再代入第三個方程得$k_2