冶金傳輸原理（第2版）傳輸原理 3 流體運動

第三章描述流體運動的方法

3.1雷諾試驗和卡門渦街3.2描述流體運動的兩種方法3.3質(zhì)點導(dǎo)數(shù)3.4拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)換3.5流體運動的基本概念3.1雷諾試驗和卡門渦街一、雷諾試驗1883年，英國的雷諾：自然界的流體流動有兩種不同的形態(tài)，即層流和紊流(或湍流)。流動形態(tài)的實驗——著名的雷諾實驗在圖中(a)和(b)可以看到：明晰的細(xì)小的著色流；說明：染色的流體質(zhì)點的不與周圍的水相混，液體質(zhì)點的運動是有規(guī)則有秩序的。稱這種流動狀態(tài)為層流在圖中(c)看到：色水線開始震蕩，變成波浪形，與周圍的流體相混。說明：流體質(zhì)點的運動是雜亂無章的，互相攙雜的。稱這種狀態(tài)為紊流或湍流。層流狀態(tài)：水在毛細(xì)管;重油在管道中的流動;血液在微血管中的流動。紊流狀態(tài)：工程實際中；水在管道或渠道中的流動；空氣在管道或空間中的流動。在實際計算中，必須首先判別流動形態(tài)。3.1雷諾試驗和卡門渦街流體運動是受其粘度、密度和流道尺寸的影響而變化。不可能對每一種實際流動都定出臨界流速。雷諾根據(jù)實驗總結(jié)出一個無因次量——雷諾數(shù)，作為判別流動狀態(tài)的準(zhǔn)則。以Re表示。

－流體的密度；kg/m3；

m－運動速度,m/s;

－粘性系數(shù)，Pa·s；

－運動粘性系數(shù)，m2/sd－是流體通道的定性尺寸(或特性尺寸)由層流轉(zhuǎn)變成湍流時的Re稱為臨界Re，一般用Recr來表示。雷諾從實驗得出Recr≈2300，工程中通常取2000。由層流至湍流的轉(zhuǎn)變是可逆的。Re有著鮮明的物理意義，它表示流體運動中慣性力與黏性力之比。3.1雷諾試驗和卡門渦街3.1雷諾試驗和卡門渦街二、卡門渦街如下圖所示，在方形水槽中，水沿著水槽水平流動。此時將一圓柱體垂直放入水槽中，在圓柱體的上游徐徐撒上漂浮物，可以在圓柱體的下游觀察到水的流動圖形。從水平面上方觀察發(fā)現(xiàn)，在水流流速很慢時，將出現(xiàn)兩個黏附在圓柱體后面的對稱的漩渦。當(dāng)水流速度增大到某一數(shù)值后，在圓柱體后面形成兩列交錯排列、旋轉(zhuǎn)相反的周期性漩渦，稱為卡門渦街。電線在風(fēng)中發(fā)聲，潛艇的通氣管在水中抖顫并發(fā)出噪聲，都是由于卡門渦街的存在而引起的。3.2描述流體流動的兩種方法一、拉格朗日法(Lagrange)又稱(質(zhì)點法)拉格朗日法著眼于流體質(zhì)點，其基本思想是：跟蹤每個流體質(zhì)點的運動全過程，記錄它們在運動過程中各物理量及其變化。將初始時刻坐標(biāo)a,b,c和時間變量t稱為拉格朗日變數(shù)，則流體質(zhì)點的位移r、溫度T、壓力P等物理量是拉格朗日變數(shù)的函數(shù)：流體質(zhì)點的速度是位移對時間的導(dǎo)數(shù)，加速度是速度對時間的導(dǎo)數(shù)，它們分別為：3.2描述流體流動的兩種方法因為拉格朗日坐標(biāo)a,b,c對指定的流體質(zhì)點是常量，與時間無關(guān)，因此上面位移和速度對時間的導(dǎo)數(shù)是偏導(dǎo)數(shù)而不是全導(dǎo)數(shù)。拉格朗日法著眼于流體質(zhì)點，是離散質(zhì)點運動描述方法在流體力學(xué)中的延續(xù)。但多數(shù)情況下人們更關(guān)心的是流體中固定空間點上的物理量。這時拉格朗日法就不方便了。質(zhì)點速度：質(zhì)點加速度：

3.2描述流體流動的兩種方法二、

歐拉法(Euler)或稱(流場法)Euler法：著眼于空間點，又稱空間點法。基本思想：考察空間每一點上流體運動物理量隨時間的變化。空間坐標(biāo)(x,y,z)和時間變量t稱為歐拉變數(shù)，歐拉法中的物理量是歐拉變數(shù)的函數(shù)：υ=υ(x,y,z,t)，ρ=ρ(x,y,z,t)，P=P(x,y,z,t)歐拉法是一種場的方法，上式分別表示流場的速度分布、密度分布和壓力分布，稱為速度場、密度場和壓力場。3.2描述流體流動的兩種方法流體質(zhì)點和空間點二者既有區(qū)別，又有聯(lián)系。流體質(zhì)點是大量分子構(gòu)成的流體團，而空間點是沒有尺度的幾何點。所謂空間某一個點上的物理量就是指占據(jù)該空間點的流體質(zhì)點的物理量。所謂空間點上物理量對時間的變化率就是占據(jù)該空間點的流體質(zhì)點的物理量對時間的變化率。歐拉法著眼點是，如果每一處空間位置的流體運動狀態(tài)都是確定的，則整個流動也就清楚了。拉格朗日法著眼點是，如果知道了每一個質(zhì)點隨時間的變化規(guī)律，整個流動狀況也就清楚了。3.3質(zhì)點導(dǎo)數(shù)流體質(zhì)點的物理量對時間的變化率稱為該物理量的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)。對于拉格朗日法，任一流體質(zhì)點(a,b,c)所具有的物理量B(a,b,c,t)的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)，就等于該物理量對時間的偏導(dǎo)數(shù)

當(dāng)B=υ時，為質(zhì)點的加速度，即：3.3質(zhì)點導(dǎo)數(shù)對歐拉法而言，一個確定的空間點，在不同時刻被不同的流體質(zhì)點所占據(jù)，故不能簡單地將質(zhì)點導(dǎo)數(shù)理解為物理量對時間的偏導(dǎo)數(shù)，下面推導(dǎo)歐拉法中質(zhì)點導(dǎo)數(shù)的表示式。在上圖中，設(shè)時刻t位于空間點M(x,y,z)上流體質(zhì)點的速度為υ=υxi+υyj+υzk，具有物理量B(x,y,z,t)。經(jīng)△t時間，該質(zhì)點運動了υ△t，到達(dá)M’(x+υx△t,y+υy△t,z+υz△t)點，物理量變?yōu)锽(x+υx△t,y+υy△t,z+υz△t,t+△t)。根據(jù)質(zhì)點導(dǎo)數(shù)的定義，物理量B的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)為：3.3質(zhì)點導(dǎo)數(shù)利用Taylor級數(shù)對物理量B展開如下：將上式代入式(1)右端，并略去高階項可得或其中上式就是用歐拉法表示的物理量B的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)(也稱為隨體導(dǎo)數(shù))。3.3質(zhì)點導(dǎo)數(shù)需要指出，上式中的括號不能省略，括號保證了其中的兩個“矢量”率先相乘，然后再作用于矢量B。同時，括號內(nèi)兩項的前后順序不能顛倒，否則就會變成下式：顯然，上式表達(dá)了與前面公式不同的含義。稱為質(zhì)點導(dǎo)數(shù)算子：由上式可見，歐拉法的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)由兩部分組成：稱為局部導(dǎo)數(shù)算子，簡稱局部導(dǎo)數(shù)。表示在一固定空間點，由于時間的變化而引起物理量的變化。若物理量B不隨時間而變，則

，而不是，這一點必須牢記。3.3質(zhì)點導(dǎo)數(shù)(2)稱為遷移導(dǎo)數(shù)算子或?qū)α鲗?dǎo)數(shù)算子，簡稱遷移導(dǎo)數(shù)或?qū)α鲗?dǎo)數(shù)。表示在同一時刻，由于空間位置的變化而引起物理量的變化。若物理量B在空間上均勻分布，則

。在以上推導(dǎo)中，B為任意物理量。當(dāng)B=υ時，

為歐拉法的質(zhì)點加速度，即：上式中

為當(dāng)?shù)丶铀俣然蚓植考铀俣龋?/p>

為遷移加速度或?qū)α骷铀俣?。下面對遷移加速度的概念做進(jìn)一步的說明。展開

并考察其x分量，則它變?yōu)?.3質(zhì)點導(dǎo)數(shù)遷移加速度的x軸分量由三部分構(gòu)成：第一部分中的表示沿x軸單位長度的速度變化，而

表示單位時間內(nèi)沿x軸運動的距離，所以

就是速度相對于時間的變化。關(guān)鍵在于，對于給定的空間點(x,y,z)，

都是已知的，因為歐拉方法要求從如下的已知函數(shù)開始研究：由于

也能隨y、z變化，所以

與

也對x方向的加速度產(chǎn)生貢獻(xiàn)，故x方向的加速度由三項構(gòu)成。類似地當(dāng)B=ρ時，密度ρ的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)為：3.4拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)換拉格朗日法和歐拉法從不同的著眼點來表達(dá)流體的運動，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化。下面以速度為例給出r=r(a,b,c,

t)?υ=υ(x,y,z,t)的轉(zhuǎn)換。一、拉格朗日法轉(zhuǎn)化到歐拉法拉格朗日法在直角坐標(biāo)系中的質(zhì)點位移方程式：作為拉格朗日法的基本出發(fā)點，上式中的函數(shù)必須是已知的。由于t=t0時，x=a,y=b,z=c，因此上式表示在t0以后任意時刻質(zhì)點(a,b,c)的位置(x,y,z)，與該質(zhì)點初始位置(a,b,c)具有一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，因此公式(1)必存在下面的反函數(shù)：(1)3.4拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)換(2)拉格朗日法側(cè)重流體質(zhì)點，重點考察同一質(zhì)點(a,b,c)在不同時刻t的空間位置、速度、加速度等；而歐拉法側(cè)重空間位置，重點考察同一空間位置(x,y,z)上的物質(zhì)處在不同時刻t時，其速度、加速度、溫度、壓力等物理量。將公式(2)代入前面的速度公式，就得到了用歐拉法表示的速度分布：需要強調(diào)的是，作為歐拉法的基本出發(fā)點，式(2)必須是已知的。(3)3.4拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)換二、歐拉法轉(zhuǎn)化到拉格朗日法由歐拉變數(shù)表示的速度場公式，即式(2)可得：積分得通解：其中積分常數(shù)c1,

c2,

c3

由初始條件確定。若t=t0時，x=a，y=b，z=c，則：

可得c1=c1(a,b,c)，c2=c2(a,b,c)，c3=c3(a,b,c)，將它們代入(5)式，即得拉格朗日變數(shù)表示的位移方程式(1)，再將其代入(3)式即得拉格朗日變數(shù)表示的速度分布。(4)(5)3.4拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)換例題1.已知拉格朗日變數(shù)下的速度表達(dá)式為υx=(a+1)et-1，υy=(b+1)et-1，t=0時x=a，y=b。試求：(1)t=2時該質(zhì)點的位置；(2)a=1,b=2時流體質(zhì)點的運動規(guī)律；(3)拉格朗日變數(shù)表示的質(zhì)點加速度；(4)歐拉法表示的速度和加速度。解：(1)由流體質(zhì)點速度公式得：積分得軌跡方程：將已知的初始條件t=0時x=a，y=b代入(b)式，得到c1=c2=-1，則軌跡方程(b)式成為：(a)(b)(c)3.4拉格朗日法和歐拉法的轉(zhuǎn)換代入t=2得該流體質(zhì)點的位置：(2)在(c)式中代入a=1,b=2，得質(zhì)點(1,2)的運動軌跡方程(3)對已知的速度分布求偏導(dǎo)，得速度(4)將軌跡方程(c)的逆函數(shù)(e)(f)代入已知的拉格朗日速度表示式，得歐拉變數(shù)下的速度分布再將(e)式代入(d)式得，歐拉變數(shù)下的加速度歐拉法的加速度也可以利用(f)式直接求解。(g)(d)3.5流場的基本概念流體在運動過程中，若物理量不隨時間而變，則稱為定常流動，否則稱為非定常流動。在定常流動中，物理量B僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)：

它的局部導(dǎo)數(shù)等于零，即:

流動是否定常與所選取的參考坐標(biāo)有關(guān)。一、定常流動和非定常流動二、均勻流動和非均勻流動流體在運動過程中，若物理量均不隨空間而變，則稱為均勻流動或均勻場，否則稱為非均勻流動或非均勻場。3.5流場的基本概念在均勻流動中，物理量只是時間的函數(shù)：它的遷移導(dǎo)數(shù)：三、平面流和軸對稱流流體一般的流動都屬于三維空間流動。平面流和軸對稱流是兩種特殊的三維流動。如果能在流場中作出相互平行的平面族，使得每個流體質(zhì)點都只在一個平面內(nèi)運動，并且所有這些平面上對應(yīng)點的流動情況相同，這樣，只要知道平面族中任意一個平面上的流動情況，就可以知道整個流場情況。這種流動稱為平面流動或二維平面流動。3.5流場的基本概念在直圓管內(nèi)部，過中軸線可以做無數(shù)個平面，稱為子午面。如果處在某一子午面上的流體質(zhì)點只能在該面內(nèi)部流動，即它永遠(yuǎn)不會流到其他子午面上，且不同午面上對應(yīng)點的流動情況完全相同。這樣的流動稱為軸對稱流動。四、跡線流體質(zhì)點的運動軌跡稱為跡線。結(jié)合拉格朗日法中位移函數(shù)，給定拉格朗日變數(shù)a,b,c就得到該質(zhì)點的軌跡：3.5流場的基本概念歐拉法中質(zhì)點跡線需由速度場積分求出。若給定歐拉速度場υ(x,y,z,t)，流體質(zhì)點經(jīng)過dt時間移動了dr距離，則該質(zhì)點的跡線微分方程為：直角坐標(biāo)系中：其中(x,y,

z)表示質(zhì)點坐標(biāo)，它是時間的函數(shù)。上式是由三個一階微分方程構(gòu)成的方程組，給定t=t0時質(zhì)點的坐標(biāo)(a,b,c)，上式即得該質(zhì)點的跡線方程。質(zhì)點、跡線是拉格朗日法才有的概念，因此上面的解題思路是，先求出歐拉法中的空間位置表達(dá)式，然后再通過轉(zhuǎn)換，變?yōu)槔窭嗜辗ǖ谋磉_(dá)形式。3.5流場的基本概念五、流線流線是速度場的矢量線。在任意時刻t，它上面每一點處曲線的切向量dr=dxi+dyj+dzk

都與該點的速度向量υ(x,y,

z,t)相切。根據(jù)流線的定義dr×υ＝0上公式表示了dr與υ平行，因此在直角坐標(biāo)系中其中時間為參數(shù)，積分時做常數(shù)處理，表示t時刻的流線。流線具有如下性質(zhì)：3.5流場的基本概念(1)對于非定常流場，不同時刻通過同一空間點的流線一般不重合；對于定常流場，任何時刻通過同一空間點的流線都是重合的；(2)同一時刻，過空間一點只有一條流線，這是因為該時刻流場中一點處的速度只有一個。換句話說，流線不能相交；(3)流線直觀地描繪了流場的速度分布，流線的走向反映了流速的方向，流線的密集程度放映了流速的大小。跡線和流線的區(qū)別：跡線和流線都是用來描述流場幾何特性的，它們最基本的差別是：3.5流場的基本概念跡線是同一流體質(zhì)點在不同時刻的位移曲線，與拉格朗日觀點相對應(yīng)；而流線是同一時刻、不同流體質(zhì)點速度向量的包絡(luò)線，與歐拉觀點相對應(yīng)。在定常流動中，流線與跡線重合。流線跡線拉格朗日歐拉位移曲線包絡(luò)線例題2.已知流場的速度分布為υx=1-y，υy=t，試求：①t=1時過(0,0)點的流線；②t=0時位于(0,0)點的流體質(zhì)點的跡線。3.5流場的基本概念解：①由表示流線微分方程的公式得：即將時間變量t作為常參數(shù)，積分(a)式得：

tx=y-y2/2+c1其中c1是積分常數(shù)，c1取不同值表示流場中不同的流線。依題意，將t=1，x=y=0代入上式，可確定常數(shù)c1=0，得t=1時過點(0，0)的流線方程：y2－2y＋2x＝0。(b)(a)②軌跡的微分方程：

dx＝(1-y)dt，dy=tdt(c)由dy=tdt得y=t2+c0，將其帶入dx=(1-y)dt中，積分得：x=t-t3/6-c2t+c3(d)式中c2和c3為積分常數(shù)3.5流場的基本概念由初始條件t=0，(x，y)=(a，b)=(0，0)得c2=c3=0。因此，t=0時位于(0，0)點的質(zhì)點的跡線參數(shù)方程為：x=t(1-t2/6)，y=t2/2(e)

也可消去(