2025年中考數(shù)學總復習《正方形的判定與性質(zhì)》專項檢測卷附答案

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學總復習《正方形的判定與性質(zhì)》專項檢測卷附答案學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，在矩形中，，，、、分別與相切于、、三點，過點作的切線交于點，切點為，則的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．82．如圖，正方形中，點E在上，，連接，過點E作交的延長線于點F，再過點F作，，連接，則的值為（

）A． B． C． D．3．如圖，中，，，的中垂線與的平分線相交點P，與相交于點Q，與相交于D，連接、．若，下列結論：①；

②；③；

④．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．如圖，是等腰直角三角形，，O是的中點，連接并延長至D，使得，連接和．①以點D為圓心，的長為半徑畫弧交于點E；②分別以點C、E為圓心，大的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；③作射線交于點F，接．若，則的長為（

）A．2 B． C． D．5．如圖，在四邊形中，于點E，且四邊形的面積為8，則（）A．2 B．3 C． D．6．如圖，點的坐標為，點分別在軸，軸的正半軸上運動，且，連接，下列結論：①；②若與的交點恰好是的中點，則四邊形是正方形；③四邊形的面積為定值；④．其中正確的結論是（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④二、填空題7．如圖，在中，，平分，平分外角，若，點D到邊的距離是3，則．8．如圖，在中，，，是射線上一點，將沿折疊，得到，連接．當為直角三角形時，的度數(shù)為．9．如圖，在矩形紙片中，，，E是的中點，F(xiàn)是邊上的一個動點（點F不與點A，D重合）．將沿所在直線翻折，點A的對應點為，連接，．當是等腰三角形時，的長為．10．如圖，有一張長方形紙片，其中邊的長為2，將長方形沿對角線對折，折疊后得到，點C的對應點為E，與交于點F，再將沿對折，使點E落在長方形紙片的內(nèi)部點G處，若平分，則的長為．11．如圖，在四邊形中，，，于點E．若，，則的長是．12．如圖，邊長為4的正方形中，M，N為對角線兩點，且，點E為邊的中點，則的最小值．三、解答題13．已知是矩形對角線上一點（），連接，作交于點，以，為鄰邊構造矩形．(1)如圖1，若矩形是正方形，求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）過點作交于點，連接，求證：四邊形是平行四邊形．14．已知矩形中，，是邊上一點，連接，將沿著直線折疊得到．(1)如圖1，若點在邊上，的長為_______；(2)當三點在同一直線上時，求的長；(3)當點在邊上運動時，連接，求線段的最小值．15．如圖1，已知點在正方形的對角線上，，垂足為，垂足為．(1)求證：四邊形是正方形；(2)探究與證明：如圖2，將正方形繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，試探究線段與之間的數(shù)量關系，并說明理由．(3)拓展與運用：如圖3，正方形繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角，當三點在同一條直線上時，延長交于點，若，求的長．16．如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，直線交直線于點．(1)如圖，當時，求證：；(2)如圖，當點始終在的上方時．若，，時，求的面積（用含的式子表示）．點為邊的中點時，連接，直接寫出的最大值為______；17．四邊形是矩形，，H是對角線（端點除外）上的點，K在線段上，．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，連接，求的值（用含m的式子表示）；(3)如圖3，連接，當，時，若，直接寫出的面積．18．如圖，四邊形為矩形，，，分別為，邊上的中點，將一足夠大的直角三角板的直角頂點放在點上，并繞著點在下方旋轉(zhuǎn)，兩直角邊（或直角邊所在直線）分別與矩形的邊交于點，．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，當三角板的一條直角邊交于點，另一條直角邊交于點時，求證：．(2)深入探究：如圖2，當三角板的一條直角邊與矩形的邊相交于點，另一條直角邊交邊于點時，連接并延長與的延長線交于點，小賢發(fā)現(xiàn)，試說明理由．(3)拓展探究：在（2）的條件下，若，，求的長度．參考答案題號123456答案ADDACB1．A【分析】連接，，，，證明四邊形，為正方形，結合切線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，得到，設，則，結合勾股定理求出，即可得到的長．【詳解】解：連接，，，，四邊形為矩形，，、、分別與相切于、、三點，，四邊形，為矩形，，四邊形，為正方形，矩形中，，，，，過點作的切線交于點，切點為，，，設，，，整理得：解得，則的長為，故選：A．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識．2．D【分析】過點作，垂足分別為，先證明，四邊形為正方形，過點G作，交延長線于點，再證明，設，由得，則，，，分別在中，運用勾股定理求得，，即可求出比值．【詳解】解：過點作，垂足分別為，則，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，，過點G作，交延長線于點，∴，同理可得：，∴，∴，∵，，∴設，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，分別由勾股定理得：，，∴，故選：D．【點睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的綜合問題，平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理，正確構造全等三角形是解題的關鍵．3．D【分析】①直接根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可判斷①；②如圖：過P作，過P作垂直于延長線于F，由等量代換可得，可證明可得即,再結合角平分線的定義即可判斷②；③由全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)可得，進而得到，再結合可得是等腰直角三角形即可判定③；④證明四邊形是正方形可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，然后由勾股定理可得、，進而得到，最后根據(jù)平方差和等量代換即可判斷④．【詳解】解：①∵是的垂直平分線，∴，即①正確；②如圖：過P作，過P作垂直于延長線于F，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴,∴，∴,在和中，，∴，即②正確；③∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵四邊形，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，即，故③正確；④∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，即④正確．綜上，①②③④正確，正確的有4個．故選D．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．4．A【分析】本題考查了作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形是矩形，根據(jù)正方形的判定定理得到四邊形是正方形，求得，得到，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】解：∵O是的中點，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，由作圖知，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：A．5．C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，運用割補法把原四邊形轉(zhuǎn)化為正方形，其面積保持不變是解題的關鍵．運用割補法把原四邊形轉(zhuǎn)化為正方形，求出的長．【詳解】解：過作垂直的延長線于點，則，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴；又∵，∴，又，∴，∴；∴四邊形為正方形；∴四邊形的面積等于正方形的面積，即等于8，，，故選：C．6．B【分析】本題考查了矩形的判定，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，過作軸于，軸于，與交于點，可得四邊形是矩形，進而由可得四邊形是正方形，得到，，進而得到，即可證明，得到，即可判斷①；由直角三角形的性質(zhì)可得，可得四邊形是矩形，進而由得到四邊形是正方形，即可判斷②；由四邊形的面積四邊形的面積的面積四邊形的面積的面積正方形的面積，即可判斷③；由與的交點恰好是的中點時，四邊形是正方形，得到，即可判斷④；正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，過作軸于，軸于，與交于點，則，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴，∴四邊形是正方形，∴，，∵，∴，在和中，，∴∴，故①正確；∵與的交點恰好是的中點，∴，在中，是斜邊的中線，∴，在中，是斜邊的中線，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，故②正確；∵，∴四邊形的面積四邊形的面積的面積四邊形的面積的面積，正方形的面積，，，∴四邊形的面積為定值，故③正確；∵與的交點恰好是的中點時，四邊形是正方形，∴，故④錯誤；∴正確的結論有①②③，故選：．7．【分析】過D作于E，于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)全等三角形得到，同理，設，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【詳解】解：過D作于E，于H，平分，平分外角，，，四邊形是正方形，，，，在與中，，，，同理，設，，，，解得，，，，故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理和角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．8．或或【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是分類討論．分兩種情況：當時，當時，根據(jù)折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當時，，，由折疊可得：，，，四邊形是矩形，，矩形是正方形，；當時，，，，由折疊可知，，，，點、、共線，，綜上所述，的度數(shù)為或．當時，∵，∴，∴，由折疊可得，；故答案為：或或．9．或2或【分析】分三種情況：當，連接，勾股定理求得的長，可判斷，，三點共線，根據(jù)勾股定理即可得到結論；當，證明是正方形，于是得到結論；當時，連接，，證明點，，三點共線，再用勾股定理可得答案．【詳解】解：①當時，連接，如圖：點是的中點，，，四邊形是矩形，，，，，將沿所在直線翻折，得到，，，，點，，三點共線，，，設，則，，在中，，，解得：，；②當時，如圖：，點在線段的垂直平分線上，點在線段的垂直平分線上，點是的中點，是的垂直平分線，，將沿所在直線翻折，得到，，，四邊形是正方形，；③當時，連接，，如圖：點是的中點，，，四邊形是矩形，，，，將沿所在直線翻折，得到，，，，點，，三點共線，，，設，則，，在中，，在中，，，即，解得：，；綜上所述，的長為或2或，故答案為：或2或．【點睛】本題考查矩形中的翻折問題，涉及矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，分類討論思想的運用是解題的關鍵．10．【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊問題．由矩形的性質(zhì)推出，，由平行線的性質(zhì)推出，由折疊的性質(zhì)得到，，，，，，判定，推出，判定四邊形是正方形，得到是等腰直角三角形，求出，據(jù)此求解即可得到的長．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，由折疊的性質(zhì)得到：，，，，，，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．∴．故答案為：．11．7【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識點，過點A作，交的延長線于點F，由題意可證，可得，，則可證四邊形是正方形，進而即可求，熟練運用全等三角形的判定和性質(zhì)，合理添加輔助線是解決此題的關鍵．【詳解】過點A作，交的延長線于點F，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，，∴，又∵，，∴，∴，，∴四邊形是正方形．∴，∵，∴，∴，故答案為：7．12．【分析】本題考查正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，過作，使，過作交于，交延長線于，連接，，，即可得到是平行四邊形，是正方形，則，當在上時，取最小值，最小值為的長，再根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：過作，使，過作交于，交延長線于，連接，，，∵邊長為4的正方形，∴，，，∴，∴，∵，使，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∴，∴當在上時，取最小值，最小值為的長，∵點E為邊的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．13．(1)見解析(2)（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析【分析】（1）過點E作于點M，于點N，先根據(jù)正方形的性質(zhì)證明四邊形是矩形，進一步證明，可得，再根據(jù)正方形的判定，即可得證；（2）（Ⅰ）如圖，過點E作于點M，于點N，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，即可求解；（Ⅱ）連接，證明得出，進而得出，即可得證．【詳解】（1）證明：如圖，過點E作于點M，于點N，四邊形是正方形，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，矩形是正方形；（2）解：（Ⅰ）如圖，過點E作于點M，于點N，四邊形是正方形，，，四邊形是矩形，，，，，，，又∴（Ⅱ）證明：如圖所示，連接，∵四邊形是矩形，∴∴又∵∴又∵∴∴∵又∵∴∴∵∴又∵∴∴，∵∴∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．14．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)矩形，折疊的性質(zhì)可證四邊形是正方形，即可求解；（2）根據(jù)折疊得到，在中運用勾股定理得到，設，則，，在中運用勾股定理得到，即可求解；（3）根據(jù)題意可得，點在上運動時，點在以點為圓心，以為半徑的圓弧上運動，當點三點共線時，的值最小，如圖所示，在中運用勾股定理得到，由即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵將沿著直線折疊得到，點在邊上，∴，∵，∴四邊形是矩形，且，∴矩形是正方形，∴，故答案為：；（2）解：∵折疊，點三點在同一直線上，∴，∴，，，∴，在中，，設，則，，在中，，∴，解得，，∴的長為；（3）解：∵折疊，∴，∴，，∴點在上運動時，點在以點為圓心，以為半徑的圓弧上運動，∴當點三點共線時，的值最小，如圖所示，在中，，∴，∴線段的最小值為．【點睛】本題主要考查矩形與折疊的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求線段長，最短路徑的計算方法，掌握以上知識，數(shù)形結合分析是解題的關鍵．15．(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）由，，結合可得四邊形是矩形，再由，即可得證；（2）連接，只需證即可得；（3）證得，設，知，由得、、，由可得a的值，即可求得的值．【詳解】（1）證明∵四邊形是正方形，，，，，，∴四邊形是矩形，∵，，∴為等腰直角三角形，，∴四邊形是正方形；（2）解：，理由如下：如圖，連接，∵四邊形是正方形，四邊形是正方形，則，，，，，則，，，，，；（3）解：∵四邊形是正方形，∴，，點B、E、F三點共線，，，，，，，，設，則，則由，得，，則，，∴由得，解得：，即．【點睛】本題主要考查了相似三角形的綜合題，正方形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．16．(1)證明見解析；(2)的面積為；．【分析】（）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，根據(jù)性質(zhì)得，又，，則，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求證；（）如圖，過作于點，過作，交延長線于點，證明四邊形是矩形，通過性質(zhì)證明，則四邊形是正方形，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，則，，，可求出，然后利用角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得，，從而求出∴，最后用面積公式即可求解；取中點，連接，分別求出，，則有，即，當三點共線時，有最大值．【詳解】（1）證明：設與交于點，∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：如圖，過作于點，過作，交延長線于點，由（）得：，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴四邊形是正方形，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，∴，，，∵，∴，∵，，∴，∴，由（）得：，∴，∴，由勾股定理得：，∴，即，∴，∴，∴的面積為；如圖，取中點，連接，∵，，∴，∴，由（）得：，∴，∴，∵點為邊的中點，∴，∵，∴，∴當三點共線時，有最大值，故答案為：．【點睛】本題主要考查了角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性