山東省棗莊市、聊城市、臨沂市、菏澤市、東營市2024年中考數(shù)學(xué)試卷附真題解析

山東省棗莊市、聊城市、臨沂市、菏澤市、東營市2024年中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個選項(xiàng)符合題目要求．1．下列實(shí)數(shù)中，平方最大的數(shù)是（）A．3 B． C．﹣1 D．﹣2【答案】A【解析】【解答】

A：

B：

C：

D：

則9＞4＞1＞

故答案為：A

【分析】本題考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算及比較大小，熟練掌握運(yùn)算法則，結(jié)合比較大小的方法可得答案。2．用一個平面截正方體，可以得到以下截面圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】

A：是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，不合題意；

B：是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，不合題意；

C：是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，不合題意；

D：既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意；

故答案為：D

【分析】本題考查軸對稱圖形，中心對稱圖形的定義，熟悉其定義，明確其區(qū)別即可得出結(jié)論。3．2023年山東省扎實(shí)落實(shí)民生實(shí)事，全年新增城鄉(xiāng)公益性崗位61.9萬個，將61.9萬用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．0.619×103 B．61.9×104 C．6.19×105 D．6.19×106【答案】C【解析】【解答】

解：61.9萬=619000=6.19×105

故答案為：C

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義可得答案。4．下列幾何體中，主視圖是如圖的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】

A：選項(xiàng)所給幾何體的主視圖是，不合題意；

B：選項(xiàng)所給幾何體的主視圖是，不合題意；

C：選項(xiàng)所給幾何體的主視圖是，不合題意；

D：選項(xiàng)所給幾何體的主視圖是，符合題意；

故答案為：D

【分析】本題考查立體圖形的投影與視圖，理解立體圖形的三視圖畫法是解題關(guān)鍵。5．下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)4+a3＝a7 B．（a﹣1）2＝a2﹣1C．（a3b）2＝a3b2 D．a(chǎn)（2a+1）＝2a2+a【答案】D【解析】【解答】

A：a4+a3不能合并，原選項(xiàng)錯誤，不合題意；

B：（a﹣1）2＝a2-2a+1，原選項(xiàng)錯誤，不合題意；

C：（a3b）2＝a6b2，原選項(xiàng)錯誤，不合題意；

D：a（2a+1）＝2a2+a，原選項(xiàng)正確，符合題意；

故答案為：D

【分析】本題考查整式的運(yùn)算，冪的乘方，單項(xiàng)式多項(xiàng)式的乘法，乘法公式等知識，熟練掌握整式運(yùn)算方法是解題關(guān)鍵。6．為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進(jìn)行升級改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)100件，改造后生產(chǎn)600件的時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（）A．200 B．300 C．400 D．500【答案】B【解析】【解答】

解：設(shè)改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為x件，依題意得：

600（x-100）=400x

200x=60000

x=300

經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是該分式方程的解，

故答案為：B

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，結(jié)合題意，找出時間相等，改造前后的生產(chǎn)效率兩個數(shù)量關(guān)系，列出分式方程，求解即可。7．如圖，已知AB，BC，CD是正n邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，則n的值為（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A【解析】【解答】

解：∵以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN

∴∠NBC=90°

∵ABN＝120°

∴∠ABC=360°-∠NBC-ABN＝150°

則正n邊形的一個內(nèi)角為150°

則正n邊形的一個外角為30°

∴n==12

故答案為：A

【分析】本題考查正多邊形的知識，熟練正多邊形邊數(shù)與內(nèi)角，外角和的關(guān)系，正多邊形的邊數(shù)n=.結(jié)合正方形的性質(zhì)，可得內(nèi)角度數(shù)和外角度數(shù)，求出n即可。8．某校課外活動期間開展跳繩、踢毽子、韻律操三項(xiàng)活動，甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項(xiàng)參加，則他們選擇同一項(xiàng)活動的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】

解：甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項(xiàng)參加的樹狀圖如下：

甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項(xiàng)參加的所有情況共9種，其中選擇同一項(xiàng)活動的情況有3種，則他們選擇同一項(xiàng)活動的概率是

故答案為：C

【分析】本題考查概率的計(jì)算，列出所有的結(jié)果，找出符合要求的結(jié)果，結(jié)合概率公式計(jì)算即可，注意化簡。9．如圖，點(diǎn)E為?ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，AC＝5，CE＝1，連接DE并延長至點(diǎn)F，使得EF＝DE，連接BF，則BF為（）A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】【解答】

解：如圖所示，過點(diǎn)F作FH∥DC，交AC于H

∴∠DCE=∠FHE

∵DE=FE，∠DEC=∠FEH

∴（AAS）

∴CE=HE=1，DC=FH

∵?ABCD

∴DC∥AB，DC=AB，

∴FH∥AB，F(xiàn)H=AB，

∴四邊形AHFB為平行四邊形

∴BF=AH=AC-CE-HE=3

故答案為：B

【分析】本題考查特殊四邊形--平形四邊形的判定與性質(zhì)，”8“字型全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握此類知識是解題關(guān)鍵。作FH∥DC，證，得CE=HE=1，DC=FH，根據(jù)?ABCD的性質(zhì)，得四邊形AHFB為?，得BF值。10．根據(jù)以下對話，給出下列三個結(jié)論：①1班學(xué)生的最高身高為180cm；②1班學(xué)生的最低身高小于150cm；③2班學(xué)生的最高身高大于或等于170cm．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)1班同學(xué)的最高身高為xcm，最低身高為ycm，2班同學(xué)的最高身高為acm，最低身高為bcm，根據(jù)1班班長的對話，得x≤180，x+a＝350，∴x＝350﹣a，∴350﹣a≤180，解得a≥170，故③正確；1班學(xué)生的身高不超過180cm，最高未必是180cm，故無法判斷①；根據(jù)2班班長的對話，得b＞140，y+b＝290，∴b＝290﹣y，∴290﹣y＞140，∴y＜150，故②正確，故答案為：C．

【分析】本題考查不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意，找出數(shù)量關(guān)系，列出不等式，求解可得結(jié)論。二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．11．因式分解：x2y+2xy＝．【答案】xy（x+2）【解析】【解答】

x2y+2xy＝xy（x+2）

【分析】本題考查因式分解---提公因式，因式分解時，先提公因式，再考慮公式法或者十字相乘法等方法，直到不能分解。12．寫出滿足不等式組的一個整數(shù)解．【答案】-1【解析】【解答】

解不等式得

解不等式得

該不等式組的解集為

該不等式組得整數(shù)解為-1，0，1，2，

故答案為-1，0，1，2中其中一個即可.

【分析】先解得不等式，的解集，進(jìn)而得到不等式組的解集，結(jié)合整數(shù)解即可求解.13．若關(guān)于x的方程4x2﹣2x+m＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為．【答案】【解析】【解答】

解：∵關(guān)于x的方程4x2﹣2x+m＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根

∴a=4，b=-2，c=m

解得m=

【分析】本題考查一元二次方程根的情況，若一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則，代入計(jì)算即可得m。14．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，則∠CAB＝．【答案】40°【解析】【解答】

解：如圖，連接OB

∴∠AOB=2∠ACB=50°

∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA=65°

∵OA∥BC

∴∠OAC=∠ACB=25°

∴∠CAB=∠OAB-∠OAC=40°

【分析】本題考查圓的知識，圓心角圓周角的數(shù)量關(guān)系，角度的計(jì)算，熟悉圓的基礎(chǔ)知識是解題關(guān)鍵。連接OB，得∠AOB=2∠ACB，OA=OB，∠OAB=∠OBA=65°，結(jié)合OA∥BC得∠CAB.15．如圖，已知∠MAN，以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別與AM、AN相交于點(diǎn)B，C；分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧在∠MAN內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線AP．分別以A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D，E，作直線DE分別與AB，AP相交于點(diǎn)F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，則F到AN的距離為．【答案】【解析】【解答】

解：由題知：AP平分∠MAN，DE是AB的垂直平分線，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)

∴AF=AB=2，EF⊥AF，∠BAC=2∠FAQ

∵∠PQE=67.5°

∴∠FAQ=90°-∠PQE=22.5°

∴∠BAC=45°

過點(diǎn)F作FP⊥AE，則為等腰直角三角形，F(xiàn)到AN的距離為FP

∴FP=sin45°AF=2×=

∴F到AN的距離為

【分析】本題考查尺規(guī)作圖--角平分線，線段的垂直平分線，等腰三角形，點(diǎn)到直線的距離等知識，熟悉角平分線，線段的垂直平分線的作圖過程是解題關(guān)鍵，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得答案。由題知AP平分∠MAN，DE是AB的垂直平分線，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，計(jì)算∠BAC=45°，作FP⊥AE，可得F到AN的距離為.16．任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次運(yùn)算后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是“冰雹猜想”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)（x，y）中的x，y分別按照“冰雹猜想”同步進(jìn)行運(yùn)算得到新的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中x，y均為正整數(shù)．例如，點(diǎn)（6，3）經(jīng)過第1次運(yùn)算得到點(diǎn)（3，10），經(jīng)過第2次運(yùn)算得到點(diǎn)（10，5），以此類推．則點(diǎn)（1，4）經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn)．【答案】（2，1）【解析】【解答】解：點(diǎn)（1，4）經(jīng)過1次運(yùn)算后得到點(diǎn)為（1×3+1，4÷2），即為（4，2），經(jīng)過2次運(yùn)算后得到點(diǎn)為（4÷2，2÷1），即為（2，1），經(jīng)過3次運(yùn)算后得到點(diǎn)為（2÷2，1×3+1），即為（1，4），……，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點(diǎn)（1，4）經(jīng)過3次運(yùn)算后還是（1，4），∵2024÷3＝674?2，∴點(diǎn)（1，4）經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn)（2，1），故答案為：（2，1）．

【分析】本題考查找規(guī)律，根據(jù)題目方法，對偶數(shù)奇數(shù)的運(yùn)算要求，多次運(yùn)算后，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，找出運(yùn)行規(guī)律是解題的關(guān)鍵。由點(diǎn)（1，4）經(jīng)過3次運(yùn)算后還是（1，4）可知三次一循環(huán)，據(jù)此可得答案。三、解答題：本題共7小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（1）計(jì)算：+2﹣1﹣（﹣）；（2）先化簡，再求值：，其中a＝1．【答案】（1）解：原式＝；（2）解：原式＝＝＝a﹣3；將a＝1代入，得：原式＝1﹣3＝﹣2．【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算和分式的化簡求值。

（1）掌握二次根式化簡，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及加減法則計(jì)算即可；

（2）分式化簡時，通分，約分，化為最簡，代入數(shù)值計(jì)算。18．【實(shí)踐課題】測量湖邊觀測點(diǎn)A和湖心島上鳥類棲息點(diǎn)P之間的距離．【實(shí)踐工具】皮尺、測角儀等測量工具【實(shí)踐活動】某班甲小組根據(jù)胡岸地形狀況，在岸邊選取合適的點(diǎn)B．測量A，B兩點(diǎn)間的距離以及∠PAB和∠PBA，測量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．畫出示意圖，如圖1：（1）【問題解決】計(jì)算A，P兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）（2）【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：如圖2，選擇合適的點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使得A，D，E在同一條直線上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，當(dāng)F，D，P在同一條直線上時，只需測量EF即可．乙小組的方案用到了．（填寫正確答案的序號）①解直角三角形②三角形全等【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實(shí)際測量，要根據(jù)現(xiàn)場地形狀況選擇可實(shí)施的方案．【答案】（1）解：如圖，過B作BH⊥AP于H，∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，∴AH＝AB?cos79°≈60×0.19＝11.4（米），BH＝AB?sin79°≈60×0.98＝58.8（米），∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，∴∠APB＝180°﹣79°﹣64°＝37°，∴，∴（米），∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米）；即A，P兩點(diǎn)間的距離為89.8米；（2）②【解析】【解答】解：（2）∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，當(dāng)F，D，P在同一條直線上時，∴∠ADP＝∠EDF，∴△ADP≌△EFD（ASA），∴AP＝EF，∴只需測量EF即可得到AP長度；∴乙小組的方案用到了②；

【分析】本題銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形和全等三角形的判定與應(yīng)用，找出所給角度，線段長之間的數(shù)量關(guān)系，利用三角函數(shù)求出所求線段是關(guān)鍵。

（1）過點(diǎn)B作BH⊥AP，由AB長，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，得AH，BH；結(jié)合∠APB，求出PH，最后求出AP；

（2）根據(jù)AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，∠ADP＝∠EDF可證△ADP≌△EFD，可知乙用三角形全等的方法。19．某學(xué)校開展了“校園科技節(jié)”活動，活動包含模型設(shè)計(jì)、科技小論文兩個項(xiàng)目．為了解學(xué)生的模型設(shè)計(jì)水平，從全校學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績（成績?yōu)榘俜种?，用x表示），并將其分成如下四組：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100．下面給出了部分信息：80≤x＜90的成績?yōu)椋?1，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．根據(jù)以上信息解決下列問題：（1）請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）所抽取學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績的中位數(shù)是分；（3）請估計(jì)全校1000名學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績不低于80分的人數(shù)；（4）根據(jù)活動要求，學(xué)校將模型設(shè)計(jì)成績、科技小論文成績按3：2的比例確定這次活動各人的綜合成績．某班甲、乙兩位學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績與科技小論文成績（單位：分）如下：模型設(shè)計(jì)科技小論文甲的成績9490乙的成績9095通過計(jì)算，甲、乙哪位學(xué)生的綜合成績更高？【答案】（1）解：∵5÷10%＝50，而80≤x＜90有20人，∴70≤x＜80有50﹣20﹣5﹣10＝15，補(bǔ)全圖形如下：（2）83（3）解：全校1000名學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績不低于80分的人數(shù)為：（人）；（4）解：甲的成績?yōu)椋海ǚ郑?；乙的成績?yōu)椋海ǚ郑?；∴甲的綜合成績比乙高．【解析】【解答】

（2）解：本組數(shù)據(jù)共有50個，按照從小到大的順序排列，處于中間位置的兩個數(shù)在80-90之間，是83和83，=83，則中位數(shù)是83.

【分析】本題考查統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握頻數(shù)分布直方圖，頻率，中位數(shù)，樣本總數(shù)，加權(quán)平均數(shù)等知識，根據(jù)直方圖和扇形圖，結(jié)合數(shù)量關(guān)系，用樣本估算整體情況是解題關(guān)鍵。（1）由60≤x＜70組人數(shù)為5人，占比10％，得樣本總數(shù)=50人，計(jì)算得70≤x＜80人數(shù)，補(bǔ)全即可；

（2）按照中位數(shù)的定義可得答案；

（3）根據(jù)樣本估算整體，”總?cè)藬?shù)×符合情況的占比即可；

（4）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可。20．列表法、表達(dá)式法、圖象法是三種表示函數(shù)的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系．下表是函數(shù)y＝2x+b與y＝部分自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系：xa12x+ba1____________7（1）求a、b的值，并補(bǔ)全表格；（2）結(jié)合表格，當(dāng)y＝2x+b的圖象在y＝的圖象上方時，直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）解：當(dāng)時，2x+b＝a，即﹣7+b＝a，當(dāng)x＝a時，2x+b＝1，即2a+b＝1，∴，解得：，∴一次函數(shù)為y＝2x+5，當(dāng)x＝1時，y＝7，∵當(dāng)x＝1時，，即k＝7，∴反比例函數(shù)為：，當(dāng)時，，當(dāng)y＝1時，x＝a＝﹣2，當(dāng)x＝﹣2時，，補(bǔ)全表格如下：x﹣212x+b﹣217﹣27故答案為：7；﹣2；；（2）解：由表格信息可得：兩個函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，（1，7），∴當(dāng)y＝2x+b的圖象在的圖象上方時，x的取值范圍為或x＞1；【解析】【分析】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)，反比例函數(shù)解析式，求一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，函數(shù)與不等式的關(guān)系，熟練掌握函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題關(guān)鍵。

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)（，a）（a，1），求出a，b值，可知一次函數(shù)解析式；根據(jù)（1，7）得k值，可得反比例函數(shù)解析式；

（2）求出兩個函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，（1，7），當(dāng)y＝2x+b的圖象在y＝的圖象上方時可得x的取值范圍。21．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為圓心，以BE為半徑作所交BC于點(diǎn)F，連接FD交于另一點(diǎn)G，連接CG．（1）求證：CG為所在圓的切線；（2）求圖中陰影部分面積．（結(jié)果保留π）【答案】（1）證明：連接BG，如圖1，根據(jù)題意可知：AD＝AE，BE＝BF，又∵AB＝BC，∴CF＝AE＝AD，∵BC＝2AD，∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF，∵AD∥BC，∴四邊形ABFD是平行四邊形，∴∠BFD＝∠DAB＝60°，∵BG＝BF，∴△BFG是等邊三角形，∴GF＝BF，∴GF＝BF＝FC，∴G在以BC為直徑的圓上，∴∠BGC＝90°，∴CG為所在圓的切線；（2）解：過D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接BG，如圖2，由圖可得：S陰影＝S?ABFD﹣S扇AED﹣S扇BEG﹣S△BFG，在Rt△AHD中，AD＝1，∠DAB＝60°，∴，∴，由題可知：扇形ADE和扇形BGE全等，∴，等邊三角形BFG的面積為：，∴．【解析】【分析】本題考查圓與扇形的知識，包括圓的切線判定與性質(zhì)，扇形的面積公式（），陰影的面積（整體-局部），三角函數(shù)的應(yīng)用（計(jì)算三角形邊長），熟練掌握此類知識，正確運(yùn)用輔助線來解決問題是關(guān)鍵。

（1）連接BG，由AB＝BC＝2AD＝2，AD=AE，BE=BF得ABFD是平行四邊形，可知△BFG是等邊三角形，則GF＝BF＝FC，則∠BGC＝90°，則CG為切線；

（2）過D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接BG，得DH，計(jì)算，，，得.22．一副三角板分別記作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于點(diǎn)M，EN⊥DF于點(diǎn)N，如圖1．（1）求證：BM＝EN；（2）在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合記為C，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，將圖2中的△DCF繞C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α后，延長BM交直線DF于點(diǎn)P．①當(dāng)α＝30°時，如圖3，求證：四邊形CNPM為正方形；②當(dāng)30°＜α＜60°時，寫出線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系，并證明；當(dāng)60°＜α＜120°時，直接寫出線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）證明：設(shè)AC＝DE＝a，∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∴∠A＝∠C＝45°，∴AB＝BC，∵BM⊥AC，∴，∵∠EDF＝30°，EN⊥DF，∴，∴BM＝EN；（2）解：①證明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°﹣30°＝60°，∵α＝∠ACD＝30°，∴∠ACN＝90°，∵BM⊥AC，∴∠PMC＝∠BMC＝90°，∴四邊形PMCN為矩形，∵BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，∴CM＝CN，∴四邊形PMCN是正方形；②解：當(dāng)30°＜α＜60°時，線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)60°＜α＜120°時，線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系為．理由如下：如圖1，當(dāng)30°＜α＜60°時，連接CP，由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，∵CP＝CP，∴△PMC≌△PNC（SAS），∴PM＝PN，∴MP+DP＝PN+DP＝DN，∵∠D＝30°，∴，∴；如圖，當(dāng)60°＜α＜120°時，綜上，當(dāng)30°＜α＜60°時，線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)60°＜α＜120°時，線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系為．【解析】【分析】本題考查幾何圖形綜合，包括三角形全等判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，30°直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定，正方形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識，熟練掌握這些知識，正確運(yùn)用輔助線解決問題是關(guān)鍵。

（1）設(shè)AC＝DE＝a，利用等腰直角三角形得BM=，利用30°直角三角形的性質(zhì)得，可證BM=EN；

（2）證∠CND＝∠ACN＝∠PMC＝∠BMC＝90°，則四邊形PMCN為矩形，再證CM＝CN，可得四邊形PMCN是正方形；②當(dāng)30°＜α＜60°時，連接CP，證△PMC≌△PNC，得MP+DP＝PN+DP＝DN，由得；當(dāng)60°＜